Bolilla 4: Rotación de los cuerpos rígidos. Movimiento circular 1 Bolilla 4: Rotación de los cuerpos rígidos. Movimiento circular 4.1 Variables Angulares Las variables angulares sirven para representar en forma mas simple e idónea al movimiento de rotación. La posición angular θ se define en radianes de la siguiente manera: θ = s/r Equivalencias: 1 giro = 2π rad = 360o Definiciones: Δθ θ f − θ i 1. Velocidad angular media: ωm = = Δt tf − ti dθ 2. Velocidad angular instantánea: ω= dt ω es un vector cuya dirección es la del eje de rotación y sentido (regla del tornillo) como el indicado en la figura: 2 3. El desplazamiento de un punto situado a una distancia r del eje de rotación es: s = rθ 4. La variación de s respecto de t, es la celeridad o velocidad tangencial. Se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera: ds dθ =r ⇒ v = rω dt dt 5. La aceleración angular media es: r Δω αm = Δt r 6. La aceleración angular instantánea es: dω α= dt Fotografia de los Anillos de Saturno (Voyager 1. en 1980) 7. La aceleración angular es un vector, cuya dirección y sentido están dados por el cambio en la velocidad angular. 3 8. La aceleración tangencial es la variación con respecto al tiempo de la velocidad tangencial. Es un vector tangente a la trayectoria cuyo módulo verifica la relación: dv dω v = rω → =r → a = rα dt dt 4.2 Movimiento Circular Uniforme (MCU). Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCVU) Un objeto tiene MCU cuando la velocidad angular es constante: ω = constante → α = 0 Un objeto tiene MCUV cuando la aceleración angular es constante: α = constante Ecuaciones del MCUV r r r ω = ωo + αt 1 θ = θo + ωot + αt 2 2 ω 2 = ωo 2 + 2α (θ − θo ) 4 La velocidad tangencial (vt o v) en un movimiento circular, cambia continuamente de dirección. Este cambio de velocidad respecto del tiempo, se denomina aceleración centrípeta o radial, ar. Este vector apunta radialmente hacia el centro de la trayectoria. Δv Δ r = v r 1 Δv 1 Δr Δt → 0 = ⎯⎯⎯ ⎯→ v Δt r Δt 1 1 ar = v v r v2 ar = r 5 Aceleraciones en el Movimiento Circular r Δω α = ( angular ) Δt at = rα ( tangencial ) v2 ar = ( radial ) r r 4.3 Momentos El momento τ ejercido por una fuerza F alrededor de un punto O se define como el producto vectorial del vector r, (cuyo origen se encuentra en O y finaliza en el punto de aplicación de la fuerza F ), y la fuerza F. r r τ = r×F r 6 Por su definicion, el módulo del momento es: τ = r F sen θ El momento es máximo cuando θ es un ángulo recto. Es nulo cuando θ es igual a 0o o 180o. Nota: PARES. Dos fuerzas iguales pero opuestas y cuyas líneas de acción sean diferentes constituyen un par. 7 4.4 Leyes de Newton del Movimiento de Rotación Primera Ley (Segunda Condición de Equilibrio): Si la sumatoria de los momentos actuantes sobre un cuerpo en cero, el cuerpo se encuentra en reposo o gira con Movimiento Circular Uniforme. Momento de inercia: ‘resistencia’ de un cuerpo a girar, depende de su masa y de cómo ésta está distribuida Segunda Ley: El momento total aplicado a un cuerpo es igual al momento de inercia del cuerpo multiplicado por su aceleración angular. 8 Momentos de Inercia de cuerpos uniformes 9 4.5 Equilibrio de los Cuerpos Rígidos r Primera condición de equilibrio: ∑ Fi = 0 i Segunda condición de equilibrio: r ∑τ i = 0 (Traslación) (Rotación) i 4.6 Centro de Gravedad Centro de gravedad: es el punto donde puede suponerse aplicado el peso de un objeto. El peso de un objeto produce un momento nulo respecto de su centro de gravedad. Cálculo del centro de gravedad para un conjunto de masas puntuales n p x + p 2 x 2 + ... + p n x n = x cg = 1 1 p1 + p 2 + ... + p n ∑p x i =1 n i ∑p i =1 i i n p y + p 2 y 2 + ... + p n y n = y cg = 1 1 p1 + p 2 + ... + p n ∑p y i =1 n i ∑p i =1 i i 10 Centro de gravedad de cuerpos homogéneos Se generalizan las ecuaciones anteriores subdividiendo al cuerpo en masas pequeñas (diferenciales de masa) y sumando (integrando) cada una de las contribuciones según la defición. Algunas propiedades del centro de gravedad (cg) El cg no coincide necesariamente con un punto que pertenezca al cuerpo Trayectoria del cg (mov. de proyectiles) 11 Propiedades del centro de gravedad Equilibrio y centro de gravedad Posición del cg: suspender al cuerpo de puntos distintos 12 Cuadro resumen: Comparación entre los movimientos de traslación y de rotación. MAGNITUD Posición Velocidad Aceleración Aceleración Radial MUV r x, s θ r x Δ r v= Δt r r Δv a= Δt Δθ Δt r r Δω α = Δt r r r v = vo + at 1r r r r x = xo + vot + at 2 v 2 = vo 2 + 2aΔx Masa-Momento de Inercia Equilibrio r r F = ma r ar = ω 2r ω = ωo + αt 1 θ = θ o + ω ot + α t 2 ω2 = ωo 2 + r 2α Δθ τ = Iα I r ∑τ -------- 2 r m r ∑F = 0 a =α r v2 ar = rr r --------- RELACIÓN s = rθ v=ωr ω= 2 FuerzaMomento ROTACIÓN TRASLACIÓN r r τ = r×F r I= =0 ∑ mi ri 2 ----- 13