SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN TEMA 3

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
TEMA 3
Ejercicio de Aplicación 3.1 (Cambio de base en el plano)
Queremos pavimentar una zona de una plaza rectangular que tiene forma de
paralelogramo, con dos de sus vértices situados en la esquina inferior izquierda y la
superior derecha de la plaza, respectivamente. Usaremos un lote de adoquines con
forma de rombo, todos iguales.
Tomando como origen el punto situado en la esquina inferior izquierda de la plaza, el
primer adoquín tiene un vértice en él y los dos adyacentes en los puntos (0.2,0.1) y
(0.1,0.2). La disposición de los adoquines es siempre la misma y el último de ellos tiene
uno de sus vértices en la esquina superior derecha de la plaza, en el punto (41,37).
¿Cuántos adoquines necesitaremos?
Nota: Las distancias se miden en metros.
Solución
Consideramos el vector (41,37) que parte del
Y
origen, situado en el extremo inferior izquierdo
de la plaza.
Si expresamos dicho vector en la base del plano
formada por los vectores (0.2,0.1) y (0.1,0.2)
que marcan los lados del primer adoquín,
tenemos que:
- la primera coordenada es el número de
adoquines necesario para cubrir el lado
mayor del paralelogramo,
- la segunda coordenada es el número
necesario para cubrir el lado menor del (0,0)
paralelogramo.
El número total de adoquines será entonces el
producto de los dos números anteriores.
Para encontrar las coordenadas ( a , b) del
vector (41,37) en la base {(0.2,0.1), (0.1,0.2)},
resolvemos el sistema de ecuaciones:
 41 = a ∗ 0.2 + b ∗ 0.1

37 = a ∗ 0.1 + b ∗ 0.2
Multiplicando la 1ª ecuación por dos y
restándole la segunda, se obtiene 82 − 37 = 0.3 ∗ a.
Es decir:
a = 150 , con lo cual b = 110 .
Por tanto, necesitaremos: 16500 adoquines.
(41,37)
X
Ejercicio de Aplicación 3.2 (Parábola)
Si se quiere construir un faro parabólico de 25 cm de ancho y 15 cm de profundidad
(ver figura), ¿a qué distancia del fondo del faro habrá que situar la fuente luminosa? En
general, ¿qué relación debe haber entre la profundidad y la anchura del faro para que
la fuente luminosa pueda situarse dentro del faro? (es decir, la distancia entre el foco y
el vértice de la parábola sea menor que la profundidad del faro).
25 cm.
15 cm.
Foco
?
Directriz
Solución
p
 p
Si las coordenadas del foco son F =  0,  y la ecuación de la directriz y = − , la
2
 2
x2
 25 
y=
ecuación de la parábola será:
. La parábola pasará por el punto  ,15  lo
2p
 2

125
. Es decir, el foco distará del fondo del faro
que nos permite deducir que p =
24
125
≈ 2'60 cm.
48
En general, si la anchura y la profundidad del faro son, respectivamente, A y H, la
A2
A 
parábola pasaría por el punto  , H  y entonces p =
y la distancia del foco al
8H
2

A2
A2
fondo del faro sería
=
. Por tanto deberá cumplirse:
< H ⇒ A < 4H . La
2 16H
16H
anchura debe ser menor que cuatro veces la profundidad.
p
Ejercicio de Aplicación 3.3 (Hipérbola)
La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km. al este de la estación A. Un
barco navega 100 km al norte de la línea que une A y B. Desde ambas estaciones se
envían señales de radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/s. Si la señal
enviada desde A llega al barco 0’001 s antes que la enviada desde B, localiza la
posición del barco. ¿A qué distancia está de cada una de las estaciones?
Solución
Situamos los ejes coordenados como en la figura adjunta.
Llamando tA y tB al tiempo que tardan en llegar al
barco las señales enviadas desde A y B
respectivamente y DA y DB a las distancias
desde el barco a las estaciones A y B, se tiene:
D A = 290000 ∗ t A
D − DB
⇒ tA − tB = A

.
290000
 D B = 290000 ∗ t B
(x,100)
DA
A(200,0)
DB
B(200,0)
Es decir, D A − D B = 290000 ∗ 0'001 = 290 km.
El barco estará situado en un punto, de ordenada 100, cuya diferencia de distancia a
los puntos A y B será 290 km.
Por tanto el barco estará en la hipérbola con focos A y B, y diferencia de distancias a
los focos igual a 2a=290 km.
Por otra parte la distancia focal será: 2c=400 km.
La ecuación de la hipérbola buscada será:
x2
a
2
−
y2
b
2
= 1 , con b 2 = c 2 − a 2 = 200 2 − 145 2 = 18975 .
y2
x2
−
=1
Es decir:
21025 18975
Como y=100, entonces: x ≈ −179'18 km
Las coordenadas del barco serán entonces: (-179’18,100)
Y las distancias a las estaciones: D A = 100 2 + 20 '82 2 ≈ 102 '14 km
D B = 100 2 + 379 '18 2 ≈ 392 '14 km