Apunte de Varas Loyza Ibáñez - Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
73.06 Vibraciones de Estructuras
H. Varas
J. Loyza
A. C. Ibañez
Agosto 2001
73.06 Vibraciones de Estructuras
V I B R A C I O N E S
d e
E S T R U C T U R A S
1º parte del problema
•
La generación (causas)
Motores
Equipos Auxiliares
Hélice
Mar (olas)
Las vibraciones pueden clasificarse en perturbaciones:
§ Armónicas
§ Periódicas
§ Aleatorias
Un caso particular es el ruido. Para poder controlarlo hay toda clase de normativas.
Frecuencias Perturbadoras
Modificación del diseño estructural. Fn≠Fpert
Resonancia
Frecuencias Naturales
Creación de compensadores dinámicos
Disminución de la importancia
de las perturbaciones
Eliminación o
disminución de la intensidad de la fuente
Aislamiento de la fuente de Vibraciones
Las frecuencias que componen la perturbación dependen de donde se generen las mismas.
Por ejemplo, para frecuencias perturbadoras, en cuanto a motores dependemos de los datos que nos
pueden facilitar los fabricantes y también de algunas tablas.
En cuanto a las frecuencias naturales, el cálculo nos lleva a los miembros estructurales. Esto se realizará
mediante las fórmulas entregadas por los registros.
A la comparación de la frecuencia perturbadora frente a la natural lo llamamos “estudio de la
resonancia”.
Primero iremos de la estructura global para luego caer en los detalles.
2º Parte del Problema
¿Cómo reaccionan las estructuras?
Consiste en el cálculo de las frecuencias naturales de los miembros estructurales.
•
•
•
Ibañez / Loyza / Varas
Vigas
Paneles y paneles reforzados
Viga buque (cálculo aproximado)
FIUBA 2001
73.06 Vibraciones de Estructuras
Oscilador Simple
Se puede representar como un sistema Masa-Resorte
Y
∑ Fy = 0
∑ Fx = m ⋅ &x&
Ft
Fr
X
x
Con un resorte ideal,
Fr = −k ⋅ x
Estructuralmente, la constante del resorte k es la rigidez
m ⋅ &x& = Ft − k ⋅ x
x&& +
Ecuación diferencial típica
k
F
⋅x= t
m
m
Cuya solución se puede considerar como:
k
⋅x= 0
m
Solución de la Homogénea:
&x& +
Solución Particular:
x = f ( t)
Solución General:
XH
XP
XG = X H + XP
La solución propuesta por Euler:
X H 1 = c ⋅ e rt
X& H 1 = c ⋅ r ⋅ e rt
X&& H 1 = c ⋅ r 2 ⋅ e rt
Entonces:
k
e rt  r 2 +  = 0
m

Ecuación Característica
r 2 + wn2 = 0
donde
wn2 =
k
m
Entonces la pulsación natural:
Ibañez / Loyza / Varas
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wn =
k
= 2 ⋅ π ⋅ fn
m
donde
f n : frecuencia natural
Las soluciones de la ecuación característica:
r1, 2 = ± − wn2 = ± jwn
De acuerdo al teorema del Brownskiano, la solución de la homogénea es:
X H = X H1 + X H 2
X H 1 = C1 ⋅ e r1 ⋅ t
X H 2 = C 2 ⋅ e r2 ⋅t
X H = C1 ⋅ e r1 ⋅t + C 2 ⋅ e r2 ⋅t
X H = C1 ⋅ e j ⋅ wn ⋅t + C2 ⋅ e − j ⋅wn ⋅t
con:
e jα = cosα + j ⋅ senα
e − j α = cos α − j ⋅ senα
Entonces:
X H = C1 (cos wn t + j ⋅ senwn t ) + C 2 (cos wn t − j ⋅ senwn t )
X H = (C1 + C 2 ) ⋅ cos wn t + j ⋅ (C1 − C 2 ) ⋅ senwn t
Se propone como solución
A
B
− j⋅
2
2
A
B
C2 = + j ⋅
2
2
C1 =
C1 +C2 =A
C1 -C2 =-j B
X H = A ⋅ cos wn t + j ⋅ B ⋅ senwn t
Haciendo un cambio de coordenadas:
A = R ⋅ senϕ
B = R ⋅ cos ϕ
ϕ
R
A
B
Ibañez / Loyza / Varas
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X H = R ⋅ (senϕ ⋅ cos wn t + cos ϕ ⋅ senwn t )
X H = R ⋅ sen (wn t + ϕ)
Amplitud
Fase
¿De qué depende la amplitud de la fase?
En un movimiento libre, la amplitud y la fase dependen de las condiciones iniciales.
Como se verá en el dibujo, la amplitud R depende de la posición inicial del carrito y la fase depende de la
posición del carrito en el instante considerado como tiempo inicial.
Y
X
R
X H = R ⋅ sen (wn t + ϕ)
t
En el oscilador simple, el resultado de la Ecuación Característica (la raiz) es la Pulsación Natural
r1 = j ⋅ wn
r2 = − j ⋅ wn
wn : Pulsación Natural
wn = 2 ⋅ π ⋅ f n
f n : depende del sistema
r1 = j ⋅ wn
r2 = − j ⋅ wn
wn : Pulsación Natural
wn = 2 ⋅ π ⋅ f n
f n : depende del sistema
Dicho en otra forma, sin perturbación la frecuencia natural depende del sistema, o sea, de la rigidez y de
la masa.
Sin perturbación oscila según sus frecuencias naturales.
Cantidad de
Grados de Libertad
1
Frecuencias
Naturales
1
2
2
∞
∞
(Sistema continuo, una viga)
Ibañez / Loyza / Varas
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Entonces las más importantes son las de menor orden porque provocan las mayores amplitudes a igual
nivel de energía.
wn 1
wn 2
wn 3
f n1
f n2
f n3
Amplitudes mayores a igual
nivel de energía
Sistema de 1 grado de libertad
Oscilatorio Amortiguado
Caso A
Con Ft =0
(sin fuerza amortiguadora)
Sub-amortiguado
Oscilaciones libres Amortiguadas
Amortiguamiento Crítico
Sobre-Amortiguamiento
Caso B
Caso A más una fuerza
(A+Ft≠0)
δt
Ft
Ht
Sinusoides
Esquemáticamente un amortiguador se representa como:
Amortiguamiento Viscoso:
y
Superficie
plana
movil
δθ
x&
Aceite
fija
Ibañez / Loyza / Varas
h : espesor de la chapa
x
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Distribución real de velocidades
De la geometría de la figura se ve que:
tgδθ =
x& ⋅ δt
δy
En el caso de variaciones infinitesimales:
dθ dx&
=
dt dy
Como el esfuerzo es:
τ∝
∂θ
δt
τ = −µ⋅
dθ
dx&
= −µ ⋅
dt
dy
τ = − µ ⋅ ∇ x& ≅ − µ ⋅
x&
h
Donde µ es la constante de proporcionalidad, se llama coeficiente de viscosidad y tiene unidades de Masa
sobre longitud y tiempo.
[µ] = kg m ⋅ seg
τ=
Frvis cos a
Sup
Frvis cos a = −
= −µ⋅
x&
h
µ ⋅ Sup
⋅ x&
h
Con
µ ⋅ Sup
=B
h
Se puede asimilar al comportamiento de un resorte, donde:
Fresorte = −k ⋅ x
Como curiosidad, veamos el amortiguador de un automóvil
Gas Nitrógeno a presión
F
El amortiguador de auto
tiene un B1 para bajada y un
B2 para subida del émbolo.
La prueba se hace en un
Ciclador.
fuerza
v
x&
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Físicamente, amortiguar es disipar energía.
En el caso de grandes motores apoyados en una estructura, la pata tiene un resorte y un amortiguador
hecho de alambre de acero inoxidable. El acero inoxidable es un material de gran capacidad de absorción de
energía. Es muy resiliente.
Oscilación Libre
Oscilación Amortiguada
En el amortiguamiento, se reduce tanto la AMPLITUD como la FRECUENCIA de la onda.
La energía es función de la amplitud en forma directa y del cuadrado de la frecuencia.
Y
Ft
m
X
∑F
x
= m ⋅ &x& Ft − k ⋅ x − B ⋅ x& = m ⋅ &x&
&x& −
F
B
k
⋅ x& + ⋅ x = t
m
m
m
En el Caso A, la homogénea:
B
k
⋅ x& + ⋅ x = 0
m
m
&x& + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ x& + wn2 ⋅ x = 0
&x& +
Para resolver la ecuación diferencial, usaremos Laplace.
l ( Ft ) = Fs
o lo que es lo mismos
F(t ) ¬Fs
∞
l ( F(t ) ) = ∫ F( t ) ⋅ e − s ⋅t dt
0
v
}
− s ⋅t
l ( F(′t ) ) = ∫ F(′t ) ⋅ e dt
{
0
∞
u
Ibañez / Loyza / Varas
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Integrando por partes:
∫ v ⋅ du = u ⋅ v − ∫ u ⋅ dv
∞
∫ F(′ ) ⋅ e
t
− s ⋅t
⋅ dt = F(t ) ⋅ e
− s ⋅t
0
∞
+ ∫ F(t ) ⋅ s ⋅ e − s ⋅t ⋅ dt
0
∞
[
− s ⋅t
− s ⋅t
∫ F(′t ) ⋅ e ⋅ dt = F(t ) ⋅ e
]
∞
0
0
∞
+ s ⋅ ∫ F(t ) ⋅ e − s ⋅t ⋅ dt
0
Considerando condiciones iniciales nulas:
l ( F(′t ) ) = s ⋅ Fs
l ( F(′′t ) ) = s 2 ⋅ Fs + K
K
{
CI ⋅nulas
Entonces:
x&& + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ x& + wn2 ⋅ x = 0
s 2 ⋅ x( s ) + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s ⋅ x( s ) + wn2 ⋅ x( s ) = 0
(
)
x (s ) s 2 + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn2 = 0
1444
424444
3
Ecuación⋅Característica
En la resolución se simplifica el hecho de que B sea función de la velocidad. Esta forma de escribirlo es
para adimensionalizar, para parametrizar.
El parámetro ζ se llama factor de amortiguamiento.
Interpretamos al sistema con 1 grado de libertad: lineales y de coeficientes constantes
Fuerza
aplicada
Fs
Modificación del
grado de libertad
Xs
Gs
Gs: Transferencia en condiciones iniciales nulas
Cuando :
F(t ) ≠ 0
l(F( t ) ) = Fs
∑ F( ) = m ⋅ x&&
x
F(t ) − k ⋅ x − B ⋅ x& = m ⋅ x
Transformando:
B
k

Fs = m ⋅ x s ⋅  s 2 + ⋅ s + 
m
m

Fs
= m ⋅ s + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn2
xs
1
xs
m
=
Fs
s + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn2
(
(
Ibañez / Loyza / Varas
)
)
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Donde Xs es la transformada de Xt y Fs es la transformada de Ft en condiciones iniciales cero.
La transferencia es entonces:
1
m
(s + 2 ⋅ ζ ⋅ w
⋅ s + wn2
n
)
Para encontrarlo en las tablas matemáticas multiplico por k.
k
k ⋅ xs
m
=
Fs
s + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn2
(
xs
wn2
=
Fs
s + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn2
k
(
)
)
Longitud
xs
Fs
k
wn2 = 1
seg 2
Fuerza
Fuerza/longitud
Se ve entonces que es un adimensional.
O sea, es una fórmula matemática adimensionalizada.
1° Caso:
Ft = δ( t )
Impulso unitario
2° Caso:
Ft = A ⋅ δ(t )
Impulso de módulo A


Fs ⋅ wn2
x¬ l −1 ( xs ) = l −1 
2 
 k ⋅ s + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn 
(
)
1° Caso:
 A ⋅δ

wn2
x (t ) = l −1 
2 
 k s + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn 
(
x (t ) =
Ibañez / Loyza / Varas
)
con:
l − 1 (δ ) = 1

A −1 
wn2
l 
2 
k
 s + 2 ⋅ ζ ⋅ wn ⋅ s + wn 
(
)
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x (t ) =
A
⋅ sen( w ⋅ t + ϕ)
k
La amplitud depende del impulso
Impulso:
∆mv
0 Por CI nulas
}
A ⋅ δ = m ⋅ v f − m ⋅ vi
[∫ F ⋅ dt] = [F ] ⋅ [t ] = m t⋅ l ⋅ t  =  mt⋅ l 
2
vf =
2° Caso
3° Caso
Ibañez / Loyza / Varas
A
⋅δ
m
Si ξ =2, entonces es sobreamortiguado
Si ξ =1, entonces es crítico
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Viga a la flexión
Solución discreta
Parámetros Concentrados
La viga no tiene masa, solo rigidez
Agregando un amortiguador fícticio se
considera la viga en el 1º modo con un grado
de libertad.
Planteando el equilibrio
ft
ft
m
con
k
m
ωn
B . x'
x''
k . x m x''
B.
m
x'
k.
m
x
2
2
ω n .f t
k
x''
2 . ζ . ω n . x'
2
ω n .x
¿Cuanto vale la rígidez k del resorte?
k
esfuerzo
P
deformación f
3
P .l
f
3 .E .J
k
3 E .J
3
l
Ibañez / Loyza / Varas
3 representa condiciones de vínculo
E el material
J geometría de la sección
l geometría de la barra
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ωn
2
k 3 E .J
m
3
m .l
entonces la frecuencia natural
fn
1 . 3 E .J
2 π m . l3
m es la masa del sistema, que en el caso de un buque está definido por:
+ masa debida a la estructura
+ volumen de carena
+ masa de agua adicional
Ibañez / Loyza / Varas
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Vibraciones
Son funciones de la geometría de la pieza. Cuando la pieza es complicada es más difícil.
Al aumentar el modo, aumenta también el número de nodos. Un nodo es un punto que no se mueve.
En el buque, tenemos la viga buque (viga libre)
Cálculo en los registros
En algunas chapas de la zona del codaste se cálcula hasta el 5to modo.
Ibañez / Loyza / Varas
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Ahora vamos a analizar un sistema de 2 grados de libertad sin rozamiento de torsión.
Primero vamos a analizar la rigidez a la torsión.
τ = G ⋅γ
Ibañez / Loyza / Varas
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γ
θ
En torsión KT =
KT =
JP =
M G⋅R
=
⋅ WP
θ
l
donde
K T es la rigidez a la torsión
G ⋅ R π ⋅ R3 G π ⋅ R 4 G
⋅
= ⋅
= ⋅ JP
l
2
l
2
l
2 ⋅π R
∫
3
∫ r ⋅ ∂ϕ ⋅ ∂r = 2 ⋅ π ⋅
0 0
R4 π ⋅ R4
=
4
2
A mayor longitud se hace menor el KT.
El momento de inercia polar es el que mejor describe la rigidez
Existen programas como el NISAN, NASTRAN, ALGOR.
γ ⋅ l = R ⋅θ
ϑ
ϑ
Vamos a ver un sistema de 2 masas rotantes.
En la primer etapa se analizará el problema sin rozamiento.
Análisis de giros.
Ibañez / Loyza / Varas
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θ
1
θ
θ
2
∑M
1
= J 1 ⋅ θ&&1 = M t1 − K1 ⋅ θ1 − K 2 ⋅ (θ1 − θ2 )
123
Momento
Elástico
∑M
2
= J 2 ⋅ θ&&2 = M t 2 − K 2 ⋅ (θ 2 − θ1 )
Viendo los dos términos de K2 en ambas ecuaciones, vemos que se cumple el principio de acción y reacción, siempre y
cuando no se considere la masa. Es decir que se considere despreciable. Los ejes no consumen inercia.
Acá es donde se aplica el teorema de la derivada, y transformamos estas dos ecuaciones. El motivo es que vamos a
poder operar algebraicamente.
J 1 ⋅ s 2 ⋅ θ1 S + K1 ⋅ θ1 S + K 2 ⋅ θ1 S − K 2 ⋅ θ2 S = Mt1 S
Sacando factor común θ1S
θ1 S ⋅ (J 1 ⋅ s 2 + K1 + K 2 ) − K 2 ⋅ θ2 S = Mt1 S
J 2 ⋅ s 2 ⋅ θ2 S = Mt 2 S − K 2 ⋅ (θ 2 S − θ1 S )
− θ1 S ⋅ K 2 + θ 2 S ⋅ (J 2 ⋅ s 2 + K 2 ) = Mt 2 S
Entonces las ecuaciones quedan como:
 a11 ⋅ θ1 S + a12 ⋅ θ2 S = Mt1 S

a 21 ⋅ θ1 S + a 22 ⋅ θ2 S = Mt 2 S
con :
(
a 11 = J 1 ⋅ s 2 + K1 + K 2
a 12 = − K 2
a 21 = − K 2
(
a 22 = J 2 ⋅ s 2 + K 2
Ibañez / Loyza / Varas
)
)
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Se ve que es una matriz simétrica.
∆=
a11
a 21
a 21
a22
Entonces
Mt 1 S
θ1 S =
a 21
Mt 2 S a 22
a11 a 21
a21 a 22
a11
θ2 S =
Mt 1 S
a21 Mt 2 S
a11 a21
a21 a 22
Una situación especial se presenta cuando los momentos Mt1 y Mt 2 son nulos, entonces me queda un sistema
homogéneo, con lo cual nos quedaría la ecuación característica del sistema.
s1 = s 2 = ...... = si = − j ⋅ wi
pulsación natural.
Vemos que las raíces son las frecuencias naturales.
Ejercicio
Datos
 Mt1 S = 0
 Mt = 1
 2S
 h(δt ) = 1
 φ = 50mm
 L1 = 500mm

 L2 = 0,5 ⋅ L1

Kgf
G = 800.000 2

cm
Con estos datos :
 J 1 = J 2 ≅ 61.360mm4

Kgf
 K1 = 981760

mm

Kgf
 K 2 = 1963520

mm
Ibañez / Loyza / Varas
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Entonces
Kgf 
a 11 =  61360 mm4 ⋅ s 2 + 2745280

mm 

Kgf
a 12 = −1963520
mm
Kgf
a 21 = −1963520
mm
Kgf 

a 22 =  61360 mm4 ⋅ s 2 + 1963520

mm 

2
a11 a 21
9
8 4
11
4 2
12  Kgf 
∆=
= 3,76 × 10 mm s + 2,9 × 10 mm s + 5,4 × 10 

a 21 a 22
 mm 
Las raíces del determinante dan las frecuencias naturales cuando se iguala a cero.
∆1 =
Mt1 S
Mt 2 S
∆2 =
a11
a12
a21
Kgf
= 1963520
a22
mm
Mt 1 S
Kgf
= 61360mm4 ⋅ s 2 + 2745280
Mt 2 S
mm
1963520
θ1 S =
θ2 S =
Kgf
mm
 Kgf 
3,76 ×10 9 mm8 s 4 + 2,9 × 1011 mm4 s 2 + 5,4 × 1012 

 mm 
61360mm 4 ⋅ s 2 + 2745280
2
Kgf
mm
 Kgf 
3,76 × 10 mm s + 2,9 ×10 mm s + 5, 4 ×10 

 mm 
9
Ibañez / Loyza / Varas
8
4
11
4
2
2
12
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Sistema de dos masas rotativas
__________________________________________________________________
TOL
10
11
__________________________________________________________________
φ
50
mm
M t1
0
kN . mm
M t2
1000
kN . mm
l1
500
mm
l2
0.5 . l 1
mm
G
kN
78.40
mm
2
__________________________________________________________________
radio
r
φ
2
Inercia Polar
4
Jp
π .r
5
J p = 6.136 10
2
Rígidez a la torsión
G.
Jp
l1
k t1
4
k t1 = 9.621 10
G .
Jp
k t2
5
k t2 = 1.924 10
l2
__________________________________________________________________
Definición de la matriz de solución
sx sx
A
a 11
J p .s x
a 21
k t2
2
k t1
k t2
a 12
k t2
a 22
J p .s x
2
B=
a 21 a 22
A
91875.0 . π
61250.0 . π
Ibañez / Loyza / Varas
M t2
k t2
a 11 a 12
390625 . . 2
π sx
2
M t1
B
0
3
1 10
61250.0 . π
390625 . . 2
π sx
2
61250.0 . π
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solución al problema en función de Sx
61250000.0
π.
152587890625 .
4
1.
A B
1000 .
sx
4
29907226562.5 . s x
195312.5 . s x
π . 38146972656.25 . s x
4
2
2
1875781250.0
91875.
29907226562.5 . s x
2
1875781250.
Igualando el determinante de la matriz A a cero se obtiene la ecuación de compatibilidad, las
raíces Sx de este polinomio serán las frecuencias naturales del sistema.
152587890625 . 2 . 4
π sx
4
A
2
2
29907226562.5 . π . s x
2
4
38146972656.25 . π . s x
A collect , s x
2
4
38146972656.25 . π . s x
pepe s x
1875781250.0 . π
2
2
29907226562.5 . π . s x
2
2
29907226562.5 . π . s x
2
1875781250.0 . π
1875781250.0 . π
2
2
create the coefficient vector
c4
38146972656.25 . π
T
c =
2
c2
29907226562.5 . π
10
11
1.851 10
0 2.952 10
2
c0
1875781250.0 . π
2
11
0 3.765 10
and then call polyroots
r
polyroots( c )
0.846i
r=
0.846i
0.262i
0.262i
Ibañez / Loyza / Varas
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73.06 Vibraciones de Estructuras
Método de Rayleigh o Teorema de la Energía Mecánica
Ejemplo del Resorte
Resorte considerado sin masa o con magnitud despreciable
frente a la masa del móvil.
Se consideran PARÁMETROS CONCENTRADOS
T
Energía Cínetica
V
Energía Potencial
T
T
1
2
m . ( δX )
2
X
V
V Cte
X
Fd x
0
kxd x k .
0
X
2
2
Suponemos que no existe rozamiento
ζ
0
µ
0
Luego no existen Pérdidas, por lo tanto el trabajo es conservativo y se puede asegurar:
1
2
m . ( δX )
2
k.
X
δX 0
Si
X 0
V Cte
2
2
EM Total
La energía mecánica total
T es mínima y V máxima
V máx EM total
Cuando
T
1.1
T es máxima y V es mínima
T máx EM total
1.2
Si ahora suponemos
X Χ . sen( ω . t )
δX ω . Χ . cos( ω . t )
2
δ X
2
ω . Χ . sen( ω . t )
entonces
cuando
sen( ω . t ) 1
cos( ω . t ) 1
Ibañez / Loyza / Varas
X máx( t ) Χ
δX máx( t ) ωΧ
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73.06 Vibraciones de Estructuras
de 1.1 y 1.2 se tiene
V máx T máx
1 . . 2 1 . . 2. 2
kΧ
m ω Χ T máx
2
2
V máx
simplificando se tiene
ω
k
2
Pulsación Natural para un resorte de masa despreciable (frente a
m) y sin rozamiento.
m
Se considera ahora la masa del resorte.
Se consideran PARÁMETROS DISTRIBUIDOS
La FORMA DE MODO, es decir la ley de
deformación se considerará lineal
La energía cinética para la masa M es:
TM
1. .
2
M δX t
2
y la máxima
1 . . 2. 2
Mω Χ
2
T M.máx
Si ahora analizamos el resorte
l
T resorte
el diferencial de masa del resorte tiene en
cuenta su longitud
Mr
. dc
dm resorte
l
1d T resorte
0
con
dT resorte
1.
2
2
dm resorte . δX c
1.
2
dm resorte .
l
λ
masa por unidad de
longitud
2
c . 2
δX
2
l
Xc c
X
Mr
Es una función de c, la posición.
l
Xc
δX c
c.
l
c.
l
X
δX
χ
c
l
Es la coordenada interna del miembro elástico
alrededor del cual se describe la deformación al
vibrar.
Se le llama Forma de Modo
Fracción Modal en este caso particular
l
T resorte
Ibañez / Loyza / Varas
dT
2
1 .c . 2
δX d m resorte
2 l2
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resorte
resorte
2 l2
0
l
T resorte
1 .M r.
3
2 l
2
δX . c d c
T resorte
1 .M r.
2 3
X
2
0
1 .M r.
T resorte.máx
2 3
como
2
ω Χ
2
V máx T máx
1 .M r.
1 . . 2 1 . . 2. 2
kΧ
Mω Χ
2
2
2 3
2
ω Χ
2
simplificando se llega a
la expresión de la
frecuencia natural
ω
k
2
M
M
Mr
Mr
3
masa equivalente
3
Ejercicio
Consideramos la elástica de una viga empotrada
con una fuerza concentrada en el extremo para el
análisis del problema.
Se necesita una ecuación tal que cumpla con las
siguientes condiciones de borde esenciales.
y c( 0 ) 0
y c( l ) y máx Y
Y
y máx
y' c( 0 ) 0
Proponemos la siguiente ecuación
y c( 0 )
0
y c( l )
y máx
d
dc
y c( 0 )
y c( c )
1
cos
c.π
l 2
.y
máx
Cumple con las condiciones de borde
0
Definimos la forma de modo
λ
Ibañez / Loyza / Varas
Mv
l
χ
y c( c )
χ
Y
dm viga
λ . dc
1
cos
1 .c.
2 l
π
y
. máx
Y Y
y máx
se define el diferencial de masa
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l
1 . . 2. 2
λ χ δY d c
2
T viga
1.
T viga
4
2
2 δY
8 ) . M v . y máx .
2
π .Y
( 3 .π
0
Cuando la energía cinética del resorte sea máxima
δY
con
ω .Χ
1.
T viga.máx
4
3.
T viga.máx
como
1. . 2
kΧ
2
1. 2
simplificando
Χ
2
EM
1.
2
Χ
solve , ω
2
1 . . 2. 2
Mω Χ
2
2
δY
2
π
2
π
2 Χ
2 .M v .ω .
π
y máx
2 .k .
T viga.máx
8 .M v
3
P viga . l
3 . E i .J
8 E i .J
1.
3
y máx collect , l , J , E i
P
π
.
3 M v .π
2 .M .π
P .l
3
P viga
el desplazamiento máx en el extremo
1.
P
8
P viga
E i .J
. l3
k collect , l , E i , J
y máx
1.
3
2 .k .
ω
4
8 ) .M v .
V máx T máx
EM
k
( 3 .π
2
( 3 .π
π
.
8) M
ω collect , J , l , E i , M v
v
P viga
P
1.
8
P viga
2.
1.
E
.J . i
3
l
Frecuencia natural para el caso de la viga con
una fuerza concentrada en el extremo
2 .M .π
3
Ibañez / Loyza / Varas
P
P
P viga
P
1.
8
P viga
.
π
( 3 .π
8 ) .M v
E
. i .J
2 . M . π l3
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Método de Rayleigh
También llamado teorema de la Energía Mecánica.
En primer lugar vamos a tratar un ejemplo en el cual tenemos un resorte unido a una masa, con y sin masa
del resorte.
PARAMETROS CONCENTRADOS.
T + V = cte
Siendo “T” la Energía Cinética, y “V” la energía Potencial.
T=
• 2
1
⋅m⋅x
2
x
x
x2
V = − ∫ F ⋅ dx = ∫ (− k ⋅ x ) ⋅ dx = k ⋅
2
0
0
En principio vamos a suponer que ξ = 0, y el coeficiente de rozamiento µ = 0, es decir estamos en el caso
que no hay pérdidas, entonces el campo es conservativo, entonces T + V = cte.
• 2
1
x2
⋅m⋅x + k ⋅
= ∆EM TOTAL
2
2
•
Cuando x = 0 entonces T es mínima y V es máxima. Es decir que:
VMAX = ∆EMTOTAL
Cuando x = 0 entonces T es máxima y V es mínima. Es decir que:
TMAX = ∆EM TOTAL
Supongamos:
x = X ⋅ sen (w ⋅ t )
•
x = w⋅ X ⋅ cos(w ⋅ t )
••
x = − w2 ⋅ X ⋅ sen(w ⋅ t )
Ibañez / Loyza / Varas
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•
Cuando sen (w ⋅ t ) = 1 entonces x (t )MAX = X y cuando cos (w ⋅ t ) = 1 entonces x (t )MAX = w ⋅ X .
Con lo cual VMAX = TMAX.
1
1
⋅ k ⋅ X 2 = ⋅ m ⋅ w2 ⋅ X 2 = TMAX
2
2
VMAX =
simplificando
1
⋅X2
2
k = m ⋅ w2
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
w2 =
k
m
Todo este cálculo se basó en que no había rozamiento y que la masa del resorte era muy chica comparada
con la masa en el extremo, por eso se despreció.
PARAMETROS DISTRIBUIDOS.
Ahora si se tendrá en cuenta la masa del resorte.
La forma de Modo será función de la ley de deformación lineal.
La Energía Cinética máxima de la carga concentrada será la misma que la de antes, la única diferencia es que
la energía cinética del resorte no será cero, ya que ahora no despreciamos la masa.
La Energía mecánica será la misma que la calculada antes.
l
TRES = ∫ dTRES
0
Ibañez / Loyza / Varas
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dm RES =
M RES
⋅ dc
l3
12
λ
siendo λ : masa por unidad de longitud
Por igualdad triangular.
xC x
c
= ⇒ xC = ⋅ x = χC ⋅ x
c
l
l
χC =
c
l
Esta variable es función de “c”. Es la coordenada interna del miembro elástico alrededor de la cual describo
la deformación al vibrar. Forma de Modo.
En este caso “c / l” es la fracción modal.
dTRES =
• 2
1
1
c2 • 2 1 M
c2 • 2
dmRES ⋅ x C = ⋅ dmRES ⋅ 2 ⋅ x = ⋅ RES ⋅ 2 ⋅ x ⋅ dc
2
2
l
2
l
l
l
l
0
0
TRES = ∫ dTRES = ∫
1
c2 • 2 l 1
c2 • 2
⋅ dmRES ⋅ 2 ⋅ x = ∫ ⋅ M RES ⋅ 3 ⋅ x ⋅ dc
2
l
2
l
0
Con lo cual
• 2
TRES
1 M ⋅x
= ⋅ RES
2
3
Y la Energía Cinética del resorte máxima será:
TRES =
1 M RES
⋅
⋅ w2 ⋅ X 2
2
3
Ahora volviendo a calcular la ∆EM TOTAL
∆EM TOTAL = TMAX = VMAX
1
1
1 M
⋅ k ⋅ x 2 = ⋅ m ⋅ w2 ⋅ x 2 + ⋅ RES ⋅ w 2 ⋅ x 2
2
2
2
3
Ibañez / Loyza / Varas
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1 2
⋅x
2
M


k =  m + RES  ⋅ w 2
3 

simplificando
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
k
M


 m + RES 
3 

M


siendo m + RES  : la masa equivalent e
3 

w2 =
Vamos a considerar ahora otro ejemplo, el de una viga empotrada con una masa en el extremo.
Al igual que antes no se considerará el rozamiento. Primero se efectuarán los cálculos para una masa “m”
muy grande con respecto a la masa de la viga, con lo cual podremos despreciar la masa de la viga “MV”.
PARAMETROS CONCENTRADOS.
T + V = cte
Siendo “T” la Energía Cinética, y “V” la energía Potencial.
• 2
1
T = ⋅m⋅ y
2
y
y
0
0
V = − ∫ F ⋅ dy = ∫ (− k ⋅ y ) ⋅ dy = k ⋅
y2
2
En principio vamos a suponer que ξ = 0, con lo cual el coeficiente de rozamiento µ = 0, es decir estamos en
el caso que no hay pérdidas, entonces el campo es conservativo, entonces T + V = cte.
• 2
1
y2
⋅m⋅ y = k⋅
= ∆EM TOTAL
2
2
•
Cuando y = 0 entonces T es mínima y V es máxima. Es decir que:
VMAX = ∆EMTOTAL
Cuando y = 0 entonces T es máxima y V es mínima. Es decir que:
TMAX = ∆EM TOTAL
Ibañez / Loyza / Varas
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Supongamos:
y = Y ⋅ sen (w ⋅ t )
•
y = w ⋅ Y ⋅ cos( w ⋅ t )
••
y = −w 2 ⋅ Y ⋅ sen (w ⋅ t )
•
Cuando sen (w ⋅ t ) = 1 entonces x (t )MAX = Y y cuando cos (w ⋅ t ) = 1 entonces x (t )MAX = w ⋅ Y .
Con lo cual VMAX = TMAX.
VMAX =
1
1
⋅ k ⋅ Y 2 = ⋅ m ⋅ w2 ⋅ Y 2 = TMAX
2
2
simplificando
1 2
⋅y
2
k = m ⋅ w2
y sabiendo que el desplazamiento máximo es
Y=
P ⋅l3
3⋅ E ⋅ J
entonces
k=
P
YMAX
=
P
3⋅ E ⋅ J
=
3
P ⋅l
l3
3⋅ E ⋅ J
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
w2 =
3⋅ E ⋅ J 1
⋅
l3
m
Todo este cálculo se basó en que no había rozamiento y que la masa de la viga era muy chica comparada con
la masa en el extremo, por eso se despreció.
PARAMETROS DISTRIBUIDOS.
Alternativa 1, aproximando la geometría de la deformación
Ibañez / Loyza / Varas
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Ahora si se tendrá en cuenta la masa de la viga para el cálculo. Además se aplicará el principio de
superposición para el cálculo de la flecha, y se cambiará la ecuación de la elástica por otra función parecida.
La Energía Cinética máxima de la carga concentrada será la misma que la de antes, la única diferencia es que la energía cinética de la viga no será
cero, ya que ahora no despreciamos la masa.
La Energía mecánica será la misma que la calculada antes.
l
TVIGA = ∫ dTVIGA
0
dmVIGA =
M VIGA
⋅ dc
l3
12
λ
Se necesita una fórmula en la cual, para
y C = 0 → y = 0 que sería el valor correspond iente a la flecha en el empotramiento.
y C = l → y = y MAX = Y que sería el valor correspond iente a la flecha en el extremo de la viga.
Se propone la función, (1 − cos α) , entonces

 c π 
y C = 1 − cos ⋅   ⋅ Y = χC ⋅ Y
 l 2 


 c π 
χC = 1 − cos  ⋅  
 l 2 

Entonces
2
dTVIGA
2
• 2
1
1

1 M
 c π  •
= dmVIGA ⋅ Y C = ⋅ dmVIGA ⋅  1 − cos ⋅   ⋅ Y = ⋅ VIGA
2
2
2
l
 l 2 

l
TVIGA = ∫ dTVIGA
0
TVIGA
TVIGA
2
2
l
1

1 M
 c π  •
= ∫ ⋅ dmVIGA ⋅ 1 − cos  ⋅   ⋅ Y = ∫ ⋅ VIGA
2
2
l
 l 2 

0
0
l
2
2

 c π  •
⋅  1 − cos ⋅   ⋅ Y ⋅ dc
 l 2 

2
2

 c π  •
⋅ 1 − cos ⋅   ⋅ Y ⋅ dc
 l 2 

2
2
1 M VIGA • 2 l 
1 M VIGA • 2 l 
 c π 
 c π    c π   
= ⋅
⋅ Y ⋅ ∫ 1 − cos  ⋅   ⋅ dc = ⋅
⋅ Y ⋅ ∫ 1 − 2 ⋅ cos ⋅  +  cos  ⋅   ⋅ dc

2
l
2
l
 l 2 
 l 2    l 2   
0
0
1 M
= ⋅ VIGA
2
l
Ibañez / Loyza / Varas
(

l
 c l sen π ⋅ c
2⋅l
c π
l


l
⋅ Y ⋅ c 0 − 2 ⋅
⋅ sen  ⋅  +  + ⋅
π
l
2
2
π
2


0


• 2
) 


 
 0 
l
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TVIGA =
1 M VIGA
 4⋅l l  1  3 4 
⋅
⋅ Y ⋅ l −
+  = ⋅  −  ⋅ M VIGA ⋅ Y
2
l
π
2 2  2 π 

• 2
• 2
Con lo cual
TVIGA
• 2
1 3 4
= ⋅  −  ⋅ M VIGA ⋅ Y
2 2 π
Y la Energía Cinética del resorte máxima será:
TVIGA =
1 3 4
⋅  −  ⋅ M VIGA ⋅ w 2 ⋅ Y 2
2 2 π
Ahora volviendo a calcular la ∆EM TOTAL
∆EM TOTAL = TMAX = VMAX
1
1
1 3 4
⋅ k ⋅ Y 2 = ⋅ m ⋅ w 2 ⋅ Y 2 + ⋅  −  ⋅ M VIGA ⋅ w2 ⋅ Y 2
2
2
2 2 π
1 2
⋅Y
2


3 4 
k =  m +  −  ⋅ M VIGA  ⋅ w2 = (m + 0, 22676 ⋅ M VIGA ) ⋅ w2
2 π


simplificando
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
k
(m + 0,22676 ⋅ M VIGA )
siendo (m + 0,22676 ⋅ M VIGA ) : la masa equivalent e
w2 =
pero la rigidez “k” no es la de antes
y sabiendo que el desplazamiento máximo es
Y=
P ⋅ l 3  P PVIGA  l 3
P ⋅l3
+ VIGA
= +
⋅
3⋅ E ⋅ J 8⋅ E ⋅ J  3
8  E⋅J
entonces
k=
P + PVIGA
P + PVIGA
( P + PVIGA ) 24 ⋅ E ⋅ J
=
=
3
YMAX
(8 ⋅ P + 3 ⋅ PVIGA ) l 3
 P PVIGA  l
 +
⋅
8  E⋅J
3
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
w2 =
( P + PVIGA )
24 ⋅ E ⋅ J 1
⋅
(8 ⋅ P + 3 ⋅ PVIGA ) l 3
m
Ibañez / Loyza / Varas
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Alternativa 2, utilizando la ecuación de la elástica:
Ecuación de la flecha para una viga empotrada con carga distribuida:
i).-
yc = −
q
⋅ (6 ⋅ l 2 ⋅ x c2 − 4 ⋅ l ⋅ x c3 + x c4 )
⋅
⋅
24 E I
yc = −
q
⋅ (3 ⋅ l ⋅ x c2 − x c3 )
6⋅E⋅I
Análisis de la viga
Cuando:
xc = 0 ⇒ Y = 0
xc = l ⇒ Y = −
(
)
(
q
⋅ 3 ⋅ l 4 = A⋅ 3⋅ l 4
24 ⋅ E ⋅ I
(
xc
y
A/ ⋅ 6 ⋅ l 2 ⋅ x c2 − 4 ⋅ l ⋅ x c3 + x c4
= c =
x
Y
A/ ⋅ 3 ⋅ l 4
yc =
)
)
xc
⋅ Y ⇒ ℵc ⋅ Y
x
ℵc
donde
(
)
(6 ⋅ l
=
2
⋅ x c2 − 4 ⋅ l ⋅ x c3 + x c4
3⋅l4
(
)
)
Entonces
dTviga
M
M
= 1 2 ⋅ dM v ⋅ Y& = 12 ⋅ v ⋅ ℵ2c ⋅ Y& 2 ⋅ dx = 12 ⋅ v
l
l
2
(
(
M  x 8 − 8 ⋅ l ⋅ x c7 + 4 ⋅ l 2 ⋅ x c6 − 24 ⋅ l 3 ⋅ xc5 + 36 ⋅ l 4 ⋅ xc4
dTviga = 1 2 ⋅ v ⋅  c
l 
9⋅l8
(
)
)
2
 6 ⋅ l 2 ⋅ xc2 − 4 ⋅ l ⋅ xc3 + xc4 
2
⋅
 ⋅ Y& ⋅ dx
4
3⋅l


(
)Y&


)
2
⋅ dx
l
l
M
Tviga = ∫ dTviga = 12 ⋅ v9 ⋅ Y& 2 ⋅ ∫ x c8 − 8 ⋅ l ⋅ xc7 + 4 ⋅ l 2 ⋅ xc6 − 24 ⋅ l 3 ⋅ xc5 + 36 ⋅ l 4 ⋅ x c4 ⋅ dx
0
0
9⋅l
Tviga
M
= 1 ⋅ v9 ⋅ Y& 2
2 9⋅l
 x 9 8 ⋅ l ⋅ xc8 4 ⋅ l 2 ⋅ x c7 24 ⋅ l 3 ⋅ x 6c 36 ⋅ l 4 ⋅ x 5c
⋅  c −
+
−
+
9
8
7
6
5

l

M
908 9
 = 1 ⋅ v9 ⋅ Y& 2 ⋅
⋅l
2
9
⋅
l
315
0
908
Tviga = 1 2 ⋅
⋅ M v ⋅ w2 ⋅ Y 2
2835
Ibañez / Loyza / Varas
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ii).-
Análisis de la carga
Cuando:
xc = 0 ⇒ Y = 0
xc = l ⇒ Y = −
(
(
xc
y
A/ ⋅ 3 ⋅ l ⋅ x c2 − xc3
= c =
x
Y
A
/ ⋅ 2⋅l3
yc =
)
(
q
⋅ 2 ⋅ l 3 = A⋅ 2 ⋅ l3
6⋅ E ⋅ I
(
)
)
)
xc
⋅ Y ⇒ ℵc ⋅ Y
x
donde
3 ⋅ l ⋅ x c2 − xc3
ℵc =
2⋅l3
Entonces
ℵl = 1
TM = 12 ⋅ m ⋅ w2 ⋅ Y 2
De acuerdo al Teorema de Raleigh
1 ⋅ 908 ⋅ M v ⋅ w 2 ⋅ Y 2 + 1 ⋅ m ⋅ w 2 ⋅ Y 2 = 1 ⋅ K ⋅ Y 2
2 2835
2
2
Simplificando 1 ⋅ Y 2
2
K = m ⋅ w2 +
908
M v ⋅ w2
2835
908
K =  m +
⋅ M v  ⋅ w 2
2835


luego despegando “w”, pulsación natural, se obtiene:
w2 =
K
(m + 0,32028 ⋅ M v )
siendo (m + 0,32028 ⋅ M v ) : la masa equivalente.
La discusión sobre el valor de la constante de rigidez es igual que en la alternativa 1.
Dividiendo en décimos la luz de viga, podemos establecer la siguiente comparación entre el χ c aproximado y
el χ c calculado a partir de la elástica.
Ibañez / Loyza / Varas
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COMPARACIÓN ENTRE LA
APROXIMACIÓN Y LA ESLÁSTICA
1.2
1
Xc
0.8
Aprox
Elastica
0.6
0.4
0.2
0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
Decimas de Luz de Viga
Dos grados de libertad
∑f
2
= m2 ⋅ &x&2 = f 2 − k 2 ⋅ ( x 2 − x1 )
1
= m1 ⋅ &x&1 = f 1 − k1 ⋅ x1 − k 2 ⋅ ( x1 − x 2 )
∑f
Si sacamos las transformadas.
m2 ⋅ s 2 ⋅ &x&2 S + k 2 ⋅ x2 S − k 2 ⋅ x1 S = f 2 S
m1 ⋅ s 2 ⋅ &x&1S + k 1 ⋅ x1 S + k 2 ⋅ x1 S − k 2 ⋅ x 2 S = f 1 S
Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:
a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x 2 = f 1
Ibañez / Loyza / Varas
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73.06 Vibraciones de Estructuras
a 21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x 2 = f 2
El cual se puede resolver por cualquier método, por ejemplo Cramer.
Los problemas en cuales tenemos masas girando se resuelven de la misma manera.
Donde antes teníamos masa ahora tenemos inercia, donde antes teníamos fuerza, ahora tenemos
momentos y donde antes era aceleración ahora es aceleración angular.
∑M
2
= J 2 ⋅ θ&&2
∑M
1
= J1 ⋅ θ&&1
Este se resolverá igual que antes y también tendremos que resolver un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas.
Amplificación o respuesta en frecuencia
Ibañez / Loyza / Varas
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∑f
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X
= m ⋅ &x& = f t − k ⋅ x − B ⋅ x&
Transformando por Laplace.
f S − k ⋅ x S − BS ⋅ x S = m ⋅ s 2 ⋅ x S
Entonces
xS
fS
{
=
1
m⋅s + b⋅ s + k
2
TRANSFERENCIA
DE LA
POSICION
DE LA
FUERZA
En realidad muchas veces lo vamos a ver de esta manera.
1
xS
m
= 2
B
fS s +
⋅s+ k
m
m
y llamaremos
con
k
= wn2
{
m FRECUENCIA
NATURAL
DEL
SISTEMA
B
= 2 ⋅ ς ⋅ wn
m
siendo B el coeficiente de amortiguamiento, y ζ el factor de amortiguamiento.
Para dimensionar la transferencia en vez de comparar longitudes con fuerzas.
En un resorte la constante del resorte es k = F x .
Si definimos a f t = f 0 ⋅ sen (w ⋅ t )
siendo w la pulsación de la perturbación.
y
f0
= x EST es lo que se desplazaria la masa si le aplico una fuerza pico.
k
x EST
no es el maximo.
entonces queda adimensionado
k
xS
m
= 2
fS
B
s +
⋅s+ k
m
m
k
xS
wn2
= 2
=G
fS
s + 2 ⋅ ς ⋅ wn ⋅ s + wn2
k
Segundo orden
Ibañez / Loyza / Varas
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73.06 Vibraciones de Estructuras
Modificaci ón de la amplitud.
2 fenómenos 
 Desfasaje.
ϕ
ϕ en atraso.
Transferencia sinusoidal
Gs
→
↓
σ+ j⋅w
G( j ⋅ w)
Se usa cuando las entradas y las salidas son sinusoidales.
Nos vamos a limitar al régimen permanente, es decir no consideramos el transitorio.
Tengo un sistema y le aplico una señal sinusoidal. Después 4 o 5 τ estamos en régimen
permanente.
siendo τ =
1
ς ⋅ wn
Ibañez / Loyza / Varas
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Propiedades de la transferencia sinusoidal
y
G( j ⋅ w) = =
123 x
MODULO
DE
G ( j⋅ w )
µ
{
COEFICIENTE
DE
AMPLFICACION
El módulo es la relación de Amplitudes.
El ángulo de G( j ⋅w ) es el desfasaje.
G( j ⋅ w ) = ρ ⋅ e i ⋅ϕ
Ejemplo:
ρ= 2
z = 2⋅e
ϕ=
π
4
π
j⋅
4
z = 2
− j ⋅π

4
πz = 2 ⋅ e
ϕ= − 
4
G( j ⋅ w ) = ρ ⋅ e i ⋅ϕ
G(− j ⋅w ) = ρ ⋅ e −i ⋅ϕ
Ecuación de segundo grado.
G=
N
( s + s1 ) ⋅ ( s + s 2 )
s1 ≠ s 2 raices de la ecuación característica.
G=
wn2
s 2 + 2 ⋅ ς ⋅ wn ⋅ s + wn2
s1 ; s 2 complejos conjugados.
G=
N
(s + s1 )
s1 = s 2 raices coincidentes.
Ibañez / Loyza / Varas
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Transferencia Sinusoidal
X .w
Xs
s
2
w
Sinusoidal
2
Amplitud X
X . sen( w . t )
xt
Entrada
Amplitud Y
Propiedades
Salida
El módulo de G(jw) es la relación de amplitudes
G( jw )
Y
Y
X
X
µ
Coeficiente de amplificación
El ángulo del complejo es el desfasaje
ρ .e
G( jw )
Y( s )
iϕ
iϕ
ρ .e
G( jw )
G( s ) . X ( s )
k. s
Y( s )
z1 . s
z 2 ....
s1 . s
s
s 2 ....
A
Y( s )
s
s
s
M
(s
s2
j .w )
Para determinar M y M
M .( s
j .w )
w
s
2
s
s3
w
2
(s
j .w ) .( s
jw )
M
j .w )
(s
2
(s
j .w )
tiende a cero cuando t tiende al infinito
s3
G( s ) . X ( s )
M
j .w
s
multiplicamos por
M .( s
M
.....
C
M
j .w
s
s
B
s1
2
C
s2
A
Y( s )
s
B
s1
s
.
. Xw
s
2
w
M
(s
j .w )
X .w
G( s ) .
s
2
w
2
2
j . w ) G( s ) . X . w
Evaluando en s=jw
M . ( jw
j . w ) G( jw ) . X . w
Ibañez / Loyza / Varas
M
G( jw ) . X . w
2 . jw
G( jw )
j
G( jw ) . e
G( jw )
es la transferencia sinusoidal
.G( jw )
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Evaluando en s=-jw
M . ( jw
j . w ) G( jw ) . X . w
G( jw ) . X . w
2 . jw
M
G( jw ) . e
G( jw )
.
yt
e
G( jw ) . X .
yt
j .wt . j .ϕ
e
j ϕ
G( jw ) . X . e
2 .j
s jw
e
.
2j
j .wt .
e
X
j .ϕ
G( jw )
jw
e
j .ϕ
e
2 .j
xt
Y
s
es la transferencia sinusoidal
j .G( jw )
j .ϕ
yt
G( jw ) . X
e
G( jw )
G( jw ) . X . sen( w . t
ϕ
j .ϕ
sen( α )
ϕ)
X . sen( w . t )
ϕ
Y
desfasaje
G( jw )
m masa
k rigidez
c amortiguamiento
f(t) fuerza
xt
Xs
F( s )
k
Ibañez / Loyza / Varas
X . sen( w . t )
wn
s
2
2
2 .ξ .w n .s
wn
2
Gs
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F o . sen( wt )
Ft
F 0 .w
F( s )
s
2
w
2
X est
F( s )
k
F0
.
k s2
F0
w
w
2
k
reemplazando s
Se aplicará la fuerza pico en forma estática
X
µ
Deformación del miembro elástico.
X est
amplificación
x est
j .w
wn
G( j . w )
w
2
2
j .2 .ξ .w n .w
wn
2
multíplico por el conjugado y aplico el módulo
2
2
wn . wn
G( j . w )
wn
2
w
G( j . w )
2
2
2
wn . wn
2
w
j .2 .w n .w
wn
w
2 2
2
2
w
2
w
2
2 2
4 .ξ .w n .w
wn
X
2
2
2
j .2 .ξ .w n .w
j .2 .w n .w
1
µ
1
Ibañez / Loyza / Varas
2
j .2 .ξ .w n .w
wn
G( j . w )
w
4 .ξ
2.
w
x est
2
wn
2
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Para hallar los máximos
w
wn
1
µ
v
1
d
2 2
2 2
4 .ξ .v
1
µ
dv
v
3
2. 1
2 .v
2
v
4
2 2
4 .ξ .v
. 4 .v
4 .v
3
2
8 .ξ .v
2
igualando a cero se tiene una raiz en v=0, el origen (ver figura)
queda además otro polinomio, cuyas raices se muestran
given
1
v
2
find( v )
2ξ
2
0
2 .ξ
1
2
1
2 .ξ
2
given
1
2 .ξ
2
find( ξ )
0
1.
2
2
si
Ibañez / Loyza / Varas
1.
2
2
1
ξ> . 2
2
entonces las raíces de v serán números complejos, ya que
serán raíces de números negativos
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