2.2 Distribución Normal

2.2 Distribución Normal
Una variable aleatoria X que toma valores reales, -oo < X < oo, tiene distribución normal si su
función de densidad es de la forma:
g x (x) = - = J = e"(x"^2 / 2 ° 2 - oo < p < -oo, a 2 > O con p = E(X) y a 2 = V ( X )
V2Tca2
En la figura de la derecha se han dibujado
algunos miembros de la familia normal.
"y
_
,. .
ii
Parámetros (media, desv. est)
i
—0,1 (Normalestandar)
i , — Q2
0.6
PROPIEDADES
0.2
1. La curva que describe la función es
simétrica alrededor de p, y sus ramas se alejan o se
acercan según la desviación estándar que posea la
variable aleatoria.
2. p = Md = P 50 = M c
o
-í -4 -3 -2 -i o i 2 3 4 5 x
M d : Moda,
P50: Percentil 50, Me: Mediana
3. Tiene dos puntos de inflexión que están en p - a
y (i + o
NOTACIÓN X ~ n
,a 2 ) Esto quiere decir que la variable aleatoria X tiene una distribución
Normal con media (i y varianza a 2
(]>u a2 (X)= Función de densidad (ó g x (x))
< 1 > a,(X) = Función de distribución (ó F x (x))
4. Si X ~ n (p,, a 2 ) ^ Z - ——— ~ n(0,1)
a
Se lee diciendo, Z tiene distribución normal estándar (ó Típica) con parámetros media cero y
varianza uno.
96
5. M x ( t ) = - j J = H
V 2r
¿na
M x ( t ) = —¿= f
V27t
dx, haciendo Z = - ^ = > d z = — , \ X = az + n
~
~
e t ^ ) e - z 2 / 2 d z = ^ L e t ^ í e ^ " 2t(Jz)/2 dz
v2;r
= — = e ^ Jr"°° e-l ( z - t o ) 2 -° 2 t 2 J / 2 dz con y = z - ta => dy = dz
6. M'(t) = e^ + < j 2 t 2 / 2
7. M"(t) = \i e ^ 2 * 2 ' 2
+
M'(t = 0) = |! = E(X)
+ a2t) + a V ^
2
/2
=> M"(t = 0) =
+ a2
V(X) = n 2 + a 2 - (i2 = a 2
9. F z ( - z ) = l - F z ( z )
Ejemplo 14
Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con parámetros (i y 2. Encontrar:
a. P(X < (i - a)
b. P(X > (i +2 a)
c. P(n - 3a < X < ii + 3a)
Solución:
a. P(X < (i - a) => P(X < (i - a) => P(X - | i < ( i - a - ( i ) = > P
P ( Z < - 1 ) = 0.15866
b. P(X > n + 2a) = 1 - P(X < n + 2a) => P(X -
< 2a) => P
a
a
a
P(Z< 2) = 0.97725
=> P(X > \i + 2a) = 1 - 0.97725 = 0.02275
9<
C. P ( n - 3 a < X < j i + 3a) = P G i - 3 a - n < X - j i < j i + 3 a - j O = P(— < — — < — ) =
a
a
a
= P(-3 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -3) = 0.99865 - 0.00135 = 0.9973
NOTA 1. Los valores de probabilidad son leídos en una tabla de probabilidad normal estándar.
Ejemplo 15
La estatura de una población es una variable aleatoria normalmente distribuida con media 172.2
cm y desviación estándar 6.35 cm. Se desea seleccionar una muestra al azar de 200 personas. Cuantas
de ellas se espera que midan:
a.
b.
c.
d.
e.
Entre 170 y 172 cm
Más de 177.8 cm
Menos de 150 cm
Al menos 120 cm
Más de 200 o menos de 120 cm
Solución:
a. P(170 < X < 172) = P(X < 172) - P(X < 170) = 0.48803 - 0.36693 = 0.1211
P(X < 172) = P(Z <
172-172 2
= -0.0314) = 0.48803
6.35
P(X < 170) = P(Z <
170-172 2
— = -0.3464) - 0.36693
6.35
b. P(X > 178) = 1 - P(X < 178) = 1 - 0.81859 = 0.18141
P(X < 178) = P(Z <
178 — 1111
— = 0.913385 = 0.81859
6.35
150-172 2
c. P(X < 150) = P(Z < —
— = -3.4960) = 0.00029
6.35
d. P(X > 120) = 1 - P(X < 120) = 1
P(X < 120) = P(Z <
98
120-172 2
— = -8.2204) = 0.0000
6.35
e. P{(X < 145)|J(X > 180)} = 1 -P(145 < X < 180) = 1-0.88877 = 0.11123
P(145 < X < 180) = P(X < 180) - P(X < 145) =
P(Z < 1.228) - P(Z < -4.283) = 0.88877 - 0.0 = 0.88877
La interpretación de estos resultados se acostumbra a hacer tal como se ha efectuado con una
medida de probabilidad, así se tiene:
a. El 12.1% de la población tiene estaturas entre 170 y 172 centímetros.
b. La probabilidad de que una persona tenga estatura mayor a 177.8 centímetros es 0.81859.
c. El porcentaje de personas con estaturas menores a 150 centímetros tiende a cero.
d. Toda la población ohjeto de estudio supera los 120 centímetros de estatura.
e. El 11.1% de los elementos de la población tienen estaturas de máximo 145 centímetros, ó al
menos de 180 centímetros.
2.3 Aproximación Binomial a la Normal
La distribución normal es para la distribución Binomial un límite al cual tiende cuando n es
grande y se va normalizando mas rápidamente cuando P, probabilidad del resultado A, es cercano a
0.5, facilitando enormemente el trabajo del cálculo de probabilidades para una variable aleatoria discreta
con distribución Binomial al tomarse como si tal característica fuera continua. Para hacer esta aplicación
es necesario corregir el cálculo del resultado probabilístico que se debe hallar por ser precisamente
discreta la variable, así tenemos:
Sea X~B(n, P ) => Lim P(X < a) = P(Y < a + 0.5) = P(Z < ( V °n p' 5 )1" p = z)
n —» oo
V ( ~ )
ó también
Lim P(X > a) = P(Y > a — 0.5) = P(Z > ( a " °' S ) ~ ^ = z)
=> Lim P(a<X<b) = P(a-0.5<Y<b + 0.5) = P( ( a , ° - 5 )
n —>oo
V ^ - P )
= z,1 < Z < ° "n p5
V
)
" P = z0)
(1-p)
siendo Y « n ( f i , a 2 ) ^ Z = - = L = S E = « n(0,1)
Vnp(l-p)
Ejemplo
16
Sea una variable X con distribución Binomial de parámetros n=5 y P=0.4. A pesar de que n es
pequeño se evidencia ya la aproximación normal. Observen las gráficas y la corrección por continuidad
que se debe hacer.
99
X
P(X=x)
0
1
2
3
4
5
TOTAL
0,08
0,26
0,35
0,23
0,08
0,01
1,00
a - 0,5<Y<b+ 0,5
- 0,5 - 0,5
0,5 - 1,5
1,5 - 2,5
2,5 - 3,5
3,5 - 4,5
4,5 - 5,5
TOTAL
APROXIMACION NORMAL DE LA
BINOMIAL n = 5, P = 0 . 4
DISTRIBUCION BINOMIAL
n=5, P=0.4
40,0
40,0
- 30,0
fi
X
d. 20,0 o
o
10,0 0,0 -
ll
X
'
B.
20,0 -
2 io,o
1
rl
P(a- 0,5 < Y < b+ 0,5)
7,5
24,1
35,6
24,1
7,5
1,1
100,0
0,0
•0,5 • 0,5
'
0,5 - 1,5 1,5 - 2,5 2,5 • 3,5 3,5 • 4,5 4,5 - 5,5
VALORES DE Y
VALORES DE X
2.4 Distribución Beta
Sea v|/ un fenómeno aleatorio y X una variable aleatoria que puede representar una característica
física cuyos valores se encuentran restringidos a un intervalo de longitud finita. Tales como:
-
Proporción de impurezas en un producto químico.
La fracción de tiempo que una máquina está en reparación.
-
La proporción vendida de un lote durante un tiempo t.
-
La humedad relativa medida en cierto lugar.
-
Porcentaje del costo total destinado a reparación de maquinaria.
-
Porcentaje de costo adicional destinado a reparación de maquinaria.
-
La distribución del tiempo necesario para completar una fase del proyecto PERT.
-
Evaluación de programas y técnicas de revisión.
-
Tasas de participación de la fuerza laboral.
La función de densidad de X está dada por:
gx(x)
= ^7^T
x a
B(a,P)
"
1
a-
x
)
P
"
1
B ( a , P ) = j¡ x a - 1 ( l - x ) P - 1 d x =
100
0<X<1
r(q)r(P)
r ( a + P)
a,p>0
R<T) = F
, t - l „-x
e dx t > 0
E(X) =
a
ap
=
V(X) = 2
(a + P) (a + P + l)
a +p
ct
00
r ( a ) = ¡ xa~lexdx
; r ( 1/2) = VÑ
o
sí a es un número entero positivo
AYUDA.
r(g)=(a-l)!;r(a+l)^ar(a);r(a+l/2)=(a-l/2Xa-3/2><..„..x(l/2)N/ r 7t
NOTACION
X~B(a,P)
La variable aleatoria X sigue el modelo
jrobabilístico Beta con parámetros a y p.
DISTRIBUCION BETA
NOTA 1. Obsérvese en el gráfico algunas
ormas del modelo Beta con parámetros: a = 0.5 y
3=1, a = 2 y P = 3 , a= 3 y P=3, a= 5 y P=3, a = l
i P=0.5, a = 1 y p=l.
E/emp/o 17
0.2
0.4
0.6
0.8
1 X
La proporción de tramos de una autopista que requieren repararse anualmente, es una variable
ileatoria con distribución Beta de parámetros a= 3 y P=2.
a. En promedio que porcentaje de tramos requieren anualmente y con qué variación.
|j. = —— = 0.6
2+3
V(X)=cr 2 =
^
= —-— = 0.04 => a = 0.2
(3 + 2) (3 + 2 + 1) 25x6
b. Calcular la probabilidad de que a lo sumo la mitad de los tramos de la autopista requieren
reparación, en un año cualquiera.
Siendo
Tí 5)
4' i
i2
g x (x) = — — — x 2 V(1 - x) = — x 2V(1 - x)
; = L2x (1 - x)
' T(3)r(2)
' 2!1!
5
0<x<l
5
P(X<0.5) = J0° g x ( x ) D X = J0°' 1 2 x 2 ( l - x ) d x = 0.3125
NOTA 2. Caracterización de la forma de la función de densidad del modelo Beta a, P le dan la
101
forma a la curva así:
a
<
1, ß < 1
la forma es de U (u)
a
<
1,P> 1
la forma es de jota traspuesta
a
> 1,P< 1
la forma es de J (jota)
a
>
1,P> 1
existe un pico en X = (a - 1) / (a + p - 2)= Md
a
=
ß
la distribución es simétrica
a
=
P=1
corresponde a la distribución uniforme en el intervalo (0, 1)
a
<
ß
la distribución tiene sesgo positivo
a
>
ß
la distribución tiene sesgo negativo
NOTA 3.
Si X = 1 - X se obtiene la relación de simetría g(x, a , P) = g(l- x, p, a )
y F x (x, a , P) = 1 - F x (1 - x, p, a)
NOTA 4
F x (x) =
| " t a _ 1 (1 - t) p_1 dt
0 < x < 1 es llamada beta incompleta
Ejemplo 18
La competencia en el mercado de una compañía de computadores varía mensualmente de manera
aleatoria de acuerdo con una distribución Beta (a = 10, p= 6)
a. Graficar la función de densidad.
b. Encontrar (j. y cr e interpretar.
c. Obtener la probabilidad de que la competencia en el mercado sea:
i. Menor que la media.
ii. Esté alejado en una desviación estándar del valor esperado de X.
iii. Esté a dos desviaciones estándar de la media.
102
Calcular
d.
P(0.507<X< 0.7424
e.
P(0.3902<X< 0.8598
Solución:
a.
b.
DISTRIBUCION BETA
AlfvBttk
u = ——— = 0.625
10 + 6
V(X) = a 2
10,6
10x6
g(*)
(10 + 6)2 (6 + 10+1)
= 0.01378
a = 0.1174
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
El porcentaje esperado del mercado de la competencia es de 62.5 % y la desviación respecto a
éste valor es de 11.74 %.
c.
P(X < p) = P(X < 0.625) = j0°-625 g x (x) dx
=r2
JO
5
3 0 0 30 x 9 ( l - x ) 5 dx
8 xx ( x ) =
r(16)
F(10) F(6)
x9(l-x)5
15! 9
x ( l - x ) 5 = 30030 x 9 ( l - x ) 5
9 ! 5!
= 0.4826
La probabilidad de que la competencia en el mercado posea un porcentaje menor que el promedio
es de 0.4826.
0.7424
Í
3 507
0.7424
_
ru./4Z4
Q
g x ( x ) d x = J0 507 30030 * x 9 ( l - x ) 5 d x = 0.6691
La probabilidad de que la competencia tenga entre el 50.76% y el 74.24% del mercado es de
0.6691.
P(0.3902<X
<0.8598)=
V
7
(•0.8598
f0.8598
,
Q
30030 * x 9V( l - x )7 5 d x = 0.9595
6gXxV( x ) d x =
JO.3902
^
JO.3902
103
2.5 Distribución Exponencial
Sea un fenómeno aleatorio con las siguientes características:
1. X es variable aleatoria que señala el tiempo transcurrido entre dos sucesos de la misma
naturaleza, ó indica el tamaño de una región del espacio.
/.c
2.
>x
x>0
gx(*) =
en otro caso
3.
M xx (wt ) = f V ^ e - ^ d x ^ r
Jo
Jo
4.
M' x (t = 0) = l/A, = E(X)
5.
M" (t = 0) = 2/A,2 = E ( X 2 )
6.
V(X) = 2 / A 2 - l / A 2 = l / A 2 = c 2
7.
F x (x) = l - e " X x
ex(t^dx = X * - ^ =—
X-t
X-t
t<X
8. Existe relación de éste fenómeno con el Poisson ya que los 2 sucesos mencionados en la
variable exponencial son del tipo Poisson. Por lo tanto X es el mismo parámetro en las dos
distribuciones.
9.
La distribución exponencial no tiene memoria, es decir, los eventos precedentes o futuros no
dependen de los ocurridos en el pasado: P(X > k + S/X > S) = P(X > k) S<k
10. Tiene utilidad en el modelamiento de la duración de componentes, teoría de colas, etc.
11. Para x > a, la función de densidad se presenta como: g x (x)= Á,e "X(x"a). Algunos autores la
llaman exponencial trasladada.
Mas adelante se comparan gráficamente las dos funciones de densidad.
104
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
x>0
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
x>20
0.06
0.06
0.05
0.05
Lambda
17
0.04
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
20
40
60
SO
100
•
•¡lili
1
20
40
60
SO
100
120
X
X
NOTACION. X ~ Ex(k)
Léase la variable aleatoria X tiene distribución exponencial con parámetro X .
NOTA 1. Si X ~ P(A,), X es el valor esperado en un periodo de tiempo t y es proporcional al
intervalo, entonces la variable aleatoria T indica el tiempo desde que empieza el proceso de observación
hasta que ocurre un suceso Poisson. Por lo tanto, P(X = 0) = e Xt = P(T > t), es decir, la probabilidad de
que no ocurra un suceso Poisson en el intervalo t es equivalente a la probabilidad de que el tiempo de
observación requerido para que suceda un evento Poisson es mayor que t. Entonces,
P(T < t) = 1 -e~u = FT(t)
t>0.
Por lo tanto, la primera derivada F' T (t)=
gT(t) es la función de densidad de T, en la cual se
tiene el mismo parámetro X de la distribución Poisson.
Ejemplo 19
Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 por minuto. Halle la probabilidad de
que transcurran:
a. Por lo menos 3' después de la llegada del último cliente y el próximo.
b. Entre 2'y 4'.
c. A lo más 2 '.
d. Máximo 3', sabiendo que el penúltimo y el último llegaron con una diferencia de 2' cono
mínimo.
e. Más de tres minutos, sabiendo que han transcurrido al menos dos minutos.
Solución: Se definen las variables aleatorias:
105
Y: indica el número de personas que llegan al supermercado por minuto. Y~P (X= ])
X: describe el tiempo (en minutos) transcurrido entre la llegada de dos clientes.
X~Ex(A.= l)
a. P(X > 3) =1- F x (3) = e"3 x 1 = n 049 = 0.05
b. P(2 < X < 4) = e"2 - e"4 = 0.117
c. P(X< 2 ) = l-e"2 = 0.865
d.
P(X.3/X>2)
=P ^ X ^
v
'
P(X>2)
=^=0.6334
0.135
P(X > 1) = e"1
e. P(X > 3 / X > 2) =
=0.368
2.6 Distribución G a m a
Una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio tiene una distribución GAMMA si
se caracteriza por las siguientes propiedades:
DISTRIBUCION GAMMA
1 A<axa-le-^x x > 0 a A > 0
0.5
r
(
a)
I.gx00 =
0.4
Fottìi a t Escala
enotrocaso
o
1,1
g(x)I
A
/\
0.3
Algunas alternativas de funciones de
densidad se pueden ver en la gráfica del lado
derecho. Siendo los parámetros de forma (a) y
escala (A,) respectivamente: a = l , A,=l; a=2,
A,=l; a=7, A,= l.
0.2
0.1
0
I
i
••
K
> r v
-Si a < 1, jota transpuesta.
-Si a > 1, tiene un pico en
2.
MY(t)=íaetx
X
JU
A«
r(a)
' -À,ax
r(a)
ra í
Jo
X = ( a - 1) / A.=Md
U
U-tJ
e
dx
=
|«xa-le-x(.-t)dx
r(a)
^
~
du
u=x(À-t)
Ar-t
du=dx(A-t)
f
y,
^
f u^e-du =
X-t
( ^ - t ) a r ( a ) -0
106
Xa
vx
r(a) =
r(a)
'
X
— 7,1
i
12
En general, la forma de la distribución es:
— 2,1
15
X
a
=> M'(t=0)= —= E(x)
4. M"(t) = -aAa [(a +1) {X - t) a (-1)] / (X - t) 2(a+1) = a(a +
=> M " ( t = 0) = a ( a +1) Xa /
Xa+2 = a ( a + 1) /
ia+2
\)Xa/(X-t)
X2
5. V(X) =
NOTACION. X~G(a,X)
La variable aleatoria X tiene distribución Gamma con parámetros a y X.
NOTA 1. La distribución Gamma es llamada Distribución de Erlang con parámetros a, X, siendo
a un entero positivo. En éste caso la función es también conocida como Gamma Incompleta.
NOTA 2. La distribución Gamma también se denomina distribución PEARSON TIPO III.
NOTA 3. Sí X ~ G ( l , r ) - > X ~ E x (*-)
NOTA 4. Si X es un entero positivo existe una relación con la distribución Poisson, la función
de distribución se expresa por
F t (t) = 1 - P(T > t) = 1 - P
l-P(X<?I)
(menos de X ocurrencias de A suceden en (0, t)
X: número de sucesos A en (0, t)
x >0
x=0
T: Tiempo necesario para observar X ocurrencias de A.
NOTA 5. Otra presentación de la función de densidad del modelo Gamma es:
l _ x a -a l £ - xx // pP x > 0 a > p > 0
•X 'e
x>0 a,P> 0
gx(x)=p r(a)
0
en otro caso
a
E(X) = a p
V(X) = a p 2 ; es decir X = p-i
107
El modelo Gamma se ha utilizado frecuentemente en variables tales como:
- El tiempo (ó espacio) requerido para observar a ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó
región del espacio), sucesos del tipo Poisson.
- Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900.
- Flujos máximos, MARKOVIC, 1965.
- Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965.
- Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB, 1940.
- Tiempo de falla de un sistema de a componentes, cada uno falla con frecuencia X.
- Ingresos familiares.
- Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez.
- Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a cabo en a subestaciones a una
frecuencia X.
Ejemplo 20
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos
ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener
la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo:
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas.
Y: Número de ciclos /100 horas
Y ~ ?{X=2) E(Y) = 2
Y': Número de ciclos / hora
Y' ~ P(A=0.02) E(Y') = 0.02 = X
X ~ G(2, 0.02)
a. P(U-CT<X<U +CT)= P(29.29<X<170.71)=:"; ' ' —
'
p = - = ^ - = 100
X 0.02
o 2 — f———1 =5000
v0.02 J
J29.29
* x * e - ° 0 2 x dx = 0.73752
a = 70.71
,0-
b. P (X > p + 2CT ) = P (X > 241.42) = 0.0466
Ejemplo 27
En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede
considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros a = 3 y X= 0.5.
108
La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora
¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea:
a. Insuficiente en un día cualquiera?.
b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora?
c. Encuentre E(x) y V(x).
Solución:
a. P(X>10) = 1 - P ( X < 1 0 ) = 1
— { o °(0.5) 3 x 2 e-°- 5x dx = 0.124652
r(3)
3
b
P(3 < X < 8) - — * J1r? x2e-°-5x dx = 0.571
T(3)
c. E ( X ) = — =6
0.5
V(X)=—^r=12=i>ü=3.46
0.5^
2.7 Distribución Weibull
Fue establecida por el físico suizo Weibull quien demostró que el esfuerzo al que se someten los
materiales puede modelarse de manera adecuada mediante el empleo de esta distribución. También se
ha usado para modelar situaciones del tipo tiempo- falla, ó bien puede indicar la vida útil de cierto
artículo, planta o animal, confiabilidad de un componente.
Se dice que X es una variable aleatoria con distribución Weibull sí:
1. Su función de densidad es de la forma:
x > 0, a, X >: 0
x, c x - l e
a : parámetro de forma
X: parámetro de escala
::
Si a < 1 la forma es de jota traspuesta.
Q
3
<
Si a > 1 la forma incluye un pico único,
p 2
la moda, en:
53
¡z;
« 1,
Q
a-1
x=
o
orX^
gx(x)
= aX~
-
DISTRIBUCION WEIBULL
A
/
\
L
FORMA Y ESCALA :
.... 1
1
- - 0,5 1
— 2,8 0,8
:
— 5 0,5
:
Si a = 1 => X~ Ex (A)
Obsérvense al lado las gráficas de algunas de las formas que adquiere la distribución.
109
2.
F x (x) = l - e ^ x ) a
x>O
3. E(X)=A lr
V ay
4
v(x)=\
. í ^
Nr
p
i+- - r 11+-
1 v
NOTACION.
a
«.
X ~ W(a, A,)
La variable aleatoria X tiene distribución Weibull con parámetros a y X.
NOTA 1. Otras presentaciones de la función de densidad del modelo Weibull son:
g Y (y) = a - y a " '
e
E(Y):
1
A
W
y>0
a, 0 > 0
Y ~ W (a, 0)
f . \~2/a
V(Y):
n i+-a J
1
g T (t) = a — t a 4
E(T) .-= ©r
v
—— y
e9
ay
-ít;"
e{Qj
t > 0;
i i
0J
a,0>O
V(T) = 0 / <¡r| 1 + i
a
H-r2[1
a J
l
1+
-r
+
i
a.
T~W(a,0)
L +
v
I
ay
Ejemplo 22
Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que tiene distribución
Weibull con a = 0.5 y /.= 0.01. Calcular:
a. La vida media útil de ese artículo.
b. La variación de la vida útil.
/ c. La probabilidad de que el elemento dure más de 300 horas.
110
Solución:
a
E ( X ) = ^ r ( 3V ) = 200
0.01
'
b. V(X) =
r ( 1 + 2/0.5) - r 2 (3)J = 200000 = a 2 => a = 447.21
0.01
0.5 * 0.01o'5 x"0'5 e"(0 01 x r " =0.177
c. P(X > 300) = 1 - P(X < 300) = 1 -
2.8 Distribución Logaritmo Normal (Lognormal)
Ocurre en la práctica cada vez que existe una variable aleatoria X tal que su logaritmo natural es
una nueva variable aleatoria Y con distribución normal, entonces X sigue el modelo probabilístico
llamado logaritmo normal.
Sea la variable aleatoria X * n (|i x , CTx2) => Y=ln X x>0 =>Y~n (|i x , CTy2) X~Ln ((%, c>Y2)
La función de densidad de X se puede obtener teniendo en cuenta:
g x ( x ) = g Y (H- 1 (x))
d(H (X)
dX
Haciendo Y=ln X => H(X)=eY = X
(lnx-ny)
gx(x)::
2u y
=
Gy-J2 TI
,-j2n
XCT •
e
(lnx-^y)
2aY
H 1 (X)= lnX
x >0
ALGUNAS DISTRIBUCIONES LOGNORMAL
0,6
r\
i vi
i
'
\
/
i
0,5
0,4
*
i
i
0,3
x u,
00
0,2
0,1
:
0
•
1
MEEÍAYDESV.
- 0, 3
/
'.46, U./hj
á„2
b 12
¡
»
s
i — ^
i
k-
12
....
15
18
Se puede demostrar que:
111
UvH
E(X) = e
2
=Mx
V(X) = e^ Y+CTY
= 4
NOTACIÓN. Sea X ~ Ln (ji x , a Y 2 )
Se lee, la variable aleatoria X tiene distribución logaritmo normal (ó lognormal) con parámetros
Hx Y °y 2 •
NOTA 1. Las aplicaciones de la distribución logaritmo normal tienen que ver, entre otras con:
- Diámetro de partículas pequeñas después de un proceso de trituración.
- Tamaño de un organismo bajo la acción de pequeños impulsos.
- Duración de ciertos artículos.
- Ciertas resistencias sometidas a esfuerzos.
- Cuando la magnitud de las observaciones abarque varios ordenes de magnitud.
- El grado de acidez, PH, de una sustancia.
- Distribución del tamaño de las empresas en una industria
- Distribución de la renta en un país
Ejemplo 23
La ganancia de corriente, X, en ciertos transistores se mide en unidades iguales al logaritmo de
la relación de la corriente de salida con la de entrada (I0 /I¡ =X). Si este logaritmo, Y, es normalmente
distribuido con parámetros ¡J.y=2, y a Y 2 = 0.01, calcule:
a. La probabilidad de que la razón de las corrientes de salida y entrada se encuentre entre 6.1 y 8.2.
b. Valor esperado y varianza de la razón especificada.
Solución:
dx =0.8252
También es posible obtener el mismo resultado haciendo
f ln 6.2-2^1
P(6.1 < X < 8.2) = P(ln 6.1 < Y < ln8.2) = F z ^ l n 8 - 2 " 2 1 - F z í l n 6 - 2 " 2 '
V 0.1 J
0.1 )
= 0.85113 -0.027613=0.8252
b. E(X)=|^x=7.43, y V(X)= a Y 2 = 0.56 => a x = 74833
112
2.9 Distribución de Rayleigh
Sí X es una variable aleatoria con distribución Weibull de parámetros a = 2; X = l/JlQ
X tiene distribución de RAYLEIGH cuyas características son:
entonces
x"
1. g x ( x ) = ^ e
o
2. E(X)=
nn2
n1/2
-0
3. E(X 2 ) = 20 2
x>0
202
i
- 0
=>
2
0
X
e
2Ö
a
Describe por ejemplo:
-La amplitud de un campo electromagnético difundido por un gran numero de pequeños difusores.
-La amplitud del ruido en un receptor con modulación de amplitud cuando no hay señal.
NOTACION. X~R(0)
Se lee X tiene distribución Rayleigh con parámetro 0
Ejemplo 24
La amplitud de una señal de radar retrodifundida desde la superficie del mar sigue la distribución
R ( 0 = l / V 2 ). Encontrar el valor de la amplitud mínima x 0 y que ocurre el 1% de las veces.
P(X > x 0 ) = 0.01 => P ( X < x 0 ) = 0.99 = e"( x ° ^
de donde
x 0 = 0.0100503
2.10 Distribución de Cauchy
Una variable aleatoria X con función de densidad
113
NOTACIÓN.
X ~ C (a, p)
Se lee: La variable aleatoria X tiene distribución de Cauchy con parámetros a, p.
-
Algunas formas de la distribución Cauchy aparecen en la figura anterior, con parámetros
(a, P)=(-3, 1), (a, P)=(0, 1.5), (a, p)=(3, 1).
-
Aunque es simétrica alrededor de a (Moda y Mediana a la vez), su valor esperado no existe,
así como algunos momentos de orden alto.
f
La función de distribución se denota por F x (x) = — + — are tan g
2 7T
x-a
\
Sí X ~ U(-7I, n) => X ~ C ( a = 0 , p = l )
2.11 Distribuciones Truncadas
En algunas ocasiones las variables aleatorias, asociadas a los modelos probabilísticos que se han
estudiado, toman valores que corresponden a una parte de los que usualmente se trabajan, ó bien se
delimitan a la izquierda ó a la derecha de los acostumbrados, y entonces se conocen dichas variables
como variables aleatorias truncadas y a sus distribuciones como truncadas.
Sea una variable aleatoria X con función de densidad g x (x) xeÁ, entonces:
•
Si X es truncada a la izquierda la identificamos como Y, tal que
g Y (y) = i ^
Y
[k g x ( x )
a: punto donde se da la truncación de X
y>a
k: constante que debe hallarse a partir de j gx (x) dx — 1
a
ó P(Y > a) = P(X >a) = 1 - P(X<a)
114
Si X es truncada a la derecha la identificamos como Y, tal que
gv(y) =
q
y>b
D:
k 8x ( x )
y
k: constante que debe hallarse a partir de [ gx[X)
^
P u n t o donde se da la truncación üe A
dx—\
NOTA 1. Si X es una variable aleatoria discreta, el valor de k se determina con base en:
X P(X = x) = 1.
Vx
Ejemplo 25
Suponga que X representa la duración de un componente y se distribuye normalmente con
parámetros valor esperado y varianza iguales a 4. Se entiende que la variable no toma valores
menores de cero, por lo tanto Y tendrá distribución truncada a la izquierda. Para encontrar la
densidad de Y se tiene:
00
00
| gx(x)dx=\=j
kgx{x)dx=kF(X>Q)=l{\
/1A
x)]=£(l-^Z<-l))=0.977£^/t=l/0.977
Por lo tanto
gv(y)
:
O
y<O
g
y>O
*(X)
0.977
Ejemplo 26
Un sistema esta formado por n componentes que funcionan independientemente, cada uno con
igual probabilidad P de funcionar correctamente. Cada vez que el sistema funciona mal se inspecciona
a fin de establecer cuantos y cuales son los componentes que fallan.
Si se define la variable aleatoria X como el número de componentes que no funcionan de los n,
entonces X se distribuye probabilísticamente según el modelo Binomial con parámetros n y
(1 - P=Q). Teniendo en cuenta que el sistema se inspecciona cuando funciona mal entonces se define
la variable Y como el número de los componentes que fallaron en el ^ístema descompuesto, la función
de probabilidad de Y, equivale a la de X pero truncada en cero, se encuentra:
ÍO
FY(y) =
kfx(x)
y<0
0<y<n
115
Para determinar k se hace
I
y=l
P(Y = y) = l = k X P(X = x ) - P ( X = 0)
x=0
1 — P11
3. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un test de elección múltiple de cuatro respuestas, una de las cuales es buena, tiene 50 preguntas.
Suponiendo que un estudiante conteste sin pensar y responda todas las preguntas.
a.
b.
c.
¿Cuál es la probabilidad de que conteste 30 o más preguntas buenas?
¿Conteste las necesarias para pasar el examen?
Sí el instructor decide que no considerará ninguna calificación como aprobado, al menos
que la probabilidad de alcanzar o sobrepasar dicha calificación contestando sin pensar sea
menor que 0.01. ¿Cuál es esa calificación?
2. Un interruptor eléctrico tiene vida útil según la distribución exponencial, dura en promedio 2
años. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos 30 en el primer año, si se instalan en
diferentes sistemas: a. 50 interruptores, b. 100 interruptores, c. 150 interruptores.
3. Si el 0.8% de los fusibles depositados en un lote están defectuosos.
a.
b.
c.
¿Cuál es la probabilidad de que 4 fusibles estén defectuosos en una muestra aleatoria de 400.
Encuentre la mediana de la variable aleatoria.
¿Cuál es la función generadora de momentos, el valor esperado y la varianza de ésta
distribución.
4. El conmutador de una oficina recibe un promedio de 0.6 llamadas por minuto. Determine la
probabilidad de que:
a.
b.
c.
En un minuto cualquiera ocurra al menos una llamada
En un intervalo de 15 minutos sucedan al menos 3 llamadas.
Se observen entre 6 y 10 llamadas por hora.
5. En la antigüedad, al perforar cada uno de los 80 caracteres de una tarjeta de un computador se
podía cometer un error con probabilidad P, calcular la probabilidad de que al perforar todos los
caracteres.
a.
b.
c.
d.
116
La tarjeta quede mal perforada.
La tarjeta quede bien perforada.
Se cometan entre 5 y 9 errores en 25 perforaciones realizadas.
Ocurra el primer error en la perforación 12.
6. La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es 18 por 1.000.
a.
b.
c.
d.
¿Cuál es la probabilidad de que 5 mueran de esta enfermedad de un grupo de 500?
Encontrar el valor esperado y la varianza de la variable.
Encuentre la probabilidad de que mueran 10 de un grupo de 1.000.
Encuentre el número de muertes que pueden ocurrir como máximo en el 95% de los casos.
7. Un fabricante de bombillas eléctricas ha encontrado que en promedio, un 2% son deíectuosas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en 1000 bombillas seleccionadas al azar se encuentren 15
o más defectuosas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren entre 15 y 25 deíectuosas'/
c. ¿Cuál es la desviación estándar y el coeficiente de variación?
8. General Equipement Manufacturing asume que una de sus laminadoras están produciendo láminas
de aluminio de varios gruesos. La máquina por lo general produce láminas de entre 75 y 150
milímetros de grueso. Se sabe que esta variable aleatoria tiene una distribución uniforme.
Las láminas de menos de 100 milímetros de grueso no son aceptables para los compradores y
se desperdician.
a. Encuentre el grosor promedio de las láminas de aluminio que produce esta máquina.
b. ¿Cuál es la variación estándar en el grosor de las láminas que produce esta máquina?
c. Averigüe la probabilidad de que una lámina producida por esta máquina tenga que
desperdiciarse.
9. El operario de una estación de bombeo ha observado que la demanda de agua durante las primeras
horas de la tarde tiene aproximadamente una distribución exponencial con una media de 100 pies
cúbicos por segundo (pcs).
a. Calcule la probabilidad de que la demanda exceda los 200 pcs durante las primeras horas déla
tarde para un día seleccionado al azar.
b. ¿Cuál tendría que ser la capacidad de bombeo de la estación durante las primeras horas de la
tarde a fin de que la demanda sea mayor a la capacidad de bombeo con una probabilidad de
solamente 0.01?
10. Los tiempos de respuesta en una terminal en línea para cierta computadora, tienen aproximadamente
una distribución gamma, con una media de 4 segundos, y varianza de 8
a. Obtenga la función de densidad de probabilidad para los tiempos de respuesta.
b. Utilice el teorema de Tchebycheff para obtener un intervalo que contiene por lo menos 75% de
los tiempos de respuesta.
c. Repita b. Usando la distribución Gamma.
11. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenamiento que contiene una
cantidad fija de gasolina y que se llenan cada lunes. La proporción de esta reserva que se vende
durante la semana es de sumo interés para el distribuidor, mediante observaciones durante muchas
117
semanas encontró que podría representar el modelo de esta proporción mediante una distribución
beta con a=4 y p=2.
a.
b.
c.
Encuentre la probabilidad de que el mayorista venda al menos 90% de su reserva durante una
semana dada.
Determine la media, la mediana, la moda y la varianza de la variable aleatoria.
Debe garantizar su abastecimiento en el momento de tener no menos del 5% de su reserva,
¿Con que probabilidad pondrá en peligro su negocio?
12. Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tienen un entrenamiento
avanzado en programación computacional. Los aspirantes son entrevistados uno tras otro, y son
seleccionados al azar del conjunto de aspirantes.
a.
b.
c.
Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento
avanzado en programación en la quinta entrevista.
¿Cuál es el número esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar el
primero con un entrenamiento avanzado?
Sí se toma una muestra aleatoria de 20 aspirantes, ¿cuál es la probabilidad de que al
menos 12 no tengan entrenamiento avanzado en programación computacional?.
13. El 10% de las máquinas producidas en una línea de montaje resultan defectuosas.
a.
b.
c.
¿Cuál es la probabilidad de encontrar la primera máquina defectuosa en la segunda prueba,
si se seleccionan las máquinas aleatoriamente, una por una para probarlas?
¿Cuál es la probabilidad de encontrar la tercera máquina en buen estado en:
i. La quinta prueba?
ii. La quinta prueba o antes?
Obtenga la varianza y la media del número de pruebas en la cual se encuentra:
i. La primera máquina en buenas condiciones.
ii. La tercera en buen estado.
14. Las resistencias que se utilizan en la construcción del sistema guía de un avión, tienen una duración
que sigue una distribución Weibull con a=2 y A=0.1, medidos en miles de horas.
a.
b.
c.
Encontrar la probabilidad de que una resistencia de este tipo seleccionada aleatoriamente
tenga una duración mayor que 5000 horas.
Determine las duraciones entre las cuales esta el 90% de resistencias, con la restricción de
que sean no mayores al 3% de las duraciones más altas.
Sí tres resistencias de este tipo operan independientemente, calcular la probabilidad de que
exactamente una de las tres se queme antes de 5000 horas de uso.
15. Un dispositivo electrónico de conmutación ocasionalmente funciona mal con probabilidad 0.05
y puede ser necesario reemplazarlo. Se elabora un plan de chequeo que consiste en: Seleccionar
10 períodos de tiempo de longitud T aleatoriamente.
Reemplazar el dispositivo si se observan exactamente 3 periodos en los cuales falla.
118