dependen del azar, como por ejemplo lanzar un dado y observar lo

TEMA 11: AZAR Y PROBABILIDAD
SUCESOS ALEATORIOS
Se llaman sucesos aleatorios a todos aquellos acontecimientos en cuya realización influye el azar.
Para estudiar el azar y sus propiedades, se realizan experiencias aleatorias, que son experimentos cuyos resultados
dependen del azar, como por ejemplo lanzar un dado y observar lo que sale, lanzar una moneda y observar si sale cara o
cruz.
Vamos a utilizar la experiencia lanzar un dado y observar lo que sale para definir algunos conceptos.
Casos o sucesos elementales.
elementales. Son los posibles resultados que se obtienen al realizar una experiencia aleatoria.
Por ejemplo en la experiencia de lanzar un dado los posibles sucesos son: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 y 6
Espacio muestral. Es el conjunto de todos los sucesos elementales. En el dado el espacio muestral es:
E = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
Sucesos.
Sucesos Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo en la experiencia del dado algunos sucesos
pueden ser:
Sacar número primo={ 2 , 3 , 5 }
Sacar número par=
Sacar un número menor que 5=
Ejercicios.
1. En los siguientes sucesos aleatorios, determinar su espacio muestral y poner algunos ejemplos de sucesos:
a) lanzar dos monedas y contar el número de caras.
b) Extraer una carta de una baraja española y anotar lo que sale.
c) Extraer una bola de una urna que contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20 y mirar el número que
tiene la bola extraída.
2. En una urna hay 10 bolas de colores, una negra, 4 rojas, 3 azules y 2 verdes. La experiencia consiste en sacar
una bola y anotar su color.
a) ¿Es una experiencia aleatoria?, ¿por qué?
b) Escribe el espacio muestral y cinco sucesos.
3. Lanzamos dos monedas y anotamos lo que sale.
a) ¿Es una experiencia aleatoria?, ¿por qué?
b) Escribe el espacio muestral
muestral y un suceso.
4. En una bolsa hay 20 bolas del mismo color. la experiencia consiste en sacar una bola y anotar su color.
¿Es una experiencia aleatoria?, ¿por qué?
5. De la urna de la figura sacamos una bola y anotamos su número.
a) ¿Es una experiencia aleatoria?, ¿por qué?
b) Escribe el espacio muestral y tres sucesos.
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
La probabilidad de un suceso mide el grado de certeza que podemos tener en que ese suceso ocurra. Se expresa mediante
un número comprendido entre 0 y 1.
Para designar la probabilidad de un suceso S ponemos P(S)
Si P(S) = 2/7 quiere decir que de cada 7 experiencias que realicemos en 2 ocurrirá el suceso S.
Si P(S) es un número cercano a cero diremos que el suceso es poco probable, y si es cercano a 1 diremos que es muy
probable.
Ley fundamental del azar. Esta ley es la llamada ley de los grandes números y consiste en realizar una experiencia un
número grande de veces y tomar como probabilidad de un suceso su frecuencia relativa, es decir, el cociente entre las
veces que ha sucedido el suceso entre las veces que se ha realizado la experiencia.
fr(S) ≈ P(S)
Cuanto más veces se repita la experiencia más se parece fr(S) a P(S).
Por ejemplo si lanzamos una chincheta 1200 veces y en 500 ocasiones sale con el pincho hacia arriba podremos decir que
la probabilidad de que salga con el pincho hacia arriba es de 500/1200 = 5/12
Hay dos tipos de experiencias aleatorias:
Experiencia regular. Es aquella en la que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad. Por ejemplo en la
experiencia lanzar un dado todas las caras tienen la misma probabilidad de salir ( siempre que no esté trucado).
En estos casos para calcular la probabilidad no hace falta realizar la experiencia si no que dividimos 1 entre el número de
casos elementales. Así la probabilidad de sacar un 2 al lanzar un dado será 1/6.
Experiencia
Experiencia irregular. Es aquella en la que los casos elementales tienen diferentes probabilidades, como por ejemplo
lanzar una chincheta.
Para calcular las probabilidades de los sucesos tenemos que realizar la experiencia muchas veces y calcular la frecuencia
relativa de cada suceso.
Ejercicios.
6. Lanzamos una moneda, ¿qué probabilidad tiene cada suceso elemental?
7. Lanzamos un dado 1 000 veces y obtenemos los siguientes resultados:
El 1 sale 157 veces
El 2 sale 171 veces
El 3 sale
sale 160 veces
El 4 sale 166 veces
El 5 sale 171 veces
El 6 sale 175 veces
A la vista de estos resultados, ¿crees que el dado es correcto o está trucado?
8. En las estadísticas de un jugador de fútbol realizadas en las últimas
últimas 5 temporadas, se han contado 23 penaltis
lanzados y 17 acertados. ¿Qué probabilidad le asignarías a meter un gol de penalti?, ¿y a fallarlo?
LEY DE LAPLACE PARA EXPERIENCIAS REGULARES
La ley de Laplace se utiliza para calcular la probabilidad de un suceso en una experiencia regular.
P( S ) =
número de casos favorables
número de casos posibles
Ejercicios.
9. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja de esta urna?
10. En una bolsa tenemos 40 bolas rojas, 25 bolas verdes, 15 bolas azules
azules y 10 bolas negras. Si sacamos una bola al
azar, calcula las probabilidades de que sea de uno u otro color.
11. En una baraja de 40 cartas, hallar la probabilidad de obtener un REY.
12. En una caja hay 43 bombillas iguales, pero 13 son defectuosas. Si extraemos una al azar, ¿qué probabilidad hay
de que sea defectuosa?
13. Lanzamos dos dados y sumamos sus resultados. Confecciona una tabla con todos los posibles resultados y
calcula la probabilidad de cada uno de ellos.
EJERCICIOS
1.
Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V) y azul (A), y una gran caja vacía.
Echamos en la caja 1 R, 50 V y 200 A . Removemos y extraemos una al azar. Asocia con flechas:
P [R]
Imposible
P [V]
Muy poco probable
P [A]
Poco probable
P [N]
Muy probable
2. Clasifica los siguientes experimentos como deterministas o de azar:
a) Lanzar una moneda al aire.
b) Pinchar un globo.
c) Frenar un coche.
d) Sacar una carta de una baraja.
3. Clasifica los siguientes experimentos en deterministas o de azar:
a) Dejar caer un libro desde una mesa.
b) Lanzar un dado al aire.
c) Extraer una bola de color de una bolsa sin ver el interior.
d) Apagar el interruptor de la luz.
4. Razona de cuál de las bolsas siguientes es más probable sacar bola roja:
5. Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos el número obtenido.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Escribe los sucesos:
A = “Menos de 5” ; B = “Más de 4” ; C = “Número par” ; D = “No múltiplo de 3”
6. Nos fijamos en la cifra en la que termina el premio gordo de la lotería.
a) Describe el espacio muestral.
b) Describe los sucesos:
A = “Menor que 4” B = “Número impar” C = “Mayor que 5”
7. Escribimos cada una de las letras de la palabra JUEGO en un papel diferente y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra
al azar.
a) Describe los sucesos elementales de este experimento aleatorio.
b) Describe el suceso “obtener vocal”.
c) Si la palabra elegida fuera PROBABILIDAD, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?
8. Lanzamos una moneda dos veces y anotamos los resultados ordenadamente.
a) Completa el espacio muestral: E = {CC, …}
b) Escribe los sucesos siguientes: A = “La primera fue cara” B = “Ninguna fue cara”
9. Lanzamos una moneda tres veces y anotamos los resultados.
a) Describe el espacio muestral (hay 8 casos).
b) Describe los sucesos: A = “Obtener dos veces cara” B = “Obtener dos veces cruz” C = “No obtener ninguna cruz”
10. Halla la probabilidad de obtener un 2 y la probabilidad de obtener un 5, al lanzar un dado correcto en cada uno de estos casos:
11. En una bolsa hay 6 bolas rojas, 4 azules, 7 verdes, 2 amarillas y una negra. Extraemos una al azar. Halla la probabilidad de
que:
a) Sea azul. b) No sea negra. c) Sea roja o verde. d) No sea amarilla ni negra.
Sol: a) 1/5 b) 19/20 c) 13/20 d) 17/20.
12. En un examen para unas oposiciones hay 80 temas, de los cuales se elige uno al azar. Si un opositor se sabe 60 de los temas,
halla la probabilidad de que:
a) Le toque uno de los que sabe. b) Le toque uno de los que no sabe.
Sol: a) 3/4 b) 1/4.
13. En una caja hay 80 tornillos, de los que 5 son defectuosos, y se extrae uno al azar. Calcula la probabilidad de que sea uno de
los defectuosos. Sol: 0,0625.
14. El delantero de un equipo de fútbol mete dos goles de cada 5 balones que tira a puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que la
próxima vez que tire a puerta meta gol? Sol: 0,4.
15. Una familia tiene dos hijos. Calcula mentalmente:
a) La probabilidad de que los dos sean varones.
b) La probabilidad de que los dos sean mujeres.
c) La probabilidad de que uno sea varón, y el otro, mujer.
16. Un laboratorio farmacéutico crea dos medicamentos, A y B. El medicamento A se ensaya en 50 pacientes, y mejoran 35 de
ellos; el medicamento B se ensaya en 75 pacientes, y de ellos mejoran 45. ¿Cuál de los dos medicamentos es más eficaz?
Sol: Es más eficaz el medicamento A.
17. Un laboratorio farmacéutico crea dos medicamentos (A y B) contra el SIDA. El medicamento A se ensaya en 80 pacientes, y
mejoran 25 de ellos; el medicamento B se ensaya en 60 pacientes, y de ellos mejoran 15. ¿Cuál de los dos medicamentos es
más eficaz? Sol: Es más eficaz el medicamento A.
18. Halla las probabilidades siguientes asociadas al lanzamiento de un dado correcto:
a) El resultado es múltiplo de 3.
b) El resultado es múltiplo de 2.
c) El resultado es mayor que 1.
d) El resultado es menor que 5.
e) El resultado es menor que 1.
Sol: a) 1/3 b) 1/2 c) 5/6 d) 2/3 e) 0.
19. En un colegio hay 990 alumnos matriculados, de los cuales 510 son niñas. Si elegimos al azar un estudiante de ese colegio,
¿cuál es la probabilidad de que sea niño? Sol: 0,485.
20. En un instituto, los alumnos y las alumnas están distribuidos por cursos del modo siguiente:
Si elegimos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:
a) Sea de 3.° ESO. b) Sea de ESO. c) Sea de Bachillerato.
Sol: a) 0,22 b) 0,78 c) 0,22.
21. Extraemos una carta de una baraja española de 40 naipes. Halla la probabilidad de que:
a) Sea un CINCO.
b) NO sea un CABALLO.
c) La carta sea de OROS o de COPAS.
d) NO sea de ESPADAS.
Sol: a) 0,1 b) 0,9 c) 0,5 d) 0,75.
22. De esta urna extraemos una bola y observamos su número y color. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Obtener bola verde con número par.
b) Obtener bola roja con número par.
c) Obtener bola amarilla o roja.
d) Obtener una bola con número mayor que 7.
23. Lanzamos una moneda y un dado y observamos los resultados obtenidos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener CRUZ y CINCO? b) ¿Y la de obtener CARA y NÚMERO PAR?
Sol: a) 1/12 b) 1/4.
24. En un libro de 120 páginas, hemos contado el número de erratas en cada una de las páginas. Los resultados se resumen en
esta tabla:
Al elegir una página al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ninguna errata?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga exactamente dos erratas?
c) ¿Y la de que tenga alguna errata? ¿Y la de que tenga más de tres?
Sol: a) 0,48 b) 0,13 c) 0,52 y 0,01
25. El número total de adultos y niños que viven con el virus del VIH en el mundo en el año 2006 era de, aproximadamente, 39
600 000 personas. Dentro de este total, 24 700 000 eran del África Subsahariana; 740 000, de Europa Occidental;
1 400 000, de América del Norte y el resto, de otros lugares del planeta. Si elegimos al azar una persona que vive con el VIH:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda del África Subsahariana?
b) ¿Y de que sea de Europa Occidental?
c) ¿Y de América del Norte?
Sol: a) 0,62 b) 0,02 c) 0,04.
26. Si lanzamos una moneda cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos caras? ¿Y la de obtener al menos
dos caras? Sol: 6/16 y 11/16.
27. Responde verdadero o falso a estas afirmaciones:
a) La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1.
b) Al lanzar un dado correcto, es más probable obtener un 2 que un 5.
c) Si un suceso es muy probable, su probabilidad es próxima a 1.
d) Si al lanzar una moneda seis veces nos ha salido CARA en los seis casos, la próxima vez es más probable que salga CRUZ.
28. La perinola es un juego infantil en el que cada jugador tiene un montón de fichas. También hay un montón común en el
centro. Cada uno, en su turno, hace girar la perinola, que tiene los siguientes casos referidos a las fichas en juego: {Pon 1, Pon
2, Toma 1, Toma 2, Toma todo, Todos ponen una}.
Al girar la perinola uno de los jugadores, calcula la probabilidad de que:
a) Le toque llevarse todas las fichas del montón central (“Toma todo”).
b) Le toque poner alguna ficha.
c) El resultado afecte a otros jugadores (“Todos ponen”).
Sol: a) 1/6 b) 1/2 c) 1/6
29. Encima de una mesa tenemos estas cuatro cartas de una baraja española:
Sacando al azar otra carta del mazo y fijándonos en su número, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones
de las cinco cartas (las cuatro de la mesa y la extraída del mazo) sea 15? ¿Y el 16?
Sol: P [SUMA 15] = 0,111 P [SUMA 16] = 0,083.
30. Extraemos una ficha de dominó. Halla la probabilidad de que:
a) La suma de puntos sea menor que 4.
b) La suma de puntos sea múltiplo de 3. c) Sea una ficha “doble”.
Sol: a) 0,21 b) 0,36 c) 0,25.
31. Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que:
a) El producto de las puntuaciones sea 5. b) El producto de las puntuaciones sea 6.
c) El producto de las puntuaciones sea 4.
Sol: a) 1/18 b) 1/9 c) 1/12.
32. Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada color, ni podemos verlo, porque la
botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente.
Durante unos días hacemos 1 000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve.
Hemos obtenido estos resultados:
¿Cuántas bolas de cada color hay en la botella? Sol: Estimamos que hay 9 bolas negras, 7 rojas y 4 verdes.
33. Elisa, para estudiar el comportamiento de un dado chapucero, lo ha lanzado 1 200 veces, obteniendo estos resultados:
a) Halla la frecuencia relativa de cada una de las seis caras, expresando los resultados en forma de fracción y de decimal
con tres cifras decimales.
b) Justifica que es razonable decir que las probabilidades de las caras son, aproximadamente:
P [1] = 0,2 P [2] = 0,3 P [3] = 0,15 P [4] = 0,15 P [5] = 0,1 P [6] = 0,1
34. Se han hecho análisis de sangre a 200 personas para determinar su grupo sanguíneo, así como el Rh. Los resultados se
resumen en esta tabla:
Este tipo de tabla se llama tabla de contingencia.
a) Si elegimos al azar una persona de entre esas 200, ¿cuál es la
probabilidad de que su grupo sanguíneo sea A? ¿Y de que sea 0? ¿Y
de que tenga Rh+?
b) Si elegimos una persona del grupo sanguíneo B, ¿cuál es la
probabilidad de que tenga Rh+?
Sol: a) P [A] = 0,46; P [O]= 0,46 y P [Rh+] = 0,81 b) 0,8.
35. Dejamos caer una bola en el embudo de este aparato. Calcula la probabilidad de que caiga en cada uno de los depósitos
I, II, III y IV.
Sol: P(I) = 1/2; P(II) = 1/4; P(III) = 1/8 y P(IV) = 1/8
36. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola caiga en cada uno de los depósitos?
AUTOEVALUACIÓN
1. Clasifica los siguientes experimentos como deterministas o de azar:
a) Sacar una bola de una urna con bolas de distintos colores.
b) Poner un helado al sol.
c) Salir de paseo sin paraguas mientras está lloviendo.
d) Lanzar al aire un dado de quinielas.
2. ¿Qué es una experiencia aleatoria?
De las siguientes experiencias, ¿cuáles son aleatorias?
a) En una bolsa metemos seis bolas rojas y seis azules, sacamos una y anotamos su color.
b) Al lanzar una moneda al aire sale cara o cruz.
c) Al extraer una carta de la baraja observamos si sale un As.
d) Al lanzar un dado de seis puntos anotamos todos los resultados mayores que ocho.
3. Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo que sale. Escribe el espacio muestral y completa la tabla con
ejemplos de
distintos sucesos:
TIPO DE SUCESO
SUCESO
Seguro
Suceso posible
Suceso imposible
Suceso muy probable
Suceso poco probable
4. En un grupo de alto riesgo, compuesto por 60 personas, se prueba una vacuna A contra la gripe; contraen la enfermedad 15 de
ellas. En otro grupo de alto riesgo, formado por 50 personas, se prueba otra vacuna B contra la gripe; contraen la enfermedad 12
de ellas. ¿Cuál de las dos vacunas es más eficaz?
5. Lanzamos 80 veces un dado defectuoso y sale 24 veces el número 5. Halla:
a) La frecuencia absoluta de obtener 5
b) La frecuencia relativa de obtener 5.
6. Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar:
a) Sea de color azul.
b) No sea de color amarillo.
7. Calcula las siguientes probabilidades:
a) En una clase del instituto hay 12 chicos morenos, 8 rubios, 4 castaños y 1 pelirrojo. El profesor saca a la pizarra a uno
de ellos de
forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que sea rubio?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea moreno?
8. Los 100 socios de un club se distribuyen de la forma que se indica en la tabla:
HOMBRES
MUJERES
JUEGAN AL GOLF
46
14
NO JUEGAN AL GOLF
12
28
Escogemos al azar a una persona de ese club. Calcula la probabilidad de que:
a)
Sea mujer.
b)
Juegue al golf.
c) Sea mujer que juegue al golf.
b) Si la elegida juega al golf, ¿qué probabilidad hay de que sea mujer?
9. Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Construye una tabla con los resultados y calcula la probabilidad de que:
a) Sumen 7.
b) Sumen 12.
10. Un juego consiste en lanzar una moneda y extraer una bola de esta urna:
a) Escribe el espacio muestral.
b) ¿Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental?
c) Describe el suceso "CARA Y BOLA ROJA" enumerando todos sus casos. ¿Cuál es su probabilidad
11. En la clase de matemáticas se propone un problema en el que hay que calcular una probabilidad. A Enrique le da como
resultado -0,1, a Maria 0,67 y a Pablo 1,03. ¿Cuál de los resultados puede ser el correcto? Razona la respuesta.
12. En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) La bola extraída contenga una sola cifra.
b) El número extraído sea mayor que 90.
13. Al extraer al azar 1000 veces una bola de una caja donde hay 10 bolas numeradas del 0 al 9, se obtienen los resultados de la
tabla:
BOLA FREC.
0
96
1
102
2
93
3
101
4
105
5
101
6
102
7
103
8
98
9
99
FRECUENCIAS
RELATIVAS
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 6?
b)
Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.