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Fisica III
Interferencias
Prof. Dr. Victor H. Rios
2010
Contenidos
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Fenómenos de interferencia, ejemplos reales.
Interferencia de ondas producidas por dos fuentes
Interferencia constructiva y destructiva. Superficies ventrales y nodales.
Amplitud resultante para el caso de dos fuentes. Condiciones de máximos y
mínimos.
Vector de Poynting. Irradiancia. Intensidad.
Experiencia Young. Analisis de fuentes cilíndricas y de otro tipo.
Concepto de coherencia temporal. Otras formas de producir interferencias.
Interferencias por películas delgadas. Diferencia de fase para incidencia
oblicua y normal. Condiciones de máximos y mínimos.
Cuñas de aire y Anillos de Newton
Aplicaciones.
Fisica III
Fenómenos de Interferencias
A)
B)
C)
Interferencias detectadas por
Interfererómetros para
luces
A) y C) Blanca
B) Amarilla
Fisica III
Fenómenos de Interferencias
Interferencias en portaobjetos de microscopios
Fisica III
Fenómenos de Interferencias
Interferencias generadas por dos fuentes sincrónicas
Fisica III
Interferencia de ondas producidas por dos fuentes
Una de las características esenciales del movimiento ondulatorio es el fenómeno de la interferencia.
Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas
Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan en fase con la
misma frecuencia angular w , y que emiten ondas armónicas.
Cuando emite solamente S1 el punto P
describe el Movimiento Armónico Simple
(M.A.S.) de amplitud A1 y frecuencia
angular w .
y1 = A1 sen ( k r1 - w t )
Fisica III
Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y
frecuencia angular w .
y2 = A2 sen ( k r2 - w t)
Cuando emiten simultáneamente S1 y S2. El punto P describe un M.A.S. que es
la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más
importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de
fase.
En fase o interferencia constructiva.
Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de
fase kr1 – kr2 es un múltiplo entero de 2π. Teniendo
en cuenta que k = 2π / λ
La amplitud resultante es la suma de amplitudes
A=A1 +A2 .
Fisica III
En oposición de fase o interferencia destructiva.
Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase k r1 – k r2 es un múltiplo entero de π.
Teniendo en cuenta que k=2π /λ
La amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. Si ambas son iguales, el punto P no se mueve.
Resumiendo, las condiciones de interferencia son
• Interferencia constructiva
• Interferencia destructiva Fisica III
Superficies Nodales
Corte de las superficies
Ventrales implican líneas
ventrales
Fisica III
Amplitud resultante
En el caso general, es necesario sumar
vectorialmente las amplitudes para obtener
la resultante
Si la separación a de las fuentes S1 y S2 es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña
diferencia entre r1 y r2 y suponer que las amplitudes A1 y A2 son prácticamente
iguales. Podemos escribir
donde r1 - r2 = a sen θ.
Fisica III
A partir de esta expresión podemos hallar las direcciones θ para las cuales
la interferencia es constructiva o destructiva
• Interferencia constructiva
• Interferencia es destructiva
a · senθ = n λ .
También podemos hallar las posiciones x sobre la pantalla, que registran
interferencia constructiva y destructiva, para ello hacemos la aproximación
siguiente: si el ángulo θ es pequeño, sen θ ≈ tg θ = x / D
• Interferencia constructiva
• Interferencia destructiva Fisica III
Vector de Poynting
Con la suposición de que en medios isotrópicos la energía fluye en la dirección
de propagación, se tiene:
ó
La magnitud S es la potencia por unidad de área que cruza la superficie y el
Vector se llama Vector de Poynting en honor al físico J. H. Poynting (1852-1914)
Ondas planas armónicas (polarizadas linealmente)
Si las ondas viajan a través del espacio libre en la dirección k, las ecuaciones
para el campo EM son:
Fisica III
Vector de Poynting
Reemplazando E y B en la ecuación del vector de Poynyting se obtiene:
Observamos que:
1) El vector de Poynting oscila entre máximos y minimos.
2) A frecuencias ópticas, S es una función extremadamente rápida
y su valor instantáneo es una cantidad impráctica de medir.
3) Por ello usaremos promedios, es decir absorbemos la energía
radiante durante un intervalo finito de tiempo usando por ejemplo
3a) Una fotocelda
3b) Una película fotográfica
3c) La retina del ojo humano
Fisica III
Irradiancia
Tomemos el valor promedio del vector de Pointyng, así:
ya que
El valor del promedio temporal del vector de Poynting se llama Irradiancia,
así:
Dos formas adicionales de decir lo mismo son:
ó
Fisica III
Intensidad
La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de
la amplitud, de modo que
I es la intensidad resultante en el punto P cuando las dos fuentes
emiten simultáneamente, e I0 es la intensidad en el punto P debido a
una sola de las fuentes.
En la interferencia constructiva a = n π y por tanto la intensidad I = 4 I0. En
la interferencia destructiva a = ( 2n+1 ) π / 2 y la intensidad I=0.
Interferencia constructiva I = 22 I0.
Interferencia destructiva I = 0.
Es importante señalar que en la interferencia constructiva la intensidad
en P debida a las dos fuentes es 22 veces la que corresponde a una
de las fuentes.
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Experiencia de Young
Young realizó el siguiente experimento
Fisica III
Experiencia de Young usando fuentes circulares
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Interferencias constructiva ( punto luminoso ) y destructiva ( punto oscuro )
Punto Luminoso
Punto oscuro
Fisica III
Frentes de ondas que interfieren en el experimento de Young
Ondas cilíndricas que interfieren en el experimento de Young
Fisica III
Qué se observa?
Es un patrón de interferencias
Fisica III
Coherencia
La forma más general de expresar la interferencia constructiva es:
(r1 − r2 ) = [ 2 π n + (ε 1 − ε 2 ) ] / k
Para ε1 = ε2
donde
ó difieren en una constante
(r1 − r2 ) = 2 π n / k
= nλ
Similarmente para la interferencia destructiva
(r1 − r2 ) = π ( 2n + 1) / k
= ( n + 1 / 2) λ
ε1 y ε2 son las fases de
cada fuente
Fisica III
Coherencia
Si la diferencia de fase ( ε1 - ε2 ) entre las dos fuentes permanece
constante en el tiempo, decimos que las dos ondas son coherentes.
Consecuentemente
1) Dos haces que se superponen y vienen de emisores separados
interferirán, pero el patrón resultante no se sostendrá el tiempo suficiente para ser observable.
2) Una fuente típica contiene un gran número de átomos excitados,
cada uno radía un tren de ondas en aproximadamente 10-8 s.
Fisica III
Coherencia
3) Dos fuentes distintas por consiguiente pueden mantener sus fases
en el tiempo durante 10-8 s y el patrón será estable en el espacio durante este lapso de tiempo.
4) Por tanto, será inútil ver o fotografiar el patrón de dos lámparas.
• Cuál es su conclusión en el experimento de Young respecto a la
coherencia? Son coherentes las fuentes?
• Cómo obtuvo la coherencia Young? Explique
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Otras formas de producir interferencias
a) Biprisma de Fresnel
Fisica III
Interferencias usando biprisma de Fresnel
Fisica III
b) Espejo de Lloyds
Fisica III
Interferencias usando espejo de Lloys
Fisica III
Interferencia de ondas producidas por varias fuentes
Descripción
Consideremos ahora el caso de varias fuentes idénticas distribuidas linealmente, tal como se muestra en la figura. Supondremos también que deseamos examinar el estado del punto P situado a una distancia muy lejana comparada con la separación de las fuentes.
Cuando emite una sola fuente, el punto
P describe un M.A.S. de amplitud A1 y
frecuencia angular w
Cuando emiten N fuentes simultáneamente, el punto P describe un M.A.S. que
es la composición de N M.A.S. de la
misma dirección y frecuencia
Fisica III
Intensidad
Calculamos la amplitud A resultante sumando vectorialmente las amplitudes
correspondientes a cada una de las fuentes.
Si todas las fuentes son iguales, sus vectores tienen la misma amplitud A1
y el ángulo δ entre dos vectores consecutivos es igual al producto del
número de onda k por la diferencia de caminos a senθ entre dos fuentes
consecutivas, así:
δ = k a sen θ
A partir de la figura, podemos calcular la amplitud resultante A a partir de cada uno de los
lados A1 del polígono.
Fisica III
Intensidad
Siendo ρ el radio del polígono regular. Eliminando el radio ρ, expresamos la
amplitud resultante A en función de la amplitud A1 debida a cada una de las
fuentes.
La intensidad que es proporcional al cuadrado
de la amplitud
La interferencia es constructiva cuando a senθ / λ = n, donde n es un número
entero. Las ondas emitidas por las fuentes adyacentes están en fase.
Fisica III
Intensidad
Habíamos encontrado que la Intensidad para dos ranuras era:
y para N ranuras la intensidad era:
Tomando N = 2 se tiene
Intensidad
El numerador y el denominador de la expresión de la intensidad son ceros, el
cociente es la unidad (regla de L´'Hôpital), y la intensidad es máxima y proporcional al cuadrado del número de fuentes, I = N 2 I0
La intensidad es nula cuando el numerador es cero, pero no lo es el denominador
Por ejemplo, para N=4 los mínimos se producen para:
4πa · senθ / λ = π, 4πa · senθ / λ = 2π, 4πa · senθ / λ = 3π
Es decir, cuando
a · senθ / λ = 1/4, a · senθ / λ = 1 / 2,
tal como puede verse en la figura más abajo
a · senθ / λ = 3 / 4,
Intensidad
En general, los mínimos de intensidad se producen cuando: a · sen θ / λ = n’ / N.
donde n’ toma los valores de 1 a N - 1, de N + 1 a 2N - 1, etc.
Los valores n’ = N, 2N ... se excluyen ya que hacen que el numerador y
denominador será cero simultáneamente, lo que corresponde a un máximo.
Entre dos mínimos hay siempre un máximo, luego hay N - 2 máximos adicionales entre los máximos principales. Sus valores son muy pequeños especialmente cuando N es grande.
Intensidad
En la figura, se muestra la representación gráfica de la intensidad en función
de a · senθ / λ, para N=2, 3 y 4.
Los picos de la intensidad se van
haciendo cada vez más estrechos
a medida que aumenta el número
de fuentes. Cuando N es grande ,
el movimiento ondulatorio resultante solamente es significativo para
bandas estrechas alrededor de los
ángulos θ tales que:
a · senθ / λ = n.
Conocida la longitud de onda λ y
la separación a determinamos los
ángulos θ, para los cuales hay un
máximo principal o un mínimo de
intensidad.
Fisica III
Fisica III
Interferencia por películas delgadas
Fisica III
Fisica III
Diferencia de fase
Supongamos tres medios de índices de refracción n1 , n2 , n3 separados
por superficies planas y supongamos que el medio de índice de refracción n2 tenga un espesor e pequeño.
Los dos haces reflejados en
A y B emergen paralelos e
interfieren; la diferencia de
fase depende únicamente de
la diferencia de recorrido y de
los índices de refracción de
los medios involucrados.
Diferencia de fase, cont
Fisica III
Los haces 1 y 2 reflejados por la película de índice de refracción n2 son paralelos entre sí (Figura 1), por lo tanto , si a partir del punto C trazamos la perpendicular a su común dirección, podemos suponer que en adelante ellos tienen el
mismo recorrido, de manera que la diferencia de fase que presentarán dependerá únicamente del hecho que mientras el haz 2 recorre la trayectoria
AB+ BC en el medio de índice de refracción n2 el haz 1 recorre la trayectoria AH en el medio de índice de refracción n1 .
Dado que estas trayectorias se
recorren en medios diferentes,
debemos reducirlas (para compararlas) a las correspondientes
trayectorias en el vacío, es decir
a caminos ópticos. La diferencia de camino óptico entre los
dos haces será entonces:
(1)
Fisica III
Diferencia de fase, cont
Si prolongamos el rayo BC hacia el medio de índice de refracción n3 hasta
que cruce en D la normal a las superficies en la película pasante por A encontramos fácilmente que AB = BD = BC y también AG = GD = e de manera
que:
(2)
Si a partir de A trazamos la perpendicular a la dirección DC y llamamos F al
pie de esa perpendicular, obtenemos:
(3)
y reemplazando en (1) :
Obtenemos:
(4)
Fisica III
Diferencia de fase, cont
Ahora bien, en los triángulos rectángulos ACH y ACF podemos establecer las siguientes relaciones:
AH / sen θ1 = AC
FC / sen θ2 = AC
lo que implica que:
AH / sen θ1 = FC / sen θ2
(5)
Escribimos la Ley de Snell para la refracción que se produce en el punto A:
n1 sen θ1 = n2 sen θ2 y comparamos con la ecuación (5):
FC / AH = sen θ1 / sen θ2 = n2 / n1
Fisica III
Diferencia de fase, cont…
(6)
(4)
(7)
Analizando el triángulo rectángulo ADF : DF = AD . cos θ2 , es decir:
DF = 2 e . cos θ2 , y por lo tanto:
(8)
Esta es entonces la diferencia de camino
óptico entre las dos ondas reflejadas por
las dos caras de la película delgada.
Fisica III
Diferencia de fase, cont
Las condiciones de interferencia entre estas dos ondas pueden
determinarse teniendo en cuenta que :
Debe sumarse a la diferencia de fase producida por la
diferencia de camino óptico aquella que puede presentarse en las reflexiones en los puntos A y B.
Así por ejemplo
La onda 1 no presenta desfase
con respecto a la onda incidente
si n2 > n1
La onda 2 presenta un desfase
en “π” con respecto a la onda
incidente
si n3 > n2
Esto implica que el desfase total entre las ondas 1 y 2 reflejadas se puede
calcular de la siguiente manera:
Fisica III
Desfasaje total
El desfasaje por reflexión :
0 si ninguna ( o ambas) de
las ondas 1 y 2 presenta
desfase por reflexión.
Desfasaje total es :
Si una de las dos ondas 1 y 2 presenta
desfase “π” por reflexión.
Fisica III
INCIDENCIA NORMAL
Si suponemos que la onda incidente sea aproximadamente normal a la
superficie o sea θ1 ~ 0 , tendremos también θ2 ~ 0 lo que implica cos θ2 ~ 1
y las condiciones de interferencia pueden escribirse así:
Esta relación nos permite calcular para cuales espesores de la película delgada se presenta interferencia constructiva o destructiva.
Fisica III
Por ejemplo, si no debe sumarse el desfase π por reflexión porque ninguna de las dos ondas reflejadas (o ambas) presenta desfase tendremos:
Espesores eNB de interferencia constructiva:
(9)
Espesores eN0 de interferencia destructiva:
(10)
Si solamente una de las dos ondas reflejadas presenta desfase π
tendremos:
Espesores eNB de interferencia constructiva
(11)
Fisica III
Espesores eN0 de interferencia destructiva:
(12)
Dado que en estas relaciones aparece la longitud de onda λ, para cada
longitud de onda se tendrá una gama de espesores de la película
para los cuales se presenta máxima iluminación u oscuridad.
Si utilizamos, por ejemplo, una luz de longitud de onda λ , en la película
observada, la luz reflejada aparecerá del color asociado a esa longitud de onda en las zonas en las que su espesor sea uno de los
que satisfacen la relación (9) u (11), según el caso.
Fisica III
Interferencia en películas delgadas
Cuñas de aire
• Interferencias en cuñas de anchura h y longitud
L: reflexión en una lámina de aire.
• Se producen franjas brillantes y oscuras
Posiciones de las franjas brillantes
y = (2m + 1)
λ
4
x = (2m + 1)
Posiciones franjas oscuras
y= m
λ
2
x= m
λ L
2 h
λ L
4h
Fisica III
ANILLOS DE NEWTON
El fenómeno de la interferencia en películas delgadas es de frecuente observación en la vida cotidiana; los brillantes colores de las burbujas de jabón o
los colores que presentan las manchas de aceite que flotan sobre un charco
de agua son los ejemplos más comunes de este tipo de interferencia.
El aparato de anillos de Newton
está constituido por una lente
plano-convexa puesta sobre una
lámina plana; la película en la cual
ocurre la interferencia está
constituida (en este caso) por el
aire u otra sustancia que queda
atrapada entre la superficie
esférica de la lente y la superficie
plana de la lámina.
Esquema del aparato de anillos de Newton
Fisica III
Debido a la forma geométrica del aparato, el espesor de la película atrapada
entre la lente y la lámina plana aumenta con la distancia r con respecto al
punto de contacto central 0 y puede calcularse fácilmente en cada punto de la
película cuando se conozca el radio de curvatura R de la superficie esférica de
la lente plano-convexa.
Con relación a la Figura
de donde, desechando el término
e2 , que es un infinitesimo del segundo orden:
(13)
Fisica III
Evidentemente en todos los puntos situados a la misma distancia r con respecto al punto de contacto 0 , la película tendrá el mismo espesor; de manera
que los lugares geométricos de los puntos en los cuales la película tiene el
mismo espesor serán círculos con centro en 0.
Dado que, como hemos visto, las condiciones de
interferencia dependen del espesor de la película,
las franjas de interferencia constructiva y
destructiva serán circulares con centro en 0 .
Fisica III
Consideremos entonces una película de una sustancia de índice de refracción n atrapada entre la lente y la lámina que supondremos de vidrio de
índice de refracción nv .
Fisica III
La luz incidente genera dos ondas reflejadas en los puntos A y B situados
en las interfases entre la lente y la película y entre la película y la lámina
plana; supongamos sea e el espesor de la película, podemos determinar
las condiciones de interferencia teniendo en cuenta que, cualquiera que
sea el valor de n, entre las dos ondas reflejadas se presenta un desfase π
por reflexión.
Esto quiere decir que, en ese punto de la película, habrá interferencia
constructiva si el espesor satisface la condición:
(14)
mientras se presentará interferencia destructiva si:
(15)
Fisica III
Lo anterior implica que, para cada longitud de onda λ hay aun conjunto de
espesores que satisfacen las relaciones (14), (15) y por lo tanto un conjunto
de círculos brillantes separados por círculos oscuros.
Los radios de estos círculos brillantes u oscuros pueden calcularse fácilmente combinando la relación (13) con las (14), (15); así los círculos
brillantes tendrán radios dados por:
(15)
mientras los radios de los círculos oscuros serán:
(16)
Fisica III
Los anillos revelan información de temperatura, índice de refracción, y otras
propiedades del material.
Bibliografía:
Fisica III
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Fisica III
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