línea de transmisión

11
LÍNEA DE TRANSMISIÓN
1. DESCRIPCION DEL ESQUEMA DEL GENERADOR DE
PULSOS PM 5715
1.1 DESCRIPCIÓN DEL ESQUEMA DE BLOQUES
1.1.1 Multivibrador astable
1.1.2 Circuito de disparo
1.1.3 Puerta, amplificador y primer conformador
1.1.4 Circuito de retardo, segundo conformador y duración del pulso
1.1.5 Pulso T/2
1.1.6 Generador de rampa y circuitos de salida
2. ESTUDIO DE UNA LINEA
2.1 LINEA IDEAL
2.1.1 Impedancia característica (7)
2. 1.2 Coeficiente de reflexión (8)
2. 1.3 Ondas estacionarias-Longitud del cable (10)
2.2 LINEA REAL (11)
2.3 COEFICIENTE DE ATENUACION (11)
3. MEDICIONES EN UNA LINEA REAL
3.1 COEFICIENTE DE ATENUACION DE LA LINEA (12)
3.1.1 Línea abierta (12)
3.1.2 Línea adaptada (14)
3.1.3 Coeficiente de atenuación por unidad de longitud
3.1.4 Coeficiente de reflexión en una línea real (15)
4.
REALIZACIONES PRÁCTICAS (16)
5. ANEXO: ESTUDIO TEORICO DE UNA LINEA SIN
PÉRDIDAS (20)
(14)
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 2
1. EL GENERADOR DE PULSOS PM 5715
1.1 DESCRIPCIÓN DEL ESQUEMA DE BLOQUES
Podríamos considerar los siguientes apartados:
-
Multivibrador astable.
-
Circuito de disparo.
-
Puerta, amplificador de pulsos de sincronismo y primer conformador de pulsos.
-
Circuito de retardo, segundo conformador de pulsos y circuito de duración.
-
Pulsador T/2.
-
Generador de rampas y circuitos de salida.
Capítulo 11. Línea de transmisión
Diagrama de bloques:
Fig. 2 Diagrama de bloques.
Página 3
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 4
1.1.1 MULTIVIBRADOR ASTABLE (ver fig 2)
La onda básica la produce un multivibrador astable que genera unos pulsos cuadrados de
los cuales se derivan todos los demás pulsos internos.
El conmutador "REPETITION TIME" SK1 y su potenciómetro de ajuste fino R1,
permite el ajuste de repetición entre 1 segundo y 20 nanosegundos.
El multivibrador queda inactivado cuando el conmutador se coloca en la posición "EXT".
1.1.2 CIRCUITO DE DISPARO
En la posición "EXT" el generador de pulsos puede ser disparado mediante una señal
exterior aplicada al conector "TRIG/GATE IN, BU1". La señal de disparo se aplica al trigger
de Schmitt, que produce una señal apropiada para el resto de los circuitos del generador.
Fig. 3
Capítulo 11. Línea de transmisión
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Cuando el conmutador "REPETITION TIME" está en cualquiera de las posiciones de
tiempo, el multivibrador astable puede ser puerteado (cerrado y abierto) por una señal aplicada
a la entrada "TRIGGER/GATE IN" obteniéndose de este modo paquetes de pulsos
sincronizados con la señal de puerta.
1.1.3 PUERTA (GATE), AMPLIFICADOR DE PULSOS DE
SINCRONISMO (SYNC AMPL) Y PRIMER CONFORMADOR DE
PULSOS (PULSE SHAPER)
La salida de la puerta está disponible en el conector frontal "SINC. OUT, BU2".
La frecuencia de repetición y la forma de onda está determinada por el multivibrador
astable, o en la posición "EXT" por la señal de disparo.
El conformador de pulsos está controlado por el flanco de subida de la señal de salida de
la puerta (1). El conformador proporciona un estrecho pulso (2) que controla el circuito de
retardo. (Ver esquema de bloques y figura 3).
1.1.4 CIRCUITO DE RETARDO (DELAY), SEGUNDO CONFORMADOR
DE PULSOS (SHAPER) Y CIRCUITO DE DURACIÓN DE IMPULSO
(DURATION)
El circuito de retardo (Delay) proporciona pulsos (3 ) cuya amplitud es ajustable con el
control "DELAY SK2" y su vernier R2. El borde posterior o de bajada de estos pulsos controla
el segundo conformador de pulsos, el cual entrega un fino pulso (4) al circuito de duración. (Ver
figura 3).
En la forma de "doble pulso" un fino pulso (5) derivado del flanco de subida del pulso de
retardo es transmitido a través de una puerta al circuito de duración.
En este caso se generan, pues, dos pulsos, uno a partir del flanco de subida y otro a partir
del flanco de bajada del circuito de retardo y cuya separación dependerá del mando "DELAY".
De forma similar al circuito de retardo, el circuito de duración produce pulsos cuya
anchura es regulable mediante los controles "DURATION SK3" y su vernier R3.
La salida del circuito de duración está disponible en el conector del panel frontal "AUX
OUT BU3". Esta señal tiene una amplitud fija.
En la salida "PULSE OUT" se puede tener la señal normal o invertida mediante el
pulsador "NORMAL/INV SK10".
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 6
1.1.5 PULSADOR T/2 SK8
Cuando el pulsador "T/2 SK8" se aprieta, los circuitos de duración y de retardo se
desconectan, y es conectada directamente la señal que sale del multivibrador o del trigger de
Schmitt a las etapas de salida como puede verse en el esquema de bloques.
Las salidas de sincronismo auxiliar permanecen inalteradas.
1.1.6 GENERADOR DE RAMPA Y CIRCUITOS DE SALIDA
A la salida del conmutador T/2 los pulsos pasan a través de un amplificador diferencial
para ser inyectado en el generador de rampa, que determina los tiempos de tránsito, esto es, de
subida y de bajada.
El conmutador SK4 actúa a la vez sobre los tiempos de subida y de bajada, mientras que
potenciómetro R4 (tr) actúa sobre los tiempos de subida (rise time) y el R5 /(tf) actúa sobre los
de bajada (fall time).
Los pulsos pasan luego por un seguidor de emisor que proporciona una baja impedancia
de salida a las dos etapas finales.
El conmutador de polaridad "+ -" conduce la señal por el canal positivo o negativo. En
ambos canales la amplitud puede ser controlada de forma continua con el ajuste fino de la
amplitud R7.
Seguidamente existe un atenuador resistivo, teclas SK11 a SK14.
Finalmente a la señal de salida obtenida en "PULSE OUT BU4" se le puede superponer
una tensión continua positiva o negativa de forma tal que la línea de referencia se puede
desplazar hacia arriba o hacia abajo con el mando "DC OFFSET R6" en un valor de ± 2'5
voltios.
La amplitud total del impulso es de 10 voltios. En consecuencia en las posiciones más
elevadas de la amplitud, el nivel de continua es añadida a expensas de la amplitud del pulso.
Capítulo 11. Línea de transmisión
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2.- ESTUDIO DE UNA LÍNEA
2.1.- LÍNEA IDEAL
Línea ideal es la que no pierde energía, ya sea por radiación o por efecto Joule. Decimos
que la atenuación de la línea es nula.
En una línea ideal intercalada entre un generador de pulsos y una carga (Zr), se pueden
definir dos parámetros fundamentales:
a) Impedancia característica de la línea (Z0)
b) Coeficiente de reflexión ( ρ )
Fig. 4 Línea Ideal
2.1.1.- IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA (Z0)
Si al inicio de la línea se aplica una señal (onda), ésta se irá desplazando a lo largo de la
línea (señal Vi); cuando llegue al final de la línea, encontrará una carga Zr, en el caso más
general, por el hecho de estar en la frontera entre dos medios diferentes, aparecerá una onda
reflejada Vr.
Por lo tanto en cualquier punto de la línea hay dos ondas, una incidente (que se propaga en
el sentido de transmisión) y otra reflejada (se propaga en sentido contrario).
Se define la impedancia característica de la línea (Zo), como aquella impedancia que
colocada al final de la línea (actuando como carga), hace que anule la señal reflejada. (En
este momento la línea y la carga están "adaptados").
Capítulo 11. Línea de transmisión
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2.1.2.- COEFICIENTE DE REFLEXIÓN (ρ)
Si la línea es ideal (sin pérdidas), la señal incidente llegará al final de la línea sin
atenuación y de modo idéntico, la señal reflejada regresará al inicio de la línea sin atenuación
(Fig, 5) .
Fig, 5 Coeficiente de Reflexión
Se define el Coeficiente de Reflexión como:
ρ =Vr
Vi
Donde:
(1)
Vi = Señal incidente (se propaga en el sentido de transmisión)
Vr = Señal reflejada (se propaga en sentido contrario).
El coeficiente de reflexión puede expresarse también en función de la Z0 (Impedancia
Característica de la línea) y de la Zr (impedancia con que está cargada el final de la línea),
mediante la relación siguiente:
ρ = Zr Zo
Zr + Zo
(2)
Estudiando las expresiones (1) y (2), podemos llegar a tres consecuencias interesantes:
1ª
Si Zr = ∞ (final de línea en circuito abierto), de (2) se obtiene:
ρ=
lim
Zr - Zo = 1
Zr → ∞ Zr + Zo
por tanto en la ecuación (1): Vr = Vi
Capítulo 11. Línea de transmisión
2ª
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Si Zr = 0 (final de línea en cortocircuito) de (2)
ρ =
lim
Zr - Zo = - 1
Zr → o Zr + Zo
Por tanto: Vr = -Vi, que significa igual magnitud pero desfasada 180º.
3ª
Si Zr = Z0
de la (2) se deduce que ρ = 0 y por lo tanto de (1) se deduce: Vr = 0
Como era de esperar el coeficiente de reflexión (ρ) depende directamente de la carga
colocada al final de la línea.
En la figura 6 podemos ver como se componen la señal incidente y la reflejada para
darnos la resultante. Si el final de la línea está abierta, la reflexión es máxima.
Si las pérdidas en la línea son despreciables sucederá que, si observamos la tensión al
inicio del cable, y vamos variando la frecuencia, veremos que la tensión varía.
Esto sucede porque la fase de la señal reflejada van variando respecto a la fase de la
señal incidente desde estar prácticamente en fase, para bajas frecuencias, hasta estar en
contrafase a una frecuencia determinada.
- Si adaptamos la línea, y por tanto no
hay onda reflejada, la tensión se
mantiene constante al variar la
frecuencia.
- Si cortocircuitamos la salida veremos
que a la frecuencia que teníamos un
máximo de tensión, ahora nos dará un
mínimo y viceversa. Esto es debido a
que al
cortocircuitar la salida, cambia de
180º la fase de la onda reflejada.
Fig. 6
Práctica:
Conecta una señal senoidal al cable y al osciloscopio mediante una T. Observa los
fenómenos explicados anteriormente y halla la frecuencia para la cual se produce el
primer mínimo de tensión en la entrada.
Capítulo 11. Línea de transmisión
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2.1.3 ONDAS ESTACIONARIAS Y LONGITUD DEL CABLE
Al aplicar una señal a un cable con el final no adaptado, la distribución de tensión a
lo largo del cable varía con la distancia a la carga, debido a las ondas estacionarias que se
crean por la reflexión en el final no adaptado.
Suponiendo que las pérdidas son despreciables, la señal que llega al final del cable,
y la que se refleja en ese mismo punto son iguales y están en fase, con lo que se
suman.(Ver fig 6)
Veamos como se comportan esas dos ondas al ir aumentando la distancia "l" a la
carga. Si las observáramos a una distancia de la carga igual a λ/8 veríamos que la onda
incidente E1 tendría un ángulo en adelanto de 45º respecto al que tenía en carga (se
supone que los vectores giran en el sentido de las agujas del reloj), mientras que la
reflejada lo tendrá en retraso. Esto hace que la suma sea menor.
Si las observáramos a una distancia λ/4 veríamos que E1 estaría 90º en adelanto
respecto al que tenía en la carga, mientras que E2 estaría 90º de retraso. Esto hace que se
resten, dando un mínimo de tensión.
Se cumple que para una longitud L del cable tenemos el primer mínimo de tensión
Dicho de otro modo: La onda estacionaria presenta un primer mínimo de tensión para una
frecuencia tal que la longitud del cable sea 1/4 de la longitud de la onda eléctrica λ. .
L = λ/4
2.2.- LÍNEA REAL
En una línea real existen pérdidas. Ni la onda incidente ni la reflejada llegan en su
totalidad al final y al inicio de la línea, respectivamente. Por el hecho de existir atenuación la
fórmula (1) ya no es válida para cualquier punto de la línea.
Sólo es válida para el final de la línea, o lo que es equivalente, sobre la impedancia de
carga. Podemos, pues, expresar el coeficiente de reflexión (ρ) para una línea real únicamente
para el caso que éste se exprese para el final de la línea mediante la fórmula siguiente:
ρ=
V rf
V if
(3)
Donde: Vif, Vrf son las tensiones incidentes y reflejada respectivamente, al final de la
línea.
Una forma directa de medir el coeficiente de reflexión (ρ) sería simplemente evaluar por
separado el valor de Vrf y de Vif y efectuar el cociente; pero en la práctica estas dos tensiones se
hallan sumadas algebraicamente, dando una resultante, por lo tanto no es, físicamente, posible
efectuar su medida por separado.
Más adelante veremos como efectuar la medida del coeficiente de reflexión (ρ) en una
línea real.
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 11
Lógicamente conocidas Z0 y Zr, matemáticamente es inmediato obtener (ρ) a partir de la
ecuación (2).
2.3.- COEFICIENTE DE ATENUACIÓN (α)
A los dos parámetros enumerados anteriormente para la línea ideal, hemos de añadir un
tercero en una línea real. Es el Coeficiente de Atenuación (α); que da una medida de la caída
de tensión en la línea por unidad de longitud.
Llamaremos αl al coeficiente de atenuación total de una línea y α al coeficiente de
atenuación por metro. El coeficiente, como el nombre sugiere, es un cociente. El coeficiente de
atenuación por metro (α) es el cociente entre la tensión después de recorrer un metro y la
tensión al inicio de ese metro.
El coeficiente de atenuación de la línea α l, es el coeficiente entre la tensión al final de la
línea y la tensión al inicio.
3.- MEDICIONES EN UNA LÍNEA REAL
3.1.- COEFICIENTE DE ATENUACIÓN DE LA LINEA (αl)
Se puede medir de dos formas:
- Con final de línea abierto (Zr = ∞)
- Con línea adaptada (Zr = Z0)
Capítulo 11. Línea de transmisión
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3.1.1.- LÍNEA ABIERTA
Vi = Tensiones al inicio de la línea (Están formadas por las tensiones 1 y 4)
Vf = Tensiones al final de la línea (Están formadas por las tensiones 2 y 3)
Veamos qué representan las tensiones antes citadas:
1.-
Tensión incidente al inicio de la línea. Es la tensión entregada por el generador. Le
llamaremos Vii
2.-
Tensión incidente al final de la línea. Corresponde a los pulsos que enviados por el
generador llegan al final de la línea. Se representará por Vif.
3.-
Tensión reflejada al final de la línea.
Cuando Zr = ∞, de la ecuación (2) se deduce que ρ =1 y de la (1) se obtiene:
Vif = Vrf
Luego para Zr = ∞ tenemos:
Vf = Vif + Vrf = 2Vif
Si la línea fuera ideal, cuando Zr = ∞, la tensión a final de la línea será el doble que
la aplicada a la entrada de la línea.
4.-
Tensión reflejada al inicio de la línea. La denominaremos Vri. Corresponde a la
señal que después de llegar al final de la línea vuelve de nuevo al inicio de la
misma, aunque retrasada en el tiempo.
En el caso de línea ideal
Vri = Vii = Vif = Vrf
Como las líneas son reales, existe un coeficiente de atenuación de la línea que se
puede medir de dos formas:
a)
Midiendo en la entrada. Con final de línea abierto.
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 13
V r i = α l ⋅V r f ⎫
⎪
2
V r f = V i f ⎬ → V r i = α l .V i i
⎪
V i f = α l ⋅V i i ⎭
αl =
V ri
V ii
Siendo αl, el coeficiente de atenuación para una vez la longitud del cable.
Podemos observar independientemente Vri y Vii inyectando unos pulsos suficientemente
pequeños y de una frecuencia bastante elevada para que debido al tiempo que tardan en recorrer
la línea al reflejarse al principio de ella ya están desfasados suficientemente que los podamos
ver separados.
b)
Midiendo en la salida y en la entrada. Con final de línea abierto.
V i f = α l ⋅ V ii ⎫
⎪
Vf
= α l ⋅ V ii
V f = V i f +V r f ⎬ →
2
⎪
V r f =V i f ⎭
αl =
Vf ÷2
V ii
3.1.2.- LÍNEA ADAPTADA
Si Zr = Z0 de (2) obtenemos ρ = 0 y de (1)
Como que Vif = α1 Vii
αl =
V i f V salida
=
V i i V entrada
Vr = 0
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 14
3.1.3.- COEFICIENTE DE ATENUACIÓN POR
LONGITUD (α) EN FUNCIÓN DEL TOTAL α1
UNIDAD
DE
Supongamos que tenemos una línea adaptada, de la cual conocemos su α1:
Se cumplirá que:
Vi1 = α Vii
α = coeficiente de atenuación por metro
Vi2 = α Vi1 = α2 Vii
V i1 = tensión a la distancia de 1 metro
V i2 = tensión a la distancia de 2 metros
----------------------Vif = αl Vii
Luego:
α=l
Vi f
Vii
→ α = l α1
Se insiste en la distinción entre "coeficiente de atenuación" y "atenuación".
Atenuación es la disminución de la señal debido a las pérdidas en la línea, ya que toda
línea física tiene una resistencia, y por lo tanto hay una caída de tensión. La atenuación sería la
diferencia de tensiones entre el inicio y el final.
Si a una línea de 100 metros, adaptada, aplicamos una tensión al inicio que podrá ser la
unidad (1V) y al final tuviéramos, por ejemplo 0,95 V; la atenuación en los 100 metros sería
0.05V.
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 15
La "atenuación por metro" será 0.05 : 100 = 0.0005V
En cambio el coeficiente de atenuación por metro es un "cociente" entre la tensión a
la distancia de un metro y la tensión al inicio.
"El coeficiente de atenuación por metro," α, será: (1 - 0,0005) / 1 = 0,9995
3.1.4.- COEFICIENTE DE REFLEXIÓN (ρ) EN UNA LÍNEA REAL
Estudiaremos el caso más general de una línea real cargada con una carga cualquiera
distinta de la impedancia característica
Debido a que no podemos distinguir entre Vif, Vrf, (puesto que en la salida sólo vemos
una señal formada por la suma vectorial de Vif y Vrf), veamos cómo podemos medir ρ previo
conocimiento de α.
En una línea real ρ = Z r Z o
Zr + Zo
y también : ρ =
Vr f
Vi f
Considerando una línea real, cargada con una Zr, tendremos que Vif ≠ Vrf
V
Por definición tenemos que:
ρ = rf
V if
Como hemos dicho estos valores están sumados al final de la línea y no podemos medirlos
directamente por separado.
Veamos de sustituirlos en función de los existentes al inicio de la línea, donde podemos
medirlos por separado.
Por una parte V ri= α l . V rf de donde V rf = V ri / α l
Por otra parte V if = α l . V ii
V ri
Luego
ρ=
1
V rf
= α l = 2 . V ri
V if α l .V ii α l V ii
Nota: No es correcto volver a sustituir α l por el valor dado en la fórmula del apartado 3.1.1,
pues los valores de Vri y Vii de dicho párrafo no son los mismos que los utilizados ahora en que
la carga es distinta. La αl es la hallada antes y las Vri y Vii son las actuales.
Capítulo 11. Línea de transmisión
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4.- REALIZACIÓN PRÁCTICA
El Generador funcionando en modo
simple, es importante respetar siempre el
siguiente criterio:
Rep. time > Duration > rise time + fall time
El ajuste de delay debe permanecer al
mínimo.
En funcionamiento en modo doble el
criterio debe ser:
Rep. time > delay > duration > rise time + fall
time.
Para hacer visibles los anteriores
resultados, una vez estudiado el funcionamiento del generador de impulsos, aplicaremos al cable
negro grueso (de 31,5 metros) los impulsos procedentes del generador tales como los de la
figura adjunta.
Fig. 11
Si la salida del generador la conectamos al cable y al osciloscopio, veremos que aparecen
en la pantalla los impulsos incidentes y los reflejados.
El tiempo de retardo vendrá dado por la fórmula:
τ=
espacio
2 veces la longitud del cable
=
velocidad
K ⋅c
Fig. 12
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 17
K es la constante de fase. Es la relación entre la velocidad en el cable ( c′ ) y la velocidad
en el vacío (c) = Velocidad de la luz = 300.000.000 m/seg. Por tanto, no puede ser nunca mayor
que la unidad.
K =
c′
c
Determina:
1º
La longitud del cable: l = λ / 4, basándose en las ondas estacionarias. Para ello
halla la frecuencia a la que se produce el ler mínimo, y calcula λ.
λ=
2º
velocidad de transmisión m/s
f (del 1er mínimo)
Halla la constante de fase K a partir de la longitud del cable y del tiempo de
retardo.
Nota: La velocidad de transmisión en un cable coaxial es de 2 x 108 m/s.
3º
Dibuja el oscilograma a escala en los siguientes casos:
a) para Zr = ∞
b) para Zr = 0
c) para el potenciómetro al máximo
d) para el potenciómetro al mínimo
4º
Halla la impedancia característica del cable.
5º
Mide el coeficiente de atenuación por metro (α), de cada uno de los cables:
a) con la línea abierta
b) con la línea adaptada
Nota: Dado que el pulso tiene todas las frecuencias múltiplo de la fundamental y que no
son atenuadas todas por igual, resulta que después de pasar por el cable el
pulso queda deformado. La parte menos atenuada corresponde a la
frecuencia fundamental. El coeficiente de atenuación hallado sólo será
correcto para esa frecuencia.
6º
Mide el coeficiente de reflexión para cada uno de los cables teniendo en cuenta que
se trata de una línea con pérdidas,
a) para una Zr = 85 ohmios
b) para una Zr = 30 ohmios
Dibuja los oscilogramas obtenidos al hacer las anteriores medidas.
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 18
7º
Calcula estos mismos coeficientes de reflexión a partir de la fórmula (2).
8º
Observa que la tensión al final de la línea, en los casos de circuito abierto es
aproximadamente el doble de la de la entrada.
9º
Utilizando una señal senoidal (generador de funciones) conectada al osciloscopio y
a un cable largo, observar como varía la tensión al variar la frecuencia. Explica el
porqué.
Deduce la longitud del cable (Ver figura 6), recordando que la onda estacionaria
presenta su primer mínimo de tensión para una frecuencia tal que su longitud de
onda eléctrica λ es 4 veces la longitud del cable:
de donde
Sabemos también que
λ=4l
l=λ/4
λ = c' / f
Donde c' es la velocidad de propagación en el cable. Para un cable coaxial es
aproximadamente:
c' ≈ 200.000.000 m/seg
que se corresponde con una K=0.66
Capítulo 11. Línea de transmisión
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5.- ANEXO: ESTUDIO TEÓRICO DE UNA LÍNEA
SIN PÉRDIDAS
Imaginemos una línea de conducción a través de la cual circula una onda senoidal (a)
figura 1, de amplitud constante, cuyo valor instantáneo de la tensión
Fig. 13
sería V = A _ e j ω t
Si nos ponemos a observarla en un punto cualquiera P veríamos que la amplitud varía
entre los valores A y -A, debido a que al avanzar se va desplazando la fase, tal como se indica
en las ondas (b y c). Por lo tanto a lo largo del tiempo podemos ver que la amplitud va variando
teniendo siempre un valor máximo en cualquier punto de la línea.
Consideremos el caso de una línea finita, en uno de cuyos extremos tenemos un generador
y en el otro una impedancia de carga Zr, que puede tomar valores entre cero e infinito.
La onda que llega a la carga, que llamaremos progresiva o incidente, podemos expresar la
tensión instantánea en función del tiempo mediante la ecuación:
jω t
⋅ e jβ x
Vi= A ⋅e
El termino e j β x tiene en cuenta la variación de fase con la distancia x, ya que la línea
puede considerarse formada por elementos inductivos y capacitivos, que son los que modifican
la fase a lo largo de la línea. (No tenemos en cuenta ahora el elemento resistivo que determina
las pérdidas de tensión, ya que hemos supuesto una línea sin pérdidas).
xß-
es la distancia de la carga al punto considerado.
es la "constante de fase", que se define como una medida del régimen, de acuerdo
con el cual la fase de la onda varía a medida que avanza a lo largo de la línea.
La onda progresiva al llegar al extremo de la línea se refleja para caminar en sentido
contrario. La onda reflejada podemos expresarla por la ecuación:
jω t
⋅ e-j β x
Vr= ρ A ⋅e
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 20
donde: ρ es el coeficiente de reflexión de la carga, y viene dado por una de las siguientes
ecuaciones:
ρ=Vr
Vi
ρ = Zr Zo
Z r + Zo
Siendo:
Z0 = a la impedancia característica de la línea, que es aquella impedancia para la
cual no existe onda reflejada.
Zr = a la impedancia con que está cargada la línea.
En el caso de una línea abierta Zr = infinita y ρ = 1
En el caso de una línea cortocircuitada Zr = 0 y ρ = -1
En todo momento la amplitud de la tensión en un punto de la línea vendrá dada por la
suma de las dos ondas, incidente y reflejada en ese punto. Por tanto:
jω t
jβ x
+ ρ e-j β x )
V t = A ⋅ e (e
Estudiemos la amplitud de esta onda en función de la distancia x a la carga.
Fig. 14
Supongamos que el generador emite una onda senoidal de amplitud constante A (Fig. 3).
Si en la anterior ecuación hacemos A ⋅ e j ω t = A′ y pasamos de la forma exponencial a
una suma de cosenos y senos, tendremos:
- Para onda incidente: vi = A' (cos ßx + j sen ßx)
- Para la onda reflejada:
vr = A' (ρ cos ßx - j ρ sen ßx)
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 21
1º.- Consideremos el caso en que Zr = ∞ ; ρ = 1
Vi = A' cos ßx + jA' sen ßx
Vr = A' ρ cos ßx - jA'ρ sen ßx
───────────────────────────
Vt = 2A' cos ßx + 0
Para x = 0 → V t = 2 ⋅ A = 2 ⋅ A e j ω t .
Lo que nos dice que la tensión máxima en el extremo de una línea abierta es el doble de la
del generador que ataca la línea, en el supuesto que estamos de que no hay pérdida en la línea.
En el caso de pérdidas vendría multiplicado por el factor de pérdidas α (siempre menor de 1).
Esto lo podemos representar vectorialmente en el campo complejo. La onda incidente
viene representada por el vector A , pues, para x = 0, cos ßx=1, y sen ßx= 0.
La onda reflejada, por las mismas razones, viene dada por A. Por lo tanto la suma sería la
magnitud 2 A.
En la 1, sería el valor máximo de la tensión en el punto B.
Veamos ahora la tensión en un punto anterior tal como el C.
El vector incidente, suponiendo que los vectores giran en el sentido contrario a las agujas
del reloj, estará situado antes, tal como en AC, y el vector de la onda reflejada un tiempo
después, tal como Ac´, tarda un tiempo para ir de C a B y volver de B a C.
La composición de los dos vectores nos dará un valor máximo menor tal como A1.
Del mismo modo si tomamos un punto anterior
D, el vector incidente estará en una posición anterior
tal como AD y el reflejado en AD'. Su composición nos
dará una amplitud máxima menor tal como A2.
Fig. 15
Tomando otro punto E, el vector incidente
estará en AE, y el reflejado en AE'. La composición es
cero. Si vamos tomando los puntos siguientes F, G, H,
I, J, K, L, M y unimos los extremos obtendremos una
senoide de la forma v = 2A . ejwt. Vemos que la
amplitud máxima a lo largo de la línea va variando,
presentando unos máximos (vientres) y unos mínimos
(nodos).
La distancia de nodo a nodo es de π radianes, o sea, de λ/2. Siendo λ la longitud de una
onda; que se define como la distancia a lo largo de la cual la onda ha modificado su fase en 2π
radianes.
Capítulo 11. Línea de transmisión
Consecuencia:
Página 22
En microondas se halla la longitud de onda, midiendo la distancia entre
dos máximos o dos mínimos próximos. Esto es, λ/2. Si se multiplica por 2 tendremos el valor de λ.
2º.- Veamos lo que sucede cuando la línea está cortocircuitada
En esta caso Zr = 0 y ρ = -1
Lógicamente la tensión en el extremo será cero. Pero la onda que incide, como sucede en
un punto cualquiera, va tomando valores diferentes. Pero como el factor de reflexión ρ es igual a
-1, la suma de la onda incidente y reflejada es cero, lo que significa que la onda reflejada está
en oposición de fase. Veamos:
Onda incidente
Vi = A' (cos ßx + j sen ßx)
Vr = A' (ρ cos ßx - ρ j sen ßx)
Onda reflejada
Como ρ = -1 queda:
Vi = A' cos ßx + A' j sen ßx
Vr =-A' cos ßx + A' j sen ßx
──────────────────────
Vt = 0 + 2 A' j sen ßx
Para x = 0 Vt = 2A' j 0 = 0
La onda incidente viene representada por el vector A (figura
4) pues el cos ßx = 1. Luego el módulo del vector representativo será A.
La onda reflejada tiene:
- A' cosßx = -1 y A' jsen ßx = 0.
Fig. 16
Luego el módulo del vector representativo será -A que está
en oposición de fase con el incidente. Si vamos tomando
puntos igual que antes tales como C, D, E, veremos que el
vector resultante va aumentando hasta un valor máximo de
2A.
Nota: Las figuras 1 y 1 aclararan mejor lo que pasa al sumarse la reflejada con la incidente.
3º.- En el caso que Zr = Z0
O sea, cuando la impedancia de carga es igual a la impedancia característica de la línea,
resulta que en la fórmula:
Capítulo 11. Línea de transmisión
Página 23
ρ = Zr Zo = 0
Zr + Zo
Lo que significa que el coeficiente es nulo, y toda la energía de la onda es absorbida por
la carga. La transmisión de potencia es máxima.
Veamos:
Vi = A' cos ßx + A' j sen ßx
Vr = A' ρ cos ßx - A' ρ j sen ßx
─────────────────────────
Vt = A' cos ßx + A' j sen ßx
Luego Vt = Vi (Como decíamos no hay onda reflejada).