Tema 5. Dinámica de la rotación - OCW Usal

Fı́sica I. Curso 2010/11
Departamento de Fı́sica Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca
Profs. Alejandro Medina Domı́nguez y Jesús Ovejero Sánchez
Tema 5. Dinámica de la rotación
Índice
1. Cuerpo rı́gido, traslación y rotación
3
2. Energı́a cinética rotacional. Momento de inercia
3
3. Cálculo de momentos de inercia
5
3.1. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2. Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4. Momento angular
5. Segunda ley de Newton para la rotación
9
11
5.1. Partı́cula única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2. Sistemas de partı́culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6. Conservación del momento angular y sus aplicaciones
15
7. Analogı́as entre las ecuaciones de la traslación y la rotación
17
8. Problemas
18
Tema 5. Dinámica de la rotación
2
Tema 5. Dinámica de la rotación
1.
3
Cuerpo rı́gido, traslación y rotación
En los temas anteriores hemos estudiado únicamente movimientos de traslación para partı́cu-
las y sistemas de partı́culas. Hemos definido el centro de masas como aquel punto que se comporta como si todas las fuerzas que actúan sobre el sistema se concentraran en él. El movimiento
de un cuerpo extenso se puede describir en términos del movimiento traslacional de su centro
de masas y del movimiento de los puntos del sistema respecto al centro de masas (por ejemplo,
respecto a un eje que pasa por él). Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de
un cuerpo extenso nos falta estudiar esta última parte. Veremos que el estudio de este tipo de
movimiento rotacional es análogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes fı́sicas
que siempre tienen su equivalente lineal. Por ejemplo, si la ecuación de movimiento del centro de
masas de un cuerpo relaciona aceleración con fuerzas externas, la de la rotación, como veremos,
relaciona otro tipo de aceleración (angular ) con el momento de las fuerzas aplicadas.
La principal hipótesis simplificadora en el estudio de movimientos rotacionales suele ser la
consideración del objeto a estudiar como un cuerpo rı́gido. Éste es aquel sistema en que la
distancia entre dos puntos cualquiera no varı́a con el tiempo. Es un sistema que no se deforma.
Consideraremos que un cuerpo rı́gido describe un movimiento de rotación cuando cada una de
sus partı́culas (salvo las que están sobre el eje) realiza un movimiento circular.
El movimiento más general de un cuerpo rı́gido tiene lugar cuando el eje de rotación cambia
de dirección al mismo tiempo que se traslada. Esto sucede, por ejemplo, en un pase de fútbol
con efecto: el eje no sólo cambia de posición en el tiempo, sino que también varı́a su orientación.
En este tema restringiremos nuestra discusión a la rotación de un cuerpo rı́gido respecto a un
eje que no cambia de orientación.
2.
Energı́a cinética rotacional. Momento de inercia
Consideremos un sólido rı́gido rotando con velocidad angular ω, tal y como muestra la
figura.
4
Tema 5. Dinámica de la rotación
z
ω
vi
i
ri
O
x
y
Su energı́a cinética se puede expresar como la suma de las energı́as cinéticas de todos los
puntos que lo componen:
Ec =
n
X
1
i
2
n
mi vi2
1X
=
mi ri2 ω 2 .
2 i
Como ω es igual para todos los puntos:
1
Ec =
2
Si denominamos I a la magnitud
!
X
mi ri2 ω 2 .
i
X
mi ri2 , obtenemos una ecuación para la energı́a cinética de
i
la rotación similar a la de la traslación:
1
Ec = Iω 2 .
2
La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos comprobando en
este tema constituye de algún modo, la magnitud equivalente en dinámica de la rotación a la
masa en dinámica de la traslación. Sus dimensiones y sus unidades en el Sistema Internacional
son respectivamente: [I] = M L2 y kg.m2 .
Conviene resaltar que en esta definición, las distancias que aparecen son las distancias de
cada masa del sistema al eje de giro (¡no al origen de coordenadas!), luego el momento de inercia
depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al sistema, sino que también
depende de cuál es el eje de giro.
5
Tema 5. Dinámica de la rotación
3.
3.1.
Cálculo de momentos de inercia
Sistemas discretos
3.1 Ejemplo
Calcúlese el momento de inercia de la siguiente distribución de 8 masas idénticas respecto a los
dos ejes que se muestran en la figura:
z
m
z
a
r
a
a
z
z
a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribución.
b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado.
√
a) En este caso la distancia de todas las masas al eje es a 2/2.
I=
8
X
i=1
√ !2
2
mi ri2 = 8m a
= 4ma2 .
2
6
Tema 5. Dinámica de la rotación
b) En este caso hay varios tipos de distancias al eje.
I=
8
X
√
mi ri2 = 0 + 0 + 4ma2 + 2m( 2a)2 = 4ma2 + 4ma2 = 8ma2 .
i=1
Luego I depende del eje considerado.
3.2.
Sistemas continuos
En el caso de sistemas continuos el momento de inercia se define del siguiente modo:
Z
X
2
r dm = r2 dm.
I = lı́m
∆m→0
Utilizando la definición de densidad de masa se pueden presentar tres situaciones:
a) Sistemas tridimensionales (esferas, cilindros, conos, etc.):
Z
dm
ρ=
−→ I =
ρ(r)r2 dV.
dV
V
b) Sistemas bidimensionales (discos y superficies planas):
Z
dm
σ(r)r2 dS.
σ=
−→ I =
dS
S
c) Sistemas unidimensionales (varillas e hilos rectilı́neos):
Z
dm
λ=
−→ I = λ(r)r2 dx.
dx
l
En el caso de sistemas homogéneos, las densidades son constantes y salen fuera de la integral
correspondiente.
dm
R
x
z
7
Tema 5. Dinámica de la rotación
3.2 Ejemplo
Calcúlese el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular al plano que lo contiene y que pasa por su centro.
Z
Z
2
2
I = r dm = R
dm = M R2 .
En este caso, el momento de inercia es independiente de que el anillo sea homogéneo o no (cosa
que no ocurre, por ejemplo, cuando se calcula su centro de masas).
3.3 Ejemplo
Momento de inercia de un disco uniforme de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular
al plano que lo contiene y pasa por su centro.
y
R
r
x
dm
z
Tomamos como elemento de masa dm un anillo situado entre r y r + dr. Su área será ds =
2πrdr.
dm = σds =
Z
I=
M
r dm = 2 2
R
2
Z
0
M
2
πrdr
πR2
R
r3 dr = 2
M R4
1
= M R2 .
2
4R
2
Este momento de inercia se puede aplicar a calcular el de un cilindro uniforme respecto a su
eje de simetrı́a, sin más que considerarlo como una superposición de discos de radios idénticos
Z
Z
1 2
1
I = dI =
R dm = M R2 .
2
2
8
Tema 5. Dinámica de la rotación
dm
dI
R
No lo demostraremos aquı́, pero se puede utilizar el momento de inercia de un cilindro
2
para calcular el de una esfera uniforme, que resulta ser: I = M R2 . La figura adjunta resume
5
algunos otros momentos de inercia habituales (para objetos rı́gidos y uniformes).
Aro cilíndrico
Cilindro hueco
Cascarón esférico
R1
R2
R
I=MR
R
2
2
I= _1 M (R 1+R 2 )
2
2
Placa rectangular
I= _2 MR
3
2
Varilla
L
L
b
a
I= _1 M (a 2+b )
12
2
I= _1 ML 2
12
I= _1 ML2
3
9
Tema 5. Dinámica de la rotación
3.3.
Teorema de los ejes paralelos (Steiner)
Como hemos visto, el momento de inercia de un cuerpo no es único, sino que depende
del eje respecto al que se calcula. Esto hace muchas veces su cálculo complicado. Se ha de
recurrir entonces a expresiones generales que relacionen el momento de inercia respecto a dos
ejes diferentes. Uno de los teoremas al respecto más prácticos es el denominado de Steiner o
de los ejes paralelos. Relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro
de masas, Icm con el relativo a un eje paralelo, I:
I = Icm + d2 M.
donde d es la distancia entre los ejes.
3.4 Ejemplo
Como ejercicio es fácil obtener la relación entre el momento de inercia de una varilla respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas, Icm = (1/12)M L2 , y a un eje
perpendicular que pasar por uno de sus extremos, Icm = (1/3)M L2 .
4.
Momento angular
El análogo rotacional del momento lineal o cantidad de movimiento de una partı́cula es una
nueva magnitud fı́sica denominada momento angular . Se define el momento angular de una
partı́cula en un instante determinado y respecto a un cierto origen de coordenadas O como:
~` = ~r × p~,
donde ~r es el vector de posición de la partı́cula respecto a ese origen y p~ es su momento lineal
en ese instante. Con esta definición vemos que ~` es una magnitud vectorial, perpendicular tanto
a ~r como a p~.
Dimensiones: [`] = LM LT −1 = M L2 T −1 ;
Unidades S.I.: kg.m2 /s.
Conviene recalcar que la definición de esta nueva magnitud depende del origen de coordenadas
elegido, por lo que siempre que se hable de momento angular debe quedar claro a que sistema
de coordenadas nos referimos.
4.1 Ejemplo
Partı́cula describiendo una circunferencia.
10
Tema 5. Dinámica de la rotación
ω
l
r
O
p
z
~` = ` ~k
−→
` = rmv sen
π 2
= rmv = r2 mω.
Si ω es constante, ` también lo es.
4.2 Ejemplo
Partı́cula moviéndose en lı́nea recta.
z
l
p
r
r
θ
x
O
y
~` = −`~j
−→
` = rmv sen θ = mvr⊥ .
Únicamente si el origen está en la trayectoria de la partı́cula, ~` valdrá cero. Si la velocidad es
constante, ~` será constante, pero si la partı́cula está acelerada, ~` varı́a en el tiempo.
5.
Segunda ley de Newton para la rotación
5.1.
Partı́cula única
En el caso del movimiento de traslación, comprobamos cómo la derivada temporal del momento lineal está relacionada con las fuerzas exteriores que actúan sobre cierta partı́cula. De
11
Tema 5. Dinámica de la rotación
hecho, esta es una expresión alternativa de la ecuación newtoniana del movimiento de la partı́cula. Veremos a continuación qué información está contenida en la derivada del momento angular.
Consideremos una única partı́cula:
0
>
d~`
d(~r × p~)
d~r d~p
d~p
=
= × p~ + ~r ×
= ~r ×
dt
dt
dt
dt
dt
d~p
= f~
dt
=⇒
d~`
= ~r × f~ = ~τ .
dt
Esta última ecuación constituye la segunda ley de Newton para la rotación. La variación del
momento angular con el tiempo es el momento neto de las fuerzas que actúan sobre la partı́cula.
Veamos intuitivamente qué significa esto con un ejemplo.
5.1 Ejemplo
Consideremos una puerta vista desde arriba y que pretendemos abrirla ejerciendo una fuerza
sobre ella.
La experiencia nos dice que la aceleración con que conseguimos abrirla no sólo depende de la
magnitud de la fuerza aplicada, sino también de su dirección y punto de aplicación. La fuerza
f~3 no consigue abrirla, la f~2 sı́, pero ’despacio’. Y la f~1 consigue abrirla con más facilidad.
Repitiendo la experiencia sistemáticamente se comprueba que la aceleración angular con que se
abre la puerta es proporcional, no sólo a la magnitud de la fuerza aplicada, sino también a la
distancia de la lı́nea de acción de la fuerza al eje de giro. Esta distancia se denomina brazo de
palanca. Entonces α ∝ f r⊥ = f r sen θ.
f3
f2
f1
r
θ
f
f
r
12
Tema 5. Dinámica de la rotación
Se define el módulo del momento asociado a la fuerza f~ como: τ = f r sen θ. Y, por lo tanto,
experimentalmente se comprueba que,
−→
α∝τ
segunda ley de Newton para la rotación
La relación matemática rigurosa entre ambas magnitudes la obtenemos a partir del concepto de
momento angular.
Como en la obtención de esta segunda ley para la rotación, hemos aplicado la correspondiente
a la traslación, que sólo es válida en sistemas de referencia inerciales, el resultado obtenido es
también únicamente válido en estos sistemas de referencia. Esta ley constituye la analogı́a
rotacional de la segunda ley de Newton que ya conocı́amos para la traslación.
5.2.
Sistemas de partı́culas
Se define el momento angular total de un sistema de partı́culas como la suma de los momentos individuales de cada una:
~ =
L
n
X
~`i
i=1
n
n
X
~
dL
d~`i X
=
=
~ri × f~i = ~τt ,
dt
dt
i=1
i=1
donde ~τt representa el momento de fuerzas total sobre el sistema, que se puede descomponer
en un momento asociado a fuerzas internas al sistema y otro a externas.
~τt = ~τint + ~τext .
Es fácil darse cuenta de que ~τint = 0. Por ejemplo, para un sistema de dos partı́culas:
i
fji
fij
θi
ri
r
j
θj
rj
O
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Tema 5. Dinámica de la rotación
−f~ij = f~ji
−→
fij = fji
Si el eje perpendicular al papel es el z:
~τint = ri fij sen θi ~k − rj fij sen θj ~k = fij (ri sen θi − rj sen θj )~k = fij (r⊥ − r⊥ )~k = 0
La demostración para un número arbitrario de partı́culas será análoga. Por lo tanto, queda
demostrado que:
~
dL
= ~τext
dt
Esta es la expresión de la segunda ley de Newton para la rotación aplicada a un sistema de
partı́culas.
No lo demostraremos aquı́, pero esta ecuación no sólo es válida en cualquier sistema de
referencia inercial, sino que también lo es siempre respecto al sistema de referencia de centro
de masas del sistema, aunque esté acelerado. Es por esto que siempre se puede descomponer el
movimiento de un cuerpo extenso en traslación del centro de masas y rotación respecto a él. En
el primer caso se elige un sistema de referencia inercial y se aplica la segunda ley de Newton
respecto a él. Para la rotación se considera como sistema de referencia el centro de masas y se
aplica la segunda ley de Newton para la rotación respecto a él.
Trataremos ahora de expresar la segunda ley de Newton para la rotación de modo análogo
a la ecuación, f~ = m~a. Consideremos un sólido rı́gido rotando alrededor del eje z y tomemos
como origen un punto cualquiera del eje.
z
ω
z
p
liz
i
Ri
i
Ri
l
θi i
i
ri
O
ri
x
θi
y
plano xy
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Tema 5. Dinámica de la rotación
`i = ri pi sen
π 2
= ri mi vi = ri Ri mi ω
Componente z de li :
`iz = ri Ri mi ω sen θi
y como: ri sen θi = Ri
=⇒
`iz = Ri2 mi ω.
Sumando para todas las partı́culas que forman el objeto:
!
n
n
X
X
Lz =
`iz =
mi Ri2 ω = Iω.
i=1
i=1
Luego para todo sólido rı́gido, la componente sobre el eje de rotación del momento angular
verifica una ecuación similar a p = mv. Aunque no lo demostraremos, se puede comprobar que
para cualquier sólido rı́gido con simetrı́a axial :
~ =Iω
L
~,
~ está dirigido en la dirección de ω
es decir, que L
~ . Pero esto no es cierto para cualquier sólido
rı́gido.
En resumen,
+ Para un sólido rı́gido (I = cte.) cualquiera:
dLz
dω
=I
= Iα
dt
dt
−→
τz = Iα
donde τz es la componente z de ~τext .
+ Si además de ser rı́gido tiene simetrı́a de revolución:
~
dL
d~ω
=I
= I~
α
dt
dt
−→
~τext = I~
α
d~p
Estas expresiones constituyen la analogı́a rotacional de
= m~a para la segunda ley de Newton
dt
~
dL
en movimientos lineales. De otro modo:
= ~τext = I~
α.
dt
6.
Conservación del momento angular y sus aplicaciones
Hasta aquı́ hemos introducido dos principios de conservación básicos en Mecánica Clásica,
el de conservación de la energı́a y el de conservación del momento lineal de un sistema. Además
15
Tema 5. Dinámica de la rotación
de su gran importancia teórica, ambos permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos.
Presentaremos ahora otro principio de conservación de gran trascendencia y lo aplicaremos a
la resolución de ciertos problemas interesantes.
Cuando el momento de la fuerzas externas que actúan sobre un sistema se anula, se verifica
que:
~τext = 0
=⇒
~ = cte.
~
L
=⇒
~i = L
~f.
L
Esto quiere decir que para un sistema en el que ~τext = 0, el momento angular total es constante.
Esto no significa que el momento angular de cada una de las partı́culas que forman el sistema
permanezca constante, sino solamente que la suma de todos ellos sı́ que lo es. Además, este
principio de conservación sólo es cierto punto a punto. Únicamente si ~τext respecto a un cierto
~ respecto a ese punto es invariante. Respecto
punto es nulo, entonces el momento angular total, L,
a otro punto cualquiera esto no tiene porqué verificarse.
i) Regresemos a la ecuación Lz = Iω, válida para sistemas de geometrı́a arbitraria. Si el
sistema es un sólido rı́gido, I = cte., pero existen ciertos problemas donde el momento de
dI
inercia del sistema varı́a. En este caso
6= 0 y para conservarse el momento angular (si
dt
no existen momentos externos) debe cumplirse:
Li = Lf
=⇒
Ii ωi = If ωf
Esto implica una variación de la velocidad angular del sistema. En resumen, la conservación
del momento angular da lugar a una variación de la velocidad angular del sistema si el
momento de inercia cambia.
6.1 Ejemplo
Una persona está sentada sobre un taburete y gira respecto a un eje vertical con una velocidad angular ωi mientras sostiene dos pesas con sus brazos extendidos. Repentinamente
encoge sus brazos de modo que If = Ii /3. Calcúlese la velocidad angular una vez encogidos
los brazos. ¿Qué relación hay entre la energı́a cinética de rotación inicial y final?
Ii
ωf −→ ωf = 3ωi
3
1
1 Ii
Ii 2
2
2
(3ωi ) = 3
ω = 3Ki .
Kf = If ωf =
2
2 3
2 i
Ii ωi = If ωf =
16
Tema 5. Dinámica de la rotación
ii) Fuerzas centrales y conservación del momento angular
La conservación del momento angular es básica en el estudio de movimientos planetarios
y otro tipo de problemas gravitatorios. La fuerza gravitatoria es un ejemplo tı́pico de
fuerza central , es decir, es una fuerza que sólo depende de la distancia de los objetos que
interaccionan.
6.2 Ejemplo
Supongamos, por ejemplo, un planeta en órbita elı́ptica alrededor del sol.
θ
v
r
f
Planeta
P
vA
A
Sol
vP
El momento de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el planeta es cero respecto al Sol,
porque ~r y f~ son colineales. Por lo tanto, si despreciamos otras fuerzas, el momento angular
del planeta respecto al Sol permanece constante.
~ = ~r × p~ = cte.
~
L
−→
mvr sen θ = cte.
Todas las magnitudes que aparecen en esa ecuación varı́an durante el movimiento orbital,
pero su producto permanece constante. Ası́ por ejemplo, veremos qué pasa en la posición
más próxima al Sol ( perihelio) y en la más alejada ( afelio). En estas posiciones,
θ = π/2
→
sen θ = 1
=⇒
vA rA = vP rP
Como rA > rP , entonces vA < vP . Es decir, que la velocidad del planeta en su órbita va
cambiando con el tiempo, aumentando en el camino A → P , y disminuyendo en el inverso. En general, para cualquier fuerza central, el momento angular se mantiene constante
respecto al centro de fuerzas.
17
Tema 5. Dinámica de la rotación
7.
Analogı́as entre las ecuaciones de la traslación y la
rotación
A modo de apéndice, resumimos en la siguiente tabla el paralelismo entre las ecuaciones
que hemos obtenido en los casos traslacional y rotacional.
Traslación
Rotación
m
I
p~ = m~v
Lz = Iω
~ = I~ω )
(simetrı́a axial → L
f~
~τ
d~p
f~ =
= m~a
dt
dLz
= Iα
dt
~
dL
(simetrı́a axial → ~τ =
= I~
α)
dt
Ec = 21 m v 2
Ec = 12 I ω 2
τz =
18
Tema 5. Dinámica de la rotación
8.
Problemas
1. Se sujeta un cuerpo de masa m a una cuerda enrollada alrededor de una rueda de momento
de inercia I y radio R. La rueda puede girar sin rozamiento y la cuerda no se desliza en
su borde. Halla la tensión de la cuerda y la aceleración del cuerpo.
mgI
mR2
(Respuestas: T =
;
a
=
g
)
mR2 + I
mR2 + I
2. Un muchacho de masa, m, se acerca corriendo con una velocidad, v, a un tiovivo de
feria, que está inicialmente parado, y se sube de un salto a su borde. ¿Qué velocidad
angular adquiere el tiovivo cuando el muchacho ha subido y se encuentra en reposo relativo
respecto a él?
(Respuestas: ω =
mvR
)
I + mR2
3. Dos masas, m1 y m2 , están conectadas a través de una cuerda que pasa por dos poleas
idénticas de momento de inercia, I. Encuéntrese la aceleración de cada masa y las tensiones
en la cuerda.
(Respuestas: a =
(m2 − m1 )g
;
+ m1 + m2
2I
R2
T1 = m1 (a + g); T2 =
aI
+ T1 ; T3 = m2 (g − a))
R2
4. Dos objetos (A y B) están conectados a través de dos poleas (C y D) de radios: RC = 8
cm y RD = 15 cm. Las masas de los objetos son mA = 27 kg y mB = 16 kg. Si la masa
de la polea C es mC = 8 kg, calcular:
a) la masa mD para que la pesa B se mueva con una aceleración de 2 m/s2 hacia arriba.
b) las tensiones en el cable.
(Respuestas: a) mD = 13,8 kg; b) T1 = 210,6 N; T2 = 202,6 N; T3 = 188,8 N)
5. Una esfera, un cilindro y un aro, todos del mismo radio, ruedan hacia abajo sobre un
plano inclinado partiendo de una altura y0 . Encuéntrese en cada caso la velocidad con la
que llegan a la base del plano.
10
4
(Respuestas: ve2 = g(y0 − y); vd2 = g(y0 − y); va2 = g(y0 − y))
7
3
6. Calcúlese el valor de la masa del cuerpo A de la figura para que el cuerpo C suba por el
plano una distancia de 3 m en 2, 74 s, partiendo del reposo. Si mB = 10 kg, mC = 5 kg,
Tema 5. Dinámica de la rotación
19
R1 = 0, 3 m, R2 = 0, 2 m y el radio de giro 0, 1 m. Calcúlense en ese instante la velocidad
de cada cuerpo, el espacio recorrido por el cuerpo A y la energı́a cinética del cuerpo B.
(Respuestas: mA = 2,36 kg; yA = 4,5 m; vA = 3,29 m/s; vC = 2,19 m/s; Ec,B =
6,01 J)
7. Una fuerza constante T de 15 N se aplica a una cuerda enrollada alrededor de una rueda
de masa 4 kg, radio 33 cm y radio de giro 30 cm. Si hay un momento debido al rozamiento igual a 1, 1 N.m en el centro, calcúlense: a) La aceleración angular de la rueda. b)
Suponiendo ahora que en lugar de la fuerza constante se cuelga un bloque de peso 15 N.
¿Cuál es la aceleración angular de la rueda?, ¿cuál es la aceleración del bloque? y ¿cuál es
la velocidad del bloque a los 8 s, si la rueda parte del reposo? c) Supóngase que la fuerza
T en la cuerda, está dada por la relación T = 3t − 0, 2t2 (N ) donde t está en segundos.
¿Cuál es la velocidad lineal de un punto de la periferia después de 8 s, si la rueda parte
del reposo?
(Respuestas: a) α = 10,69 rad/s2 ; b) α1 = 7,31 rad/s2 ; a = 2,41 m/s2 ;
19,3 m/s; c) v(t = 8 s) = 10,65 m/s )
v(t = 8 s) =
Tema 5. Dinámica de la rotación
20
8. Un hombre de 100 kg de masa está situado en el borde de una plataforma giratoria de 2 m
de radio y momento de inercia 4000 kgm2 , montada sobre un eje vertical sin rozamiento
que pasa por su centro. Todo el sistema se encuentra inicialmente en reposo. El hombre
comienza a caminar por el borde de la plataforma con una velocidad de 1 m/s respecto de
la Tierra. Calcular: a) La velocidad angular y la dirección en la que girará la plataforma.
b) El ángulo que habrá girado cuando el hombre alcance su posición inicial sobre la
plataforma. c) El ángulo que habrá girado cuando el hombre alcance su posición inicial
respecto de la Tierra.
(Respuestas: a) ω2 = −0,05 rad/s, en sentido opuesto al movimiento del hombre; b)
ϕ2 = 32,73o ;
c) ϕ2 = 36,0o )
9. Un cilindro de radio 10 cm y masa M , lleva en su periferia un saliente de masa despreciable.
Una bala de masa m, impacta en el saliente, con velocidad de 6 m/s. Después del choque
ambos cuerpos giran juntos. Sabiendo que M = 4 m. Determinar: a) La velocidad de
rotación. b) El porcentaje de energı́a cinética perdido en el choque.
(Respuestas: a) ω = 20 rad/s; b) ∆E( %) = 66,67 %)
Tema 5. Dinámica de la rotación
21
10. Una bola de 2 kg de masa que se mueve con una velocidad inicial de 5 m/s choca con
el extremo inferior de una barra de 8 kg y 1, 2 m de longitud, articulada en el punto A
como muestra la figura. Si el coeficiente de restitución es 0, 8, calcular la velocidad de la
bola después del choque. (IA = 13 M l2 ).
(Respuestas: vf 1 = 0,143 m/s)