Transformaciones geometricas en el plano

Dibujo Técnico I F. Mohedano, IES Los Manantiales, Torremolinos
Tema IV: Transformaciones geométricas en el plano.
Dos figuras se relacionan mediante una transformación geométrica cuando sus elementos se corresponden entre sí siguiendo unas determinadas reglas.
Las cuatro transformaciones geométricas que vamos
a estudiar son:
• Traslación
• Giro
• Simetría
• Homotecia
1. Traslación
En una traslación, una figura se desplaza en el plano
hasta una nueva posición. Los elementos que determinan la traslación son dos:
• Dirección y sentido de la traslación
• Magnitud de traslación
n
cció
Dire
A’
A
Los puntos correspondientes de dos figuras trasladadas se relacionan según rectas paralelas a la dirección de traslación, y estarán separados a una distancia igual a la magnitud de traslación. (Fig. 1)
Las figuras trasladadas resultarán iguales y los elementos correspondientes de cada figura serán paralelos.
ción
asla
e tr
d
o
ntid
y se
C’
B’
ón
laci
tras
e
d
d
nitu
Mag
C
B
Fig. 1
A
2. Giro
A’
Los elementos que intervienen en un giro son:
• Centro de giro
• Ángulo de giro
• Sentido de giro (Positivo en sentido antihorario)
α
O
El punto A gira alrededor del punto O (Centro de
giro) un ángulo α (Ángulo de giro) en sentido negativo (Sentido de giro) hasta transformarse en el punto
A’. (Fig. 2)
Al girar una figura, todos sus elementos describen
arcos de circunferencia concéntricos, con un mismo
ángulo y el mismo sentido, con centro el centro de
giro.
El triángulo ABC ha girado alrededor del punto O 90
grados en sentido antihorario hasta transformarse
en el triángulo A’B’C’. Las figuras giradas son iguales.
(Fig. 3)
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Fig. 2
A
O
B
A’
C’
C
B’
Fig. 3
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O1
A
r
A’
O’1
O
O
r’
Fig. 4
Fig. 5
Para girar una recta basta con girar el pie de la perpendicular trazada desde el centro de giro. Para girar r
trazamos una perpendicular desde O y obtenemos A.
Giramos el punto A para transformarlo en A’. La recta
transformada r’ será perpendicular a OA’.
Como los elementos girados se mantienen iguales,
para girar una circunferencia es suficiente girar su centro y trazar otra circunferencia igual a la anterior.
3. Simetría
Podemos distinguir dos tipos de simetrías:
• Simetría central
• Simetría axial
3’
1
En la simetría central los puntos simétricos están
alineados con otro punto llamado centro de simetría, y se encuentran a igual distancia de dicho punto. (Fig. 6)
4’
5’
6’
6
O
5
Las figuras simétricas tendrán magnitudes iguales y
los lados correspondientes serán paralelos.
2
La simetría central equivale a un giro de 180º de centro de giro el centro de simetría.
4
1’
Fig. 6
3
eje
En la simetría axial los puntos simétricos estarán en
perpendiculares a una recta llamada eje de simetría, y a igual distancia respecto al eje. (Fig. 7)
Las figuras simétricas tendrán el mismo tamaño y
estarán reflejadas una respecto de la otra.
2’
1
3
1’
2’
2
3’
4
4’
5
5’
6
6’
7
8
8’
7’
Fig. 7
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4. Homotecia
La homotecia es una transformación geométrica en
la que se cumplen dos condiciones:
• Los puntos homotéticos están alineados con
otro punto llamado centro de homotecia.
• El cociente de las distancias de los puntos
correspondientes al centro de homotecia es
constante y se llama razón de homotecia
(k).
A’
A
B’
B
Las figuras homotéticas son semejantes con razón
de semejanza igual a la razón de homotecia. Las
magnitudes angulares no varían, y las rectas o segmentos homotéticos serán paralelos. (Fig. 8)
O
C
C’
OA’ = OB’ = OC’ =k
OA OB OC
Las figuras simétricas tendrán magnitudes iguales y
los lados correspondientes serán paralelos.
A’B’= B’C’= C’D’=k
AB BC CD
Si la razón de homotecia es positiva, la figura original
y su homotética se encontrarán en la misma región
del plano respecto al centro de homotecia.
Fig. 8
A’
k>1
B
k<1
A
A
A’
B’
B’
O
B
O
C
C’
C
C’
Fig. 10
Fig. 9
Si el valor de la razón de homotecia es mayor que la
unidad (k>1), la figura homotética resultante será
mayor que la original.
Si el valor de la razón de homotecia es menor que la
unidad (k<1), la figura homotética resultante será
menor que la original.
C’
k=1
A≡A’
k= - 1
2
B’
A’
B≡B’
O
A
B
O
C≡C’
Fig. 11
C
Si el valor de la razón de homotecia es igual que la
unidad (k=1), la figura homotética resultante será
igual que la original, la homotecia se transforma en
una identidad, las dos figuras coinciden.
Fig. 12
Si la razón de homotecia es negativa, las figuras homotéticas se situarán una a cada lado del centro de
homotecia. Si el valor de k=-1, la homotecia se transforma en una simetría central.
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Ejercicios:
1.- Traslada un cuadrado de 45 mm de lado. Dirección de traslación 30º, magnitud de traslación 35 mm.
2.- Dibuja un triángulo cuyos lados miden a=40,
b=55
y c=30 de forma que cada uno de sus vértices
a
seb sitúe en una de las rectas dadas.
3.- Gira la figura dada -120º alrededor del punto O.
c
r
O
s
t
4.- Dibuja la figura homotética a la dada conociendo
el centro de homotecia y la razón de homotecia.
A
5.- Dibuja la circunferencia homotética a la dada
conociendo el centro de homotecia y la razón de
homotecia.
O
O
E
B
O1
D
C
k= - 2
3
k= 5
3
6.- Dado el triángulo ABC, inscribe en él un triángulo
equilátero con uno de sus lados perpendicular a BC.
7.- Dibuja una cuerda de la circunferencia O que
quede dividida por los radio r1 y r2 en tres partes
iguales.
A
r1
r2
O
B
C
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