Los números racionales

UNIDAD
4
Los números racionales
Contenidos
Concepto
Las fracciones y los números
racionales
Representación de fracciones
Fracciones equivalentes
Simplificación de fracciones
Ordenación de fracciones
Suma y resta de fracciones
Multiplicación y división
de fracciones
Objetivos
Identificar situaciones de la vida
cotidiana en las que es necesario
utilizar fracciones.
Realizar operaciones
con fracciones.
Simplificar fracciones y encontrar
fracciones equivalentes a una dada.
FOTO
En esta unidad estudiaremos el conjunto de los números racionales, que surge de
la necesidad de expresar numéricamente las cantidades obtenidas al repartir una
unidad en varias partes iguales. Veremos que los números racionales se pueden
expresar en forma de fracción y que su conjunto incluye los números naturales,
los enteros y los decimales puros y periódicos. También veremos que hay frac­
ciones que, aun siendo diferentes, se refieren a una misma cantidad, es decir, son
equivalentes, y estudiaremos los métodos para obtener fracciones equivalentes a
partir de una fracción dada, así como la manera de simplificar fracciones.
Aprenderemos a hacer las operaciones básicas con fracciones (suma, resta,
multiplicación y división) sin tener que calcular previamente el valor numérico,
algo que tiene una gran importancia a la hora de resolver problemas.
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1 ConCepto
Sabemos que el resultado de una división con números naturales no siempre es
otro número natural. Se cree que en este hecho (con el que debieron toparse
nuestros antepasados en más de una ocasión al realizar reparticiones de herencias, territorios o mercancías) está el origen del concepto de fracción.
Las fracciones se conocen y se usan, desde la antigüedad; se han encontrado
documentos que demuestran que los babilonios, los egipcios y los griegos ya las
utilizaban. En numerosas inscripciones egipcias, y especialmente en el papiro de
Ahmes, aparecen fracciones para resolver problemas relacionados con la medida de tierras o con la construcción de las pirámides.
La palabra fracción aparece por primera vez en el siglo xii en la traducción al
latín de la Aritmética de al-Hwarizmi, donde se tradujo la palabra árabe al-kasr
como fractio (‘romper’).
» El papiro de Ahmes, que fue escrito
en el siglo xvi aC, contiene 87 problemas matemáticos, algunos de los cuales se resuelven mediante fracciones.
Los procedimientos actuales que rigen las operaciones con fracciones son más
recientes. Tienen su origen en los estudios que hicieron los matemáticos indios
de los siglos vi y vii dC. De estos estudios, que llegaron a Europa de la mano de
los árabes, tuvieron conocimiento los grandes matemáticos europeos de los
siglos xvi y xvii (gracias a las traducciones de textos árabes y clásicos llevadas
a cabo durante el Renacimiento), y los desarrollaron y ampliaron.
2 LAs frACCiones Y Los nÚMeros rACionALes
Una fracción no es más que la representación de una parte de la unidad o de un
todo. También se puede considerar como la representación de una división. En
ella distinguimos dos elementos, separados por un pequeño segmento horizontal: el numerador y el denominador.
numerador → a
b ← denominador
El denominador indica las partes iguales en que hemos dividido la unidad, o un
todo individualizado.
El numerador indica las partes que tomamos en consideración.
Ejemplo
Para expresar en forma de fracción que hemos dividido una pieza de tela en
3
10 partes y hemos tomado 3, escribimos
.
10
El numerador de una fracción debe ser siempre un número entero, y el denominador, un número natural (nunca puede ser cero ni negativo). Una fracción se
puede leer diciendo el número del numerador, seguido de las palabras partido
por y el número del denominador. Pero, a menudo, también se puede decir el
número del numerador, seguido por el del denominador más el sufijo -avos.
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4
Los números racionales
Esta segunda forma no se puede aplicar en todos los casos. Así, por ejemplo, si
el denominador es 2, hablamos de medios; si es 3, hablamos de tercios; si es 4,
hablamos de cuartos…, y si es 10, hablamos de décimos.
Ejemplos
5
→ cinco partido por dos o cinco medios
2
2
→dos partido por seis o dos sextos
6
3
→ tres partido por cinco o tres quintos
5
8
→ocho partido por diez u ocho décimos
10
3
→ tres partido por cuatro o tres cuartos
4
5
→cinco partido por tres o cinco tercios
3
Una fracción representa una división en la que el numerador es el dividendo y el
denominador, el divisor. Por tanto, para hallar analíticamente el valor numérico
de una fracción, solo hay que dividir el numerador entre el denominador.
Q
Z
25,75
Ejemplo
2
2
Para hallar el valor numérico de , hay que dividir 2 entre 5: = 2 : 5 = 0,4
5
5
Se puede comprobar que el valor numérico de toda fracción es un número natural, entero, decimal puro o decimal periódico. Por consiguiente, se define un
nuevo conjunto numérico, el conjunto de los números racionales (), como el
formado por todos los números que pueden expresarse en forma de fracción.
–4
0,6
2,125
0
–17
N
33
2
3
5
1
» El conjunto de los números racionales incluye los números naturales, los
enteros, los decimales puros y los decimales periódicos.
eJerCiCios
1. Clasifica los siguientes números en naturales, enteros y racionales:
5
8 6 1 −3 −9
,− , , ,
,
7
4 2 5 10 3
2. Escribe en forma fraccionaria:
3. Escribe cómo se leen estas fracciones:
a)
5
12
c)
15
4
b)
1
2
d)
25
30
a) tres octavos
b) cuatro tercios
c) veinte cuarentaiunavos
4. Escribe la fracción que representa cada una de las
siguientes cantidades:
d) nueve décimos
a) ocho horas de trabajo por día
e) cinco medios
b) un trimestre con respecto a un año
f) dos tercios
c) 460 g con respecto a un kilogramo
g) seis onceavos
d) 20 aprobados en una clase de 26 alumnos
h) cuarenta céntimos
e) 15 minutos con respecto a una hora
i) trece medios
f) 20 céntimos de euro con respecto a 1 euro
51
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3 representACión de frACCiones
Para representar gráficamente una fracción, lo primero que debemos hacer es
tomar una unidad y dividirla en tantas partes como indique el denominador.
Después, tan solo hay que sombrear tantas partes como indique el numerador.
Ejemplo
Representamos la fracción
5
de diferentes formas:
8
ƒ Si el numerador es más pequeño que el denominador, la fracción es menor
que la unidad.
Ejemplo
1
→
4
→
1
= 1 : 4 = 0, 25
4
» Una fracción es la representación
matemática de una parte de la unidad
o de un todo.
ƒ Si el numerador es igual al denominador, la fracción equivale a la unidad.
Ejemplo
8
→
8
8
→ = 8 : 8 = 1
8
ƒ Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor que la
unidad.
reCUerdA
a
es una fracción propia
b
si a < b.
a
es una fracción improb
pia si a > b.
Ejemplo
10
→
4
→
10
= 10 : 4 = 2,5
4
Las fracciones en las que el numerador es más pequeño que el denominador se
llaman fracciones propias, mientras que las fracciones en las que el numerador
es mayor que el denominador reciben el nombre de fracciones impropias.
52
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Los números racionales
Las fracciones impropias también se pueden expresar como números mixtos.
Se obtienen escribiendo el número que resulta del cociente entre el numerador
y el denominador y, al lado, una fracción que tiene por numerador el residuo y
por denominador el de la fracción original.
Ejemplo
18
→
5
cociente  3
18
3
→18 : 5→ →
=3
residuo  3
5
5
4
Con la calculadora científica
podemos realizar operaciones
con fracciones directamente,
sin necesidad de hallar fraccio­
nes equivalentes con denomi­
nador común. Para introducir
una fracción en la calculadora
hay que pulsar la tecla a b c .
2
hay
Así pues, para escribir
3
que pulsar 2 a b c 3 . En la
calculadora aparecerá 2 3 .
Para calcular la fracción de una cantidad, se divide por el denominador, para
saber qué cantidad corresponde a una parte de este todo, y se multiplica por el
numerador.
Ejemplo
7
de 45, dividimos 45 entre 15 y multiplicamos el resultado por 7:
15
45 : 15 = 3
7
21
3 3 3 3 3
de 45 = 21
→
3 · 7 = 21  15
3 3 3 3 3
45
3 3 3 3 3
Para calcular
eJerCiCios
1. Representa gráficamente estas fracciones:
3, 5, 7 , 2 , 4
5 3 12 6 9
2. Indica qué fracción corresponde a cada una de estas representaciones gráficas:
a)
b)
c)
d)
3. Clasifica las siguientes fracciones en propias e impropias:
8 , 5 , 4 , 3 , 10 , 15
5 7 13 2 9 25
4. Escribe, en cada caso, el número mixto correspondiente:
a) 7 =
3
d) 15 =
2
b) 17 =
5
e) 6 =
5
c) 9 =
2
f) 18 =
5
5. Calcula la cantidad que representa cada expresión:
a)
3
de 210 
5
c)
5
de 242 
6
b)
2
de 630 
7
d)
11
de 108 
2
53
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4 frACCiones eqUivALentes
reCUerdA
Dos fracciones son equivalentes si podemos obtener una de ellas multiplicando o dividiendo el
numerador y el denominador de la otra por un
mismo número.
12 2
y son
18 3
equivalentes porque, si
dividimos el numerador y
el denominador de la primera por 6, obtenemos la
12 : 6 2
=
segunda:
18 : 6 3
Las fracciones
Dos fracciones son diferentes si sus numeradores o denominadores no coinciden. A veces, sin embargo, hay fracciones diferentes que representan la misma
cantidad: son las llamadas fracciones equivalentes.
Ejemplo
12 2
y son fracciones equivalentes porque tienen el mismo valor numérico:
18 3
12 : 18 = 0, 6 ; 2 : 3 = 0, 6
Para hallar fracciones equivalentes de una fracción dada, basta con multiplicar,
o dividir, el numerador y el denominador por el mismo número. En el primer caso
obtendremos fracciones equivalentes con términos más grandes, y en el segundo,
con términos más pequeños. Entre fracciones equivalentes podemos poner el signo igual, ya que representan la misma cantidad.
Ejemplo
15
Si multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador de la fracción
18
por el mismo número, por ejemplo 3, obtenemos fracciones equivalentes:
15 15 ⋅ 3 45
=
=
18 18 ⋅ 3 54
15 15 : 3 5
=
=
18 18 : 3 6
Si dos fracciones son equivalentes, el producto del numerador de la primera por
el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Es decir, el producto de los extremos es igual
al producto de los medios.
Ejemplo
Las fracciones
12 2
y
son equivalentes porque el producto de los extremos es
18 3
igual al producto de los medios: 12 · 3 = 36 = 18 · 2 = 36
eJerCiCios
1. Escribe, en cada caso, tres fracciones equivalentes
mayores que la dada:
5
a)
b) 4
7
10
3. Indica, en cada caso, si las siguientes igualdades son
ciertas, es decir, si las fracciones son equivalentes:
2. Escribe, en cada caso, tres fracciones equivalentes
menores que la dada:
4. Indica, en cada caso, el valor que debe tener la variable para que las fracciones sean equivalentes:
a) 15 =
20
a) 25 = a
15 3
b) 14 =
21
a) 5 = 15
12 36
b) 6 = 9
10 12
b) 30 = b
45 6
54
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Los números racionales
4
5 siMpLifiCACión de frACCiones
Simplificar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente con
términos más pequeños, de modo que la nueva fracción sea más fácil de interpretar.
Llamamos fracción irreducible a aquella con los términos más pequeños de todas
las fracciones equivalentes a una dada. La fracción irreducible se toma como representante de la clase formada por el conjunto de todas estas fracciones.
Para hallar la fracción irreducible, hay que dividir sucesivamente el numerador
y el denominador de la fracción inicial por el mismo número hasta que no quede
ningún número que los pueda dividir al mismo tiempo.
Las fracciones equivalentes
representan el mismo valor.
Por eso nos interesa utilizar
la más simple, esto es, la frac­
ción irreducible.
Ejemplo
:2
12
18
=
:2
:3
6
9
=
2
3
:3
Otra manera de hallar la fracción irreducible es descomponer el numerador y el
denominador en factores primos y eliminar los que sean comunes a ambos.
Ejemplo
» Dos cuartos de hora son el mismo
período de tiempo que media hora,
2 1
ya que = .
4 2
12 /2 ⋅ 2 ⋅ /3 2
=
=
18 /2 ⋅ /3 ⋅ 3 3
eJerCiCios
1. Simplifica las siguientes fracciones por el método
de las divisiones sucesivas hasta encontrar, en cada
caso, la fracción irreducible:
2. Simplifica las siguientes fracciones por el método
de descomposición en factores primos hasta encontrar, en cada caso, la fracción irreducible:
a) 48 =
108
b) 14 =
28
a) 30 =
75
b) 52 =
130
c) 60 =
45
c) 240 =
480
d) 40 =
54
d) 105 =
21
e)
64
=
128
e) 45 =
60
55
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6 ordenACión de frACCiones
Los números racionales,
como los números naturales y enteros, se pueden
ordenar en orden creciente
o decreciente. Para hacerlo, se debe tener presente
el signo; así, los números
racionales negativos son
siempre más pequeños que
los positivos.
A menudo, los números racionales se expresan en forma de fracción; en estos
casos, una forma de facilitar su ordenación es escribirlos previamente como números decimales. Una vez ordenados los números decimales, la ordenación de
las fracciones correspondientes se hace fácilmente.
Los números fraccionarios también se pueden ordenar directamente, sin necesidad de escribirlos en forma decimal, teniendo en cuenta los siguientes criterios:
ƒ En una serie de fracciones con el mismo denominador, es mayor la que tiene
mayor numerador.
Ejemplo
1 3 5 8 13 17
< < < < <
5 5 5 5 5
5
ƒ En una serie de fracciones con el mismo numerador, es mayor la que tiene
menor denominador.
Ejemplo
19 19 19 19 19 19
< < <
< <
17 25 36 54 69 81
ƒ Las fracciones negativas son menores que las fracciones positivas.
Ejemplos
−
2 8
18 18
4 11
18
1
< ;− < ;− < ;− <
7 7
5
2
6 26
15 15
En el caso de fracciones con numeradores y denominadores diferentes, hay que
encontrar fracciones equivalentes con denominador común y compararlas. Una
vez ordenadas, la ordenación de las fracciones originarias resulta trivial.
Ejemplo
reCUerdA
Para ordenar fracciones
con denominadores diferentes, hay que encontrar
las fracciones equivalentes con denominador común y comparar sus numeradores.
3 5 7
, i …
2 3 5
1. Calculamos el m. c. m. de los denominadores: m. c. m. (2, 3, 5) = 30
2. Buscamos las respectivas fracciones equivalentes con este denominador:
3 45
5 50
7 42
=
=
=
2 30
3 30
5 30
Para ordenar de menor a mayor las fracciones
3. Ordenamos las fracciones:
42 45 50
7 3 5
< <
→ < <
30 30 30
5 2 3
56
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Los números racionales
4
Otra manera de ordenar los números racionales consiste en representarlos
gráficamente sobre la recta numérica. Para ello, hay que tener en cuenta que a
la derecha del cero se sitúan las fracciones positivas y a la izquierda, las negativas. También hay que considerar qué fracciones son mayores que la unidad y
cuáles son menores.
Si queremos situar una fracción, debemos dividir la unidad en tantas partes
iguales como indica el denominador y colocar la fracción en la división de la
unidad que indica el numerador.
Si la fracción es propia, sobre la recta estará entre el 0 y el 1 si es positiva, y
entre el 0 y el −1 si es negativa. Si la fracción es impropia (por tanto, mayor que
la unidad), no se deben hacer divisiones a partir del cero; es más conveniente
encontrar cuántas unidades enteras contiene el número fraccionario y hacer las
divisiones a partir de este.
Para colocar correctamente los números fraccionarios sobre la recta numérica,
hay que dejar un espacio lo bastante amplio entre dos unidades consecutivas; de
este modo se pueden marcar, sin confusión, las divisiones que sean necesarias.
Ejemplo
Situamos las fracciones
­1
−
3
2
−
» Augustus De Morgan (1806 – 1871)
fue un matemático británico nacido
en la India conocido por sus importantes contribuciones a la lógica proposicional. Escribió gran parte de los
artículos de la Enciclopedia Penny,
dedicada a difundir el conocimiento
matemático. En uno de sus libros presentó para las fracciones el símbolo
matemático /.
3 2 5
7
1
, − , , , − sobre la recta numérica:
2 3 4
7
2
0
7
7
+1
1 2
2 3
+2
5
4
reCUerdA
Para situar una fracción en la recta numérica, hay que dividir la unidad en tantas partes como indique el denominador y colocar la fracción en la división de la unidad que indique el numerador.
eJerCiCios
1. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
3. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
3 , −1 , 5 , 9 , 15 , −2
−
8 8 8
8
8 8
4 ,
1 8 , 15 , −3 , −8
− ,
20
3
3 9 3 10
2. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
4. Sitúa sobre la recta numérica las siguientes fracciones:
5 , 5 , 5, 5,
5 5
−
− ,
4 10
2 7
6 3
2 , 5 , 3 , −6 , 3 , 1
−
3 2
5 3 2 4
57
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7 sUMA Y restA de frACCiones
De la misma manera que no podemos sumar o restar números que representen
magnitudes diferentes, tampoco podemos sumar fracciones que no tengan el
mismo denominador, ya que representan distintas porciones de la unidad.
Ejemplo
1
5
+
3
5
–
2
5
=
2
5
Por consiguiente, para sumar o restar fracciones, es necesario que los denominadores sean iguales. Entonces se suman o se restan los numeradores y se deja el
mismo denominador.
Ejemplo
1 3 2 1+ 3 − 2 2
+ − =
=
5 5 5
5
5
reCUerdA
Solo se pueden sumar
fracciones con denominadores iguales. Si dos
fracciones tienen denominadores diferentes, hay
que buscar las fracciones
equivalentes con el denominador común.
En la mayoría de los casos, sin embargo, las fracciones que se deben sumar
tienen denominadores diferentes. Será necesario, entonces, hallar las fracciones
equivalentes con denominador común. Después se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Para obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador hay que seguir
estos pasos:
ƒ Hallar el m. c. m. de los denominadores, que será el denominador común.
ƒ Dividir el denominador común por el denominador de cada fracción y multiplicar el resultado por el numerador correspondiente. Este producto será el
numerador de la nueva fracción.
Ejemplo
1 = 2
3
6
1 = 3
2 6
1 + 1 = 2+ 3= 5
3 2
6 6
6
58
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Los números racionales
4
Ejemplo
Para sumar
2 3 5
+ − =
, calculamos el m. c. m. de los denominadores:
5 4 6
5=5 ⎫
4 = 22 ⎬ m. c. m. (5, 4, 6) = 22 · 3 · 5 = 60
6=2·3⎭
Buscamos fracciones equivalentes que tengan como denominador el m. c. m. que
hemos hallado:
24 45 50
2 3 5
+
−
+ − =
5 4 6
60 60 60
60 : 5 · 2 = 24
60 : 4 · 3 = 45
6 : 6 · 5 = 50
Por tanto:
2 3 5 24 45 50 19
+ − = + − =
5 4 6 60 60 60 60
Si alguno de los sumandos es un número entero, se considera como una fracción
de denominador 1 y se siguen los mismos pasos que acabamos de ver.
Ejemplo
3 4 3 4 ⋅ 5 3 20 3 23
+ =
+ =
4 + = + =
5 1 5
5
5
5 5
5
eJerCiCios
1. Realiza las siguientes operaciones:
3. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 2 + 4 =
5
5
b) 5 − 6 =
7
7
2
c) + 5 − 4 =
9
9
9
2
8
3
4
6
d)
+
+
−
+
=
15
15
15
15
15
a) 2 + 3 =
8
4
3
6
+
−
=
b)
5
10
15
2. Calcula las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
4
8
+
=
5
10
18
4
−
=
24
3
7
4
13
+
−
=
15
9
45
2
5
7
−
+
=
3
8
12
c) 1 −
d)
4
1
4
+
+
=
9
3
6
2
−3+ 1=
3
1
del día a un trabajo, hoy he ocu3
pado 5 y mañana todavía dedicaré 3 partes más.
8
12
¿Cuántas horas me habrá llevado hacer el trabajo?
4. Ayer destiné
5. ¿Cuánto es un tercio de dos quintos de ciento cincuenta?
59
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8 MULtipLiCACión Y división de frACCiones
reCUerdA
Como en cualquier operación, en la multiplicación de fracciones se debe
simplificar el resultado
siempre que se pueda.
Multiplicación
Para multiplicar fracciones no es necesario que los denominadores sean iguales,
como ocurre en el caso de las sumas y las restas. Basta con multiplicar los numeradores, por un lado, y los denominadores, por otro. El primer producto será
el numerador de la nueva fracción, y el segundo, el denominador. Como en cualquier operación, se debe simplificar el resultado siempre que se pueda.
Ejemplo
6 5 6·5
30
2· 3· 5
2
· =
=
=
=
15 9 15 · 9 135 3 · 3 · 3 · 5 9
simplificamos la fracción
Antes de multiplicar los numeradores y los denominadores es conveniente descomponerlos en factores primos para eliminar los que sean comunes. Esto facilita los cálculos.
Ejemplo
En ocasiones, no es necesario descomponer el numerador y el denominador en
factores primos ya que el
numerador de una fracción
se anula con el denominador de otra.
4 6 35 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 7 ⋅ 5
2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅ 7 ⋅ 5
⋅ ⋅ =
⋅
⋅
=
=2
5 7 12
5
7 2⋅ 2⋅ 3
5⋅ 7 ⋅ 2⋅ 2⋅ 3
En cualquier caso, siempre conviene simplificar el resultado obtenido.
Ejemplo
1 3 2 7 1· 3 · 2 · 7 1
=
· · · =
2 7 4 3 2· 7 ·4 ·3 4
5 2 3 1 /5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 1 /2 ⋅ /3 ⋅ 1
1
⋅ ⋅ ⋅ =
=
=
/ 56
8 7 5 6 8 ⋅ 7 ⋅ /5 ⋅ 6 8 ⋅ 7 ⋅ 6
Fracciones inversas
Cuando el producto de dos fracciones da como resultado el elemento neutro,
decimos que las fracciones son inversas la una de la otra. El inverso de un número es el resultado de dividir 1 por este número, y la fracción inversa de una
fracción dada es el resultado de intercambiar el numerador y el denominador.
Ejemplos
La fracción inversa de 3 es
1
1 3 1 3
, porque 3 ⋅ = ⋅ = = 1
3
3 1 3 3
La fracción inversa de
3
4
3 4 3 ⋅ 4 12
= =1
es , porque ⋅ =
4
3
4 3 4 ⋅ 3 12
La fracción inversa de
1
1 6 1· 6 6
6
es , porque · =
= =1
6
6 1 6·1 6
1
60
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Los números racionales
4
División de fracciones
Recordemos que la división es la operación inversa de la multiplicación. Según
esto, para dividir dos fracciones hay que multiplicar el dividendo (la primera
fracción) por la fracción inversa del divisor (la segunda fracción), y simplificar el
resultado cuando sea posible.
Ejemplo
reCUerdA
/2 · 2 · /3 2
4 2 4 3 4 ⋅ 3 12
=
: = ⋅ =
=
=
/2 · /3 · 3 3
9 3 9 2 9 ⋅ 2 18
simplificamos la fracción
El método de la multiplicación en cruz sirve para dividir tres o más fracciones.
En este caso debemos aplicar la definición de división explicada inicialmente:
se multiplica la primera fracción por la inversa de las fracciones sucesivas.
El método tradicional
para dividir dos fracciones es la multiplicación
en cruz:
a
c
a· d
:
=
b
d
b·c
Ejemplo
Aplicamos la definición:
Multiplicamos en cruz:
4 3 8 4 2 21 4 · 2 · 21 /2 · /2 · /2 · /3 · /7
=1
: : = · · =
=
7 2 21 7 3 8
7 · 3 · 8 /7 · /3 · /2 · /2 · /2
4 3 8 7 ⋅ 3 ⋅ 21 441
: : =
=
7 2 21 4 ⋅ 2 ⋅ 8
64
✓
✗
eJerCiCios
1. Realiza las siguientes multiplicaciones y simplifica
el resultado:
a) 3 ⋅ 6 ⋅ 15 =
5 7 12
b) 3 ⋅ 6 ⋅ 10 =
8 15
9
2. Descompón los numeradores y los denominadores
en factores primos, y simplifica antes de multiplicar:
a)
4 3 6
· · =
9 11 15
b) 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 10 =
5 4
21
3. Calcula las siguientes operaciones:
 3 14 
1
=
a)  ⋅
 +
 7
9 
3
b) 1 + 2 ⋅ 3 =
4
5 4
4. Encuentra el inverso de los siguientes números:
a) 5
c) 2
3
b) −9
d) − 5
6
5. Realiza las siguientes divisiones:
a) 5 : 3 =
8 4
b) 1 : 2 =
9 5
c) 6 : 3 =
11 4
d) 32 : 4 =
49 7
6. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 5 : 15 =
18
 1 3  4 2
f)  ⋅  :  ⋅  =
 5 6   2 3 
b) 3 : 9 : 2 =
5 4 5
 2  1 
g) 3 ⋅  :  ⋅ 7 =
 5  7 
 7 5   1 2
c)  :  :  :  =
 9 12   4 5 
h)
3 2 7 5
⋅ ⋅ ⋅ =
7 5 2 3
 1   7 28 
d)  : 2 ⋅  :  =
 3   11 33 
i)
1 2 2 5
: : : =
4 5 1 4
2 3  1 5 
e)  :  ⋅  :  =
 3 4   2 10 
 1 2  6 
j)  :  ⋅  : 2 =
 5 5   10 
61
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Los números racionales
Ejercicios y problemas
eJerCiCios
1
Completa las siguientes frases:
a Una ...................... es la expresión de una división.
b Una fracción tiene dos elementos característicos: el
...................... y el .......................
c El ...................... indica las partes en que se divide la unidad.
d En una fracción impropia, el numerador es ......................
que el denominador.
e Los números ...................... comprenden, además de las
fracciones y los números ......................, los números natu­
rales y los números enteros.
2
¿Qué fracción del año son 8 meses? ¿Y un cuatrimestre? ¿Y 90 días?
3
Escribe, en cada caso, la fracción de hora correspondiente:
a
b
c
d
e
f
4
1 minuto
12 minutos
media hora
30 segundos
45 minutos
120 segundos
Representa gráficamente las siguientes fracciones:
Coloca en orden creciente estas fracciones:
15 , 7 , 3 , 6 , 4 , 2 , −1
−
−
4
3 2 7
4 9 3
6
Representa sobre la recta numérica las siguientes
fracciones:
1 3 6
2 1 5
7
− , , ,− , , ,−
2 5 4
3 4 2
3
7
Clasifica estas fracciones:
15 , 14 , 7 , 4 , 26 , 20 , 5 , 6 , 28
20 6 7 10 26 50 3 15 12
a menores que la unidad
b mayores que la unidad
c iguales a la unidad
8
Encuentra, en cada caso, el valor numérico:
a 3 de 56 =
4
b 1 de 12 =
3
c 5 de 60 =
12
d 2 de 100 =
5
10 Indica cuáles de estas fracciones son irreducibles:
14 , 3 , 16 , 18 , 5 , 17 , 4
18 2 20 12 6 15 9
11
Escribe en forma de número mixto las fracciones del
ejercicio anterior que sean mayores que la unidad.
Escribe, en cada caso, tres fracciones equivalentes:
12
=
32
5
b =
7
33
c
=
121
3
d
=
12
a
12
2 , 7 , 6 , 14 , 4
5 8 4 6 9
5
9
Simplifica hasta llegar a la fracción irreducible:
54
=
63
72
=
b
150
12
=
c
84
120
=
d
200
a
13
Di cuáles de estas parejas de fracciones son equivalentes:
a
b
c
d
e
7 49
y
8 64
15
9
y
25 15
8
20
y
12 30
9
18
y
14 24
2 7
y
7 2
62
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14
Encuentra el término que falta:
a
6
=
25 5
9
27
=
b
10
b
12
c
=
c
18 30
4
d
d =
d 16
a
15
Calcula las sumas siguientes:
2 1
+ =
5 5
1 1
b + =
2 4
1
c 3+ =
2
3 1 5
d + + =
4 3 12
a
16
Efectúa las siguientes restas:
3 1
− =
4 4
5
b −1=
3
1 2
c − =
4 3
2 4
7
d − − =
5 15 45
3 9
: =
7 14
4 1
d : :2=
9 3
c
e
3 7 1
: : =
4 5 3
f
2 1 2
: : =
4 5 6
19
Realiza las siguientes operaciones:
1 8 24
− +
=
3 9 27
6 14 10
: =
b ⋅
7 20 12

1  
1 

c 2 − 4  : 6 − 3  =
a
 1 1 1 

d 1 −  2 + 3 − 4  =
 1 1 6 2 
e  :  +  :  + 1 =
 2 3  3 4 
a
17
Realiza estas multiplicaciones:
2 6
⋅ =
3 8
7 6
⋅ =
b
18 21
3
c 5⋅ =
8
5 3 4 9
⋅ ⋅ ⋅ =
d
12 7 5 10
a
18
Resuelve estas divisiones:
1 1
: =
5 4
4
b 2: =
3
a
proBLeMAs
Si las 2 partes de los 20 participantes de un curso
5
son hombres, ¿cuántas mujeres hay?
20
En una clase de 30 alumnos ha faltado 1 parte.
6
¿Cuántos alumnos han asistido a clase?
21
22
Me he gastado la mitad de lo que tenía en un traje;
luego, en el mercado, he gastado la mitad de lo que me
quedaba. ¿Qué fracción de lo que tenía me he gastado
en total?
23
Si tengo 50 € y me gasto 30, qué parte del dinero
me queda?
24 ¿Cuánto es un tercio de dos quintos de noventa?
25
En una fiesta popular se presentó un queso que
pesaba 400 kg y se comieron las 5 partes. ¿Cuánto
8
pesaba el trozo que quedó por comer?
63
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Los números racionales
Ejercicios y problemas
Un corredor de fondo recorre 3 del camino en la
7
primera hora, 1 del camino en la segunda y el resto en
4
la tercera. ¿Cuándo ha caminado más?
26
29 En la vendimia de 2012 se prevé cosechar 360.000
1
parte inferior a la
4
que se recolectó el año anterior. ¿Cuántas toneladas se
toneladas de uva. Esta cantidad es
cosecharon en 2011?
27
Ayer participé en una carrera organizada por el
Ayuntamiento. El recorrido era de 24 km, y al mediodía
7
ya había hecho partes. ¿Cuántos kilómetros me fal12
taban para llegar a la meta?
2
6
1
partes del día. Si ocupa parte del día entre desplaza2 12
partes ayudando a sus hijos con
mientos y encargos y
24
los deberes, ¿cuántas horas le quedan libres?
28 Una persona trabaja 8 horas diarias y duerme
AutOEvAluACióN
1
¿Qué fracción expresa la capacidad de un vaso de
200 ml con respecto a un litro?
a 200
1.000
2
b 200
100
c
200
10.000
La fracción 77 es:
123
a más pequeña que la unidad
b igual a la unidad
c mayor que la unidad
La fracción irreducible de 420 es:
630
3
2
a
b
c 1
2
3
3
3
4
b 42
c 35
Una fracción equivalente de 12 es:
14
a 5
b 36
c 100
7
42
120
5
c 1
3
El resultado de 1 ⋅ 3 : 3 es:
4
8
a 1
b 2
c 1
2
32


1 2
1
8 El resultado de :  − 2 ⋅ 1−  es:
 5 
5 3
7
a −2
15
b 3
10
c −3
14
9
¿Cuántos habitantes tiene una población si hay
2.400 menores y suponen 1 del total?
6
a 14.400
5 de 63 es:
9
a 25
El resultado de 5 − 2 es:
6 3
a 3
b 1
3
6
6
b 400
c 7.000
10 Una familia que tiene unos ingresos mensuales
de 1.800 € invierte las cuatro décimas partes en comida, un doceavo en ropa, un décimo en ocio y un cuarto
en otros gastos. ¿Cuánto ahorra al cabo del año?
a 1.000 €
b 3.600 €
c 300 €
64
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