entonces f es uniformemente continua en [a, b]

Teorema 1. Si f es continua en [a, b], entonces f es uniformemente continua en [a, b]
Demostración. Propiedad ∗ . Diremos que dada > 0, f tiene la propiedad ∗ en [a, b] si existe algún
δ > 0 tal que ∀y, z ∈ [a, b]
si |y − z| < δ ⇒ |f (y) − f (z)| < La prueba consiste en mostrar que f tiene la propiedad ∗ en [a, b] ∀ > 0
Para ello consideremos un > 0 cualquiera. Sea
A = {x | a ≤ x ≤ b
y
f
tiene
la
propiedad
∗
en
[a, x]}
1) se tiene que A 6= ∅ pues a ∈ A
2) A esta acotado superiormente por b
de lo anterior se tiene que A tiene una mı́nima cota superior a la cual llamamos α = sup A y vamos a
mostrar que α = b ∀ > 0
Supóngamos que α < b. Al ser f continua en α existe δ0 > 0 tal que si |y−α| < δ0 entonces |f (y)−f (α)| < 2
y por tanto si |y − α| < δ0 y |z − α| < δ0 entonces |f (y) − f (z)| = |f (y) − α + α − f (z)| ≤ |f (y) − f (α)| +
|α − f (z)| < 2 + 2 = . Por tanto f tiene la propiedad ∗ en el intervalo α − δ0 , α + δ0 , con lo que α + δ ∈ A
en contradiccion pues α = sup A. Solo falta ver que α ∈ A. Para tenemos que al ser f continua en b, ∃
δ0 > 0 tal que si |b − y| < δ0 , entonces |f (y) − f (b)| < 2 . Por tanto f tiene la propiedad ∗ en [b − δ0 , b] y
f tiene la propiedad ∗ en [α, b − δ0 ] por tanto tiene la propiedad ∗ en [a, b]
Un criterio para la Convergencia Uniforme a través de Sucesiones
Mostraremos que f : R → R no es uniformemente continua si y solo si ∃ > 0 y sucesiones xn , yn tal que
|xn − yn | <
1
n
pero |f (xn ) − f (yn )| ≥ Demostración. ⇒ Tenemos que f es uniformemente continua si
∀ >0
∃
δ>0

|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ∴ f no es uniformemente continua si
∃ >0
tomando δ =
∃
1
n

∀ δ>0
tenemos
|x − y| < δ
pero
|f (x) − f (y)| ≥ y xn = x y yn = y se tiene
>0

∀ δ=
1
>0
n
tenemos
|xn − yn | <
1
n
pero |f (xn ) − f (yn )| ≥ ⇐ Por la propiedad arquimediana elegimos un entero n tal que 0 <
xn = x, yn = y tenemos
|xn − yn | = |x − y| <
1
n
< δ para las correspondientes
1
< δ ⇒ |f (xn ) − f (yn )| = |f (x) − f (y)| ≥ n
por tanto f no es uniformemente continua
1
Determinar cuales de las siguientes funciones son uniformemente continuas
a) f (x) = ln(x) para x ∈ (0, 1)
b) f (x) = √
x sen(x) para x ∈ [0, ∞)
c) f (x) = x para x ∈ [0, ∞)
d) f (x) = x21+1 para x ∈ (−∞, ∞)
e) f (x) = ex para x ∈ [0, ∞)
Para a) definimos xn = e−n y yn = e−(n+1) y de esta manera
1
1
1 e − 1 e 1 −n
−(n+1)
|xn − yn | = |e − e
| = n − n+1 = n < n = n <
e
e
e e
e e
e
n
pero
−n
f (e ) − f (e−(n+1) ) = ln(e−n ) − ln(e−(n+1) ) = |−n + n + 1| = 1
por tanto f no es uniformemente continua. Para b) definimos xn = 2nπ y yn = 2nπ + n1 y de esta manera
1
1
1
|xn − yn | = |2nπ − (2nπ + )| = − ≤
n
n
n
pero
f (2nπ) − f (2nπ + 1 ) = 2nπ sen(2nπ) − (2nπ + 1 ) sen 2nπ + 1 = |2π| = 1
n
n
n por tanto f no es uniformemente continua. Para c) consideramos lo siguiente:
p
√
√
|f (x) − f (c)| = | x − c| ≤ |x − c| x, c ∈ [0, ∞)
√
√
por lo que dada > 0 elegimos δ = 2 de esta manera |x − c| < δ implicara | x − c| < Para d) Dado que f es continua en [−1, 1] y f es par, entonces bastara con probar que f es uniformemente
continua en [1, ∞
tenemos que
1
1 |c2 − x2 |
x 2 − c2
(x + c)(x − c)
|f (x)−f (c)| = 2
− 2
= 2
= 2
= 2
<
2
|{z}
x +1 c +1
(x + 1)(c + 1)
(x + 1)(c2 + 1)
(x + 1)(c2 + 1)
x+c<(x2 +1)(c2 +1)
por tanto f es Lipchitz y por tanto f es uniformemente continua. Para e) definimos xn = ln(n)π y
yn = ln(n + 1) y de esta manera
n
≤ 1
|xn − yn | = | ln(n) − ln(n + 1)| = ln
n+1 n
pero
|f (ln(n)) − f (ln(n + 1))| = eln(n) − eln(n+1) = |n − n − 1| = 1
por tanto f no es uniformemente continua.
Mostrar que si f es una función continua y periodica en R entonces f es uniformemente continua en R
2
≤ |x−c|
Demostración. Sea T > 0 el periodo de f, y sea > 0 entonces ∃ δ > 0 tal que si |x − y| < δ entonces
|f (x) − f (y)| < . Si tomamos δ < T sea x, y ∈ R tal que |x − y| < δ entonces existe n ∈ Z tal que
nT < x < (n + 1)T
y
(n − 1)T < y < (n + 2)T ⇒ x ∈ [0, T ] y
y ∈ [−T, 2T ]
por lo tanto
|(x − nT ) − (y − nT )| = |x − y| < δ ⇒ |f (x − nT ) − f (y − nT )| = |f (x) − f (y)| < Ejercicios
1.-Sea f : R → R continua y periodica con periodo T > 0. Probar que existe x0 tal que
T
f x0 +
= f (x0 )
2
2.-Sea f : (a, b) → R una función continua. Probar que dada x1 , x2 , ..., xn ∈ (a, b) existe x0 ∈ (a, b) tal
que
1
f (x0 ) = [f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + ... + f (xn )]
n
3.-Mostrar que de entre todos los cilindros circulares rectos de volumen fijo V, existe uno que es el de
menor superficie
4.-Mostrar que de entre todos los rectángulos de perı́metro fijo P, existe uno que es el de mayor área
3