Curso de Probabilidades

Probabilidad
Definición:
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
o estocástico ε recibe el nombre de Espacio Muestral (Ω) (Espacio
Referencial o Universo).
En el estudio de la probabilidad, se referirá como un experimento a
cualquier proceso de observación. A los resultados de esta observación
se le llama “resultados o salidas del experimento” Un experimento ε es
aleatorio, si no se pueden predecir sus resultados o salidas.
Definición:
Se dice que un Espacio Muestral Ω es discreto si los resultados pueden
colocarse en correspondencia uno a uno con el conjunto IN; y será
continuo si sus resultados consisten en un intervalo de números reales.
Definición:
Un suceso A es un subconjunto del Espacio Muestral Ω. Se anota como
A ⊂ Ω.
Definición:
Un Suceso Imposible es aquel en que la ocurrencia del suceso nunca es
posible de efectuarse.
Un Suceso Seguro es aquel en que la ocurrencia del suceso siempre es
posible de efectuarse.
Ejemplos:
1. - Sea el experimento aleatorio ε: “Lanzar un dado”. El conjunto Ω de
todos los resultados posibles, en este caso es Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Veamos ahora algunos ejemplos de sucesos relacionados a este caso:
A = { El resultado es par } = { 2, 4, 6 }
B = { El resultado es mayor que 3 } = { 4, 5, 6 }
C = { El resultado es menor o igual a 6 } = Ω ( C es un suceso seguro )
D = { El resultado es mayor que 6 } = ∅ ( D es un suceso imposible )
2
2.- Sea el experimento aleatorio ε: “Lanzar una moneda dos veces”. El
conjunto Ω de todos los resultados posibles, en este caso es:
Ω = { (c, c), (c, s), (s, c), (s, s) }.
Donde el par ordenado (x, y) representa dos lanzamientos de la moneda,
es decir, el valor “x” es para la primera tirada o lanzamiento y el valor
“y” el segundo lanzamiento, así x e y pueden tomar los valores de c por
una “cara” y s por un “sello”. Veamos ahora algunos ejemplos de
sucesos relacionados a este caso:
A = { resulta al menos una cara} = { (c, c), (c, s), (s, c) }.
B = { resulta el mismo valor} = { (c, c), (s, s) }
3.- Sea el experimento aleatorio ε: “Lanzar dos monedas
simultáneamente”. El conjunto Ω de todos los resultados posibles, en
este caso es:
Ω = { (c, c), (c, s), (s, c), (s, s) }.
En este experimento el conjunto Ω de todos los resultados posibles es el
mismo del ejemplo 2, solamente que en este caso, el par ordenado (x, y)
Tiene una interpretación diferente. Ahora “x” representa el valor que
resulta para la “primera moneda” y el valor resultante para la “segunda
moneda” lo entrega “y”.
Así, el suceso A del ejemplo 2 debe ser interpretado como el suceso
donde al lanzar dos veces una moneda resulta por lo menos una cara en
alguno de los lanzamientos, mientras que el suceso B nos indica que
ambas monedas tienen igual valor.
Nota:
El espacio muestral Ω puede ser interpretado gráficamente para
ambos experimentos así:
3
4.- El espacio muestral de un experimento consistente en la medición
(en horas) del tiempo de vida de un microprocesador es:
Ω = {τ / 0 ≤ τ ≤ ∞}
Nótese que los tres primeros ejemplos corresponden a casos de espacios
muestrales discretos, mientras que el último ejemplo corresponde al
caso de un espacio muestral continuo.
El concepto clásico de probabilidad nos dice que es una frecuencia
relativa (concepto estadístico) sin necesidad de haber realizado el
experimento.
La frecuencia relativa se calcula sobre hechos estadísticos consumados,
es decir, sobre un experimento realizado.
Si el número de experimentos tiende a infinito, entonces la frecuencia
relativa se convierte en la probabilidad.
Axiomática de Probabilidades
Conceptos Previos
Operaciones de Boole
Sean A y B sucesos de un Espacio Muestral Ω, entonces:
A ∪B: es el suceso que ocurre sí y sólo si ocurre el suceso A o el suceso B o si
ocurren ambos sucesos.
A∩B: es el suceso que ocurre sí y sólo si ocurren ambos sucesos
simultáneamente.
AC : (Complemento de A) es el suceso que ocurre sí y sólo si el suceso A no
ocurre.
Dos sucesos A y B son Mutuamente Exclusivos o Mutuamente Excluyentes
si son Disjuntos, o sea A∩B = ∅. En otras palabras, A y B son
Mutuamente Excluyentes si no pueden suceder simultáneamente.
4
Axiomas de Probabilidad
La probabilidad de ocurrencia del suceso A es P(A) si cumple los siguientes
axiomas:
A1.- ∀ A ⊂ Ω ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1
A2.- P(Ω) = 1
A3.- Si A y B son Mutuamente Excluyentes:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
La generalización también es válida
P( A ∪ A ∪ A ∪........ .) = P(A ) + P(A ) + P(A ) +……….
1
2
3
1
2
3
Teoremas de Probabilidades
T1.- Si ∅ es el suceso imposible, entonces P(∅) = 0
T2.- La probabilidad del suceso que ocurre si no ocurre el suceso A, es
decir, la probabilidad del suceso complemento de A es 1 – P(A),
donde P(A) es la probabilidad de ocurrencia del suceso A.
P( AC ) = 1 – P(A)
T3.- Si A ⊂ B
⇒ P(A) ≤ P(B)
T4.- Si A y B son dos sucesos, entonces:
P(A\B) = P(A) – P(A∩B)
T5.- Si A y B son dos sucesos, entonces:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
5
Definición:
Dos sucesos A y B se dicen Estadísticamente Independientes
(independientes) sí y sólo si:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
; (EI1)
CONSECUENCIAS
A y B sucesos Independientes
1
P(A) = 0 ∨ P(B) = 0
A y B sucesos Excluyentes
A y B sucesos Independientes
2
A y B son sucesos No Excluyentes
P(A) > 0 ∧ P(B) > 0
A y B sucesos Excluyentes
A y B son sucesos No Independientes
3
P(A) > 0 ∧ P(B) > 0
Probabilidad Condicional
Definición:
Sean A y B dos sucesos cualesquiera, donde P(B) > 0, entonces
definimos:
P ( A ∩ B)
P ( A / B) =
;
(PC1)
P (B)
Donde P(A/B) se lee como la probabilidad del suceso A dado que
ocurre el suceso B. También se lee como la probabilidad que el suceso
A ocurra una vez que ocurre el suceso B, es decir, la probabilidad
condicional del suceso A dado el suceso B.
Si además, A y B son Sucesos Independientes, entonces:
P(A/B) = P(A)
y
P(B/A) = P(B)
De donde obtenemos que
independientes.
P(A∩B) = P(A) · P(B) para sucesos
6
Ejemplo:
Sean A y B dos sucesos tales que:
P(A) = 0.8
P(B) = 0.6
P(A∩B) = 0.5 ( ⇐ A y B son sucesos no excluyentes )
Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos:
a.- No ocurre el suceso A
b.- ocurre sólo el suceso A
c.- ocurre al menos uno de los dos sucesos
d.- ocurre sólo uno de los dos sucesos
e.- no ocurre ninguno de los dos sucesos
Respuestas:
a.- No ocurre A
⇒ P( AC ) ⇒ P( AC ) = 1 – P(A) = 1 – 0.8 = 0.2
b.- ocurre sólo A ⇒ P(A\B) ⇒ P(A\B) = P(A) – P(A∩B) = 0.8 – 0.5 = 0.3
c.- ocurre al menos uno de los dos ⇒ P(A∪B):
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9
d.- ocurre sólo uno de los dos ⇒ P[ (A\B) ∪ (B\A) ]
Notemos que: P([ (A∩ BC ) ] ∪ [ (B∩ AC ) ] ) = P[ (A\B) ∪ (B\A) ]
P([ (A∩ BC ) ] ∪ [ (B∩ AC ) ] ) = P(A∩ BC ) + P(B∩ AC )
por otra parte: P(A∩ BC ) = P(A) – P(A∩B) = 0.8 – 0.5 = 0.3
y
P(B∩ AC ) = P(B) – P(A∩B) = 0.6 – 0.5 = 0.1
por lo tanto:
P([ (A∩ BC ) ] ∪ [ (B∩ AC ) ] ) = P(A∩ BC ) + P(B∩ AC ) = 0.3 + 0.1 = 0.4
e.- no ocurre ninguno de los dos ⇒ P((A∪ B)C ) = 1 – P(A∪B)
por otra parte: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.8 + 0.60 – 0.5 = 0.9
así: P((A∪ B)C ) = 1 – P(A∪B) = 1 – 0.9 = 0.1
7
Ejemplo (la secretaria loca):
Una secretaria escribe cuatro cartas con sus cuatro sobres respectivos. Si
coloca las cartas en los sobres de manera aleatoria. ¿Cuál es la
probabilidad que las coloque correctamente?
Respuestas:
Sea S y C el Sobre i y la Carta i respectivamente, con i = 1, 2, 3, 4.
i
i
El diagrama de árbol nos muestra las siguientes posibilidades:
Carta 1
Carta 2
Carta 3
Carta 4
Sobre 1
Sobre 1
Sobre 1
Sobre 1
Sobre 2
Sobre 2
Sobre 2
Sobre 2
Sobre 3
Sobre 3
Sobre 3
Sobre 3
Sobre 4
Sobre 4
Sobre 4
Sobre 4
El espacio muestral queda como:
Ω = { (c1, s1), (c1, s2), (c1, s3), (c1, s4), (c2, s1), (c2, s2), ), (c2, s3), (c2, s4),
(c3, s1), (c3, s2), ), (c3, s3), (c3, s4), (c4, s1), (c4, s2), (c4, s3), (c4, s4) }
y la cardinalidad de Ω es 16 ( #Ω = 16) por que 16 son los sucesos posibles
que consisten en colocar aleatoriamente las cartas en los sobres.
El suceso de colocar la carta apropiada en el sobre apropiado lo
denominaremos A :
A = { (c1, s1), (c2, s2), (c3, s3), (c4, s4) } cuya cardinalidad es 4 (#A = 4)
En consecuencia la probabilidad pedida es:
P(A) = #A / #Ω = 4/16 = 1/4= 0.25
8
Ahora veremos la aplicación de los conceptos de probabilidad condicional.
Ejemplo (el profesor cruel):
Una estadística que manejan los profesores de un instituto de educación
superior revela que el 25% de los estudiantes de las carreras que allí se
imparten reprueba Cálculo, el 15% reprueba Estadísticas y el 10%
reprueba ambas asignaturas.
a.- Si un alumno reprueba Estadísticas, ¿cuál es la probabilidad que repruebe
Cálculo?
b.- Si un alumno reprueba Cálculo, ¿cuál es la probabilidad que repruebe
Estadísticas?
c.- ¿cuál es la probabilidad que tiene el alumno de reprobar una de las dos o
ambas asignaturas?
Respuestas:
Presentemos esta situación en el diagrama de Venn-Euler:
Donde C es el suceso consistente en reprobar Cálculo y E es el suceso que
consiste en reprobar Estadísticas.
a.- El teorema de la probabilidad condicional (pag. 5; PC1) nos dice que
la probabilidad condicional que un alumno pierda Cálculo si reprobó
Estadísticas es:
P ( C ∩ E ) 0,1 2
P (C / E ) =
=
= = 0, 666....
P(E)
0,15 3
b.- La probabilidad que un alumno pierda Estadísticas dado que reprobó
Cálculo es:
P (C ∩ E )
0,1
2
P (E / C ) =
=
= = 0, 4
P (C )
0, 25 5
9
c.- La probabilidad que un alumno repruebe ya sea Cálculo o
Estadísticas o ambas es:
P(C ∪ E) = P ( C) + P ( E ) – P(C ∩ E) = 0, 25 + 0,15 – 0,1 = 0,3
De este problema nace una pregunta casi natural: ¿el reprobar Cálculo y
Estadísticas son sucesos independientes.
Veamos. Si los sucesos son independientes, debe darse (página 5):
P(C ∩ E) = P ( C) × P ( E )
Pero vemos que P(C∩E) = 0.1 y que P(C) · P(E) = 0,15*0,25=0,0375y
claramente 0,1 ≠ 0,0375 o sea P(C∩E) ≠ P(C) · P(E) lo que indica que
reprobar Cálculo y Estadísticas no son sucesos independientes, es decir
son sucesos dependientes.
Nota: Cualquier situación con la vida real es simplemente intencional
Nota: Siempre es importante tener en cuenta que:
A ∪ B = (A ∩BC) ∪ (A ∩ B ) ∪ (AC∩ B )
A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B ) ∪ (B \ A)
Nótese que se trata de la unión de conjuntos disjuntos.
10
Se arrojan tres monedas legales. Calcular la probabilidad de obtener:
a) Exactamente i caras
( i = 0,1, 2, 3 )
b) Por lo menos i caras
M1
M2
M3
C
Ω
(C,C,C)
S
(C,C,S)
C
(C,S,C)
S
(C,S,S)
C
(S,C,C)
S
(S,C,S)
C
(S,S,C)
S
(S,S,S)
C
C
S
C
S
S
i caras exactas
Ω
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
#Ω 8
0
1
2
Por lo menos i caras
3
*
♣
♣
♣
■
■
0
1
2
3
▼
▼
▼
▼
▼
▼
▼
□
♦
□
□
□
♪
☻
1 2 3 1 1 7 4 1
Probab. 1/8 1/4 3/8 1/8 1/8 7/8 1/2 1/8
Suceso pregunta a Suceso pregunta b
Así la probabilidad de obtener exactamente 0 caras es 1/8, la de obtener
exactamente 1 caras es 1/4, la de obtener exactamente 2 caras es 3/8, la de
obtener 3 caras es 1/8. Mientras que la probabilidad de obtener al menos 0
caras alcanza a 1/8, al menos 1 cara es 7/8, la de obtener por lo menos 2 caras
es 1/2, y la de obtener por lo menos 3 caras es de 1/8.
11
La probabilidad que un hombre siga vivo dentro de 25 años es 3/5, y la de su esposa
es de 2/3. Determinar la probabilidad que en ese momento:
a) ambos estén vivos
b) sólo el hombre esté vivo
c) sólo la mujer esté viva
d) al menos uno de ellos esté vivo
P(H) = 3/5 =: Probabilidad que el hombre siga viviendo dentro de 25 años.
P(M) = 2/3 =: Probabilidad que la mujer siga viviendo dentro de 25 años.
Respuesta a:
P(H∩M) = : Probabilidad que ambos estén vivos dentro de 25 años.
Como H y M son sucesos independientes, entonces :
P(H∩M) = P(H)* P(M) y así P(H∩M) =3/5*2/3 = 2/5 = 0,4
Respuesta b:
P(H \ M) =: Probabilidad que sólo el hombre siga vivo dentro de 25 años.
P(H \ M) = P(H∩Mc) = P(H) - P(H∩M) = 3/5-2/5 = 1/5 = 0,2
Respuesta c:
P(M \ H) =: Probabilidad que sólo la mujer siga viva dentro de 25 años.
P(M \ H) = P(M∩Hc) = P(M) - P(H∩M) = 2/3-2/5 = 4/15
Respuesta d:
P(H∪M) =: Probabilidad que al menos uno de ellos viva dentro de 25 años.
P(H∪M) = P(H) + P(M) - P(H∩M) = 3/5+2/3-2/5 = 13/15
12
Un curso formado por 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de los
hombres tienen ojos negros y la mitad de las mujeres tienen ojos negros. Hallar la
probabilidad que una persona escogida al azar sea hombre o tenga ojos negros.
Respuesta:
NEGROS OTRO COLOR ∑
♂ : Alumno hombre
♀ : Alumno mujer
N : Alumno de ojos negros
♂
♀
∑
5
10
15
5
10
15
10
20
30
P(♂)
= : Probabilidad que el alumno sea hombre (10/30)
P(♀)
= : Probabilidad que el alumno sea mujer (20/30)
P(N)
= : Probabilidad que el alumno tenga ojos negros (15/30)
P(♂∩N) = : Probabilidad que el alumno sea hombre y tenga ojos negros
(5/30)
Así la probabilidad pedida es:
P(♂∪N) = P(♂) + P(N) - P(♂∩N) = 10/30+15/30 –5/30 = 2/3
Se desea determinar la probabilidad de encontrar dos microprocesadores
defectuosos al azar dentro de una partida de 15 microprocesadores.
Utilizaremos el Teorema de la Probabilidad Condicional (PC1):
P(A∩B)
P(A / B) =
como P(A∩B) = P(B)* P(A / B)
P(B)
Esto último nos dice que la probabilidad que de dos sucesos, ocurran ambos es
el producto de la probabilidad que ocurra uno de los sucesos y la probabilidad
que ocurra el otro suceso si el primero ha ocurrido (ocurre o ocurrirá). Así:
Sea B =: Encontrar un microchip defectuoso en la partida
A / B =: Encontrar el otro microprocesador habiendo encontrado el primero
A∩B =: Encontrar ambos microprocesadores en la partida
con P(B) = 2/15 y P(A / B) = 1/14
13
En consecuencia: P(A∩B) = 2/15*1/14= 1/105
Ahora veamos la resolución de este problema mediante diagramas de árbol:
P(B)
P(A / B)
1/14
Acierto
2/15
Acierto
13/14
Error
2/14
Acierto
13/15
Error
12/14
Error
Así vemos que la probabilidad de acertar en encontrar los dos
microprocesadores fallados en la partida es 2/15*1/14 = 1/105
El circuito de la figura está constituido por 5 dispositivos que funcionan
adecuadamente si y sólo si, existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento
desde la entrada I hacia la salida O, y cuyas probabilidades de fallar se indican en
cada uno de los dispositivos. Suponiendo que los dispositivos fallan de manera
independiente. ¿Cuál es la probabilidad que el circuito funcione correctamente?.
A
1/100
B
1/100
D
1/10
O
I
C
1/10
E
1/10
14
Sean:
P(XYO) = : Probabilidad que el dispositivo X y el dispositivo Y se encuentren
operativos (funcionando).
P(XO) = : Probabilidad que el dispositivo X se encuentre operativo.
Así:
P(ABO) = P(AO ∩ BO) = P(AO)* P(BO) (sucesos independientes)
P(ABO) = (1–1/100)*(1–1/100) = (99/100)2 = 0,9801
Por otra parte tenemos:
P(ABO ∪ CO) = P(ABO) + P(CO) – P(ABO)* P(CO)
P(ABO ∪ CO) = 0,9801+ 0,9 – 0,9801*0,9
P(ABO ∪ CO) = 0,99801 =: P(ABCO)
Por otro lado también se tiene:
P(DO ∪ EO) = P(DO) + P(EO) – P(DO)* P(EO)
P(DO ∪ EO) = 0,9+ 0,9 – 0,9*0,9 =: P(DEO)
Así el problema se soluciona si:
P(ABCO ∩ DEO) = P(ABCO)* P(DEO)
P(ABCO ∩ DEO) = 0,99801*0,99 = 0,9880299 = : P(ABCDEO)
Ahora se procederá a resolver el mismo problema usando el diagrama
decisional.
Del gráfico del circuito se puede apreciar que existen 4 rutas posibles para la
salida O a partir de la entrada I; a saber:
15
1.
2.
3.
4.
IABDO
IABEO
I CD O
I CE O
A
1/100
B
1/100
D
1/10
O
I
C
1/10
E
1/10
Calculemos la probabilidad que falle el dispositivo A o el dispositivo B:
P(AF ∪ BF) = P(AF) + P(BF) – P(AF ∩BF) y como son sucesos independientes
P(AF ∪ BF) = P(AF) + P(BF) – P(AF)* P(BF) = 1/100+1/100-1/100*1/100
P(AF ∪ BF) = 0.0199
La probabilidad que no fallen estos dispositivos es: 1– P(AF ∪ BF) = 0,9801
Es decir, la probabilidad de mantenerse operativos es del 0,9801. Con estos
datos confecciones el diagrama decisional:
P(DF)
0,1
P(EO) 0,9
O
P(EF) 0,1
P(AO ∪ BO) 0,9801
P(DO)
0,9
O
I
P(CF)
0,1
P(AF ∪ BF) 0,0199
P(DO) 0,9
P(CO)
0,9
O
P(EF) 0,1
P(DF) 0,1
P(EO) 0,9
O
16
Así vemos que la probabilidad que el circuito funcione a la salida O es:
0,9801*0,1*0,9+0,9801*09+0,0199*0,9*0,9+0,0199*0,9*0,1*0,9=0,9880299.
Así con esta configuración existe un casi 99% de probabilidades que el
circuito funcione correctamente.
En un curso, se presenta un caso de Tifoidea y tres casos de Gripe. Las edades de los
alumnos fluctúan entre los 12 y los 15 años. Suponga que para este grupo etario la
tasa de incidencia de la Tifoidea es de un 5% y la de Gripe un 8%. Se sabe a priori
que ambos sucesos son independientes. Si se selecciona aleatoriamente un alumno
del curso, indique cuál es la probabilidad que el alumno seleccionado:
a)
b)
c)
d)
e)
No enferme de Tifoidea
No sufra de Gripe
Enferme de Gripe y Tifoidea
Presente cualquiera de las enfermedades pero no ambas
No presente ninguna de las enfermedades
Sean los sucesos definidos mediante G y T como:
G = contraer la Gripe y T = contraer la Tifoidea con P(G) = 0,08 y P(T) = 0,05
Respuesta a:
P( T c ) = 1– P( T ) = 1– 0,05 = 0,95
Respuesta b:
P( G c ) = 1– P( G ) = 1– 0,08 = 0,92
Respuesta c:
P(G ∩ T) = P( G )*P( T ) = 0,08*0,05 = 0,004
Respuesta d:
P(G ∪ T) – P(G ∩ T) = P( G ) + P( T ) – 2P(G ∩ T)
= P( G ) + P( T ) – 2P(G )*P( T )
= 0,08 + 0,05 – 2*0,08*0,05 = 0,122
17
Respuesta e:
P(G c ∩ T c ) = P( G c)*P( T c) = ( 1– 0,08)*(1– 0,05) = 0,92*0,95 = 0,874
Sean A y B dos características genéticas independientes. La probabilidad que un
individuo presente la característica A es 0,5 y la probabilidad que presente la
característica B es 0,75.
a) ¿Cuál es la probabilidad que un individuo presente ambas características?
b) ¿Cuál es la probabilidad que un individuo presente por lo menos una de ellas?
c) ¿Cuál es la probabilidad que un individuo no presente ninguna de ellas?.
Respuesta a:
P(A ∩ B) = ? ; A y B eventos independientes con P(A) = 0,5 y P(B) = 0,75
esto nos dice que A y B son sucesos no excluyentes.
Por otro lado, A y B independientes si y sólo si P(A ∩ B) = P(A)* P(B) de
modo que
P(A ∩ B) = 0,5*0,75 = 0,375
Respuesta b:
P(A ∪ B) = ?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,5 + 0,75 – 0,375 = 0,875
Respuesta c:
P([A ∪ B] c) = ?
P([A ∪ B] c) = 1– P(A ∪ B) = 1– 0,875= 0,125
18
Teorema de la Probabilidad Total
Sea { A }
i
n
una partición de Ω tal que P(A ) > 0 ∀ i = 1, 2, ........, n y sea
i
i =1
B un suceso tal que P(B) > 0. Entonces:
n
P(B) = ∑ P(B / A ) · P(A )
i
i=1
Partición:
{A }
i
n
i =1
; (PT1)
i
donde los conjuntos A son mutuamente excluyentes
i
y de la unión de éstos resulta Ω, en lenguaje matemático:
Ω=
∪{ Ai }
y A
1
∩A
2
n
i =1
= A
1
=∅; A
2
∪ A ∪ ......... ∪ A
2
n
∩ A=∅;
........................ ; A
n−1
3
Ω
A
n
.
.
. . . ..
.
.
A
1
B
.
A
2
A
4
A
3
∩A
n
=∅
19
Teorema de Bayes
Sea { A }
i
n
i =1
una partición de Ω tal que P(A ) > 0 ;∀ i = 1, 2, ........, n y sea
i
B un suceso tal que P(B) > 0. Entonces para cualquier 1 ≤ k
≤ n se tiene:
P( B / A ) * P( A )
; 1≤ k ≤ n ;
k
k
P( A / B) = n
k
∑ P( B / A ) * P( A )
i =1
i
(TB1)
i
DISCUSIÓN DEL TEOREMA DE LA
PROBABILIDAD TOTAL Y DEL TEOREMA DE
BAYES
Procedamos a la discusión de estos teoremas a través del ejemplo de las
máquinas que producen artículos defectuosos.
En efecto, hagamos un partición del espacio muestral Ω, consistente en la
producción de tres máquinas con artículos buenos y malos, en tres sucesos que
corresponden a la producción de cada máquina individualmente. Cada
máquina tiene una producción constituida por artículos buenos y defectuosos
(malos).
M1
Ω
B
M2
M3
Así, el Teorema de la Probabilidad Total nos proporciona para el suceso B
definido como B: “Producción total de artículos defectuosos”, la probabilidad
20
P(B) de producir artículos defectuosos o malos. Esta se calcula como lo
estipula la expresión PT1, es decir:
3
P( B) = ∑ P( B / M ) * P( M )
i =1
i
donde P(B/Mi) es la probabilidad de que
i
el artículo defectuoso provenga de la máquina iésima y donde P(Mi) es la
probabilidad de producción de artículos de la máquina iésima (buenos y
defectuosos). En cambio el Teorema de Bayes responde a la contingencia que
presenta la siguiente situación:
Si al escoger aleatoriamente un artículo de la producción conjunta o total de
las máquinas se obtuvo un artículo defectuoso, nace la pregunta ¿Cuál es la
probabilidad que el artículo defectuoso obtenido provenga o lo haya fabricado
una máquina determinada, digamos, la k-ésima máquina?
Esta pregunta la responde el Teorema de Bayes calculándola como:
P( B / M ) * P( M )
k
k
P( M / B) = 3
k
∑ P( B / M ) * P( M )
i =1
i
;
1≤k ≤ 3
i
EJEMPLO:
En una industria hay tres máquinas que fabrican el mismo artículo, y su
producción diaria está detallada en el siguiente cuadro:
Máquina
1
2
3
∑
Artículos Artículos Producción
defectuosos buenos
total
5
195
200
4
246
250
6
144
150
15
585
600
21
a) Si de la producción total diaria se escoge un artículo al azar, ¿Cuál es la
probabilidad que el artículo resulte defectuoso?
b) Si al extraer un artículo de la producción total diaria, éste resultó
defectuoso; ¿cuál es la probabilidad que este artículo haya sido
fabricado por la máquina número 2 específicamente?.
La respuesta a estas preguntas las entregan los teoremas discutidos
anteriormente. Así para responderlas calcularemos las probabilidades
necesarias y las presentaremos en la siguiente tabla:
Máquina
1
2
3
Probab. Art. Defec. Probab. Art. Defec.
fabricado por máquina i producción total
5/200
200/600
4/250
250/600
6/150
150/600
Respuesta a)
El Teorema de la Probabilidad Total nos entrega la respuesta, Así la
probabilidad que el artículo seleccionado resulte defectuoso es:
3
P( B) = ∑ P( B / M ) * P( M ) =
i =1
i
i
5 200 4 250 6 150
*
+
*
+
*
200 600 250 600 150 600
=
5
4
6
+
+
600 600 600
=
0,025
=
15
600
=
1
40
22
Respuesta b)
La respuesta nos la entrega el Teorema de Bayes. Así esta probabilidad es:
P(B/ M )*P(M )
4 250
*
2
2
250
600 = 4 = 0,2 6
P(M / B) = 3
=
1
15
2
P
(
B
/
M
)
*
P
(
M
)
∑
40
i=1
i
i
Ahora se verá cómo resolver el mismo problema, pero usando la técnica de los
diagramas decisionales o de árbol:
Máquina i
1
2
3
% Producción Máquina i
200
600
250
600
150
600
% Calidad Máquina i
(Defectuosos y Buenos)
5 ( D)
200
195
200
(B)
4 ( D)
250
246 ( B )
250
6 ( D)
150
144 ( B )
150
23
Directamente del diagrama podemos calcular la probabilidad que el artículo
resulte defectuoso:
P(Artículo Defectuoso) =
200 5 250 4 150 6
1
*
+
*
+
*
=
600 200 600 250 600 150 40
Y la probabilidad que el artículo resulte bueno es:
P(Artículo Bueno) =
200 195 250 246 150 144 39
*
+
*
+
*
=
600 200 600 250 600 150 40
También la probabilidad que un artículo resulte ser defectuoso y haya sido
fabricado por la máquina número 3 es:
150 6
*
2
P(M3/Defectuoso) = 600 150 = = 0,4
1
5
40
Veamos otros ejemplos de las aplicaciones de estos teoremas:
Una empresa ha decidido ensayar un nuevo Test de Selección de Personal. La
experiencia ha demostrado que sólo el 60% de los candidatos son adecuados para
algún puesto de trabajo.
De entre todas las personas que resultaron adecuadas para el cargo, sólo el 80%
aprobó satisfactoriamente el Test de Selección, mientras que sólo el 40% de aquellas
que no resultaron adecuadas aprobó dicho test.
c) ¿Cuál es la probabilidad que una persona cualquiera apruebe el test?
d) Si se utiliza el Test de Selección y se contrata solamente a las personas que lo
aprueban, ¿Cuál resulta ser la probabilidad que una persona que aprueba el Test
de Selección resulte adecuada para el cargo?
24
Sin Test de Selección
Adecuado
60%
Con Test de Selección
Aprueba Test
80%
Reprueba Test
20%
Aprueba Test
40%
Reprueba Test
60%
1
Inadecuado 40%
P(a) = 0,6 * 0,8 + 0,4 * 0,4 = 0,64 es la probabilidad que una persona
cualquiera apruebe el Test de Selección.
0 , 6 * 0 ,8
= 0,75 es la probabilidad que una persona que aprueba el Test
0 , 64
de Selección resulte adecuada para el cargo.
P(b) =
Se desea ir al centro de la ciudad y llegar antes de las 18:00 hrs. Se sabe que:
ƒ
ƒ
ƒ
Si se toma un taxi la probabilidad de llegar a tiempo es 0,8
Por otro medio de locomoción la probabilidad de llegar a tiempo es 0,4
La probabilidad de tomar un taxi es 0,3
a) ¿Cuál es la probabilidad de llegar al centro de la ciudad antes de las 18:00 hrs.?
b) ¿Cuál es la probabilidad de llegar al centro de la ciudad después de las 18:00
hrs. Si no se recurre al taxi?
TX
OML
AT
T
Taxi
Otro medio de locomoción
A tiempo (Antes de las 18:00 hrs.)
Tarde (Después de las 18:00 hrs.)
AT 0,8
TX
0,3
T 0,2
AT 0,4
OML
0,7
T 0.6
P(a) = 0,3 * 0,8 + 0,7 * 0,4 = 0,52 es la probabilidad de llegar al centro de la
ciudad antes de las 18:00 hrs.
1
Los valores subrayados corresponden a los datos entregados por el enunciado del problema
25
P(b) =
0,7*0,6
= 0,875 es la probabilidad de llegar atrasado al
0,3*0, 2 + 0,7*0,6
centro de la ciudad si no se recurre al taxi.
Un inversionista planea comprar una importante cantidad de acciones de una
empresa. La cotización de las acciones de la empresa en la Bolsa durante los seis
meses anteriores resulta de sumo interés para el inversionista. Con base a ese
período, se observa que la cotización que afecta a las acciones se relaciona con el
Producto Nacional Bruto (PNB) del país, observando que:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Si el PNB sube, la probabilidad que el valor de la acción de la empresa suba es
0,8
Si el PNB se mantiene sin variación, la probabilidad que el valor de la acción
suba de precio es 0,2
Si el PNB cae, la probabilidad que el valor de la acción incremente su precio es
0,1
Si para los siguientes 6 meses, los estudios estadísticos asignan las
probabilidades de 0,4; 0,3 y 0,3 a los sucesos: alza del PNB; PNB sin variación
y baja del PNB respectivamente.
a) Determinar la probabilidad que el valor de la acción suba durante los próximos
6 meses.
PNB
A
SV
B
VA
SP
DP
Producto Nacional Bruto
Alza
Sin Variación
Baja
Valorización de las Acciones
Subida del Precio
Disminución del Precio
PNB
VA
SP 0,8
A
0,4
DP 0,2
SP 0,2
SV
0,3
DP 0,8
SP 0,1
B
0,3
DP 0,9
P(a) = 0,4 * 0,8 + 0,3 * 0,2 + 0,3 * 0,1 = 0,41 es la probabilidad que la acción
de la empresa suba de precio durante los próximos seis meses.
26
Para detectar el cáncer se ha desarrollado un examen que parece prometedor. Las
estadísticas indican que el 98% de los pacientes con cáncer de un hospital
reaccionaron positivamente a la prueba, mientras que solamente el 3% de los
pacientes del hospital tienen cáncer. También se registró que sólo el 4% de aquellos
pacientes que no tienen cáncer reaccionaron positivamente a la prueba. En base a
estas estadísticas:
a) ¿cuál es la probabilidad que un paciente elegido aleatoriamente y que reacciona
positivamente a la prueba tenga realmente cáncer?
Tipo de Paciente
Reacción al Examen
( + ) 0,98
Con Cáncer
0,03
( - ) 0,02
( + ) 0,04
Sin
Cáncer
0,97
P(a) =
( - ) 0,96
0,03*0,98
= 0,431
0,03*0,98+ 0,97*0,04
Se le pregunta a un Consultor en Recursos Humanos sobre su opinión en relación a
si la secretaria insatisfecha de un ejecutivo de gerencia ha renunciado a su puesto
sobre todo porque no le gustaba su trabajo, porque le parecía que se le remuneraba
mal, o simplemente porque no le agradaba su jefe. Sin poder obtener ninguna
información directa de la secretaria, toma los siguientes datos de un estudio a gran
escala sobre la moral y motivación en las empresas: Entre todas las secretarias
insatisfechas, el 20% lo están principalmente porque les disgusta el trabajo; el 50%
se sienten mal pagadas, y al 30% no les agrada su jefe. Además las probabilidades
que renuncien son, respectivamente: 0,6; 04 y 0,9.
27
Renuncia 0,6
No le gusta el trabajo
0,2
Continúa 0,4
Renuncia 0,4
Remuneración insuficiente 0,5
Continúa 0,6
Renuncia 0,9
Le disgusta el Jefe
0,3
Continúa 0,1
ƒ
La probabilidad que una secretaria renuncie está dada por el Teorema
de la Probabilidad Total y es: 0,2 * 0,6 + 0,5 * 0,4 + 0,3 * 0,9 = 0,59
ƒ
La probabilidad que una secretaria renuncie debido a que no le gustó su
trabajo está dada por el Teorema de Bayes y vale:
ƒ
La probabilidad que una secretaria renuncie debido a que se considera
mal remunerada es:
ƒ
0, 2*0,6
= 0,203
0,59
0,5*0, 4
= 0,339
0,59
La probabilidad que una secretaria renuncie debido a que no le agradó
su jefe es:
0,3*0,9
= 0,458
0,59
Así la mejor respuesta que puede dar el Consultor, es que lo más
probable es que la secretaria renunció principalmente porque le
desagradó el jefe para el cual tenía que trabajar (45,8 %).
También podemos inferir, que la estabilidad laboral para las secretarias
es relativamente baja, debido a que la probabilidad que una secretaria
continúe trabajando es del 41 %, que no es otro que el valor dado por la
probabilidad del suceso contrario, es decir: 0,41 = 1- 0,59.
28
La probabilidad que un accidente de aviación sea debido a defectos estructurales se
diagnostica correctamente en el 72 % de los casos, y la probabilidad que un
accidente de aviación que no se deba a defectos estructurales se diagnostica
erróneamente como debido a fallas estructurales es de un 12 %. Si el 40 % de los
accidentes de aviación se deben a defectos estructurales, ¿Cuál es la probabilidad
que un accidente de aviación que se ha diagnosticado como debido a defectos
estructurales se deba realmente a esta causa?
Causas del Accidente Aéreo
Diagnóstico
Correcto 72%
Defectos estructurales
40%
Erróneo 28%
Correcto 88%
Otras causas
60%
Erróneo 12%
Así, la probabilidad que un accidente aéreo que se ha diagnosticado como
debido a defectos estructurales, se deba realmente a esa causa es:
0, 4*0,72
= 0,353
0, 4*0,72+ 0,6*0,88
La compañía RCR está considerando comercializar un nuevo tipo de teléfono
móvil, cuya principal característica es permitir la marcación mental del número
deseado. Las investigaciones de mercado dicen que la probabilidad que éste tenga
éxito es de 0,4 siempre que la única firma competidora, la compañía CLV, no
introduzca al mercado un tipo similar de teléfono móvil. RCR ha estimado en 0,3 la
probabilidad que CLV introduzca al mercado el teléfono móvil alternativo, además
de estimar en 0,548 la probabilidad que el teléfono RCR no tenga éxito. Si el
teléfono RCR tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad que CLV haya introducido al
mercado su nuevo tipo de teléfono móvil?
Éxito
RCR
0,7
Fracaso 0,6
Éxito
CLV
0,3
0,4
0,452
Fracaso 0,548
29
Así, la probabilidad que CLV haya lanzado su teléfono móvil de marcación
mental, dado que el de RCR tuvo éxito es:
0,3*0, 452
= 0,326
0,3*0, 452+ 0,7*0, 4
Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Se extrae una bola al azar y se
la separa. Luego se extrae otra bola; ¿Cuál es la probabilidad que esta segunda bola
sea blanca?.
Primera extracción
Segunda extracción
Blanca 2 / 7
Blanca 3 / 8
Negra
5/7
Blanca 3 / 7
Negra
5/8
Negra
La probabilidad que esta segunda bola sea negra es:
4/7
3 2 5 3 3
* + * =
= 0,375
8 7 8 7 8
La siguiente figura explica la forma de asignar las probabilidades al diagrama
decisional:
B B
N N
B B B
B
N N N
N N
B B B
N N N
N
N N
N N
30
Un hombre va de pesca por primera vez, disponiendo de tres tipos de carnadas, de
las cuales sólo una es inadecuada para la clase de peces que pretende capturar.
ƒ La probabilidad de capturar un pez usando la carnada apropiada es 1/3.
ƒ La probabilidad de capturar un pez usando la carnada inapropiada es 1/5.
a) ¿Cuál es la probabilidad de pescar un pez?
b) Dado que el pescador logró atrapar un pez, ¿cuál es la probabilidad que haya
utilizado el tipo correcto de carnada?
Tipo de Carnada ( Ci )
Resultado
Acierto 1/3
C1 (Apropiada)
1/3
Falla
2/3
Acierto 1/3
C2 (Apropiada)
1/3
Falla
2/3
Acierto 1/5
C3 (Inapropiada) 1/3
Falla
4/5
Asignamos probabilidades de 1/3 al hecho de elegir uno de los tres tipos de
carnada por tratarse de un novato que sale de pesca por primera vez. El
desconocimiento de la carnada por usar hace que el hecho de utilizar un tipo
de carnada cualquiera sea un suceso equiprobable. Así, la respuesta a la
pregunta a) es:
P(a) =
1 1 1 1 1 1
* + * + *
3 3 3 3 3 5
=
13
45
=
0,2 8
La respuesta a la pregunta b) la podemos obtener, calculando la probabilidad
de ocurrencia del suceso contrario, es decir, dado que ha logrado pescar un
pez, la probabilidad que lo haya hecho usando la carnada inapropiada es:
31
1 1
*
3 5
13
45
=
3
13
⇒
P(b) = 1 -
3 10
=
≈ 0,769
13 13
También se puede contestar esta pregunta fijándose directamente en el
diagrama y notando que la probabilidad pedida es:
P(b) =
1 1 1 1
* + *
3 3 3 3
13
45
1 1
2* *
3 3
=
13
45
=
10
13
, puesto que según el diagrama y
usando la notación de los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes:
P(C1 / B) = P(C2 / B) =
C1
1 1
*
3 3
13
45
siendo B el suceso de atrapar un pez.
Ω
B
C2
Mono explicatorio
C3
Con Ω = {C1, C2, C3} donde Ci es el suceso “ usar la carnada i” y B el suceso
“atrapar un pez”, con P(Ci) = 1/3 ; i = 1, 2, 3 y C3 representan el suceso de
usar la carnada inapropiada. Además P(B / C3) = 1/5 y P(B / C1) = P(B / C2) =
1/3 donde:
P(B) = P(B / C1) * P(C1) + P(B / C2) * P(C2) + P(B / C3) * P(C3) = 13 / 45
32
En una determinada población las autoridades de Salud han detectado una
enfermedad muy grave (A), cuyo síntoma más importante es X, pero este
síntoma también se presenta en personas que padecen una enfermedad no tan
grave (B) e incluso, en personas que no padecen nada serio (C). El síntoma X se
presenta en el 99% de los que padecen la enfermedad A, en el 50% de los que
padecen la enfermedad B y en el 0,4% de los que no tienen nada serio.
Examinando a un individuo de dicha población que presenta el síntoma X, se
pretende conocer la probabilidad que tenga la enfermedad A, sabiendo que el
2% tiene esa enfermedad A, el 0,5% la enfermedad B y el 97,5% no tienen nada
serio.
Enfermedad
Sintomatología
X 99%
A
2%
~X 1%
X 50%
B
0,5%
~X 50%
X 0,4%
C
97,5%
~X 99,6%
Nota: ~X representa la aparición de otros síntomas diferentes del cuadro sintomático X
Así lo que se pide, la probabilidad que un individuo tenga la enfermedad A
habiendo presentado el síntoma X es:
0,02*0,99
≈ 0,756
0,02*0,99+ 0,005*0,5+ 0,975*0,004
Esto quiere decir que algo más de las 3/4 partes de la población que presenta
el síntoma X ha contraído la enfermedad A de alta gravedad.
Es importante destacar, que la probabilidad que un individuo presente la
sintomatología X es de 0,02*0,99+0,005*0,5+0,975*0,004 = 0,0262. Esto
significa que sólo un poco más de la cuarta parte de la población presenta el
síntoma X.
33
La probabilidad que una cervecería decida patrocinar la televisación de un
torneo de fútbol en un determinado país de América del Sur, es de un 50%, la
transmisión de una telenovela es de un 30% y la transmisión de una ópera es un
20%. Si la cervecería se decide por el fútbol, la probabilidad de obtener más de
40 puntos de sintonía es del 60%, si se decide por la telenovela, alcanza un 45%
y si se decide por la ópera, un 18%.
Si resultó un bajo nivel de sintonía. ¿Cuál es la probabilidad que la cervecería
haya decidido auspiciar la ópera?.
Programa
Nivel de Sintonía
Alto
Fútbol
50%
Bajo 40%
Alto
Novela
30%
Opera
20%
60%
45%
Bajo 55%
Alto
18%
Bajo
82%
Del diagrama tenemos que la probabilidad pedida es:
0, 2*0,82
≈ 0,31
0, 2*0,82+ 0,3*0,55+ 0,5*0, 4
Crítica optativa
Un análisis más a fondo del problema nos indica que la calidad de la televisión
de ese país de América del Sur parece no ser muy buena, puesto que un simple
cálculo de la probabilidad de obtener bajas tasas de sintonía alcanza al 52,9%.
El valor agregado de usar los diagramas de decisión consiste en obtener toda
la información relativa al problema, que del modo tradicional no se clarificaría
de manera inmediata.
34
De tres cajas PortaCDs idénticas una contiene dos CDs musicales de moda (CD In) y
otro pasado de moda (CD Out), una segunda caja contiene un CD de moda y un CD
pasado de moda, y la tercera contiene dos CDs pasados de moda. Todos los CDs
fueron grabados en forma pirata, y ninguno posee etiquetas de identificación. Tras
tomar una de las cajas al azar, un empleado toma al azar un CD de la misma. Si este
CD resultó ser uno de moda, ¿Cuál es la probabilidad que el otro CD tomado de la
misma caja sea también un CD de moda?
CDIN CD de moda
CDOUT CD pasado de moda
Caja PortaCD i (i = 1, 2, 3 )
Ci
Ci
C1
C2
C3
CDIN CDIN CDOUT
CDIN CDOUT CDOUT
1° Elección
CDIN
2° Elección
CDIN (1/1)
(2/2)
CDOUT (0/1)
C1 (1/3)
CDIN
(0/1)
CDOUT (0/2)
CDOUT (0/1)
CDIN
CDIN
(0/1)
(1/2)
CDOUT (1/1)
C2 (1/3)
CDIN
(1/1)
CDOUT (1/2)
CDOUT (0/1)
CDIN
CDIN
(0/1)
(0/2)
CDOUT (1/1)
C3 (1/3)
CDIN
(0/1)
CDOUT (2/2)
CDOUT (1/1)
Así la probabilidad solicitada es:
1/ 3*2 / 2*1/ 1
= 2/3
1/ 3*2 / 2*1/ 1+1/ 3*0 / 2*0 / 1+1/ 3*1/ 2*0 / 1+1/ 3*1/ 2*1/ 1+1/ 3*0 / 2*0 / 1+1/ 3*2 / 2*0 / 1
35
Resumen Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes
En las páginas 11 y 12 vimos que el cálculo de las probabilidades
condicionales requiere del Teorema de la Probabilidad Total y del Teorema de
Bayes, una partición finita del espacio muestral Ω y un suceso B. Así la
Probabilidad Total de ocurrencia del suceso B está dada por:
∑
n
P(B) =
P(B / A ) · P(A )
i
i=1
;
i
(PT1)
P(B) = P(B/A1)*P(A1) + P(B/A2)*P(A2) +. . . . . + P(B/An)*P(An)
Ω
.
A
.
.
.
. .
n
.
A
1
B
.
.
A
2
A
3
A
4
36
P(B / A ) * P( A )
P(A / B) =
k
(TB1)
k
∑
;
k
1≤ k ≤ n
n
P(B / A ) * P( A )
i
i
i =1
La representación en diagramas de árbol para estos teoremas queda como:
P(A1)
P(A2)
P(A3)
A1
P(B/A1)
A2
P(B/A2)
A3
P(B/A3)
Ak
P(B/Ak)
An
P(B/An)
B
B
B
▪
▪
▪
P(Ak)
B
▪
▪
▪
P(An)
B
;
37
Ejemplos de distribuciones de probabilidades
equiprobables y no equiprobables
Sea una moneda “cargada”, donde la probabilidad que al lanzarla resulte cara es 2/3
y que salga sello es 1/3.
¿Cuál es la probabilidad que al lanzarla 3 veces seguidas, resulten 3, 2, 1 y 0 caras?
Obtener el diagrama de la distribución de probabilidades, y comparar la situación
con el diagrama de probabilidades de una moneda “buena”.
L1
2/3
C
1/3
2/3
1/3
2/3
S
1/3
□
♪
♫
■
L2
2/3
C
1/3
L3
C
Ω
(C,C,C)
Conteo
■
S
(C,C,S)
♫
2/3
S
1/3
C
(C,S,C)
♫
S
(C,S,S)
♪
2/3
C
1/3
C
(S,C,C)
♫
S
(S,C,S)
♪
2/3
S
1/3
C
(S,S,C)
♪
S
(S,S,S)
□
P(i)
Resultado
P(0)
P(1)
P(2)
P(3)
∑P(i)
1/3*1/3*1/3
2/3*/1/3*1/3+1/3*2/3*1/3+1/3*1/3*2/3
2/3*/2/3*1/3+2/3*1/3*2/3+1/3*2/3*2/3
2/3*2/3*2/3
1
Se puede realizar mediante el tratamiento hasta ahora visto, pero nuestro
objetivo es ilustrar la distribución binomial de probabilidad.
La probabilidad que en una variable aleatoria X se tengan k aciertos en n
pruebas repetidas con probabilidad de acierto q y de falla 1-q está dada por:
n−k
k
n −k
⎛ n⎞ k
n!
P( X = x) = P( x = k ) = ⎜ ⎟q × (1 − q)
=
q × (1 − q)
(n − k )!×k!
⎝k ⎠
Si n = 1, la distribución binomial recibe el nombre de distribución de
Bernoulli
38
Así para estos casos se tiene, n = 3, q = 2/3, 1- q = 1/3, para k = 0, 1, 2 y 3
⎛ 3 ⎞⎡2 ⎤k
P (k ) = ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ k ⎠⎣3 ⎦
⎛ 3 ⎞⎡ 2 ⎤0
P (0 ) = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ 0 ⎠⎣ 3 ⎦
⎛ 3 ⎞ ⎡ 2 ⎤1
P (1 ) = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ 1 ⎠⎣ 3 ⎦
⎛ 3 ⎞⎡2 ⎤2
P (2) = ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ 2 ⎠⎣3 ⎦
⎛ 3 ⎞⎡ 2 ⎤3
P (3 ) = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ 3 ⎠⎣ 3 ⎦
Probabilidad
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3⎦
3− k
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3 ⎦
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3 ⎦
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3⎦
=
3− 0
3−1
3− 2
=
=
=
3!
⎡2 ⎤
( 3 − k )! × k ! ⎢⎣ 3 ⎥⎦
k
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3⎦
3! ⎡ 2 ⎤
3 !× 0 ! ⎢⎣ 3 ⎥⎦
0
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3 ⎦
3
3! ⎡ 2 ⎤
2 !× 1 ! ⎢⎣ 3 ⎥⎦
1
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3 ⎦
2
3! ⎡ 2 ⎤
1 !× 2 ! ⎢⎣ 3 ⎥⎦
2
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
⎣3⎦
1
=
3− k
=
1
27
=
6
27
=
=
4
9
12
27
2
9
3− 3
0
3! ⎡ 2 ⎤ 3
8
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
× ⎢ ⎥
=
×
=
⎢
⎥
⎢
⎥
0 !× 3 ! ⎣ 3 ⎦
27
⎣3 ⎦
⎣3 ⎦
Distribución de Probabilidad Binomial No Equiprobable
(Moneda cargada)
1/2
4/9
9/20
2/5
7/20
8/27
3/10
1/4
2/9
1/5
3/20
1/10
1/20
1/27
0
0
1
2
3
X
39
Ahora veamos el caso de una moneda buena para el caso de 3 lanzamientos se
tiene lo siguiente:
L1
1/2
C
1/2
1/2
1/2
1/2
S
1/2
L2
1/2
C
1/2
L3
C
Ω
(C,C,C)
Conteo
■
S
(C,C,S)
♫
1/2
S
1/2
C
(C,S,C)
♫
S
(C,S,S)
♪
1/2
C
1/2
C
(S,C,C)
♫
S
(S,C,S)
♪
1/2
S
1/2
C
(S,S,C)
♪
S
(S,S,S)
□
□
♪
♫
■
P(i)
Resultado
P(0)
P(1)
P(2)
P(3)
∑P(i)
1/2*1/2*1/2
1/2*/1/2*1/2+1/2*1/2*1/2+1/2*1/2*1/2
1/2*/1/2*1/2+1/2*1/2*1/2+1/2*1/2*1/2
1/2*1/2*1/2
1
Así para estos casos se tiene, n = 3, q = 1/2, 1- q = 1/2, para k = 0, 1, 2 y 3
3− k
3
⎛ 3 ⎞⎡ 1 ⎤ k
3!
⎡ 1 ⎤
⎡ 1 ⎤
P (k ) = ⎜
=
× ⎢ ⎥
⎟⎢ ⎥
( 3 − k )! × k ! ⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎣ 2 ⎦
⎝ k ⎠⎣ 2 ⎦
3
3
⎛ ⎞⎡1 ⎤
1
=
P (0 ) = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
8
⎝ 0 ⎠⎣ 2 ⎦
3
⎛ 3 ⎞⎡ 1 ⎤
3
=
P (1 ) = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
8
⎝ 1 ⎠⎣ 2 ⎦
3
⎛ 3 ⎞⎡ 1 ⎤
3
P (2 ) = ⎜
=
⎟⎢
⎥
8
⎝ 2 ⎠⎣ 2 ⎦
⎛ 3 ⎞⎡ 1 ⎤3
1
=
P (3 ) = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
8
⎝ 3 ⎠⎣ 2 ⎦
Probabilidad
Distribución de Probabilidad Binomial Equiprobable
(Moneda buena)
3/8
2/5
3/8
7/20
3/10
1/4
1/5
3/20
1/8
1/8
1/10
1/20
0
0
1
2
3
X
40
Comentario: Obsérvese que en el caso de la moneda cargada el suceso más
probable es que resulten dos caras seguidas en tres lanzamientos (4/9), en
comparación con la moneda buena en que lo más probable es que resulte una
cara o dos caras seguidas en los tres lanzamientos (3/8).
Hallar la probabilidad que un trabajador opere, de una manera adecuada, una nueva
maquinaria en la i-ésima oportunidad de manejarla.
Es razonable suponer que P(F). La probabilidad que el trabajador no la
maneje correctamente (Falla) al i -ésimo intento esté dada por:
P ( F ) =
1
i
∧ P (O ) =
∀ i = 1 , 2 , 3 ,......
i + 1
i + 1
donde P(O) es la probabilidad que la máquina sea operada correctamente al
i-ésimo intento.
Para ilustrar esto, hállese la probabilidad que el operario maneje
correctamente la máquina durante tres veces en cuatro intentos.
I2
I1
I3
I4
Ω
Conteo
4/5
O
OOOO
1/5
F
OOOF
*
4/5
O
OOFO
*
1/5
F
OOFF
4/5
O
OFOO
1/5
F
OFOF
4/5
O
OFFO
O
3/4
O
1/4
2/3
F
O
1/3
3/4
*
O
F
1/2
1/4
F
1/2
3/4
1/5
F
OFFF
4/5
O
FOOO
O
1/5
F
FOOF
4/5
O
FOFO
1/5
F
FOFF
4/5
O
FFOO
1/5
F
FFOF
4/5
O
FFFO
1/5
F
FFFF
*
P(Suceso)
Operatoria
Resultado
P(OOOF)
1/2*2/3*3/4*1/5
P(OOFO)
1/2*2/3*1/4*4/5
P(OFOO)
1/2*1/3*3/4*4/5
1/20
1/15
1/10
1/5
5/12
P(FOOO)
1/2*2/3*3/4/4/5
P(X=3)
1/20+1/15+1/10+1/5
O
2/3
1/4
F
F
1/3
3/4
O
F
1/4
F
Donde
la variable X
representa el número de
veces en que se opera
correctamente la máquina
en 4 intentos.
41
Obsérvese que el espacio muestral Ω no es equiprobable, y P(F) no es
constante, en consecuencia no se trata de una distribución binomial de
probabilidades.
X
0
1
2
3
4
Σ
P(X)
1/120
1/12
7/24
5/12
1/5
1
Explicación
P(FFFF)
P(FFFO) + P(FFOF) + P(FOFF) + P(OFFF)
P(OOFF) + P(OFOF) + P(OFFO) + P(FOOF) + P(FOFO) + P(FFOO)
P(FOOO) + P(OFOO) + P(OOFO) + P(OOOF)
P(OOOO)
P(0) + P1) + P(2) + P(3) + P(4)
De la tabla de distribución de probabilidades y su gráfica se puede ver que lo
más probable es que el operador maneje la maquinaria correctamente tres
veces en 4 intentos (5/12, para una distribución en que la probabilidad de
operar incorrectamente la maquinaria es inversamente proporcional al número
de intentos)
Distribución de Probabilidad No Binomial
Probabilidad
9/20
5/12
2/5
7/20
7/24
3/10
1/4
1/5
1/5
3/20
1/12
1/10
1/20
1/120
0
0
1
2
3
4
[ X ] N° de operaciones correctas en 4 intentos
42
El Servicio Nacional de Pesca y Caza, desea estimar el número N correspondiente a
la población de peces en un río (el cual tiene una forma irregular y es de longitudes
desconocidas) de tal forma que un estadístico es contratado para realizar tal trabajo
operando de la siguiente forma:
1. Se contrata a un número adecuado y suficiente de pescadores para que
hagan una pesca grande y que cada uno de los peces pescados sean
marcados y devueltos al agua. En total se marcaron M peces.
2. Luego los mismos pescadores hacen una segunda pesca, obteniendo n peces,
de los cuales hay m marcados.
ƒ Determinar cuál es la idea del estadístico para determinar la estimación del
número N de la población de peces y calcular tal estimación.
ƒ Comentar el método usado, en términos de eficacia.
La probabilidad de capturar un pez marcado al realizar la segunda pesca es:
i)
m
n
Por otra parte, la probabilidad de capturar un pez marcado tomando como
espacio muestral la población total N de peces está dada por:
ii)
M
N
Así, igualando ambas probabilidades, puesto que según los conocimientos del
estadístico, deberían ser iguales:
M m
=
N n
de donde se obtiene para el número N de la población:
iii)
N=
M
m
n
Se ve que la idea del estadístico es sencilla, pero en términos de eficacia, sería
mucho más eficiente repetir la experiencia de las etapas 1° y 2° un número k
de veces -por ejemplo, k = 15- para así obtener los valores medios de M y de
la probabilidad m/n y expresar el número N como el cuociente entre los
43
promedios anteriormente mencionados con el objetivo que las dispersiones
sean mínimas, es decir:
iv)
N=
M
m
n
44
Unidades estándar
Supóngase que en un curso de diez alumnos se tienen las notas finales de los
ramos de Estadísticas y Contabilidad que a continuación se detallan:
Estadísticas
Contabilidad
Alumno
Nota
Alumno
Nota
1
5,60
1
4,80
2
6,40
2
6,40
3
4,50
3
3,60
4
6,80
4
3,80
5
3,50
5
6,40
6
4,60
6
5,20
7
5,60
7
5,60
8
6,80
8
4,20
9
5,40
9
4,00
10
4,40
10
3,50
Promedio 5,36 Promedio 4,75
Desv. Típica 1,05 Desv. Típica 1,05
Se ve que el alumno 2 tiene igual promedio en ambas asignaturas (6,40).
Entonces surge de manera natural la pregunta: ¿En qué asignatura le fue mejor
a este alumno?
Para responder a esta interrogante, se recurre a la herramienta del puntaje
estándar zi. Este puntaje estándar se define como:
x − μ
=
Z
i
i
σ
donde xi es el valor i-ésimo de la variable x
μ el promedio de la variable x
σx la desviación típica de la variable X
x
Así para el alumno 2 se tiene que los puntajes estandarizados obtenidos en
estadísticas y contabilidad son:
Z
Z
2 Est
2 Cont
=
6 , 40 − 5 , 36
1 , 05
=
6 , 40 − 4 , 75
= 1 , 57
1 , 05
= 0 , 99
Ahora podemos comparar ambos puntajes estandarizados:
45
Como Z2Cont > Z2Est entonces la nota 6,40 obtenida por el alumno 2 en
contabilidad es mejor que el 6,40 que obtuvo en estadísticas.
Nota: Los puntajes estandarizados, por tratarse de números reales, son mejores
mientras más a la derecha se ubiquen en la recta numérica de los reales.
Un psicólogo, con motivo de un estudio académico, fue sometido a tres
diferentes tests. Los resultados de los puntajes obtenidos, junto con las medias y
sus desviaciones típicas son:
Test
1
2
3
ƒ
D48
Zulliger
PMA
Resultado
96
88
110
Media
95
90
100
Desv. Típica
2
10
11
¿En cuál de estos tests el psicólogo tuvo mejor desempeño?
Al calcular los puntajes estandarizados se obtiene:
96 − 95
= 0 ,5
2
1
88 − 90
Z
=
= − 0 ,2
10
2
110 − 100
Z
=
= 0 ,9
11
3
Z
=
Así se puede apreciar que el psicólogo se desempeñó mejor en el test PMA
con un Z3 de 0,9, luego su segundo mejor desempeño lo obtuvo en el D48, con
un Z1 de 0,5 y finalmente su mínimo rendimiento lo obtuvo en el test de
Zulliger donde obtuvo un Z2 de –0,2.
46
Funciones de cuantía y distribuciones de probabilidad
Dada la siguiente función de cuantía, donde x representa el número de goles
marcados en determinados partidos:
0
1/p
x
p(x)
1
1/p
2
4/p
3
5/p
4
3/p
5
2/p
6
1/p
7
1/p
a) Calcular el valor p, y graficar la distribución de probabilidades.
b) Calcular la probabilidad que en un partido cualquiera se marquen
más de tres goles.
c) Calcular E(x) y V(x) e interpretar
Respuesta a)
Como
7
∑
p(x) = 1
x= 0
entonces 1 = 1/p + 1/p + 4/p + 5/p + 3/p + 2/p + 1/p + 1/p y así 18/p = 1, en
consecuencia p = 18
Así la tabla de la función cuantía resulta:
0
1/18
x
p(x)
1
1/18
2
4/18
3
5/18
4
3/18
5
2/18
6
1/18
7
1/18
Distribución de Probabilidad
Probabilidad
5/18
3/10
1/4
2/9
1/5
1/6
3/20
1/10
1/9
1/18
1/18
0
1
1/18
1/18
6
7
1/20
0
2
3
4
5
x [ N° goles marcados ]
47
Respuesta b)
P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 5/18+1/6+1/9+1/18+1/18 = 2/3
Respuesta c)
La esperanza matemática, o el valor esperado del número de goles, E(X), es:
7
E( X ) =
∑
xp ( x ) = 0 × 118 + 1 × 118 + 2 × 2 9 + 3 × 518 + 4 × 1 6 + 5 × 19 + 6 × 118 + 7 × 118 = 59
18
= 3 518
x =0
La varianza V(X) está dada por:
7
V( X ) =
∑
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( )2
x p(x) − E (X) = 0 × 118+1 × 118+ 2 × 29 + 3 × 518+ 4 × 16 + 5 × 19 + 6 × 118+ 7 × 118− 59
18
x=0
V ( X ) = 2 281 324 = 929 ⇒ σ
=
324
X
V (X ) =
929
324 ≅ 1 , 693305
La interpretación de esto es que el verdadero valor de la esperanza de X (con
un 66,7 % de probabilidad de ser así) se encuentra entre los valores:
[ E(X) - σX , E(X) + σX ]
es decir: 1,58447 ≤ E(X) ≤ 4,97108, se puede interpretar con el mismo rango
de probabilidad que el promedio de goles por partido varía entre 2 y 4 tantos.
Se tiene la información gráfica de las ventas de combustible de una estación de
servicio durante un período semanal entre miércoles y miércoles, en miles de litros.
a) Encontrar el valor del parámetro k para que f(x) sea una función de distribución
de probabilidad (fdp)
b) Definir la fdp
c) Calcular la probabilidad que la venta semanal haya sido a lo menos de 1.500 l.
d) La probabilidad de vender exactamente 1.500 l.
f(x)
k
x
0
1
2
3
48
Respuesta a) Del gráfico se tiene para f(x):
kx
∀ x ∈ [0 ,1 [ ⎫
⎧
⎪
⎪
∀ x ∈ [1 , 2 [ ⎬
f (x) = ⎨
k
⎪ − kx + 3 k ∀ x ∈ [2 , 3 ]⎪
⎩
⎭
Se sabe que para que f(x) sea una fdp debe cumplir con:
+∞
∫
0
f ( x ) dx = 1 ⇔ 1 =
−∞
1
kxdx +
0
lo que da como resultado
k=1
kdx +
1
2
∞
3
∫ ∫ ∫ ∫
0 dx +
−∞
Respuesta b)
2
( − kx + 3 k ) dx +
2
∫
0 dx
3
y así la fdp queda como:
1 x
⎧
∀ x ∈ [0 ,1[ ⎫
2
⎪
⎪
1
[
[
x
f ( x) = ⎨
∀
∈
1
,
2
⎬
2
⎪ − 1 x + 3 ∀ x ∈ [2 ,3 ]⎪
⎭
⎩
2
2
Respuesta c) Se sabe que la probabilidad que los valores de la variable
aleatoria estén entre a y b son:
b
P (a ≤ x ≤ b) =
en consecuencia, se tiene:
∫
a
+∞
P (1,5 ≤ x ∠ + ∞ ) =
∫
1,5
∀ a ∧ b ∈ℜ
f ( x ) dx
2
f ( x ) dx =
∫
1, 5
+∞
3
1 dx +
2
∫
2
( −1 2 x + 3 2 ) dx +
∫
0 dx
3
P (1 , 5 ≤ x ∠ + ∞ ) = 1 2 = 0 , 5 Esta es la probabilidad que la
venta semanal haya sido de al menos 1.500 litros de combustible.
49
Respuesta d) El cálculo para que la probabilidad la venta semanal haya sido
de exactamente 1.500 litros está dado por:
P ( X = 1,5 ) = P (1,5 ≤ x ≤ 1,5 ) = lim
ε →0
1,5+ε
P ( X = 1,5) = lim
ε →0
∫
P (1,5 − ε ≤ x ≤ 1,5 + ε )
1,5+ε
f (t )dt = lim
ε →0
∫
1 tdt = lim
ε =0
2
ε →0
1,5−ε
1,5−ε
Efectivamente, para esta variable aleatoria, la probabilidad que la venta
semanal de combustible haya sido de 1.500 litros exactos es cero, tal como se
infiere de la teoría.
Nota:
Para una variable aleatoria continua, la probabilidad que ésta alcance un valor
determinado siempre es nula, sin embargo, no lo es cuando la probabilidad se
calcula en torno a un rango de un valor de la variable.
Ejemplo: En un curso de 35 alumnos cuyas estaturas van desde 1.42 m hasta
1,78 m, se puede calcular una probabilidad no nula que la estatura varíe, por
ejemplo entre 1,58m y 1,65 m. Sin embargo, la probabilidad que la estatura
sea de exactamente 1,61 m es nula, porque este valor de la estatura, que se
puede dar dentro del curso, puede variar según la precisión del instrumento de
medición.
Justificación Matemática
La probabilidad que el valor x de una variable aleatoria X se encuentre entre x
y x + Δx es:
x+Δx
P (x ≤ X ≤ x + Δx) =
∫
x
f ( t ) dt
de manera que si Δx→ 0, se tiene
aproximadamente P ( x ≤ X ≤ x + Δ x ) = f ( x ) Δ x y calculando el límite
cuando x tiende a cero se obtiene que P(X = x) = 0.
50
Variable Aleatoria
Definición:
Sea ε un experimento y Ω el espacio muestral asociado con él. Una
función X que asigna a cada uno de los elementos s de Ω, un número
real X(s), se llama variable aleatoria.
Ejemplo: Supóngase que se lanzan dos monedas “buenas” y considérese el
espacio muestral Ω asociado a dicho experimento:
Ω = {(C,C); (C,S); (S,C); (S,S)} = {CC, CS, SC, SS}
Definiremos X =: el número de caras obtenidas en dos lanzamientos, en
consecuencia se tiene:
X(CC) = 2
X(CS) = X(SC) = 1
X(SS) = 0
Ω
RX
s
X(s)
Nota: El espacio RX, es decir, el conjunto de todos los valores posibles de X,
algunas veces se llama Recorrido.
En cierto sentido se puede considerar a RX como otro espacio muestral. El
espacio muestral original Ω corresponde a los resultados no numéricos
(posiblemente) del experimento ε, mientras que RX el espacio muestral
asociado con la variable aleatoria (v.a.) X, que representa la característica
numérica que puede ser de interés.
Si X(s) = s se tiene que Ω = RX
51
Definición:
Sea ε un experimento y Ω el espacio muestral asociado con él. Sea X una
variable aleatoria definida y sea RX su recorrido. Sea B un evento
respecto a RX, es decir, B ⊆ RX. Supóngase que A se define como:
A={ s
∈ Ω / X(s) ∈ B}
(*)
Es decir, A consta de todos los resultados en Ω para los cuales X(s) ∈ B.
En este caso se dice que A y B son eventos equivalentes.
Ω
RX
A
B
s
X(s)
Definición:
Sea B un evento en RX, entonces:
P(B) = P(A) donde A = { s
Ω / X(s)
B}
(**)
es decir, se define P(B) igual a la probabilidad del evento A
sentido dado por (*)
∈
∈
⊆
Ω en el
Ejemplo: Respecto de mismo ejemplo de las monedas “buenas” o “normales”,
se tiene:
P(CS) = P(SC) =1/4
En consecuencia:
P(CS, SC) = 1/4 + 1/4 = 2/4 =1/2
Como el evento {X = 1} ↔ {CS, SC}, entonces usando (*) se tiene que:
P(X = 1) = P(CS, SC) = 1/2.
(En realidad no había elección acerca del valor P(X = 1) consistente con (**),
una vez determinada P(CS, SC). En este sentido, se inducen las
probabilidades asociadas con eventos de RX)
52
Definición:
Se dice que X es una variable aleatoria continua, si existe una función
f, llamada función de densidad de probabilidad (fdp) de X, que satisface
las siguientes condiciones:
a) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ ℜ
b)
+ ∞
∫
f ( x ) dx
= 1
− ∞
c)
∀ a<b∈ ℜ
b
se tiene:
P (a ≤ x ≤ b ) =
∫
f ( x ) dx
a
Nota i:
De c) se deduce
c
P (x = c) =
∫
f ( x ) dx
= 0
c
P ( A) = 0 ⇒ A = ∅
Es decir, en el caso continuo
Nota ii:
Si X sólo toma valores en un intervalo finito, por ejemplo,
[
]
[a, b], se puede
establecer que f(x) = 0 ∀x ∉ a, b . En consecuencia, la fdp está definida
para todos los valores reales de x, y se debe exigir que
+∞
∫
−∞
f ( x ) dx = 1
Cuando quiera que la fdp se especifique sólo para ciertos valores de x, se
supondrá que es nula para cualquier otro.
Nota iii:
Cuando se escribe P(c < X < d), quiere decir, como siempre P(c < X(s) < d),
que a su vez es igual a P[s / c < X(s) < d], puesto que estos eventos son
equivalentes. La definición c) estipula básicamente la existencia de una fdp
definida en un RX tal que P[s / c < X(s) < d] es igual a
53
b
∫
f ( x ) dx
a
Definición:
La función de distribución acumulada (fda) o simplemente la función
de distribución, para una variable aleatoria continua o discreta X se
define por:
F(x) = P(X ≤ x)
x
F (x) = P ( X
≤ x) =
∫
f ( t ) dt
− ∞
con -∞ < x < +∞ para el caso de una v.a. continua y
F ( x ) =
P ( X
≤
x ) =
∑
p ( x
)
j
J
para el caso de una v.a. discreta. Donde la suma se toma sobre todos los
índices j que satisfacen xj ≤ x
F(x) se caracteriza por las siguientes propiedades:
i) F(x) no es decreciente ( ie, F(x) ≤ F(y) si x ≤ y )
ii) lim x→-∞ F(x) = 0 ; lim x→+∞ F(x) = 1
Nota: i) y ii) implican que F(x) es continua y monótona creciente de 0 a 1.
También se puede ver que partiendo de:
x
F (x ) = P ( X
≤ x) =
∫
f ( t ) dt
− ∞
y derivando ambos lados se tiene
dF ( x )
= f ( x ) en todos los puntos
dx
donde f(x) es continua, es decir, la derivada de la función distribución
acumulada es la función de densidad de probabilidad (fdp).
54
Si f(x) es la función de densidad (fdp) para una variable aleatoria continua X,
entonces se puede representar gráficamente y = f(x) mediante una curva tal
como en la figura 1 del gráfico. Dado que f(x) ≥ 0, la curva no puede caer por
debajo del eje x. El área completa limitada por la curva y el eje de las x debe
ser igual a 1. Geométricamente, la probabilidad que X se encuentre entre a y
b, o sea, P(a ≤ X ≤ b), se representa por el área achurada de la figura 1.
La función de distribución acumulada F(x) = P(X ≤ x) es monótona creciente,
que se incrementa de 0 a 1, se representa por la curva de la figura 2.
f(x)
Figura 1
F(x)
Figura 2
1
a
0
b
x
0
x
Definición:
Sea X una v.a. discreta con valores posibles x1, x2, x3, . . . ., y supóngase
que es posible rotular esos valores de modo que x1 < x2 < x3 < . . . . Sea
F la función de distribución acumulada (fda) de X. Entonces:
P(xj) = P(X = xj) = F(xj) – F(xj-1)
Dada la función de cuantía del problema resuelto en la página 46, donde x
representa el número de goles marcados en determinados partidos:
0
1/18
x
p(x)
1
1/18
2
4/18
3
5/18
4
3/18
5
2/18
6
1/18
7
1/18
a) Calcular y graficar la función de distribución acumulada de
probabilidades F.
b) Calcular la probabilidad que se hagan entre 2 y 4 goles por partido.
Respuesta a)
x
0
p(x) 1/18
1
2
3
4
5
6
7
1/18
4/18
5/18
3/18
2/18
1/18
1/18
F(x) 1/18 1/18+1/18
F(x) 1/18
1/9
4/18+2/18
1/3
5/18 +6/18 3/18+11/18 2/18+14/18 1/18+16/18 1/18+17/18
11/18
7/9
8/9
17/18
1
55
En las dos últimas filas de la tabla anterior se encuentra el modo de cálculo de
la fda. La definición funcional de la fda y su gráfico se presentan a
continuación
F ( x ) =
]−
∀ x ∈
∀ x ∈
0
⎧
⎪ 1
18
⎪
1
⎪
9
⎪
1
⎪
3
⎪ 11
⎨
18
⎪ 7
9
⎪
8
⎪
9
⎪ 17
⎪
18
⎪⎩
1
∞ ,0
[0 , 1 [
[1 , 2
[2 , 3
[3 , 4
[4 , 5
[5 , 6
[6 , 7
∀ x ∈
∀ x ∈
∀ x ∈
∀ x ∈
∀ x ∈
∀ x ∈
∀ x ∈
[7
, +∞
[⎫
⎪
⎪
[ ⎪
[ ⎪⎪
[ ⎪⎬
[ ⎪⎪
[ ⎪
[ ⎪⎪
[ ⎪⎭
F(x)
Función Distribución Acumulada de Probabilidades
1
17/18
8/9
7/9
11/18
1/3
1/9
1/18
x
0
1
2
3
4
5
6
7
Respuesta b)
La probabilidad que se hagan entre 2 y 3 goles por partido está dada por:
P(2 ≤ x ≤ 3) = F(3) – F(2) = 11/18 – 1/3 = 5/18
El concepto de probabilidad condicional se puede aplicar con propiedad a las
variables aleatorias continuas. A continuación se verá dicha aplicación
respecto al ejercicio propuesto en la página 47.
56
A partir de la información gráfica y funcional de las ventas de combustible de una
estación de servicio durante un período semanal entre miércoles y miércoles, en
miles de litros:
1 x
⎧
∀ x ∈ [0 ,1[ ⎫
2
⎪
⎪
1
f (x) = ⎨
∀ x ∈ [1, 2 [ ⎬
2
⎪ − 1 x + 3 ∀ x ∈ [2 , 3 ]⎪
⎩
⎭
2
2
a) Calcular la probabilidad que las ventas semanales alcancen a lo menos
1.500 litros, dado que lo más probable es que se vendan entre 1.000
litros y 2.000 litros de combustibles.
f(x)
1/2
x (kl)
0
1
2
3
Respuesta a)
Lo que se pide evaluar es la probabilidad de vender 1.500 litros sujeto al
suceso consistente en que se venderán entre 1.000 y 2.000 litros de
combustibles, esto expresado en notación de probabilidades condicionales es
P(x ≤ 1,5 / 1 ≤ x ≤ 2). Así:
+∞
2
+∞
3
∫ f (x)dx 1,5∫ dx + ∫2 (− x + )dx + ∫3 0dx 1
P( x ≥ 1,5) 1,5
P( x ≥ 1,5/1 ≤ x ≤ 2) =
= 2
=
= 2
2
1
P(1 ≤ x ≤ 2)
2
1
1
∫ 2 dx
∫ 2 dx
1
2
1
P( x ≥ 1,5 /1 ≤ x ≤ 2) =
1
2
3
2
1
P( x ≥ 1,5)
= 1 Esto indica que es un suceso seguro.
P(1 ≤ x ≤ 2)
57
Calcular y graficar la función F (fda) correspondiente a la relación funcional cuya
gráfica adjunta para la fdp es:
∀ x ∈ ]0 , 1 [⎫
⎧ 2 x
f (x) = ⎨
⎬
∀ x ∉ ]0 , 1 [⎭
⎩ 0
f(x)
2
x
0
1
Respuesta:
De acuerdo con lo estudiado se tiene para la fda F:
F
( x ) =
⎧
⎪
⎪
2
⎪
⎨ x
⎪
⎪
⎪⎩
]−
∀ x ∈
0
∞
,0
]⎫
x
∫
=
2 tdt
0
]0
∀ x ∈
]1
∀ x ∈
1
Función de Distribución Acumulada
F(x)
1
x
0
1
,1
, +∞
]
[
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪⎭
58
Se sabe que el 75% de las veces durante el mes de agosto llueve más de 20 cm3 y
un 35% de las veces llueve menos de 30 cm3. Suponiendo normalidad en las
precipitaciones durante agosto:
a) Hallar la cantidad media de precipitaciones durante agosto
b) Hallar la probabilidad que precipiten entre 40 y 60 cm3.
c) Hallar la probabilidad que entre 6 y 10 días de agosto precipiten entre 40 y
60 cm3.
Respuesta a)
i) 75% del mes de agosto > 20 cc ↔ 25% ≤ 20cc
ii) 35% del mes de agosto < 30 cc
Así:
iii) Z(25%) = -0,674 = (20 - μ) / σ
iv) Z(35%) = -0,385 = (30 - μ) / σ
(según tabla de distribución normal)
(según tabla de distribución normal)
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por iii) y iv) se tiene:
μ = 43,3 cc y una σ = 34,6 cc
En consecuencia la media de las precipitaciones en agosto alcanza a 43,3 cc.
Respuesta b)
Ahora se debe encontrar para la v.a. X definida como precipitaciones durante
agosto en cm3, P(40cc ≤ X ≤ 60 cc) = P(X ≤ 60 cc) – P( X ≤ 40 cc), para lo
cual se debe calcular los valores estandarizados Z(40 cc) y Z(60 cc):
Así, de la tabla de distribución normal se tiene:
Z(60cc) = (60 – 43,3) / 34,6 = 0,483 ≈ P( 0,48) = 0,6844 = 68,44%
Z(40cc) = (40 – 43,3) / 34,6 = -0,095 ≈ P(-0,10) = 0,4602 = 46,02%
En consecuencia, la probabilidad solicitada es:
P(40cc ≤ X ≤ 60 cc) = 68,44% – 46,02% = 22,42% =0,2242
Respuesta c)
La probabilidad que llueva entre 40 cc y 60 cc entre 6 y 10 días de agosto es:
[(10 – 6) / 3 1]* P(40cc ≤ X ≤ 60 cc) = (4/31)*22,42% = 2,89% ≈ 3,0%
59
Tabla de la distribución normal tipificada N(0,1)
Proporciona el área a la izquierda para valores
positivos de z
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
0'00
0.50000
0.53983
0.57926
0.61791
0.65542
0.69146
0.72575
0.75804
0.78814
0.81594
0.84134
0.86433
0.88493
0.90320
0.91924
0.93319
0.94520
0.95543
0.96407
0.97128
0.97725
0.98214
0.98610
0.98928
0.99180
0.99379
0.99534
0.99653
0.99744
0.99813
0.99865
0.99903
0.99931
0.99952
0.99966
0.99977
0.99984
0.99989
0.99993
0.99995
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
0.99999
0'01
0.50399
0.54380
0.58317
0.62172
0.65910
0.69497
0.72907
0.76115
0.79103
0.81859
0.84375
0.86650
0.88686
0.90490
0.92073
0.93448
0.94630
0.95637
0.96485
0.97193
0.97778
0.98257
0.98645
0.98956
0.99202
0.99396
0.99547
0.99664
0.99752
0.99819
0.99869
0.99906
0.99934
0.99953
0.99968
0.99978
0.99985
0.99990
0.99993
0.99995
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
0.99999
0'02
0.50798
0.54776
0.58706
0.62552
0.66276
0.69847
0.73237
0.76424
0.79389
0.82121
0.84614
0.86864
0.88877
0.90658
0.92220
0.93574
0.94738
0.95728
0.96562
0.97257
0.97831
0.98300
0.98679
0.98983
0.99224
0.99413
0.99560
0.99674
0.99760
0.99825
0.99874
0.99910
0.99936
0.99955
0.99969
0.99978
0.99985
0.99990
0.99993
0.99996
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
1.00000
0'03
0.51197
0.55172
0.59095
0.62930
0.66640
0.70194
0.73565
0.76730
0.79673
0.82381
0.84849
0.87076
0.89065
0.90824
0.92364
0.93699
0.94845
0.95818
0.96637
0.97320
0.97882
0.98341
0.98713
0.99010
0.99245
0.99430
0.99573
0.99683
0.99767
0.99831
0.99878
0.99913
0.99938
0.99957
0.99970
0.99979
0.99986
0.99990
0.99994
0.99996
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
1.00000
0'04
0.51595
0.55567
0.59483
0.63307
0.67003
0.70540
0.73891
0.77035
0.79955
0.82639
0.85083
0.87286
0.89251
0.90988
0.92507
0.93822
0.94950
0.95907
0.96712
0.97381
0.97932
0.98382
0.98745
0.99036
0.99266
0.99446
0.99585
0.99693
0.99774
0.99836
0.99882
0.99916
0.99940
0.99958
0.99971
0.99980
0.99986
0.99991
0.99994
0.99996
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
1.00000
0'05
0.51994
0.55962
0.59871
0.63683
0.67364
0.70884
0.74215
0.77337
0.80234
0.82894
0.85314
0.87493
0.89435
0.91149
0.92647
0.93943
0.95053
0.95994
0.96784
0.97441
0.97982
0.98422
0.98778
0.99061
0.99286
0.99461
0.99598
0.99702
0.99781
0.99841
0.99886
0.99918
0.99942
0.99960
0.99972
0.99981
0.99987
0.99991
0.99994
0.99996
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
1.00000
0'06
0.52392
0.56356
0.60257
0.64058
0.67724
0.71226
0.74537
0.77637
0.80511
0.83147
0.85543
0.87698
0.89617
0.91309
0.92786
0.94062
0.95154
0.96080
0.96856
0.97500
0.98030
0.98461
0.98809
0.99086
0.99305
0.99477
0.99609
0.99711
0.99788
0.99846
0.99889
0.99921
0.99944
0.99961
0.99973
0.99981
0.99987
0.99991
0.99994
0.99996
0.99998
0.99998
0.99999
0.99999
1.00000
0'07
0.52790
0.56749
0.60642
0.64431
0.68082
0.71566
0.74857
0.77935
0.80785
0.83398
0.85769
0.87900
0.89796
0.91466
0.92922
0.94179
0.95254
0.96164
0.96926
0.97558
0.98077
0.98500
0.98840
0.99111
0.99324
0.99492
0.99621
0.99720
0.99795
0.99851
0.99893
0.99924
0.99946
0.99962
0.99974
0.99982
0.99988
0.99992
0.99995
0.99996
0.99998
0.99998
0.99999
0.99999
1.00000
0'08
0.53188
0.57142
0.61026
0.64803
0.68439
0.71904
0.75175
0.78230
0.81057
0.83646
0.85993
0.88100
0.89973
0.91621
0.93056
0.94295
0.95352
0.96246
0.96995
0.97615
0.98124
0.98537
0.98870
0.99134
0.99343
0.99506
0.99632
0.99728
0.99801
0.99856
0.99897
0.99926
0.99948
0.99964
0.99975
0.99983
0.99988
0.99992
0.99995
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
0.99999
1.00000
0'09
0.53586
0.57535
0.61409
0.65173
0.68793
0.72240
0.75490
0.78524
0.81327
0.83891
0.86214
0.88298
0.90147
0.91774
0.93189
0.94408
0.95449
0.96327
0.97062
0.97670
0.98169
0.98574
0.98899
0.99158
0.99361
0.99520
0.99643
0.99736
0.99807
0.99861
0.99900
0.99929
0.99950
0.99965
0.99976
0.99983
0.99989
0.99992
0.99995
0.99997
0.99998
0.99999
0.99999
0.99999
1.00000
60
Del detalle de la cuenta mensual de electricidad, se obtiene que el consumo
promedio de los últimos 13 meses de una familia alcanza a 151,92 Kw-h con una
desviación típica de 8,24 Kw-h:
a) Asumiendo un comportamiento normal en el consumo de energía
eléctrica, se desea averiguar, la probabilidad que el consumo de
energía eléctrica se encuentre entre los 144 y los 160 Kw-h al mes.
b) La probabilidad que el consumo eléctrico mensual no sobrepase los
160 Kw-h.
Respuesta a)
La probabilidad solicitada está dada por P(144 Kw-h ≤ x ≤ 160 Kw-h).
Los valores estandarizados están dados por:
x − 151,92
Z ( x) =
8,24
Así para x = 144 Kw-h y x = 160 Kw-h se tiene:
144 − 151 ,92
Z (144 ) =
= − 0,9614
8, 24
160 − 151 ,92
Z (160 ) =
= 0 ,9801
8, 24
Así se tiene:
P(144 Kw-h ≤ x ≤ 160 Kw-h) = P( x ≤ 160 Kw-h) – P( x ≤ 144 Kw-h) y
usando los valores estandarizados y la tabla se tiene:
P(144 Kw-h ≤ x ≤ 160 Kw-h) = P( X ≤ 0,9801) – P(X ≤- 0,9614)
P(144 Kw-h ≤ x ≤ 160 Kw-h) = 0,8365 – 0,1685 = 0,668
Respuesta b)
La probabilidad solicitada es:
P( x ≤ 160 Kw-h) = P( X ≤ 0,9801) = 0,8365
61
1)
Supóngase que para una variable aleatoria, en un experimento, son
posibles sólo tres resultados: a1, a2, y a3. Además supóngase que la
ocurrencia de a1 es dos veces más probable que la de a2, la cual, a su vez,
es dos veces más probable que la de a3.
a) Hallar la distribución de probabilidades de la variable
b) Calcular la esperanza de la variable
c) Calcular la varianza de la variable
d) Calcular la desviación típica de la variable
Respuesta a)
Debe cumplirse con la condición:
n
∑ p( x ) =1
i)
i =1
i
;
p ( xi ) > 0
además de las condiciones dadas por el problema:
ii)
p ( a1 ) = 2 p ( a2 )
iii)
p ( a2 ) = 2 p ( a3 )
al reemplazar ii) y iii) en i) se tiene:
2 × 2 p ( a3 ) + 2 p ( a3 ) + p ( a3 ) = 1
Así, se tiene:
7 p ( a3 ) = 1
1
7
2
4
∴ p ( a2 ) =
y p ( a1 ) =
7
7
con estos resultados se tiene la distribución de probabilidades:
p ( a3 ) =
x
p( x)
a1
4
7
a2
2
7
a3
1
7
62
Respuesta b)
El valor esperado o esperanza para la variable X es:
3
E ( X ) = ∑ xi × p( xi ) = x1 × p( x1 ) + x2 × p( x2 ) + x3 × p( x3 )
i =1
4
2
1 1
E ( X ) = a1 × + a2 × + a3 × = ( 4a1 + 2a2 + a3 )
7
7
7 7
2i)
Respuesta c)
Para calcular la varianza es necesario calcular previamente E ( X 2 )
3
E ( X 2 ) = ∑ x 2i × p( xi ) = x 21 × p( x1 ) + x 2 2 × p( x2 ) + x23 × p( x3 )
i =1
4
2
1
E ( X 2 ) = a 21 × + a 2 2 × + a 23 ×
7
7
7
1
E ( X 2 ) = ( 4a 21 + 2a 2 2 + a 23 )
7
Así de 2i) y de 3i) se tiene la varianza:
3i )
Va( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X )
1
⎡1
⎤
Va( X ) = ( 4a 21 + 2a 2 2 + a 23 ) − ⎢ ( 4a1 + 2a2 + a3 ) ⎥
7
⎣7
⎦
2
Respuesta c)
La desviación típica es:
⎡1
2
⎡1
⎤ ⎤
2
2
2
+
+
−
+
+
4
a
2
a
a
4
a
2
a
a
( 1 2 3 ) ⎢⎣ 7 ( 1 2 3 )⎥⎦ ⎥
⎣⎢ 7
⎦⎥
σ= ⎢
=
1 ⎡
2
7 ( 4a 21 + 2a 2 2 + a 23 ) − ( 4a1 + 2a2 + a3 ) ⎤
⎣
⎦
7
Distribución de Probabilidades
4/7
2/7
1/7
a1
a2
a3
x
63
Una variable aleatoria X que representa el número de pólizas vendidas
semanalmente por un agente de seguros tiene una distribución de
probabilidades dada por:
2)
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p( X )
0,05
0,09
2k
0,11
0,22
0,18
0,10
0,20
4k
a) Hallar el valor de k
b) Hallar la distribución de probabilidad con sus valores numéricos
correspondientes.
c) Hallar la probabilidad que el agente venda menos de tres pólizas
semanales.
d) Si el agente vende más de cinco pólizas en la semana, recibe un
bono. Determinar la probabilidad que el agente reciba el bono.
e) Determinar el número de pólizas que se espera que el agente venda
semanalmente.
f) Hallar la probabilidad que el agente venda exactamente cuatro pólizas
semanales.
Respuesta a)
Usando las condiciones de una ddp:
n
∑ p( x ) =1
i =1
9
∑x
i =1
i
i
p ( xi ) > 0
;
p( x i ) = 1 = 0 × 0,05 + 1× 0,09 + 2 × 2k + 3 × 0,11 + 4 × 0, 22 + 5 × 0,18 + 6 × 0,10 + 7 × 0, 20 + 8 × 4k
1 = 0,95 + 6k
6k = 1 − 0,95 = 0,05 =
5
100
5
1
k = 100 =
6 120
Respuesta b)
Así, la ddp queda:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p( X )
1
20
9
100
1
60
11
100
11
50
9
50
1
10
1
5
1
30
64
Respuesta c)
La probabilidad que el agente venda menos de tres pólizas semanales está dada por:
P ( X < 3) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 )
1
9
1
+
+
20 100 60
47
P ( X < 3) =
= 0,156
300
P ( X < 3) =
Respuesta d )
La probabilidad que el agente reciba el bono está dada por:
P ( X > 5) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8)
1 1 1
+ +
10 5 30
1
P ( X > 5) = = 0, 3
3
P ( X > 5) =
Respuesta e)
El número de pólizas que se espera que el agente venda semanalmente corresponde a:
9
E ( X ) = ∑ x i p( x i ) = 0 ×
i =1
5
9
1
11
11
9
1
1
1
+ 1×
+ 2 × + 3×
+ 4 × + 5× + 6 × + 7 × + 8×
100
100
60
100
50
50
10
5
30
9
= 4,5
2
Respuesta f )
La probabilidad que el agente venda exactamente cuatro pólizas se obtiene directamente de
la distribución de probabilidades:
11
P ( X = 4) =
= 0, 22
50
E(X ) =
Distribución de Probabilidad
11/50
1/5
9/50
11/100
1/10
9/100
1/20
1/30
1/60
0
1
2
3
4
5
6
7
8 X
65
3)
Calcular, para una variable aleatoria binomial con probabilidad de éxitos q y
con probabilidad de fracasos 1-q en n pruebas de Bernoulli:
a) La esperanza
b) La varianza y la desviación típica
Respuesta a)
n
E( X ) = ∑ xi P ( xi )
i =0
n
n
n
⎛ n⎞
n!
n(n −1)!
E( X ) = ∑k ⎜ ⎟ qk (1− q)n−k = ∑k
qk (1− q)n−k = ∑k
qqk −1 (1− q)n−k
k =0 ⎝ k ⎠
k =0 k !( n − k ) !
k =0 k (k −1)!( n − k ) !
n
n(n −1)!
(n −1)!
qqk −1 (1− q)n−k = nq∑
qk −1 (1− q)n−k
(
k
−
1)!
n
−
k
!
k (k −1)!( n − k ) !
( )
k =1
n
=∑k
k =0
n−1
= nq∑
j =0
Sea : k −1 = j
n−1 n −1
⎛
⎞ j
(n −1)!
n−1
n−1− j
q j (1− q)n−1− j = nq∑⎜
= nq ( q + (1− q)) = nq(1)n−1
⎟ q (1− q)
j !( n −1− j ) !
j =0 ⎝ j ⎠
E( X ) = nq
Respuesta b)
Para calcular la varianza de la v.a. X , es necesario calcular E( X 2 )
n
n
n
k ( n −1) !
⎛ n⎞
n!
E( X 2 ) = ∑k 2 ⎜ ⎟ qk (1− q)n−k = ∑k 2
qk (1− q)n−k = nq∑
qk −1(1− q)n−k Sea : k −1 = j
k !( n − k )!
k =0
k =0
k =1 ( k −1) !( n − k ) !
⎝k ⎠
( j +1)( n −1)! q j (1− q)n−1− j = nq ⎡ n−1 j ( n −1)! q j (1− q)n−1− j + n−1 ( n −1)! q j (1− q)n−1− j ⎤
⎢∑
⎥
∑
j =0 j !( n −1− j ) !
j =0 j !( n −1− j ) !
⎣ j =0 j !( n −1− j ) !
⎦
n−1
= nq∑
n−1 n −1
⎡ n−1 j ( n −1)! j
⎤
⎛
⎞ j
n−1− j
q (1− q)n−1− j + ∑⎜
= nq ⎢∑
⎥ = nq ⎡⎣( n −1) q +1⎤⎦ = nq [ nq +1− q]
⎟ q (1− q)
j =0 ⎝ j ⎠
⎣ j =0 j !( n −1− j ) !
⎦
E( X 2 ) = ( nq) + nq (1− q) y con este resultado, usando Va( X ) = E( X 2 ) − E2 ( X ) = ( nq) + nq (1− q) − ( nq)
2
2
se tiene finalmente para la varianza de la v.a. binomial: Va( X ) = σ 2 = nq (1− q)
y para la desviación típica:
σ = + nq (1− q)
2
66
4)
a) Determinar el número esperado de niños hombres de una familia de
ocho hijos, suponiendo la distribución de sexos igualmente probable.
b) Calcular la probabilidad que el número esperado de hijos suceda
Respuesta a)
Se trata de una ddp binomial, donde la probabilidad de éxito, es decir, un hijo hombre, es igual
a la probabilidad de un fracaso, o sea tener una hija. Así q = 1 = 1 − q . El número de intentos
2
para tener hijos es 8:
Así el número esperado de hijos varones es:
E ( X ) = nq = 8 × 1 = 4
2
Respuesta b)
Por otra parte, la probabilidad que el número esperado de hijos varones suceda es:
( ) ( 12 )
⎛8⎞
P ( X = 4) = ⎜ ⎟ 1
⎝ 4⎠ 2
4
8− 4
( )
8
⎛8⎞
70 70 35
=
≈ 0, 27
=⎜ ⎟ 1 = 8 =
2
2
256 128
⎝ 4⎠