m, cr,T0 n, Cv T0 Pa,T0 V1 V0 - Departament de Física Aplicada

FÍSICA Plan 95.
Primer parcial (18-01-2010)
Dept. Fı́sica Aplicada
ETSECCPB
PROBLEMAS
1. Problema(60 %): Per tenir beguda fresca al desert hem dissenyat una llauna especial com la de la figura.
En un recipient essencialment adiabàtic hi tenim continguda una massa m de refresc (calor especı́fica cr ) que,
dissortadament, està a la temperatura ambient T0 degut a la llarga exposició de la llauna a les condicions del
desert. Submergit en el refresc hi tenim un segon recipient hermètic de volum V1 i paret del fons conductora. Un
èmbol adiabàtic manté confinats n mols d’un gas ideal (Cv ) comprimit en un volum V0 del recipient interior. La
resta del volum està obert a l’atmosfera (pressió Pa ).
Suposant que n es prou gran com per tenir una pressió inicial suficient, només ens caldrà alliberar sobtadament
l’èmbol per tal de gaudir d’un refresc fred.
a) Calculeu el treball (W ) realitzat pel gas en expandir-se fins a ocupar tot el volum del recipient interior. (2
punts)
b) Calculeu la temperatura final (Tf ) del refresc. (3 punts)
c) Raoneu quin tipus de gas, monoatòmic o diatòmic, serà més efectiu a l’hora de refredar el refresc. (1 punts)
d ) Poseu una cota inferior al nombre de mols (n) necessari per tal que l’èmbol arribi fins al final (Suposeu que
la capacitat calorı́fica del gas és negligible front a la del refresc). (2 punts)
e) Calculeu l’increment d’entropia de l’univers (∆Su ) en aquest procés. (2 punts)
m, cr , T0
n, Cv
T0
V0
Pa , T0
V1
2. Problema(40 %): Un gas ideal se encuentra encerrado en el interior de una esfera de radio a. La ecuación que
determina los desplazamientos radiales promedio, ϕ(r, t), de las moléculas del gas es
2
2
2
2
∂t ϕ = c ∂r ϕ + ∂r ϕ ,
r
la cual también puede escribirse como
∂t2 (rϕ) = c2 ∂r2 (rϕ),
siendo c la velocidad de propagación de ondas longitudinales (en este caso radiales) en dicho gas.
a) Si p(r, t) es la variación de presión con respecto a la de equilibrio termodinámico, ¿qué condición debe
cumplir p en r = a? Razónese la respuesta haciendo uso de la 2a ley de Newton.
b) Suponiendo una solución particular de la ecuación de ondas de la forma:
ϕ(r, t) =
A
cos(αt) sin(βr)
r
con A, α y β constantes, determinar la relación entre α y β.
Nos dicen que la solución general para las ondas estacionarias en el interior de la esfera es:
B
A
sin(kr) +
cos(kr) cos(ωt + θ),
ϕ(r, t) =
r
r
con A, B y θ constantes arbitrarias.
c) Imponiendo las condiciones de contorno para ϕ(r, t) en r = 0 y r = a, determinar B ası́ como los posibles
valores discretos de k = kn y ω = ωn , y la expresión general de los modos normales asociados ϕn (r, t).
d ) Representar gráficamente de forma cualitativa ϕn (r, 0) para n = 1, 2 y 3 y determinar la localización de sus
nodos internos.
Aclaración: en algunos grupos, el desplazamiento longitudinal se denominó como s(r, t).
Nota: indicar con detalle los cálculos intermedios realizados. No se considerará como válida aquella respuesta en
la que únicamente se especifique el resultado final.
SOLUCIONES de los PROBLEMAS
1. Problema(60 %):
a) Es tracta d’una expansió contra una pressió externa constant, i per tant el treball val:
W =
Z
1
Pext dV = Pa (V1 − V0 ) > 0
0
b) Si l’expansió del gas fos adiabàtica, queda clar que la temperatura del gas baixaria (∆T ∼ ∆U = Q − W =
−W < 0). Donat que el gas està en contacte tèrmic amb el refresc, absorbirà calor d’aquest darrer i la seva
temperatura no baixarà tant. A canvi, el refresc, en cedir calor, també es refredarà, tot produint l’efecte
desitjat.
Prenent el sistema total i el procés fins a l’estat final d’equilibri, està clar que el treball (W ) total és el de
l’apartat anterior i que la calor (Q) total intercanviada amb l’exterior és nula. L’increment d’energia interna
és la suma de la del gas i la del refresc:
∆U = ∆Ug + ∆Ur = nCv (Tf − T0 ) + mcr (Tf − T0 )
Plantejant el primer principi pel sistema complert (Q = W + ∆U ) ens permet resoldre per Tf :
Tf = T0 −
Pa (V1 − V0 )
< T0
nCv + mcr
c) Si volem Tf mı́nima necessitem Cv tan petita com sigui possible. Per tant, el sistema serà més efectiu si
emprem un gas ideal monoatòmic.
d ) També minimitzem Tf fent n petit, però necessitem un mı́nim nombre de mols per tal que la pressió sigui
suficient per desplaçar l’èmbol. Per tal que el procés sigui complert, cal que la pressió final excedeixi o iguali
la pressió atmosfèrica:
nRTf
nR
Pa (V1 − V0 )
nR
Pa (V1 − V0 )
P1 =
=
T0 −
>
T0 −
≥ Pa ,
V1
V1
nCv + mcr
V1
mcr
on s’ha fet servir que nCv > 0 (suggerit per l’enunciat) per evitar resoldre una equació de segon grau.
D’aquı́ podem treure una cota inferior pel nombre de mols:
n>
Pa V 1
R T0 −
Pa (V1 −V0 )
mcr
e) L’increment d’entropia de l’univers és la suma dels increments d’entropia del gas (positiu) i del refresc
(negatiu, però menor en mòdul):
∆Su = ∆Sg + ∆Sr = nCv ln(Tf /T0 ) + nR ln(V1 /V0 ) + mcr ln(Tf /T0 )
∆Su = (nCv + mcr ) ln 1 −
Pa (V1 − V0 )
T0 (nCv + mcr )
+ nR ln(V1 /V0 ) > 0
2. Problema(40 %):
a) La 2a ley de Newton, vista en clase de teorı́a y descrita con detalle en los apuntes de Ondas (sección 3.1.1,
p.17), nos relaciona la variación longitudinal (en este caso radial) de p con la aceleración local promedio de
las moléculas del gas:
∂r p = −ρ0 ∂t2 ϕ,
siendo ρ0 la densidad de equilibrio del gas. Dado que cerca de la pared las moléculas se encuentran en
reposo promedio, ∂t2 ϕ = 0 en r = a. Por lo tanto, la condición que debe satisfacer p es:
∂r p(a, t) = 0, ∀t.
b) Introducimos la solución propuesta en la versión simplificada de la ecuación de ondas:
A
A
2 2
2
∂t r cos(αt) sin(βr) = c ∂r r cos(αt) sin(βr) −→ A sin(βr)∂t2 cos(αt) = c2 A cos(αt)∂r2 sin(βr),
r
r
luego
A sin(βr)(−α2 ) cos(αt) = c2 A cos(αt)(−β 2 ) sin(βr).
Cancelando términos a izquierda y derecha de la última expresión obtenemos la relación entre α y β pedida:
α2 = c2 β 2 −→ α = cβ.
c) La constante B debe ser cero, de lo contrario, la solución general diverge en r = 0, i.e., oscilaciones radiales
de amplitud infinita que no tienen sentido fı́sico. Por lo tanto, la solución queda de la siguiente forma:
A
sin(kr) cos(ωt + θ),
r
ϕ(r, t) =
con A y θ arbitrarias.
Las oscilaciones radiales de las moléculas en la pared esférica de radio a deben ser nulas, por lo tanto:
ϕ(a, t) = 0, ∀t −→
sin(ka)
= 0 −→ ka = nπ, n ∈ N.
a
Los posibles valores de k y ω son:
kn =
nπ
,
a
ωn =
nπc
.
a
El modo de oscilación n-ésimo es:
nπr A
cos
sin
ϕn (r, t) =
r
a
nπct
+θ .
a
d ) Salvo constantes de amplitud y de fase arbitrarias de la forma A cos(θ), la estructura radial de los tres
primeros modos es la representada en la gráfica:
lim ϕn(r, 0)
r→0+
ϕ1
0
ϕ3
0
a
6
a
3
a
2
ϕ2
2a
3
5a
6
r
El modo ϕ1 no tiene nodos internos, mientras que el ϕ2 tiene un nodo localizado en r = a/2. Finalmente,
ϕ3 tiene dos nodos internos en r = a/3 y r = 2a/3.
Esencialmente, la distribución de nodos es la misma que la que aparece en una cuerda vibrante libre en
r = 0 y fijada en r = a. La localización de los vientres o antinodos internos no puede determinarse mediante
técnicas analı́ticas, dado que, a diferencia de la cuerda vibrante, la amplitud decrece con el inverso de la
distancia.
ETSECCPB FÍSICA Plan 95
Primer Examen Parcial (18 01 2010)
Departamento de Fı́sica Aplicada
Identificación de la prueba: 250 18004 00 0 00
1. Un gas ideal se somete a un proceso politrópico pV α = p′ V ′α . Cuando pasa de un estado inicial (pi , Vi , Ti ) a uno
Vf
final (pf , Vf , Tf ), la variación de entropı́a de un mol de gas es ∆S = R ln
. La constante α vale:
Vi
a) 1.
b) γ.
c) 0.
d ) no está definida.
2. Un gas ideal, cuyo Cv es constante, se somete a un proceso politrópico. Cuando pasa de un estado inicial
(pi , Vi , Ti ) a uno final (pf , Vf , Tf ), la variación de entropı́a de un mol de gas es nula. Indicar qué afirmación es
correcta:
a) En este proceso se verifica: Ti Viγ−1 = Tf Vfγ−1 .
b) Es un proceso isotérmico.
c) En este proceso se verifica: pi Viγ−1 = pf Vfγ−1 .
d ) Es un proceso a presión constante.
3. Se van a mezclar tres masas iguales de agua lı́quida a las temperaturas iniciales T1 < T2 < T3 . Se quiere saber
para qué temperatura final el proceso, si se pudiera realizar, serı́a reversible.
p
a) T = 3 T1 T2 T3 .
p
b) T = T1 T2 T3 .
T1 + T2 + T3
.
c) T =
3
r
3 T1 + T2 + T3
.
d) T =
3
4. Un gas ideal está inicialmente en el estado (pi , Vi , Ti ) y se expande adiabáticamente contra el vacı́o hasta cuadriplicar su volumen. La presión final es:
pi
4
pi
b) pf = γ
4
c) la misma que la inicial.
pi
d ) pf = γ−1
4
a) pf =
5. Un gas ideal está inicialmente en el estado (2p0 , V0 , T0 ). Se expande adiabáticamente contra una presión exterior
p0 hasta alcanzar el equilibrio mecánico. Su temperatura final es:
a) Tf = T0
Cp + Cv
2Cp
b) Tf = 2T0
Cp + Cv
c) Tf = T0
Cp
Cv
d ) Tf = T0
Cp
6. Por una cuerda de impedancia Z1 se desplaza una onda hacia el punto de unión con otra cuerda de impedancia
Z2 = Z1 /2. Las amplitudes reflejada AR y transmitida AT cumplen:
a) AT = 4AR .
b) AR = 4AT .
c) AT = 2AR .
d ) AR = 2AT .
7. En una onda esférica, el desplazamiento longitudinal (radial) de las moléculas viene dado por: ϕ(r, t) = (A/r) sin(kr) sin(ωt).
Cerca del origen, dicho desplazamiento es:
a) Ak sin(ωt).
b) 0.
c) ∞.
d ) A sin(ωt).
8. En una onda esférica, el desplazamiento longitudinal (radial) de las moléculas viene dado por: ϕ(r, t) = (A/r) sin(kr) sin(ωt).
Podemos afirmar que:
a) la onda es periódica únicamente en t.
b) la onda es periódica únicamente en r.
c) la onda es periódica en r y en t.
d ) la onda no es periódica en r ni en t.
9. El calor latente de fusión del hielo a 0o C es Lf = 80 cal/g, el calor especı́fico del agua lı́quida se puede considerar
constante c = 1 cal/go C. Si se tienen 160 g de agua a 1000 C, ¿cuántos gramos de hielo se pueden fundir, para
tener al final agua lı́quida a 0o C?
a) 200 g.
b) 320 g.
c) 80 g.
d ) 800 g.
10. Un recipiente cilı́ndrico, de paredes adiabáticas y cuyo volumen total es 2V0 , está dividido en dos partes inicialmente iguales por una separación móvil diatérmana perpendicular al eje del cilindro. En la parte izquierda hay
n1 moles de un gas ideal a temperatura T10 , en la derecha n2 moles del mismo gas a la temperatura T20 . La
separación se mueve desde el centro hasta la posición de equilibrio. Indicar qué afirmación es cierta:
a) La temperatura y la presión de equilibrio son las mismas a ambos lados.
b) La presión de equilibrio es distinta a cada lado.
c) La temperatura de equilibrio es distinta a cada lado.
d ) La temperatura y la presión de equilibrio son diferentes a ambos lados.
11. La variación de entropı́a del universo, cuando se expande adiabáticamente y cuasiestáticamente un gas ideal, es:
a) nula.
Tf
Vf
+ nR ln
6 0.
=
Ti
Vi
Tf
pi
c) ∆S = nCp ln
+ nR ln
6= 0.
Ti
pf
b) ∆S = nCv ln
d ) mayor que cero.
12. Indicar qué afirmación es correcta:
a) Todo proceso adiabático cuasiestático es reversible.
b) Todo proceso cuasiestático es reversible.
c) Puede haber procesos reversibles con alguna parte no cuasiestática.
d ) Todo proceso isotérmico cuasiestático es reversible.
13. El calor especı́fico de un gas ideal para un proceso politrópico vale: CX = Cv − R
a) El proceso viene descrito por la ecuación pV 2 = p′ V ′2 .
b) Es un proceso a presión constante.
c) Es un proceso isotérmico.
d ) Ninguna de estas respuestas es cierta.
p0
V . Si T0 representa la
V0
temperatura en el punto (p0 , V0 ), la ecuación de la temperatura para un mol de gas ideal en este proceso es:
14. En el plano p − V un proceso cuasiestático viene representado por la ecuación p =
V2
V02
V
b) T = T0
V0
p
c) T = T0
p0
pV
d ) T = T0
V0
a) T = T0
15. En el plano p − V un proceso cuasiestático viene representado por el segmento de recta que une los puntos
(p0 , V0 ) y (2p0 , V0 /2), la temperatura en ambos puntos es T0 . La ecuación para la temperatura en este proceso
es:
3p0 V
2p0 V 2
.
−
R
RV0
2p0 V 2
p0 V
−
.
b) T =
R
RV0
3p0 V
p0 V 2
c) T =
−
.
R
RV0
3p0 V 2
2p0 V
−
d) T =
R
RV0
a) T =
16. En el plano p − V un proceso cuasiestático viene representado por el segmento de recta que une los puntos
(p0 , V0 ) y (2p0 , V0 /2), la temperatura en ambos puntos es T0 . El valor máximo alcanzado por la temperatura es:
9
T0 .
8
11
T0 .
b) T =
9
3
c) T = T0 .
2
5
d ) T = T0 .
2
a) T =
17. Una onda sonora, emitida por un altavoz esférico de radio rm , produce, a la salida de éste, una sensación sonora
de 40dB. La distancia mı́nima a la que deja de oirse es:
a) 100 rm .
b) ∞.
c) rm .
d ) 10 rm .
18. Una cuerda, de longitud L, tiene un extremo fijo x = 0 y otro libre x = L. Oscila y presenta cinco nodos,
contando como tal el extremo fijo. Su ecuación es de la forma y(x, t) = A cos kct sin kx. Se verifica:
4L
.
9
4L
.
b) λ =
5
4Lc
c) ω =
.
7
3π
.
d) k =
4L
a) λ =
19. Una cuerda, de longitud L, tiene un extremo fijo x = 0 y otro libre x = L. Oscila y presenta cinco nodos,
contando como tal el extremo fijo. Su densidad es ρ y la tensión de la cuerda es T = 25ρ. Indicar qué afirmación
es cierta, si todas las magnitudes se expresan en unidades del S.I.:
45π
rad/s.
2L
b) Su velocidad de propagación es 10 m/s.
a) Su frecuencia angular es ω =
c) Esta onda transporta una potencia media positiva en un periodo.
d ) La densidad de energı́a potencial es nula en el origen.
20. Indicar qué afirmación es cierta:
a) Toda onda que se propaga transporta energı́a.
b) Toda onda transporta energı́a.
c) Las ondas sonoras son transversales.
d ) Las ondas estacionarias solamente se propagan si un extremo está libre.
Departament Fı́sica Aplicada.
FÍSICA Pla 95.
Respostes al Test.
ETSECCPB
Preg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Permutació
1
2
3
b
d
b
b
c
d
c
a
d
a
d
b
c
a
a
c
c
a
a
d
c
b
b
a
a
a
a
c
b
d
a
b
c
b
b
b
c
b
b
a
d
c
b
c
c
d
b
c
b
a
a
b
d
c
b
a
d
c
a
b
4
c
a
a
d
b
a
c
c
a
d
b
c
a
a
a
c
b
c
d
b