campo electrostático

Física 2º Bacharelato
Electrostática
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
11/02/08
Nombre:
Problemas
5,0 cm
E
1. En la región comprendida
x
entre dos placas cargadas,
véase la figura, existe un
–
–
–
–
–
–
campo eléctrico uniforme de
2,0×104 N/C. Un electrón
penetra en esa región
pasando "muy" cerca de la
placa positiva (punto D de la
v0
figura) con una velocidad
D
37º
que forma un ángulo de 37°
+
+
+
+
+
+
con ella. La trayectoria que
describe es tangencial a la otra placa (se acerca tanto como podamos suponer, pero sin llegar a tocarla).
Halla:
a) La velocidad de entrada del electrón en dicha región.
[2 PUNTOS]
b) ¿Cuánto tiempo necesitará el electrón para pasar rozando la placa negativa, y qué distancia horizontal
habrá recorrido dentro de esa región?
[1 PUNTO]
DATOS: me = 9,1×10-31 kg, qe = -1,6×10-19 C. Tómese sen 37º=0,60; cos 37º = 0,80.
Solución
2. En los vértices de un triángulo equilátero de 5,00 cm de lado hay tres cargas de –2,00 nC cada una.
Calcula:
a) El campo electrostático en cualquier punto donde se encuentre una carga.
[1 PUNTO]
b) ¿Qué carga habría que situar en el centro del triángulo para que el conjunto quede en equilibrio?
[1 PUNTO]
c) Los trabajos necesarios para traer esa carga desde el infinito hasta el centro de un lado y desde ahí
hasta el centro del triángulo.
[1 PUNTO]
Datos: K = 9,00×109 N·m2·C-2
Solución
Cuestiones
1. ¿Es posible que en un punto del espacio la intensidad del campo eléctrico sea nula y el potencial eléctrico
tenga un valor finito distinto de cero? ¿Y que los dos sean nulos? Razona la respuesta.
[1 PUNTO]
Solución
2. Dos esferas conductoras huecas concéntricas están cargadas con una carga -Q la de radio R, y +Q la de
radio 2R. ¿En que punto el potencial eléctrico es nulo? A) exterior B) entre ambas C) interior.
[1 PUNTO]
Solución
3. Aplica el teorema de Gauss para comprobar que el campo eléctrico creado por un plano infinito con una
distribución σ uniforme de carga no depende de la distancia al plano
[1 PUNTO]
Solución
4. Comenta la afirmación «Las líneas de campo eléctrico no se cortan nunca», razonando si es verdadera o
falsa.
[1 PUNTO]
Solución
Soluciones
Problemas
5,0 cm
E
1. En la región comprendida
x
entre dos placas cargadas, véase
la figura, existe un campo
–
–
–
–
–
–
eléctrico uniforme de 2,0×104
N/C. Un electrón penetra en esa
región pasando "muy" cerca de
la placa positiva (punto D de la
figura) con una velocidad que
v0
forma un ángulo de 37° con
D
37º
ella. La trayectoria que describe
+
+
+
+
+
+
es tangencial a la otra placa (se
acerca tanto como podamos suponer, pero sin llegar a tocarla).
a) Halla la velocidad de entrada del electrón en dicha región.
b) ¿Cuánto tiempo necesitará el electrón para pasar rozando la placa negativa, y qué distancia horizontal
habrá recorrido dentro de esa región?
DATOS: me = 9,1×10-31 kg, qe = -1,6×10-19 C. Tómese sen 37º=0,60; cos 37º = 0,80.
EXAMEN
PROBLEMA1
PROBLEMA2
CUESTIÓN 1
CUESTIÓN 2
CUESTIÓN 3
CUESTIÓN 4
Rta.: a) v0 = 3,1×107 m/s b) t = 5,3×10-9 s; x = 0,13 m
Solución:
La partícula está sometida a un campo eléctrico E constante, que ejercerá una fuerza F también constante,
que producirá que la partícula se mueva con una aceleración a constante, por lo que su ecuación de
movimiento será:
r(t) = r0 + v0 t + ½ a t2
en la que r(t) es el vector posición en cualquier instante t, y v0 es la velocidad inicial de la partícula.
Eligiendo el sistema de referencia con origen en D, eje X horizontal positivo el de avance del electrón
(derecha) y eje Y vertical positivo hacia arriba, queda:
r = v0 (cos 37 i + sen 37 j) t + ½ a t2
(m)
La fuerza F ejercida por un campo eléctrico E sobre una carga q es
F = qE.
Por la 2ª ley de Newton,
FRESULTANTE = m a
a = F / m = qE / m = -1,6×10-19 C · 2,0×104 j N/C / 9,1×10-31 kg = -3,5×1015 j m/s2
r = v0 (cos 37º i + sen 37º j) t – 1,8×1015 j t2 = 0,80 v0 t i + (0,60 v0 t – 1,8×1015 t2) j m
Cuando la trayectoria es tangente a la placa superior, vy = 0 (máxima altura, la velocidad es horizontal) e
y = 0,050 m
v = dr / dt = 0,80 v0 i + (0,60 v0 – 3,5×1015 t) j m/s
0,60 v0 – 3,5×1015 t = 0
0,60 v0 t – 3,5×1015 t2 = 0
0,60 v0 t – 1,8×1015 t2 = 0,050
0,60 v0 t – 1,8×1015 t2 = 0,050
1,8×1015 t2 = 0,050
t = 5,3×10-9 s
v0 = 3,1×107 m/s
El punto donde el electrón pasa tangencialmente a la placa negativa dista del borde:
x = 0,80 v0 t = 0,80 · 3,1×107 [m/s] · 5,3×10-9 [s] = 0,13 m
2. En los vértices de un triángulo equilátero de 5,00 cm de lado hay tres cargas de –2,00 nC cada una.
Calcula:
a) El campo electrostático en cualquier punto donde se encuentre una carga.
b) ¿Qué carga habría que situar en el centro del triángulo para que el conjunto quede en equilibrio?
c) Los trabajos necesarios para traer esa carga desde el infinito hasta el centro de un lado y desde ahí hasta el
centro del triángulo.
Datos: K = 9,00×109 N·m2·C-2
EXAMEN
PROBLEMA1
PROBLEMA2
CUESTIÓN 1
CUESTIÓN 2
CUESTIÓN 3
CUESTIÓN 4
Rta.: a) EC = 1,25×104 N·C-1 y dirigida hacia el centro del triángulo. b) QD = 1,15×10-9 C
c) WEXT (∞→H) = –2,14×10-6 J; WEXT (H→D) = –2×10-8 J
Solución:
a) La intensidad del campo eléctrico en uno de los vértices (el superior) debido a la acción
de las otras dos cargas es, por el principio de superposición:
C
ECA
EC = ECA + ECB
La intensidad del campo eléctrico creado por cada carga Q, en un punto que dista r de ella
es:
ECB
EC
A
B
 = K Q2 
E
ur
r
−9
 CA =9,00×109 [ N·m2 ·C−2 ] −2,00×10 [C] cos 60 i sen 60 j=−3,60 i −6,24 j ×10 3 N·C−1
E
0,0500[ m ]2
Por simetría,
ECB = (3,60 i – 6,24 j )×103 N·C-1
La intensidad del campo eléctrico en C será:
EC = -1,25×104 j N·C-1
y, en general, será de valor:
│EC│ = 1,25×104 N·C-1
y dirigida hacia el centro del triángulo.
b) La intensidad del campo eléctrico en el centro del triángulo es nula por simetría, así que
cualquier carga situada en ese punto estará en equilibrio. Al colocar una cuarta carga en el
centro del triángulo, se hallará en equilibrio.
Si ahora todas las cargas han de encontrarse en equilibrio, la intensidad del campo eléctrico
en cada uno de los vértices ha de ser nula.
E’C = ECA + ECB + ECD = 0
4
ECD = 1,25×10 j N·C
-1
C
·D
A
B
La distancia entre D y C es:
r=
L /2 5,00 [cm]/ 2
=
=2,89cm=0,0289 m
cos 30
cos 30
9
2
QD
−2
9,00×10 [ N·m ·C ]
2
0,0289[ m ]
j=1,25×104 j N·C−1
QD = 1,15×10-9 C
c) El trabajo realizado por la fuerza del campo cuando se traslada una carga q desde un punto M hasta un
punto N es,
WCAMPO = q (VM – VN)
El potencial eléctrico en el punto H medio del lado AB es:
VH = VHA + VHB + VHC.
El potencial eléctrico en punto M que dista r de una carga puntual Q es
VM= K
Q
r
La distancia h entre H y C es,
h = L sen 60 = 4,33 cm = 0,0433 m

V H =9,00×109 [ N·m2 C−2 ] 2 ·

−2,00×10−9 [ C] −2,00×10−9 [ C]

=−1,86×103 V
0,0250[ m ]
0,0433[ m]
Como el potencial eléctrico en el infinito es nulo, V∞ = 0,
WCAMPO = QD (V∞ – VH) = 1,15×10-9 [C] ( 0 – (-1,86×103 [V]) ) = 2,14×10-6 J
WFUERZA EXTERIOR = –WCAMPO = –2,14×10-6 J
El potencial eléctrico en el centro D del triángulo es:

V D =V DA V DBV DC =3 9,00×109 [ N·m 2 C−2 ]

−2,00×10−9 [ C]
=−1,87×103 V
0,0289[ m]
Al mover la carga desde el centro del lado H hasta el centro del triángulo D
WCAMPO = QD (VH – VD) = 1,15×10-9 C ( -1,86×103 [V]– (-1,87×103 [V]) ) = 2×10-8 J
WFUERZA EXTERIOR = – WCAMPO = –2×10-8 J
Análisis: Con las cifras significativas de los datos, el resultado es solo aproximado con un error del 100%.
Cuestiones
1. ¿Es posible que en un punto del espacio la intensidad del campo eléctrico sea nula y el potencial eléctrico
tenga un valor finito distinto de cero? ¿Y que los dos sean nulos? Razona la respuesta.
EXAMEN
PROBLEMA1
PROBLEMA2
CUESTIÓN 1
CUESTIÓN 2
CUESTIÓN 3
CUESTIÓN 4
Solución:
EB
E
A
La intensidad de campo eléctrico es nula y el potencial eléctrico no lo es:
- En un punto interior a una esfera (hueca o maciza) conductora en equilibrio cargada con una carga Q, el
potencial eléctrico es constante e igual al que hay en la superficie de la esfera.
C
- En el centro de cualquier distribución simétrica de cargas iguales, por ejemplo en un D
cuadrado. El campo es nulo por simetría y el potencial es cuatro veces el creado por
una de las cargas.
ED
C
E
La intensidad de campo eléctrico es nula y el potencial eléctrico también lo es:
- En un punto del infinito.
- En el centro de cualquier distribución simétrica de cargas alternas, por ejemplo en un
cuadrado. El campo es nulo por simetría y el potencial ahora también al haber las
A
misma cantidad de cargas positivas que negativas a la misma distancia del punto.
B
2. Dos esferas conductoras huecas concéntricas están cargadas con una carga -Q la de radio R, y +Q la de
radio 2R. ¿En que punto el potencial eléctrico es nulo? A) exterior B) entre ambas C) interior.
EXAMEN
PROBLEMA1
PROBLEMA2
CUESTIÓN 1
CUESTIÓN 2
CUESTIÓN 3
CUESTIÓN 4
Solución: A
En un punto A exterior a una distancia d del centro de una esfera (hueca o maciza) conductora en equilibrio
cargada con una carga Q, el potencial eléctrico viene dado por la ecuación:
V =K
Q
d
como si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro.
En el punto A el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en A por cada esfera.
V A =V R  A V 2R  A =K
Q
−Q
K
=0
d
d
(La carga neta, vista desde el exterior de la esfera mayor, es nula, por lo que el potencial en el exterior
también lo es).
En un punto C interior a una distancia d < R del centro de una esfera (hueca o maciza) conductora en
equilibrio cargada con una carga Q, el potencial eléctrico es constante y vale lo mismo que en su superficie.
Si la esfera es de radio R
V =K
Q
R
En el punto B el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en B por cada esfera, teniendo en
cuenta que el punto B es exterior a la esfera menor e interior a la esfera mayor
V B =V R  B V 2R  B =K
que no es nulo porque d ≠ 2 R.
Q
−Q
K
≠0
d
2R
En el punto C el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en C por cada esfera, siendo el
punto C interior a ambas esferas
V C =V R C V 2R C =K
Q
−Q
K
≠0
R
2R
que no es nulo porque R ≠ 2 R.
3. Aplica el teorema de Gauss para comprobar que el campo eléctrico creado por un plano infinito con una
distribución σ uniforme de carga no depende de la distancia al plano
EXAMEN
PROBLEMA1
PROBLEMA2
CUESTIÓN 1
CUESTIÓN 2
CUESTIÓN 3
CUESTIÓN 4
Solución:
El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al
cociente entre la carga encerrada por dicha superficie dividido entre ε0.
=∯ 
E·d 
S=
Q ENCERRADA
0
Se dibuja un fragmento del plano infinito y el punto P donde se va a determinar el vector intensidad de
campo eléctrico.
E
1. A partir de la simetría de la distribución de carga en el plano, se ve
que la dirección del campo eléctrico en el punto P es perpendicular al
plano.
d
S
P
+
2. Se toma como superficie cerrada, un cilindro de radio arbitrario con
una de sus bases que pase por el punto P y la otra colocada
simétricamente con respecto al plano.
+
+
3. Se calcula el flujo a través de la superficie cerrada del cilindro,
sumando las contribuciones de cada parte:
- Flujo a través de cada una de las bases del cilindro: el campo E y el
vector superficie S son paralelos, por lo que:
+
+
+
+
S
+
+
+
+
+
+
+
+
S
E
E · dS = │E│·│dS│ = E · dS
El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la base:

 SB
 B =∬ 
E· d 
S=∬∣E∣·d
S =∣E∣·
para cada una de las bases.
- Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es perpendicular al vector superficie dS
superficie lateral, por lo que el producto escalar es nulo:
E · dS = 0
y el flujo a través de la superficie lateral es nulo.
- El flujo total es:
Φ = 2 │E│S
4. La carga que hay en el interior de la superficie cerrada es la que hay en una superficie S del plano igual al
area de las bases. Si hay una densidad de carga σ = Q / S constante,
QENCERRADA = σ · S
5. Aplicando el teorema de Gauss
Φ = QENCERRADA / ε0
igualando al flujo obtenido antes y despejando el módulo del campo eléctrico
│E│= σ / (2 ε0)
que es independiente de la distancia d del punto al plano.
4. Comenta la afirmación “Las líneas de campo eléctrico no se cortan nunca”, razonando si es verdadera o
falsa.
EXAMEN
PROBLEMA1
PROBLEMA2
CUESTIÓN 1
CUESTIÓN 2
CUESTIÓN 3
CUESTIÓN 4
Solución:
Es verdadera.
Un campo eléctrico es una magnitud vectorial que depende de las coordenadas y tiene un valor único
en cada punto.
Las líneas de campo eléctrico se dibujan de forma que son tangentes en cada punto al vector campo.
Si dos líneas de campo se cortasen, en el punto de corte habría dos vectores campo, cada uno
tangente a su linea. Pero eso no es posible por la definición de campo, que dice que tiene que tener un valor
único en cada punto.