Capítulo 2 Energía

Capítulo 2
Energía
1
Trabajo
El trabajo realizado por una fuerza constante sobre una partícula que se
mueve en línea recta es:
W = F · L = F L cos θ
siendo L el vector desplazamiento y θ el ángulo entre la fuerza y la trayectoria. Toda fuerza perpendicular a la trayectoria no realiza trabajo.
El trabajo que una fuerza realiza sobre una partícula entre dos puntos A y B es igual a la integral de línea de la fuerza a lo largo de la
trayectoria que une ambos puntos.
WAB =
Z B
A
F · dl
El trabajo se mide en julios (J): J = N m.
Energía cinética
La energía cinética de una partícula es igual a un medio de su masa
por su velocidad al cuadrado.
Ec = 12 m v 2
El trabajo que realiza una fuerza sobre una partícula entre dos puntos es
igual a la energía cinética de la partícula en el punto final, menos la del
punto inicial.
WAB = Ec (v B ) − Ec (v A )
La energía también se mide en julios (J).
Energía potencial
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza entre dos puntos
cualesquiera no depende de la trayectoria seguida, sino únicamente de
los puntos inicial y final.
Definimos la energía potencial Ep (r) asociada a una fuerza conservativa a través de:
WAB = Ep (r A ) − Ep (r B )
En las cercanías de la superficie terrestre la energía potencial gravitatoria
vale:
b · r = mgy
Ep (r) = −(−m g )
en donde y corresponde a la altura del punto considerado.
Conservación de la energía
La energía total de una partícula sujeta a una fuerza conservativa se
mantiene constante:
E(A) = E(B) = constante
Este resultado se conoce como principio de conservación de la energía.
La energía ni se crea ni se destruye, únicamente se transforma de una
forma de energía a otra.
Una caloría es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura
de un gramo de agua un grado centígrado. Joule encontró la siguiente
equivalencia: 1 caloría = 4.18 J. Una kilocaloría o Caloría (con mayúscula) corresponde a 1000 calorías.
Potencia
La potencia es el trabajo por unidad de tiempo realizado por una
fuerza.
dW
P =
dt
La potencia se mide en vatios (W): W = J/s.
Un kilovatio-hora (kW-h) es el trabajo realizado por una máquina de 1
kW de potencia durante una hora. Por lo tanto, 1 kW-h= 3.600.000 J.
La energía en los seres vivos
El calor de combustión de un alimento es la cantidad de calor que se
desprende en la combustión en el laboratorio de 1 kilogramo del mismo.
El equivalente energético del oxígeno es el calor que se desprende en la
utilización de 1 m3 de oxígeno en la combustión de un determinado tipo
de alimento en el organismo.
La relación entre los volumenes de O2 consumido y de CO2 expulsado se
conoce como cociente respiratorio, y depende del tipo de alimento.
La energía mínima total necesaria para el funcionamiento del organismo
en reposo se denomina tasa metabólica basal.
Se define la eficiencia como el cociente entre el trabajo útil realizado y
la energía total consumida.
Problema 2.1
Las patas de un animal de 0.5 kg ejercen una fuerza de
200 N a lo largo de 3 cm cuando salta. ¿Hasta qué altura
llega?
Problema 2.2
Determina la energía mecánica que se pierde cuando dos
partículas iguales de 5 kg cada una, una en reposo y la
otra con una velocidad de 5 m/s, colisionan saliendo unidas.
Problema 2.3
Un saltador de pértiga consigue una velocidad de 10 m/s
en la carrera de aproximación. Su centro de gravedad está
a 1 m del suelo y consigue pasar el listón manteniendo su
centro de gravedad a la altura de éste. Si con los brazos
es capaz de izarse 0.5 m, ¿hasta qué altura podría saltar?
Problema 2.4
Una fuerza constante de 100 N actúa durante 20 segundos
sobre un cuerpo de 2 kg, inicialmente en reposo. Calcula:
(a) velocidad final del cuerpo,
(b) espacio en el que actúa la fuerza,
(c) trabajo realizado por la fuerza,
(d) energía cinética final del cuerpo.
Problema 2.5
Un animal realiza un trabajo triple que otro cuando salta,
pero su masa es doble que la de éste. ¿Cuál de ellos salta
más alto?
Problema 2.6
Una pelota pierde la mitad de su energía cada vez que
bota en el suelo. ¿Cuál es el cociente entre la velocidad
antes y después de cada bote? ¿Cuál es la relación entre
las alturas alcanzadas tras dos botes consecutivos?
Problema 2.7
Un corredor de 80 kg alcanza en 20 m una velocidad de
10 m/s. ¿Qué fuerza, supuesta constante, realizan sus
músculos? ¿Cuál es la potencia media?
Problema 2.8
Un trineo de 300 kg baja una pendiente de 30◦ a 120 km/h
cuando comienza a frenar. Necesita 100 m para pararse
totalmente. Determina:
(a) energía cinética perdida en la frenada,
(b) energía potencial perdida,
(c) trabajo realizado por el rozamiento,
(d) potencia media del freno.
Problema 2.9
Calcula la distancia mínima de frenado de un móvil que
viaja con velocidad v y que posee un coeficiente de rozamiento µ.
Problema 2.10
El brazo de una persona es capaz de sostener una masa
40 kg. ¿Hasta que altura puede lanzar un objeto de 0.3 kg
si el recorrido en el que puede realizar fuerza es de medio
metro?
Problema 2.11
¿Cuál es la energía potencial asociada a la fuerza 10ıb −
20b + kb N?
Problema 2.12
La fuerza entre dos átomos de una molécula viene dada
por A/x13 − B/x7 , siendo A y B constantes y x la distancia
entre los átomos. ¿Cuál es la energía potencial correspondiente? ¿Cuál es la separación atómica de equilibrio?
Problema 2.13
Un coche de 1000 kg que viaja a 120 km/h frena bruscamente hasta pararse. Si la mitad de la energía que se
disipa en forma de calor lo hace en los frenos. ¿Cuántas
calorías reciben los frenos?
Problema 2.14
¿Qué potencia eléctrica puede generar una presa hidraúlica que posee un salto de agua de 80 m por el que cae un
caudal de 10 m3 /s?
Problema 2.15
¿Qué potencia requiere el motor de un avión de 10 toneladas para poder despegar con un ángulo de 10◦ y una
velocidad de 250 km/h?
Problema 2.16
Calcula la potencia que ha de poseer un automóvil de
1200 kg capaz de poder alcanzar, a partir del reposo, los
100 km/h en 8 segundos.
Problema 2.17
Un objeto de 50 kg cae desde una altura de 20 m y la energía cinética con la que llega se disipa en forma de calor en
un recipiente con 100 litros de agua. Determina:
(a) energía en julios que se disipa,
(b) calorías a las que corresponde dicha energía,
(c) grados centígrados en que asciende la temperatura
del agua.
Problema 2.18
¿Cuántas calorías ingiere una persona al comer 100 gr de
proteínas y 200 gr de carbohidratos? ¿Qué trabajo mecánico puede realizar, suponiendo una eficiencia del 23 %?
Problema 2.19
¿Cuántos litros de O2 consume una persona durante 8 horas durmiendo? Supóngase una tasa metabólica basal de
80 W.
Problema 2.20
¿Qué trabajo mecánico puede realizar una persona que
posee una eficiencia del 25 % y que dispone de 3 m3 de
oxígeno?
Problema 2.21
Una persona de 75 kg y con una eficiencia del 25 % asciende una montaña de 2000 m de altura. ¿Cuántas calorías consumirá en la ascensión?
Problema 2.22
Un corredor va a un ritmo tal que consume 1000 W. Si la
carrera dura 15 minutos, ¿cuántas calorías habrá consumido? ¿Que trabajo mecánico habrá realizado si posee
una eficiencia del 23 %?
Problema 2.23
¿Cuántas calorías diarias ha de consumir una persona
que posee una tasa metabólica basal de 90 W y una eficiencia del 24 %?
Problema 2.24
Una persona come diariamente 100 g de proteínas y 300
g de hidratos de carbono. Calcula:
(a) Calorías diarias ingeridas,
(b) volumen de oxígeno respirado,
(c) volumen de dióxido de carbono expulsado,
(d) potencia neta media que puede ejercer.
Problema 2.25
Sabemos que una persona que se alimenta de carbohidratos y grasas ha consumido 0.4 m3 de O2 y ha expulsado
0.44 m3 de CO2 en un día. Determina:
(a) Calorías ingeridas,
(b) cantidad de carbohidratos que ha comido,
(c) cantidad de grasas que ha comido,
(d) potencia total media que puede ejercer durante ese
día.
Problema 2.26
Un muchacho con una eficiencia del 25 % ha consumido
45 Calorías sacando cubos de agua de un pozo. El cubo tiene una capacidad de 5 litros y el agua está a una
profundidad de 6 m. ¿Cuántos cubos ha sacado?
Problema 2.27
¿Cuántas calorías desprende una persona de 70 kg y
una eficiencia del 23 % cuando asciende suavemente una
montaña de 1000 m?
Problema 2.28
Un atleta que pesa 70 kg y posee una eficiencia del 25 %
sube a una velocidad de 5 m/s por una pendiente de 200
m de largo y con una inclinación de 30◦ . Calcula:
(a) la energía potencial ganada,
(b) la potencia total que necesita,
(c) número de calorías consumidas.
Problema 2.29
Una persona se alimenta de carbohidratos, grasa y proteínas en cantidades iguales. Posee una tasa metabólica
basal de 80 W, una eficiencia del 26 % y reliza un trabajo
mecánico externo de 4.000.000 julios cada día. Halla:
(a) número de calorías consumidas diariamente,
(b) cantidad que debe comer de cada tipo de alimento,
(c) volumen diario de O2 consumido y de CO2 expulsado.
2.1 Las patas de un animal de 0.5 kg ejercen una fuerza de 200 N a lo largo
de 3 cm cuando salta. ¿Hasta qué altura llega?
El trabajo realizado por los músculos de las patas del animal es:
W = F d = 200 · 0.03 = 6 J.
Dicho trabajo se invierte en energía potencial gravitatoria y la altura del
salto viene, por tanto, dada por:
h=
W
6
=
= 1.22 m.
mg
0.5 · 9.8
2.2 Determina la energía mecánica que se pierde cuando dos partículas iguales de 5 kg cada una, una en reposo y la otra con una velocidad de 5 m/s,
colisionan saliendo unidas.
La conservación del momento lineal en la colisión nos determina la velocidad de salida del conjunto de las dos partículas:
mv0 + m 0 = 2mv
=⇒
v = 21 v0 = 2.5 m/s.
La energía que se disipa en la colisión es la energía cinética de la partícula
con movimiento inicial menos la energía cinética del conjunto de las dos
partículas después del choque:
1
1
∆E = 12 mv02 − 12 2mv 2 = 12 mv02 − mv02 = 5 · 52 = 31.25 J.
4
4
2.3 Un saltador de pértiga consigue una velocidad de 10 m/s en la carrera de
aproximación. Su centro de gravedad está a 1 m del suelo y consigue pasar el
listón manteniendo su centro de gravedad a la altura de éste. Si con los brazos
es capaz de izarse 0.5 m, ¿hasta qué altura podría saltar?
Calculemos primero la altura que gana el saltador suponiendo que transforma toda su energía cinética en energía potencial gravitatoria:
1
2
2
mv = mgh
=⇒
102
v2
=
= 5.1 m.
h=
2g
2 · 9.8
Para determinar la máxima altura de salto posible, hemos de añadir a
la anterior altura la posición inicial del centro de masas y la altura que
consigue gracias a los brazos:
htotal = 5.1 + 1 + 0.5 = 6.6 m.
2.4 Una fuerza constante de 100 N actúa durante 20 segundos sobre un cuerpo de 2 kg, inicialmente en reposo. Calcula:
(a) velocidad final del cuerpo,
(b) espacio en el que actúa la fuerza,
(c) trabajo realizado por la fuerza,
(d) energía cinética final del cuerpo.
(a) La aceleración del cuerpo vale:
a=
100
F
=
= 50 m/s2 .
m
2
La velocidad final del cuerpo es, por tanto:
v = v0 + at = 0 + 50 · 20 = 1000 m/s.
(b) El espacio en el que actúa la fuerza viene dado por:
d = v0 t + 12 at2 = 12 50 · 202 = 10000 m.
(c) El trabajo realizado por la fuerza es igual a:
W = F d = 100 · 10000 = 106 J.
(d) La energía cinética final ha de ser igual al trabajo, pues la inicial es
nula. Podemos comprobarlo:
Ec = 12 mv 2 = 12 2 · 10002 = 106 J.
2.5 Un animal realiza un trabajo triple que otro cuando salta, pero su masa es
doble que la de éste. ¿Cuál de ellos salta más alto?
La altura de salto de cada animal es proporcional al trabajo que realiza e
inversamente proporcional a su masa. El animal más pesado salta 3/2 de
la altura que salta el otro. O sea, salta más que el animal más pesado.
2.6 Una pelota pierde la mitad de su energía cada vez que bota en el suelo.
¿Cuál es el cociente entre la velocidad antes y después de cada bote? ¿Cuál
es la relación entre las alturas alcanzadas tras dos botes consecutivos?
La energía cinética de salida después de cada bote ha de ser la mitad que
la de entrada, pues se pierde la otra mitad:
ve √
2
2
1
1 1
= 2.
mv
=
mv
=⇒
s
e
2
2 2
vs
Como la energía cinética tras un bote se transforma en gravitatoria y ésta
es proporcional a la altura, tras cada bote se alcanza una altura igual a la
mitad de la lograda en el bote anterior. Tras dos botes tenemos:
hf
1
= .
hi
4
2.7 Un corredor de 80 kg alcanza en 20 m una velocidad de 10 m/s. ¿Qué
fuerza, supuesta constante, realizan sus músculos? ¿Cuál es la potencia media?
El teorema de las fuerzas vivas nos permite calcular la fuerza realizada
por los músculos del corredor:
W = F d = 12 mv 2
=⇒
F =
mv 2
80 · 102
=
= 200 N.
2d
2 · 20
Para obtener la potencia hemos de calcular primero el tiempo que emplea
el corredor en esos 20 m:
d = 12 at2
=⇒
t=
v
u
u 2d
t
a
=
v
u
u 2dm
t
F
=
v
u
u2
t
· 20 · 80
= 4 s.
200
La potencia media es el trabajo dividido por el tiempo:
P =
W
F d 200 · 20
=
=
= 1000 W.
t
t
4
2.8 Un trineo de 300 kg baja una pendiente de 30◦ a 120 km/h cuando comienza a frenar. Necesita 100 m para pararse totalmente. Determina:
(a) energía cinética perdida en la frenada,
(b) energía potencial perdida,
(c) trabajo realizado por el rozamiento,
(d) potencia media del freno.
(a) La energía cinética perdida en la frenada es igual a la que llevaba
inicialmente:
1000
Ec = mv = 300 120
3600
1
2
2
1
2
!2
= 1.67 · 105 J.
(b) La energía potencial perdida es:
Ep = mgh = 300 · 9.8 · 100 sen 30◦ = 1.47 · 105 J.
(c) El trabajo realizado por el rozamiento ha de ser igual a la energía
mecánica perdida:
W = Ec + Ep = 1.67 · 105 + 1.47 · 105 = 3.14 · 105 J.
(d) Para calcular la potencia necesitamos el tiempo que necesita el trineo
para frenar:
d = v0 t − 12 at2 = 12 v0 t
=⇒
t=
2d 2 · 100 · 3.6
=
= 6 s.
v0
120
La potencia vale:
W
3.14 · 105
P =
=
= 5.2 · 104 W.
t
6
2.9 Calcula la distancia mínima de frenado de un móvil que viaja con velocidad
v y que posee un coeficiente de rozamiento µ.
El trabajo máximo debido al rozamiento del móvil es:
W = Fr d = µmgd.
Este trabajo ha de ser igual a la energía cinética inicial:
W = µmgd = Ec = 12 mv 2
y de aquí despejamos la distancia mínima de frenado:
v2
d=
.
2µg
2.10 El brazo de una persona es capaz de sostener una masa 40 kg. ¿Hasta
que altura puede lanzar un objeto de 0.3 kg si el recorrido en el que puede
realizar fuerza es de medio metro?
La fuerza que puede realizar el brazo la calculamos a partir del dato del
peso máximo que es capaz de sostener:
F = mg = 40 · 9.8 = 392 N.
El trabajo que puede ejercer el brazo al lanzar un objeto es:
W = F d = 392 · 0.5 = 196 J.
Si este trabajo se transforma en energía potencial del objeto de 0.3 kg, la
altura que este alcanza viene dada por:
m0 gh = W
=⇒
h=
196
W
=
= 66.7 m.
m0 g
0.3 · 9.8
b N?
2.11 ¿Cuál es la energía potencial asociada a la fuerza 10bı − 20b + k
Como se trata de uan fuerza constante su energía potencial viene dada
por:
b
b
Ep = −F · r = −(10ıb − 20lb + k)
· (xıb + y b + z k)
= −10x + 20y − z J.
2.12 La fuerza entre dos átomos de una molécula viene dada por A/x13 −B/x7 ,
siendo A y B constantes y x la distancia entre los átomos. ¿Cuál es la energía
potencial correspondiente? ¿Cuál es la separación atómica de equilibrio?
La energía potencial correspondiente a una fuerza unidimensional es:
Ep (x) − Ep (∞) =
=
Z ∞
x
0
0
F (x ) dx =
Z ∞
x
A
B
−
13
x0
x0 7
!
dx0
A
B
− 6.
12
12x
6x
Tomando Ep (∞) = 0, tenemos:
Ep (x) =
A
B
−
.
12x12 6x6
La separación de equilibrio es aquella para la que la fuerza es cero:
F (x) =
A
B
−
= 0,
x13 x7
y despejando x obtenemos:
A
x=
B
!1/6
.
2.13 Un coche de 1000 kg que viaja a 120 km/h frena bruscamente hasta pararse. Si la mitad de la energía que se disipa en forma de calor lo hace en los
frenos. ¿Cuántas calorías reciben los frenos?
La energía que se disipa en forma de calor como consecuencia de la frenada es igual a la energía cinética que llevaba el coche:
1000
E = 12 mv 2 = 12 1000 120
3600
!2
= 5.56 · 105 J.
Las calorías que reciben los frenos son la mitad de las correspondientes
a la anterior energía:
E 0 = 12 E = 12 5.56 · 105
1
= 6.64 · 104 calorías.
4.18
2.14 ¿Qué potencia eléctrica puede generar una presa hidraúlica que posee
un salto de agua de 80 m por el que cae un caudal de 10 m3 /s?
La potencia que puede generar la presa es igual a la energía potencial por
unidad de tiempo que transforma en electricidad:
P =
mgh 1000 · 10 · 9.8 · 80
=
= 7.84 · 106 W.
t
1
Hemos tenido en cuenta que la masa es la densidad por el volumen, y que
la densidad de agua es de 1000 kg/m3 .
2.15 ¿Qué potencia requiere el motor de un avión de 10 toneladas para poder
despegar con un ángulo de 10◦ y una velocidad de 250 km/h?
La potencia mínima del motor del avión para despegar con ese ángulo, sin
tener en cuenta el rozamiento, es igual a la energía potencial gravitatoria
que gana el avión por unidad de tiempo:
mgl sen 10◦
250
= mgv sen 10◦ = 10000 · 9.8
sen 10◦
t
3.6
6
= 1.18 · 10 W.
P =
2.16 Calcula la potencia que ha de poseer un automóvil de 1200 kg capaz de
poder alcanzar, a partir del reposo, los 100 km/h en 8 segundos.
El automóvil realiza en 8 segundos un trabajo igual a la energía cinética
que adquiere, despreciando el rozamiento. Su potencia ha de ser, por
tanto:
100 2
1
2
1200
mv
3.6
P = 2
=
= 5.79 · 104 W.
t
2·8
2.17 Un objeto de 50 kg cae desde una altura de 20 m y la energía cinética
con la que llega se disipa en forma de calor en un recipiente con 100 litros de
agua. Determina:
(a) energía en julios que se disipa,
(b) calorías a las que corresponde dicha energía,
(c) grados centígrados en que asciende la temperatura del agua.
(a) La energía que se disipa es:
E = mgh = 50 · 9.8 · 20 = 9800 J.
(b) Esta energía corresponde a un número de calorías igual a:
E=
9800
= 2344 calorías.
4.18
(c) Una caloría sube en un grado la temperatura de un gramo de agua.
Por tanto:
1
∆T = 2344
= 0.0234◦ C.
100000
2.18 ¿Cuántas calorías ingiere una persona al comer 100 gr de proteínas y
200 gr de carbohidratos? ¿Qué trabajo mecánico puede realizar, suponiendo
una eficiencia del 23 %?
El número de calorías ingeridas por la persona es la suma de los productos
de las masas de los alimentos por sus calores de combustión fisiológicos
correspondientes:
Q = 0.1 · 4070 + 0.2 · 4070 = 1221 Calorías.
El trabajo mecánico que puede realizar esta persona es igual a la energía
ingerida por la eficiencia (en tanto por uno):
W = Qe = 1221 · 4180 · 0.23 = 1.17 · 106 J.
2.19 ¿Cuántos litros de O2 consume una persona durante 8 horas durmiendo?
Supóngase una tasa metabólica basal de 80 W.
Las calorías consumidas por la persona durante 8 horas son:
Q = P t = 80 · 8 · 8 · 3600
1
= 551000 calorías. = 551 Calorías.
4.18
Suponiendo un equivalente energético medio del O2 , estas calorías corresponden al siguiente volumen de oxígeno consumido:
V =
551
= 0.114 m3 = 114 l.
4830
2.20 ¿Qué trabajo mecánico puede realizar una persona que posee una eficiencia del 25 % y que dispone de 3 m3 de oxígeno?
Primero hemos de determinar la energía total que se quema con 3 m3 de
oxígeno. Suponiendo un equivalente energético medio de 4830 Calorías/m3 ,
esta viene dada por:
E = 3 · 4830 · 4180 = 6.06 · 107 J.
El trabajo mecánico que se puede realizar con esta energía es:
W = Ee = 6.06 · 107 · 0.25 = 1.51 · 107 J.
2.21 Una persona de 75 kg y con una eficiencia del 25 % asciende una montaña de 2000 m de altura. ¿Cuántas calorías consumirá en la ascensión?
El trabajo mecánico que se realiza en la ascensión es:
W = mgh = 75 · 9.8 · 2000 = 1.47 · 106 J.
La energía que se ha de consumir para la realización de este trabajo vale:
W
1.47 · 106
E=
=
= 5.88 · 106 J = 1407 Calorías.
e
0.25
2.22 Un corredor va a un ritmo tal que consume 1000 W. Si la carrera dura 15
minutos, ¿cuántas calorías habrá consumido? ¿Que trabajo mecánico habrá
realizado si posee una eficiencia del 23 %?
Las calorías consumidas por el corredor son:
E = P t = 1000 · 15 · 60
1
= 215 Calorías.
4180
Teniendo en cuenta la eficiencia, encontramos el trabajo mecánico realizado:
W = Ee = 1000 · 15 · 60 · 0.23 = 2.07 · 105 J.
2.23 ¿Cuántas calorías diarias ha de consumir una persona que posee una
tasa metabólica basal de 90 W y una eficiencia del 24 %?
La eficiencia no interviene en este cálculo ya que la tasa basal se refiere
ya a la potencia total necesaria. Las calorías diarias son igual a la potencia
por el tiempo:
E = P t = 94 · 24 · 3600
1
= 1860 Calorías.
4180
2.24 Una persona come diariamente 100 g de proteínas y 300 g de hidratos de
carbono. Calcula:
(a) Calorías diarias ingeridas,
(b) volumen de oxígeno respirado,
(c) volumen de dióxido de carbono expulsado,
(d) potencia neta media que puede ejercer.
(a) Para obtener la energía ingerida hemos de sumar los productos de
las masas de los alimentos por sus calores de combustión:
E = 0.1 · 4070 + 0.3 · 4070 = 1628 Calorías.
(b) El volumen de oxígeno que hay que respirar para quemar los alimentos es:
0.1 · 4070 0.3 · 4070
V =
+
= 0.338 m3 .
4480
4950
(c) El volumen de dióxido de carbono expulsado vale:
V =
0.1 · 4070 1
0.3 · 4070 1
+
= 0.360 m3 .
4480 0.8
4950 1
(d) La potencia neta que se puede ejercer comiendo esas calorías diarias
es, suponiendo una eficiencia del 25 %:
P =
E
1628 · 4180 · 0.25
=
= 19.7 W.
t
24 · 3600
2.25 Sabemos que una persona que se alimenta de carbohidratos y grasas ha
consumido 0.4 m3 de O2 y ha expulsado 0.44 m3 de CO2 en un día. Determina:
(a) Calorías ingeridas,
(b) cantidad de carbohidratos que ha comido,
(c) cantidad de grasas que ha comido,
(d) potencia total media que puede ejercer durante ese día.
(b) y (c) Es mejor obtener primero la cantidad de carbihidratos x y de
grasas y que ha ingerido la persona en un día. El volumen de oxígeno
respirado viene dado por:
4070
9020
VO2 =
x+
y = 0.4 m3 .
4950
4600
Análogamente, el volumen de CO2 respirado es:
4070
9020 1
VCO2 =
x+
y = 0.44 m3 .
4950
4600 0.71
Restando ambas ecuaciones obtenemos la cantidad de grasas:
!
9020
1
− 1 y = 0.04
=⇒
y = 0.050 kg.
4600 0.71
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones anteriores obtenemos la cantidad de carbohidratos
consumidos:
!
4950
9020
x=
0.4 −
y = 0.368 kg.
4070
4600
(a) Las calorías ingeridas son:
E = 4070 · 0.368 + 9020 · 0.050 = 1949 Calorías.
(d) La potencia que se puede ejercer durante un día con la anterior energía es:
E
1949 · 4180
P =
=
= 94.3 W.
t
24 · 3600
2.26 Un muchacho con una eficiencia del 25 % ha consumido 45 Calorías sacando cubos de agua de un pozo. El cubo tiene una capacidad de 5 litros y el
agua está a una profundidad de 6 m. ¿Cuántos cubos ha sacado?
La energía potencial que ha ganado el agua subida por el muchacho es:
E = 45 · 4180 · 0.25 = 47025 J.
Teniendo en cuenta que un kilogramo de agua ocupa un litro, el número
de cubos que corresponde a la anterior energía es:
N=
E
47025
=
= 160.
mgh 5 · 9.8 · 6
2.27 ¿Cuántas calorías desprende una persona de 70 kg y una eficiencia del
23 % cuando asciende suavemente una montaña de 1000 m?
La energía mecánica que gana la persona en la ascensión es:
E = mgh = 70 · 9.8 · 1000 = 686000 J.
La energía que se disipa al ganar la anterior energía mecánica viene dada
por:
1
− 1 = 686000 · 3.35 = 2.30 · 106 J,
ED = ET − E = E
0.23
!
que expresada en Calorías es:
2.30 · 106
Q=
= 550 Calorías.
4180
2.28 Un atleta que pesa 70 kg y posee una eficiencia del 25 % sube a una
velocidad de 5 m/s por una pendiente de 200 m de largo y con una inclinación
de 30◦ . Calcula:
(a) la energía potencial ganada,
(b) la potencia total que necesita,
(c) número de calorías consumidas.
(a) La energía potencial ganada por el atleta vale:
E = mgh = 70 · 9.8 · 200 sen 30◦ = 68600 J.
(b) La potencia total es la energía potencial ganada por unidad de tiempo
dividida por la eficiencia:
P =
E
68600 · 5
=
= 6860 W.
te 200 · 0.25
(c) Las calorías totales consumidas son:
ET =
E
68600
=
= 65.6 Calorías.
e
4180 · 0.25
2.29 Una persona se alimenta de carbohidratos, grasa y proteínas en cantidades iguales. Posee una tasa metabólica basal de 80 W, una eficiencia del 26 %
y reliza un trabajo mecánico externo de 4.000.000 julios cada día. Halla:
(a) número de calorías consumidas diariamente,
(b) cantidad que debe comer de cada tipo de alimento,
(c) volumen diario de O2 consumido y de CO2 expulsado.
(a) El número de calorías que ha de consumir diariamente la persona es
la suma del trabajo mecánico dividido por la eficiencia más la tasa
metabólica por el tiempo:
1
4
E 80 · 24 · 3600 +
106
= 5334 Calorías.
0.26
4180
!
(b) Dado que la persona come la misma cantidad de cada tipo de alimento, tenemos que dicha cantidad ha de venir dada por las Calorías
totales divididas por la suma de los calores de combustión fisiológicos:
5334
C=
= 0.311 kg.
4070 + 9020 + 4070
(c) El volumen diario de oxígeno consumido es:
V =
4070
9020
4070
0.311 +
0.311 +
0.311 = 1.15 m3 ,
4950
4600
4480
y el correspondiente volumen de CO2 expulsado vale:
V =
4070
9020 0.311 4070 0.311
0.311 +
+
= 1.47 m3 .
4950
4600 0.71
4480 0.8