(a) Determine la ecuación reducida del plano π que pasa por A y es

FACULTAD DE ARQUITECTURA − UDELAR
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA
PRIMER PRUEBA PARCIAL − 30 DE MAYO DE 2009
EJERCICIO I
G
G
Dados: A (4,11,1) , E (8, 9,−2) , Q (21, −12,12) , u = (3,10, 0) , v = (0, 7, 3) y
G
w = (1, 2, 3)
(a) Determine la ecuación reducida del plano π que pasa por A y es paralelo
G
G
a los vectores u y v .
(b) Determine el punto P proyección ortogonal de Q sobre el plano π .
(c) Determine la distancia del punto Q al plano π .
(d) Determine las ecuaciones reducidas de la recta s que pasa por E y es
G
paralela al vector w .
(e) Halle el área del triángulo UPQB .
Solución.
Parte (a)
⎪⎧⎪x = 4 + 3λ
(−10 3 )
⎪⎪
π : ⎨y = 11 + 10λ + 7μ
(1)
⎪⎪
⎪⎪z = 1 + 3μ
(−7 3)
⎩
7
40
7
−10
(−3)
x + y − z = − + 11 −
⎯⎯⎯
→ 10 x − 3y + 7z = 14
3
3
3
3
Parte (b)
G
G
n ⊥ π, n = (10, −3, 7)
JJJG G
JJJG
(−17, 23, −11), (10, −3, 7)
QA , n G
−316
QP = G 2 n =
(10, −3, 7) =
(10, −3, 7)
158
158
n
JJJG
QP = −2(10, −3, 7) = (−20, 6, −14 )
JJJG
P = Q + QP = (1, −6, −2)
Parte (c)
JJJG
2
2
dist (Q ,π) = QP = (−20) + 6 2 + (−14) = 2 158
Parte (d)
s : x = 8 + t , y = 9 + 2t , z = −2 + 3t → x − 8 =
y −9 z +2
=
2
3
⎧y = 2x − 7
⎪
s :⎪
⎨
⎪
⎪
⎩z = 3 x − 26
⎧10 x − 3y + 7z = 14
⎪
⎪
⎪
s ∩π:⎪
⎨y = 2x − 7
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩z = 3 x − 26
10 x − 3 (2x − 7) + 7 (3 x − 26) = 14 → 25x = 175 → x = 7 ⇒ y = 7, z = −5
s ∩ π = {B }
tal que
B = (7, 7, −5)
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Parte (e)
JJJG
QP ⊥ π
⎫⎪
dist (P ,Q ) dist (P , B )
⎪ ⇒UPQB rectángulo en Pl ⇒ A
⎬
PQB =
2
{B , P } ⊆ π⎪⎪⎪⎭
dist (P ,Q ) = 2 158 parte (c)
dist (P , B ) = (−6, −13, 3) = 214
APQB = 158 214 = 4 8453
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Ejercicio II
Dada la cuádrica Ω de ecuación z = −
x
y
+
a 2 b2
2
2
(a) Determine a , b ∈ R+ sabiendo que (0, 2,1) ∈ Ω y (3, 2, 0) ∈ Ω
(b) Dadas las rectas
3
r : x = − 3λ , y = 1 + 2λ , z = 2λ y s : x = 3 − t , y = 2 + 2t , z = 1 − 3t
2
Investigue si r ⊆ Ω y si s ⊆ Ω .(c) Determine la intersección de Ω con los planos de ecuaciones y = −2 ,
y = 2 , y z = −1 .
Parte (c)
Ω ∩ (y = −2)
Ω ∩ (y = 2)
⎪⎧⎪y = −2
⎪
⎨
x2
⎪⎪⎪z = − + 1
9
⎪⎩
⎪⎧⎪y = 2
⎪
2
⎨
⎪⎪z = − x + 1
9
⎪⎩⎪
⎧⎪y = −2
⎪⎧⎪
⎪⎪eje de simetría ⎪⎨
⎪⎪
⎪⎩⎪x = 0
⎨
Parábola ⎪⎪vértice (0, −2,1)
⎪⎪
⎪⎪⎩concavidad hacia abajo
⎧⎪y = 2
⎪⎧⎪
⎪⎪eje de simetría ⎪⎨
⎪⎪⎩x = 0
⎪⎪
⎨
Parábola ⎪⎪vértice (0, 2,1)
⎪⎪
⎪⎪⎩concavidad hacia abajo
(d) Represente gráficamente el conjunto S tal que
⎧
⎪
⎪⎫
x 2 y2
S = ⎪⎨(x , y , z ) ∈ R3 : z = − 2 + 2 ; − 2 ≤ y ≤ 2 ; z ≥ −1⎪⎬
⎪
⎪
a
b
⎪
⎪
⎩
⎭
-5
Parte (a)
x 2 y2
+
a 2 b2
4
(0, 2,1) ∈ Ω ⇒ 2 = 1 ⇒ b 2 = 4, b ∈ R+ ⇒ b = 2
b
9
22
9
(3, 2, 0) ∈ Ω ⇒ − 2 + 2 = 0 ⇒ 2 = 1 ⇒ a 2 = 9, a ∈ R+ ⇒ a = 3
a
a
2
x 2 y2
Ω:z =− +
9
4
Ω:z =−
Parte (b)
¿s ⊆ Ω ?
¿r ⊆ Ω ?
2
⎛3
⎞⎟
⎜
2
⎜⎜⎝ 2 − 3λ⎠⎟⎟
(1 + 2λ)
−
+
= 2λ
9
4
9 (1 − 2λ)
1 + 4λ + 4λ
+
= 2λ
4
4
9
2
−
2
1 − 4λ + 4λ 2 1 + 4λ + 4λ 2
−
+
= 2λ
4
4
1 − 4λ + 4λ 2 1 + 4λ + 4λ 2
−
+
= 2λ
4
4
8λ
= 2λ
4
2λ = 2λ
0 = 0 Es una identidad ∴ r ⊆ Ω
(3 − t )
2
−
−
9
(2 + 2t )
2
+
4
= 1 − 3t
4 (1 + 2t + t 2 )
9 − 6t + t 2
= 1 − 3t
+
9
4
−9 + 6t − t 2 + 4 (1 + 2t + t )
+
= 1 − 3t
9
4
−9 + 6t − t 2 + 9 + 18t + 9t 2
= 1 − 3t
9
24t + 8t 2 = 9 − 27t
2
8t 2 + 51t − 9 = 0
No es una identidad ∴ s ⊆Ω
Ω ∩ (z = −1)
⎧z = −1
⎧⎪z = −1
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
2
→ ⎪⎨ 2
⎨ x
⎪⎪− + y = −1 ⎪⎪ x − y = 1
⎪⎩⎪ 9
⎪⎩⎪ 9
4
4
⎪⎧⎪centro (0, 0, −1)
⎪⎪
⎪⎪semiejes a = 3, b = 2
⎪⎪⎪
⎧⎪ x 2 y 2
⎪ −
Hipérbola : ⎨
=0
⎪⎪asíntotas : ⎪⎨ 9
4
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩⎪z = −1
⎪⎪
⎪⎪⎩vértices (±3, 0, −1)
5
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