4. estudio del riesgo de ocurrencia de un siniestro utilizando el

Estudio del riesgo de ocurrencia de un siniestro utilizando el análisis de componentes principales funcionales
ESTUDIO DEL RIESGO DE OCURRENCIA DE UN
SINIESTRO UTILIZANDO EL ANÁLISIS DE COMPONENTES
PRINCIPALES FUNCIONALES
Mª Manuela Segovia González
Flor Mª Guerrero Casas
Patricia Herranz Peinado
Departamento de Economía, Métodos Cuantitativos e Historia Económica
Universidad Pablo de Olavide
Sevilla
RESUMEN
En los últimos años en numerosos congresos y reuniones estadísticas se ha venido
tratando el problema de qué ocurre cuando el análisis de los datos se lleva a cabo desde una
perspectiva funcional. Lo que en principio parecía la extensión de unas técnicas ya existentes,
como el análisis multivariante, se ha convertido en una forma diferente de abordar el análisis de
datos. En la presente ponencia tratamos de dar respuesta a dos grandes cuestiones que
constituyen nuestros objetivos. Por una parte, establecer el procedimiento para aplicar e
interpretar el análisis de componentes principales funcionales (ACPF), y por otra, definir
perfiles de comportamiento de los asegurados del automóvil para ofrecer a las compañías
aseguradoras una forma de seleccionar su cartera de clientes. En las áreas de conocimiento
aplicadas, la interpretación de los resultados al utilizar una técnica concreta es de suma
importancia, en particular, interpretar las componentes principales en el caso funcional
utilizando la función de correlación es de gran interés. De hecho, actualmente las
interpretaciones dadas en determinadas aplicaciones no se sustentan en técnicas estadísticas que
den objetividad a las mismas.
Palabras clave: análisis de componentes principales funcionales, seguro del automóvil,
función de correlación.
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Segovia, M. M., Guerrero, F. M., Herranz, P.
1. INTRODUCCIÓN
En los últimos años se está tratando el problema de qué ocurre cuando el análisis de los
datos se lleva a cabo desde una perspectiva funcional. Ramsay y Dalzell (1991) denominaron a
este tipo de planteamiento análisis de datos funcionales (ADF). En el ADF, las observaciones
para cada individuo no consisten en conocer una serie de variables, con la consiguiente
disposición de la información como un vector p dimensional, sino que los valores de que
disponemos son una o varias funciones. Esta nueva perspectiva está siendo desarrollada en la
actualidad, por lo que no son muchos los estudios de situaciones reales empleando dichas
técnicas funcionales.
Se considerará que tratamos con una serie de datos funcionales cuando la observación
que tengamos de cada individuo sea una función, o al menos pretendamos tenerla. El interés de
hacer este tipo de planteamientos radica en que nuestro problema se describiría de forma más
real. Un caso muy frecuente es aquel en el que tenemos observaciones medidas a lo largo del
tiempo, aunque en principio dispongamos solo de un número discreto de momentos observados
para cada individuo; en esta situación nos interesará conocer lo que le ocurre en cualquier
instante. Desde una perspectiva general, el desarrollo teórico del problema lo podemos ver en
Ramsay y Silverman (1997) y, más recientemente, en Valderrama et al. (2000). Pero tales
técnicas adquirirán importancia en tanto en cuanto se puedan aplicar a datos reales. Sin
embargo, en Economía existen muy pocas aplicaciones que utilicen esta perspectiva funcional,
aunque cabe destacar un estudio para el análisis de la evolución de los índices mensuales de
producción de bienes perecederos, representando las observaciones discretas de un proceso
continuo por medio de una ecuación diferencial ordinaria. Dicha
aproximación difiere significativamente de los análisis convencionales de las series temporales
(Ramsay y Ramsey, 2002). Asimismo, en Aguilera et al. (1999) se realiza una aplicación en el
campo financiero mediante el estudio de la cotización del sector bancario en la bolsa de Madrid,
prediciendo la rentabilidad de los títulos de dicho sector.
Realizaremos un estudio empírico en el sector del automóvil utilizando una de las
técnicas del ADF: el análisis en componentes principales funcionales (ACPF). Como una de las
aportaciones de este trabajo, introducimos una nueva forma de interpretar los problemas en los
que se aplica el ACPF, haciendo uso de la función de correlación del proceso estudiado y cada
una de las componentes principales obtenidas. Hasta ahora, los trabajos encontrados en la
literatura obtienen las componentes principales, pero no hacen uso de esta función de
correlación para explicar mejor lo que está ocurriendo en el problema que plantean. Las
interpretaciones que suelen hacer de los resultados obtenidos muchas veces no parecen estar
completamente justificadas, por lo que no está resuelto el problema de la interpretación de los
resultados que se obtienen al aplicar dicha técnica. La aplicación del ACPF puede aportar
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muchas mejoras en el campo empresarial, pues cuando se realizan trabajos en este sector
generalmente nos encontramos con un gran volumen de datos y de variables que discurren a lo
largo del tiempo.
2. DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA ORIGINAL
Hemos de destacar que es muy complejo, dadas las restricciones a que obliga la
Ley Orgánica de Protección de Datos, obtener información acerca de los asegurados.
No obstante, una compañía de seguros con una amplia implantación a nivel nacional, ha
tenido a bien cedernos una base de datos.
2.1. Restricciones realizadas a la muestra
La información cedida por la entidad aseguradora se encuentra en una base de datos
Microsoft Access y corresponde al período comprendido desde el 1 de enero de 2001 al 31 de
diciembre de 2002. Se dispone de 271.800 asegurados y de 88.337 siniestros.
Nos restringiremos a los individuos asegurados en dicho período que:
•
Conduzcan un vehículo de tipo turismo y cuyo uso sea particular. El motivo
por el que realizamos esta restricción en nuestro estudio es debido a que si
considerásemos otro tipo de vehículos como es el caso de camiones, motos,
taxis, etc., se podrían distorsionar los resultados. Los profesionales que
trabajan con su vehículo lo usan más y, por tanto, están más expuestos al
riesgo; si no tuviéramos en cuenta estas restricciones el marco de estudio
englobaría a poblaciones muy heterogéneas respecto al comportamiento de
la siniestralidad, que será nuestro principal propósito en el análisis a
desarrollar.
•
La culpa sea directa o compartida, en el caso de haber tenido algún siniestro
en el período de estudio. Se tendrán en cuenta sólo los siniestros en los que
la culpa haya sido directamente del asegurado de la compañía estudiada, o
bien, compartida con el asegurado de otra entidad. Estamos interesados en
las características de los individuos responsables de un siniestro. Si
contabilizáramos los siniestros de una póliza en los que el asegurado no
tiene la responsabilidad, sino que ha sido el otro individuo implicado,
estaríamos falseando la información al no conocer las características del que
comete la falta, ya que la póliza pertenece a otra compañía.
También se ha llevado a cabo una exhaustiva depuración de los datos, excluyendo
registros que carecían de información en algunas de las variables de interés para nuestro estudio,
así como eliminando datos incongruentes como es el caso de individuos menores de 18 años y
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otros errores detectados. Una vez aplicadas las restricciones anteriores y depurados los datos
nos encontramos con 175.191 asegurados y 30.483 siniestros que serán el objeto de nuestro
estudio.
2.2. Estratificación de la muestra
Se realizará una estratificación de la muestra según el siguiente detalle: sexo, zona
geográfica y tipo de turismo.
•
La variable sexo se justifica por los previsibles diferentes comportamientos
entre los hombres y las mujeres a la hora de conducir.
•
La zona geográfica, ya que la climatología, la densidad de población y las
infraestructuras actúan como componentes importantes en los resultados
obtenidos. Se considerarán tres zonas distintas: la zona centro-norte
(Castilla-León, Castilla-La Mancha, Madrid, Aragón, La Rioja, Galicia,
Asturias, Cantabria, País Vasco y Navarra), la zona mediterránea (Cataluña,
Valencia, Murcia y Baleares) y la zona sur (Andalucía, Extremadura y
Canarias).
•
El tipo de turismo, distinguiendo entre gama baja y media-alta. Un coche de
gran tamaño y potencia puede provocar, a iguales circunstancias de
accidentes, mayores daños que uno pequeño. De la misma manera, también
serán mayores los gastos de reparación de los daños propios del vehículo.
En conversaciones con los técnicos de la compañía, nos han indicado que esta
estratificación es la que habitualmente realizan la mayoría de las compañías. En particular cada
una de ellas, además de tener en cuenta estas variables, consideran otras características. Así, al
lanzar al mercado un producto, cuanto más se ajuste a la realidad de los clientes mayor éxito
tendrá, en el sentido de que aportará mayores beneficios económicos para la compañía y de
satisfacción para el cliente.
2.3. Asignación de perfiles
Denominaremos perfil a un grupo de individuos que verifica una serie de características
comunes. En nuestro caso, los perfiles vendrán determinados por las variables sexo, zona
geográfica y tipo de turismo. Como resultado de esta estratificación, trabajaremos con 12 grupos
de individuos. En la Tabla 1 se muestran los distintos perfiles con los que vamos a trabajar,
incluyendo el número de siniestros y el número de asegurados en cada uno de ellos.
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Perfiles
Sexo
Gama del
Zona
turismo
geográfica
Siniestros
Asegurados
1
Mujer
Media-Alta
Sur
1.553
6.687
2
Mujer
Media-Alta
Centro-Norte
728
3.574
3
Mujer
Media-Alta
Mediterránea
443
2.604
4
Mujer
Baja
Sur
1.810
9.330
5
Mujer
Baja
Centro-Norte
865
5.134
6
Mujer
Baja
Mediterránea
516
3.658
7
Hombre
Media-Alta
Sur
8.799
43.709
8
Hombre
Media-Alta
Centro-Norte
3.985
22.286
9
Hombre
Media-Alta
Mediterránea
2.239
13.649
10
Hombre
Baja
Sur
5.646
35.794
11
Hombre
Baja
Centro-Norte
2.506
18.157
12
Hombre
Baja
Mediterránea
1.393
10.609
Tabla 1: Perfiles considerados en el estudio
En definitiva, tenemos 12 perfiles distintos y nuestro principal propósito es ver cómo se
comportan los siniestros en las distintas edades por las que va pasando el conductor.
Por tanto, estudiaremos el riesgo de ocurrencia de un siniestro en cada uno de los
perfiles y en cada una de las edades. Dicho riesgo lo definiremos como el cociente entre el
número de siniestros ocurridos en un perfil determinado a una edad determinada y el número
total de asegurados que tienen dicho perfil y dicha edad. Luego, en nuestro estudio, la variable
principal será el riesgo de ocurrencia de un siniestro del perfil i-ésimo en la edad t con i=1, ...,
12 y t = 25-, 25, 26, ...,70, 71, 71+. Los instantes de edades que tenemos van de los 18 a los 88
años; no obstante, al disponer de muy pocos asegurados menores de 25 y mayores de 71 años,
hemos decidido estudiar de forma agrupada ambos grupos de individuos (que se han denotado
con el valor 25- y 71+). Esto tiene como desventaja que el comportamiento de los asegurados
menores de veinticinco y mayores de setenta y uno no podrán estudiarse minuciosamente, sino
que únicamente tendremos el comportamiento global en estos tramos. En estudios posteriores,
pretendemos disponer de la información de un número mayor de asegurados, a pesar de ser esto
muy complicado de conseguir, ya que la mayoría de las compañías aseguradoras se muestran
reticentes a dar información de su cartera de clientes.
3. METODOLOGÍA UTILIZADA
Una vez realizada una exhaustiva depuración de estos datos y preparada la información
para su tratamiento, tuvimos que adaptar una serie de algoritmos desarrollados por Ramsay y
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Silverman1 , para poder así convertir los datos a la forma funcional y aplicar el ACPF a dichas
funciones. Asimismo, para interpretar y evaluar la bondad de dicha técnica formulamos unos
algoritmos utilizando el programa matemático MATLAB2, que como bien es sabido dispone de
un lenguaje de programación propio que nos permite trabajar con objetos orientados y por
consiguiente implementar las técnicas del análisis de datos funcionales3.
4. DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS FUNCIONALES
El primer paso en nuestro estudio es convertir los datos a la forma funcional. Queremos
trabajar con 12 funciones xi (t), con i=1, ..., 12 y t ∈ [t 0 ,t1 ] , siendo t0 todos los asegurados
menores de veinticinco años y t1 los mayores de setenta y un año. Para ello realizamos una
aproximación utilizando el criterio de mínimos cuadrados, de forma que minimicemos para el
perfil i-ésimo el valor de:
K

y
−
∑  ij ∑ cik φ ik ( t j
j =t 
k =1
t1
0

)

2
y tengamos, por tanto, que:
K
xi ( t ) = ∑ cik φ ik ( t j ), ∀i = 1,Λ ,12.
k =1
El procedimiento empleado ha sido el método de las funciones base4, es decir,
pretendemos representar la función a estimar como una combinación lineal de funciones base.
En el caso que nos ocupa, los datos no se comportan de manera estable, no detectándose ningún
tipo de periodicidad en ellos, por tanto la aproximación por medio de series de Fourier no es
adecuada. Necesitamos, pues, una gran flexibilidad para poder ajustar de forma apropiada los
datos. Por ello, hemos utilizado funciones base del tipo B-spline.
1
Los
programas
los
podemos
encontrar
en
la
siguiente
dirección:
\\ftp://ego.psych.mcgill.ca/pub/ramsay/FDAfuns/Matlab/.
2
MATLAB Copyright © 1984-2000. The MathWorks, Inc. Es el nombre abreviado de
‘MATriz LABoratory'.
3
4
Véase Ramsay (2003).
Para más información puede consultarse Ramsay y Silverman (1997), Kelly y Rice
(1990), Streng (1993), De Boor (1978), Reinsch (1967, 1970), Schumaker (1981) y Wahba
(1990), entre otros.
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A continuación, presentamos el gráfico de las aproximaciones de uno de los perfiles con
los que estamos realizando el estudio. Mostramos los datos originales y la curva que aproxima a
dichos datos (aproximación correspondiente al perfil 8 de la Tabla 1).
Figura 1: Riesgo de ocurrencia de un siniestro para el perfil octavo
5. APLICACIÓN DEL ANÁLISIS EN COMPONENTES PRINCIPALES
FUNCIONALES
5.1. Obtención de las autofunciones y las puntuaciones de las componentes
Como resultado de aplicar el ACPF a las funciones muestrales que hemos estimado
anteriormente, obtenemos una serie de autofunciones que nos permiten calcular las
componentes principales. En la práctica, lo que obtendremos son estimaciones, teniendo que la
h-ésima componente principal vendrá dada por:
ξˆ = ∫ t1 X̂ ( t ) f̂ ( t )dt , h = 1,2,3,4,Λ ,
h
t
h
0
donde X̂ ( t ) y f̂ h ( t ) son estimaciones de las curvas del proceso y de la autofunción h-ésima,
respectivamente. Además, para cada perfil podremos tener la puntuación en cada una de las
componentes. Se tiene, para la componente h-ésima, que las puntuaciones en cada uno de los
individuos considerados serán ξˆ h = ( ξˆ1h ,ξˆ 2 h ,Λ ,ξˆ12 h ) con:
ξˆ ih = ∫ t1 x̂i ( t ) f̂ ( t )dt , ∀i = 1,2 ,Λ ,12 ,
t
siendo
0
h
f̂ h ( t ) y x̂i ( t ) las estimaciones de la autofunción h-ésima
y de la función
correspondiente al perfil i-ésimo, respectivamente. Por la forma en que se plantea el problema
de optimización, se sabe que la primera componente principal será la que acumule la mayor
variabilidad del proceso original; seguidamente, estará la segunda componente principal, la
tercera y así sucesivamente.
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5.2. Elección del número óptimo de componentes principales
Cuando realizamos un ACPF, una de las cuestiones que nos surgen es la elección del
número óptimo de componentes. Se pretende poder explicar el proceso en estudio con un
número de componentes no muy elevado. El criterio que utilizaremos el criterio de porcentaje
de la varianza (Hair et al., 2000).
En nuestro caso, la primera componente explica el 70,19 %; la segunda, el 12,86 %; la
tercera, el 8.94 % y la cuarta, el 4.08 %. Luego, tomar tres o cuatro componentes podría ser
razonable, pues tendríamos explicado el 92 % o el 96 % de la variabilidad total del proceso,
respectivamente.
5.3. Interpretación de las componentes principales funcionales
Antes de interpretar las componentes principales funcionales que hemos obtenido,
tendremos que calcular una estimación de la función de correlación entre el proceso estimado y
cada una de las componentes principales funcionales; es decir, obtener la relación existente
entre las 12 curvas estimadas con cada una de las componentes principales computadas.
De forma general, consideraremos que existe una fuerte correlación si ésta es superior o
igual a 0,7, en valor absoluto. Este criterio solo es una interpretación sugerida, pues los
coeficientes de correlación son, en cierta medida, dependientes del objeto de estudio en
cuestión. En experimentos de laboratorio (biológicos o químicos) controlados cuidadosamente,
se puede esperar que los coeficientes de correlación sean bastante altos. Sin embargo, en
experimentos con seres humanos o en estudios de campo observacionales, habitualmente se
presentan coeficientes de correlación más bajos. Estos valores más bajos aún pueden ser
considerados altamente informativos por el experto en la materia. Dicho valor dependerá del
tipo de datos que estemos tratando (Hair et al., 2000).
La estimación de la función correlación entre el proceso y la componente h-ésima,
(h=1, 2, 3, 4) vendrá dada por:
r̂h ( t ) = r( X̂ ( t ),ξˆ h ) =
ρˆ h
σˆ ( t )
f̂ h ( t ),
siendo X̂ ( t ) la estimación de las curvas obtenidas para los distintos perfiles, ρ̂ h y f̂ h ( t ) el
autovalor y la autofunción estimada para la componente h-ésima, respectivamente, y σ̂ ( t )
denota la estimación de la desviación típica del proceso original.
Cuando existe una fuerte correlación positiva entre dos variables quiere decir que
conforme crece una de ellas, la otra también aumenta y conforme disminuye una, la otra
también decrece. Luego, en el rango de edad donde la correlación sea fuertemente positiva,
conforme aumente el valor de la variable ξ̂ h aumentará X̂ ( t ) . Con lo cual, un aumento de la
puntuación en la componente h-ésima supondrá un incremento en el riesgo de que ocurra un
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siniestro en el tramo de edad correspondiente. En caso contrario, si la correlación es fuertemente
negativa, tenemos que conforme aumenta una variable la otra disminuye y viceversa. En nuestro
estudio, conocemos cada una de las puntuaciones obtenidas en cada componente principal para
cada uno de los perfiles considerados, por tanto, podemos ordenar dichas puntuaciones,
teniendo con ello una ordenación de los 12 perfiles en función del valor que toman en cada una
de las componentes principales. Sabremos también los tramos de edad más correlacionados con
cada una de ellas, así como si la dependencia es directa o inversa. Por tanto, podremos dar una
ordenación de cada uno de los perfiles según su comportamiento en cuanto al riesgo de que
ocurra un siniestro en los distintos tramos de edades que veremos posteriormente.
En la Figura 2, se puede observar que esta primera componente está muy correlacionada
positivamente con el tramo que va de los 31 a los 67 años, ambos inclusive, y con los mayores
de 71 años. La información que obtenemos para los mayores de setenta y un año no es muy
fiable, pues en nuestro estudio los tuvimos que agrupar. Por tanto, no tendremos en cuenta la
significación estadística detectada para la primera componente en dicho tramo de edad.
Además, conocemos las doce puntuaciones correspondientes a cada una de las
observaciones consideradas. De esta manera, podremos conocer cuándo en el tramo de edad de
los 31 a los 67 años el riesgo de ocurrencia de un siniestro es superior o inferior en los distintos
perfiles considerados. De menor a mayor puntuación en la primera componente, los perfiles se
presentan en el siguiente orden P12, P11, P6, P10 , P9, P5, P3, P8, P4, P7, P2 y P1. Las puntuaciones
se presentan en la Tabla 2.
Figura 2: Función de correlación para la primera componente.
Tabla 2: Puntuación de los perfiles en la primera componente.
Si nos centramos en la segunda componente principal, está muy correlacionada
positivamente con el tramo de edad que va de los 68 a los 70 años, ambos inclusive. De menor a
mayor puntuación en la variable que consideramos, los perfiles aparecen ordenados de la
siguiente forma P1, P3, P5, P11, P12, P4, P10, P9, P6, P8, P7 y P2. Asimismo, la tercera componente
está directamente correlacionada con el tramo de edad que va de los 27 a los 30 años, ambos
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inclusive. En función de las puntuaciones que toman en la tercera componente, de menor a
mayor, los perfiles aparecen en el siguiente orden P3, P2, P9, P6, P5, P8, P1, P12, P11, P10, P7 y P4.
6. CONCLUSIONES
Hemos aplicado el ACPF a una función que hemos definido como riesgo de ocurrencia
de un siniestro. Ésta la hemos construido para cada uno de los perfiles que hemos tomado en
consideración, teniendo en cuenta las directrices que nos dieron los técnicos de la compañía que
nos cedió los datos. De su análisis, desde la consideración de la importancia de la variable edad
en el comportamiento de los conductores, se han obtenido los principales resultados prácticos.
Debido a la escasez de trabajos en nuestro ámbito hemos tenido la necesidad de crear rutinas
informáticas propias que permiten calcular las componentes principales y los porcentajes de
variabilidad de las mismas, tomando como referencia rutinas de otros campos. Asimismo hemos
superado de esta forma, la gran dificultad de adaptación de estas técnicas a problemas reales.
El tratar el problema desde una óptica funcional nos ha permitido considerar la función
de riesgo de ocurrencia de un siniestro a lo largo de la vida de un asegurado, que es la manera
natural de tratar un proceso continuo; más aún cuando disponemos de las herramientas que nos
lo permiten, en nuestro caso el ACPF. Al aplicar dicha técnica estamos dando notoriedad al
hecho de que la estructura de la covarianza es muy especial, es decir, existe una mayor
covarianza entre dos valores cercanos que entre dos valores alejados en el tiempo (Ramsay et
al., 1994). Con el ACPF conseguimos reducir la dimensionalidad del problema original, ya que
con las tres primeras componentes principales obtenidas somos capaces de explicar el 92% de la
variabilidad.
Además, establecemos el procedimiento para interpretar los resultados obtenidos al
aplicar el ACPF, haciendo uso de la función de correlación existente entre el proceso y cada una
de las componentes. Para obtener dicha función hemos desarrollado un algoritmo y observamos
unas correlaciones positivas entre las componentes principales y determinados tramos de edad.
En concreto, la primera componente está correlacionada significativamente con el tramo de
edad que va de los 31 a los 67 años, la segunda con el que va de los 68 a los 70 años y la tercera
con la que comprende de los 27 a los 30 años. La información anterior nos permite conocer
cuáles son los tramos de edad con los que cada una de las componentes principales está
relacionada, permitiéndonos ordenar los perfiles dentro de cada tramo de edad en función de las
puntuaciones asociadas a cada una de las componentes.
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