la integral definida - sergiosolanosabie

Antiderivadas
LA INTEGRAL DEFINIDA
Sergio Stive Solano Sabié 1
Octubre de 2012
1
Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com
Sergio Solano Sabié
CÁLCULO II
Antiderivadas
LA INTEGRAL DEFINIDA
Sergio Stive Solano Sabié 1
Octubre de 2012
1
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Sergio Solano Sabié
CÁLCULO II
Antiderivadas
Antiderivadas
1
2
3
Un fı́sico que conoce la velocidad de una partı́cula podrı́a
desear conocer su posición en un instante dado.
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual
se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad
que se ha fugado durante cierto periodo.
Un biologo que conoce la razón a la que crece una
población de bacterı́as puede interarse en deducir el
tamaño de la población en algún momento futuro.
En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es una función conocida. Si tal función existe. se llama
antiderivada de f .
Definición 1.1
Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre
un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I.
Sergio Solano Sabié
CÁLCULO II
Antiderivadas
Antiderivadas
1
2
3
Un fı́sico que conoce la velocidad de una partı́cula podrı́a
desear conocer su posición en un instante dado.
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual
se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad
que se ha fugado durante cierto periodo.
Un biologo que conoce la razón a la que crece una
población de bacterı́as puede interarse en deducir el
tamaño de la población en algún momento futuro.
En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es una función conocida. Si tal función existe. se llama
antiderivada de f .
Definición 1.1
Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre
un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I.
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Antiderivadas
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1
2
3
Un fı́sico que conoce la velocidad de una partı́cula podrı́a
desear conocer su posición en un instante dado.
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual
se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad
que se ha fugado durante cierto periodo.
Un biologo que conoce la razón a la que crece una
población de bacterı́as puede interarse en deducir el
tamaño de la población en algún momento futuro.
En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es una función conocida. Si tal función existe. se llama
antiderivada de f .
Definición 1.1
Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre
un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I.
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1
2
3
Un fı́sico que conoce la velocidad de una partı́cula podrı́a
desear conocer su posición en un instante dado.
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual
se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad
que se ha fugado durante cierto periodo.
Un biologo que conoce la razón a la que crece una
población de bacterı́as puede interarse en deducir el
tamaño de la población en algún momento futuro.
En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es una función conocida. Si tal función existe. se llama
antiderivada de f .
Definición 1.1
Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre
un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I.
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1
2
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Un fı́sico que conoce la velocidad de una partı́cula podrı́a
desear conocer su posición en un instante dado.
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual
se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad
que se ha fugado durante cierto periodo.
Un biologo que conoce la razón a la que crece una
población de bacterı́as puede interarse en deducir el
tamaño de la población en algún momento futuro.
En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es una función conocida. Si tal función existe. se llama
antiderivada de f .
Definición 1.1
Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre
un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I.
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Antiderivadas
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1
2
3
Un fı́sico que conoce la velocidad de una partı́cula podrı́a
desear conocer su posición en un instante dado.
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual
se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad
que se ha fugado durante cierto periodo.
Un biologo que conoce la razón a la que crece una
población de bacterı́as puede interarse en deducir el
tamaño de la población en algún momento futuro.
En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es una función conocida. Si tal función existe. se llama
antiderivada de f .
Definición 1.1
Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre
un intervalo I si F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I.
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CÁLCULO II
Antiderivadas
Antiderivadas
Ejemplo 1.1
Sea f (x) = x2 . Una antiderivada de f es F (x) = 31 x3 . Pero
también la función G(x) = 31 x3 + 100 es una antiderivada de f .
Teorema 1.1
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la
antiderivada más general de f sobre I es
F (x) + C
Donde C es una constante arbitraria.
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Antiderivadas
Antiderivadas
Ejemplo 1.1
Sea f (x) = x2 . Una antiderivada de f es F (x) = 31 x3 . Pero
también la función G(x) = 31 x3 + 100 es una antiderivada de f .
Teorema 1.1
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la
antiderivada más general de f sobre I es
F (x) + C
Donde C es una constante arbitraria.
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CÁLCULO II
Antiderivadas
Antiderivadas
En la siguiente tabla se enumeran algunas antiderivadas particulares:
Función
Antiderivada
Función
Antiderivada
cf (x)
f (x) + g(x)
xn n 6= −1
cF (x)
F (x) + G(x)
sen x
sec2 x
sec x tan x
1
x
ex
ln |x|
ex
sen x
− cos x
tan x
sec x
sen−1 x
tan−1 x
cos x
xn+1
n+1
Sergio Solano Sabié
√ 1
1−x2
1
1+x2
CÁLCULO II
Antiderivadas
Antiderivadas
Ejemplo 1.2
Encuentre todas las funciones
g tales que
√
2x5 − x
0
g (x) = 4 sen x +
x
Solución. Note que la función dada la podemos escribir en la
forma siguiente:
√
2x5
x
0
g (x) = 4 sen x +
−
= 4 sen x + 2x4 − x−1/2
x
x
Al usar las fórmulas de la tabla anterior y el teorema 1.1, obtenemos
2
x1/2
g(x) = 4(− cos x) + x5 − 1 + C
5
2
√
2 5
= −4 cos x + x − 2 x + C.
5
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Antiderivadas
Antiderivadas
Ejemplo 1.2
Encuentre todas las funciones
g tales que
√
2x5 − x
0
g (x) = 4 sen x +
x
Solución. Note que la función dada la podemos escribir en la
forma siguiente:
√
2x5
x
0
g (x) = 4 sen x +
−
= 4 sen x + 2x4 − x−1/2
x
x
Al usar las fórmulas de la tabla anterior y el teorema 1.1, obtenemos
2
x1/2
g(x) = 4(− cos x) + x5 − 1 + C
5
2
√
2 5
= −4 cos x + x − 2 x + C.
5
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Antiderivadas
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Ejemplo 1.2
Encuentre todas las funciones
g tales que
√
2x5 − x
0
g (x) = 4 sen x +
x
Solución. Note que la función dada la podemos escribir en la
forma siguiente:
√
2x5
x
0
g (x) = 4 sen x +
−
= 4 sen x + 2x4 − x−1/2
x
x
Al usar las fórmulas de la tabla anterior y el teorema 1.1, obtenemos
2
x1/2
g(x) = 4(− cos x) + x5 − 1 + C
5
2
√
2 5
= −4 cos x + x − 2 x + C.
5
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Antiderivadas
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Ejemplo 1.2
Encuentre todas las funciones
g tales que
√
2x5 − x
0
g (x) = 4 sen x +
x
Solución. Note que la función dada la podemos escribir en la
forma siguiente:
√
2x5
x
0
g (x) = 4 sen x +
−
= 4 sen x + 2x4 − x−1/2
x
x
Al usar las fórmulas de la tabla anterior y el teorema 1.1, obtenemos
2
x1/2
g(x) = 4(− cos x) + x5 − 1 + C
5
2
√
2 5
= −4 cos x + x − 2 x + C.
5
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CÁLCULO II
Antiderivadas
Antiderivadas
Ejemplo 1.3
Encuentre f si f 0 (x) = ex + 20(1 + x2 )−1 y f (0) = −2
1
Solución. Observe que f 0 (x) = ex + 20 1+x
2 . Usando la tabla de
antiderivadas, tenemos que
f (x) = ex + 20 tan−1 x + C.
Como f (0) = −2 se sigue que
f (0) = e0 + 20 tan−1 0 + C = −2,
de donde se tiene que C = −2−1 = −3, de modo que la función
f está dada por
f (x) = ex + 20 tan−1 x − 3.
Sergio Solano Sabié
CÁLCULO II
Antiderivadas
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Ejemplo 1.3
Encuentre f si f 0 (x) = ex + 20(1 + x2 )−1 y f (0) = −2
1
Solución. Observe que f 0 (x) = ex + 20 1+x
2 . Usando la tabla de
antiderivadas, tenemos que
f (x) = ex + 20 tan−1 x + C.
Como f (0) = −2 se sigue que
f (0) = e0 + 20 tan−1 0 + C = −2,
de donde se tiene que C = −2−1 = −3, de modo que la función
f está dada por
f (x) = ex + 20 tan−1 x − 3.
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Antiderivadas
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Ejemplo 1.3
Encuentre f si f 0 (x) = ex + 20(1 + x2 )−1 y f (0) = −2
1
Solución. Observe que f 0 (x) = ex + 20 1+x
2 . Usando la tabla de
antiderivadas, tenemos que
f (x) = ex + 20 tan−1 x + C.
Como f (0) = −2 se sigue que
f (0) = e0 + 20 tan−1 0 + C = −2,
de donde se tiene que C = −2−1 = −3, de modo que la función
f está dada por
f (x) = ex + 20 tan−1 x − 3.
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Antiderivadas
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Ejemplo 1.3
Encuentre f si f 0 (x) = ex + 20(1 + x2 )−1 y f (0) = −2
1
Solución. Observe que f 0 (x) = ex + 20 1+x
2 . Usando la tabla de
antiderivadas, tenemos que
f (x) = ex + 20 tan−1 x + C.
Como f (0) = −2 se sigue que
f (0) = e0 + 20 tan−1 0 + C = −2,
de donde se tiene que C = −2−1 = −3, de modo que la función
f está dada por
f (x) = ex + 20 tan−1 x − 3.
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Antiderivadas
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Ejemplo 1.3
Encuentre f si f 0 (x) = ex + 20(1 + x2 )−1 y f (0) = −2
1
Solución. Observe que f 0 (x) = ex + 20 1+x
2 . Usando la tabla de
antiderivadas, tenemos que
f (x) = ex + 20 tan−1 x + C.
Como f (0) = −2 se sigue que
f (0) = e0 + 20 tan−1 0 + C = −2,
de donde se tiene que C = −2−1 = −3, de modo que la función
f está dada por
f (x) = ex + 20 tan−1 x − 3.
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CÁLCULO II
Antiderivadas
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Ejemplo 1.4
Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 48 pies/s
desde el borde de un acantilado a 432 pies por arriba del
suelo. Encuentre su altura sobre el suelo t segundos más
tarde. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca
contra el suelo?
Solución. Recordemos que la fuerza gravitacional produce una
aceleración hacia abajo. Para el movimiento cercano a la Tierra
podemos suponer que la gravedad es constante y su valor es
de unos 9,8 m/s2 o 32 pies/s2 .
En un instante t, la distancia arriba del suelo es s(t) y la velocidad v(t) es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe
ser negativa y tenemos
dv
= −32
a(t) =
dt
Sergio Solano Sabié
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Antiderivadas
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Ejemplo 1.4
Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 48 pies/s
desde el borde de un acantilado a 432 pies por arriba del
suelo. Encuentre su altura sobre el suelo t segundos más
tarde. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca
contra el suelo?
Solución. Recordemos que la fuerza gravitacional produce una
aceleración hacia abajo. Para el movimiento cercano a la Tierra
podemos suponer que la gravedad es constante y su valor es
de unos 9,8 m/s2 o 32 pies/s2 .
En un instante t, la distancia arriba del suelo es s(t) y la velocidad v(t) es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe
ser negativa y tenemos
dv
a(t) =
= −32
dt
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Antiderivadas
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Ejemplo 1.4
Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 48 pies/s
desde el borde de un acantilado a 432 pies por arriba del
suelo. Encuentre su altura sobre el suelo t segundos más
tarde. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca
contra el suelo?
Solución. Recordemos que la fuerza gravitacional produce una
aceleración hacia abajo. Para el movimiento cercano a la Tierra
podemos suponer que la gravedad es constante y su valor es
de unos 9,8 m/s2 o 32 pies/s2 .
En un instante t, la distancia arriba del suelo es s(t) y la velocidad v(t) es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe
ser negativa y tenemos
dv
a(t) =
= −32
dt
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Antiderivadas
Antiderivadas
Con antiderivadas tenemos
v(t) = −32t + C
Para determinar C, usamos la información dada de que v(0) =
48. Esto da 48 = 0 + C, de manera que
v(t) = −32t + 48
La altura máxima se alcanza cuando v(t) = 0; es decir, despues de 1,5 s. Como s0 (t) = v(t), antiderivamos una vez más y
obtenemos
s(t) = −16t2 + 48t + D
Aplicamos el hecho de que s(0) = 432 y tenemos 432 = 0 + D;
por consiguiente
s(t) = −16t2 + 48t + 432
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Antiderivadas
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Con antiderivadas tenemos
v(t) = −32t + C
Para determinar C, usamos la información dada de que v(0) =
48. Esto da 48 = 0 + C, de manera que
v(t) = −32t + 48
La altura máxima se alcanza cuando v(t) = 0; es decir, despues de 1,5 s. Como s0 (t) = v(t), antiderivamos una vez más y
obtenemos
s(t) = −16t2 + 48t + D
Aplicamos el hecho de que s(0) = 432 y tenemos 432 = 0 + D;
por consiguiente
s(t) = −16t2 + 48t + 432
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Antiderivadas
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Con antiderivadas tenemos
v(t) = −32t + C
Para determinar C, usamos la información dada de que v(0) =
48. Esto da 48 = 0 + C, de manera que
v(t) = −32t + 48
La altura máxima se alcanza cuando v(t) = 0; es decir, despues de 1,5 s. Como s0 (t) = v(t), antiderivamos una vez más y
obtenemos
s(t) = −16t2 + 48t + D
Aplicamos el hecho de que s(0) = 432 y tenemos 432 = 0 + D;
por consiguiente
s(t) = −16t2 + 48t + 432
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Antiderivadas
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Con antiderivadas tenemos
v(t) = −32t + C
Para determinar C, usamos la información dada de que v(0) =
48. Esto da 48 = 0 + C, de manera que
v(t) = −32t + 48
La altura máxima se alcanza cuando v(t) = 0; es decir, despues de 1,5 s. Como s0 (t) = v(t), antiderivamos una vez más y
obtenemos
s(t) = −16t2 + 48t + D
Aplicamos el hecho de que s(0) = 432 y tenemos 432 = 0 + D;
por consiguiente
s(t) = −16t2 + 48t + 432
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Con antiderivadas tenemos
v(t) = −32t + C
Para determinar C, usamos la información dada de que v(0) =
48. Esto da 48 = 0 + C, de manera que
v(t) = −32t + 48
La altura máxima se alcanza cuando v(t) = 0; es decir, despues de 1,5 s. Como s0 (t) = v(t), antiderivamos una vez más y
obtenemos
s(t) = −16t2 + 48t + D
Aplicamos el hecho de que s(0) = 432 y tenemos 432 = 0 + D;
por consiguiente
s(t) = −16t2 + 48t + 432
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Antiderivadas
Antiderivadas
La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando s(t) = 0; o se cuando
−16t2 + 48t + 432 = 0
o, lo que equivale,
t2 − 3t − 27 = 0
Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtenemos
√
3 ± 3 13
t=
2
Rechazamos la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. por consecuencia,
la pelota choca contra el
√
suelo después de 3(1 + 13)/2 ≈ 6,9 s.
Sergio Solano Sabié
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Antiderivadas
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La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando s(t) = 0; o se cuando
−16t2 + 48t + 432 = 0
o, lo que equivale,
t2 − 3t − 27 = 0
Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtenemos
√
3 ± 3 13
t=
2
Rechazamos la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. por consecuencia,
la pelota choca contra el
√
suelo después de 3(1 + 13)/2 ≈ 6,9 s.
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Antiderivadas
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La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando s(t) = 0; o se cuando
−16t2 + 48t + 432 = 0
o, lo que equivale,
t2 − 3t − 27 = 0
Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtenemos
√
3 ± 3 13
t=
2
Rechazamos la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. por consecuencia,
la pelota choca contra el
√
suelo después de 3(1 + 13)/2 ≈ 6,9 s.
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Antiderivadas
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La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando s(t) = 0; o se cuando
−16t2 + 48t + 432 = 0
o, lo que equivale,
t2 − 3t − 27 = 0
Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtenemos
√
3 ± 3 13
t=
2
Rechazamos la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. por consecuencia,
la pelota choca contra el
√
suelo después de 3(1 + 13)/2 ≈ 6,9 s.
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La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando s(t) = 0; o se cuando
−16t2 + 48t + 432 = 0
o, lo que equivale,
t2 − 3t − 27 = 0
Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtenemos
√
3 ± 3 13
t=
2
Rechazamos la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. por consecuencia,
la pelota choca contra el
√
suelo después de 3(1 + 13)/2 ≈ 6,9 s.
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La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando s(t) = 0; o se cuando
−16t2 + 48t + 432 = 0
o, lo que equivale,
t2 − 3t − 27 = 0
Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtenemos
√
3 ± 3 13
t=
2
Rechazamos la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. por consecuencia,
la pelota choca contra el
√
suelo después de 3(1 + 13)/2 ≈ 6,9 s.
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Antiderivadas
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
Sergio Solano Sabié
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