Determinar el ancho b de una viga de sección rectangular, de canto

Cátedra de Ingeniería Rural
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
Determinar el ancho b de una viga de sección rectangular, de
canto h=20 cm, con el criterio de que la flecha en el extremo del voladizo
sea δc=1 cm. La carga es de 2.5 t/m, y el módulo de elasticidad vale
E=2⋅106 kg/cm2.
2.5 t/m
A
B
C
2m
6m
Figura 1. Viga biapoyada con un voladizo.
La deformada de la viga se muestra en la figura 2:
Figura 2. Deformada real de la viga.
Forzando el diagrama para facilitar su estudio, se tiene:
C'
C
A
θ
B
A'
l
B
C0
l/3
Figura 3. Análisis del problema.
1
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En primer lugar se calcula el ángulo girado por B. Para ello se aplica
Mohr entre A y B.
θB =
AA ' δ AB
=
=
L
L
∫
L
0
M ⋅ x ⋅ dx
[1]
E ⋅I
L
Para obtener el momento, se analiza el esquema de la figura 4. Para
hacer más genéricos los cálculos, los valores numéricos se sustituyen por su
variable representativa. Así, q=2.5 t/m y L=6 m.
2.5 t/m
A
B
x
C
x'
RA
RB
Figura 4. Diagrama para la obtención de momentos.
∑M
B
RA =
= 0 → RA ⋅ L − q ⋅ L ⋅
L
L L
+ q⋅ ⋅ = 0
2
3 6
4
⋅ q ⋅L
9
Por tanto, M =
4
q⋅ x2
⋅ q⋅L ⋅ x −
. Introduciendo este valor en [1], se
9
2
obtiene el valor de δAB:
4
q ⋅ x2

⋅
q
⋅
L
⋅
x
−
∫0  9
2
= 
E ⋅I
L
δ AB

 ⋅ x ⋅ dx
5 q ⋅ L4

=
⋅
216 E ⋅ I
2
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Al ser δAB>0, el punto A está situado por encima de la tangente en B, y
por ello el ángulo girado será en sentido contrario a las agujas del reloj, tal y
como se muestra en la figura 2, de valor:
5 q ⋅ L3
θB = −
⋅
216 E ⋅ I
El enunciado nos da la deformación del punto C. Así, atendiendo a la
notación de la figura 3, se tiene:
δ C = C 0 C = 1 cm = C 0 C' − CC'
Al haber calculado el ángulo girado por B (θB), la determinación de la
magnitud C 0 C' es sencilla, pues se realiza por triangulación. Así,
C 0 C' = θ B ⋅
L
5 q ⋅ L4
=
⋅
3 648 E ⋅ I
Por último, sólo falta calcular la distancia CC' , y para ello se aplica de
nuevo Mohr entre B y C, pues corresponde a la deformada de C respecto a la
tangente trazada por B. Así:
δ CB
∫
=
L/3
0
M ⋅ x'⋅dx '
E ⋅I
q ⋅ x' 2
Entre B y C el momento se expresa por M = −
2
Operando, se tiene:
δ CB =
∫
L/3
0
− q ⋅ x' 2
⋅ x'⋅dx '
− 1 q ⋅ L4
2
=
⋅
E ⋅I
648 E ⋅ I
Por tanto,
1 cm =
5 q ⋅ L4
1 q ⋅ L4
1 q ⋅ L4
⋅
−
⋅
=
⋅
648 E ⋅ I 648 E ⋅ I 162 E ⋅ I
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Sustituyendo las variables por sus valores, se tiene:
q = 2.5 t/m = 25 kg/cm
L = 600 cm
E = 2⋅106 kg/cm2
I=
1
1
⋅ b ⋅ h3 =
⋅ b ⋅ 20 3
12
12
Así, despejando la anchura de la sección rectangular b, se obtiene:
12 ⋅ q ⋅ L4
b=
162 ⋅ E ⋅ h 3
y dando valores numéricos
b=
12 ⋅ 25 ⋅ 600 4
= 15 cm
162 ⋅ 2 ⋅ 10 6 ⋅ 20 3
Por tanto, la sección rectangular buscada tiene de canto 20 cm y de
anchura 15 cm.
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