bloque 3

PRINCIPADO DE ASTURIAS / SEPTIEMBRE 06 LOGSE / MATEMÁTICAS
APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ANÁLISIS / BLOQUE 3
BLOQUE 3
Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que
obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido
es x (tanto la cantidad como el capital en euros):
0
⎧⎪
+ 56 x
400
R ( x) = ⎨40 +
⎪⎩
1640 + 0,1x
0 ≤ x < 600
x ≥ 600
(a) ¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido?
(b) ¿Decrece alguna vez la cantidad reinvertida al aumentar el capital obtenido? Por
muy grande que sea el capital obtenido, ¿puede la cantidad reinvertida superar los
1000 euros?
(c) Dibuja la gráfica de la función.
Solución:
(a) El único valor que presenta dificultad para la continuidad es x = 600
Hasta x = 600 (cuando x → 600−) la reinversión es 0
Desde x = 600 la reinversión es R (600) = 40 +
400 + 56·600
= 60
1640 + 0,1·600
Por tanto, justo cuando x = 600 se produce un salto en el valor de R(x); luego, la función no es
continua en ese punto.
(b) Hay que estudiar el signo de la derivada de R(x)
0
⎧
⎪
91800
R´(x) = ⎨
⎪⎩ (1640 + 0,1x) 2
0 < x < 600
x > 600
Para valores de x > 600 la derivada siempre es positiva; por tanto, la reinversión nunca decrece.
Para ver si la cantidad reinvertida puede superar los 1000 euros hay que estudiar si la inecuación
400 + 56 x
> 1000 tiene solución.
1640 + 0,1x
400 + 56 x
R ( x) = 40 +
> 1000 ⇒ 400 + 56 x > 1574400 + 96 x ⇒ 30x < −1574000
1640 + 0,1x
R ( x) = 40 +
Como la solución negativa no tiene sentido en este caso, la reinversión nunca puede superar los
1000 euros.
Con mayor precisión puede afirmarse que la reinversión máxima tiende al valor del límite:
400 + 56 x ⎞
56
⎛
= 600
lím ⎜ 40 +
⎟ = 40 +
x →∞
1640 + 0,1x ⎠
0,1
⎝
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(c) Hasta x = 600 la función vale 0; en x = 600 vale 60; siempre es creciente; tiende a 600
cuando x se hace muy grande. Por tanto, dando algunos valores más podemos representar la
curva:
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