2. Teoría Clásica de Campos

2. Teoría Clásica de Campos
60
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Sistema de N partículas
Vamos a repasar primero el principio básico de la mecánica clásica para un
sistema de N partículas en el formalismo lagrangiano. Este sistema tiene 3N
grados de libertad descritos por un conjunto de coordenadas qi (t), i = 1, 2, . . . , 3N.
El lagrangiano L es una función de las qi y de sus derivadas respecto del tiempo
q̇i , L = L(q, q̇). Generalmente, L(q, q̇) = ∑i 21 mi q̇2i − V (q) (término cinético menos
potencial). Supondremos que el sistema es conservativo, de modo que el
lagrangiano no depende explícitamente del tiempo. La acción S se define como
ˆ
S = dt L(q, q̇).
(1)
tfi
tin
61
Sistema de N partículas
Ecuaciones de Euler-Lagrange
El principio de mínima acción establece que la trayectoria del sistema entre un
estado inicial qin = q(tin ) y otro final qfi = q(tfi ) fijos es un extremo (generalmente
un mínimo) de la acción:
ˆ tfi
ˆ tfi
δS = δ
dt L(q, q̇) =
dt δL(q, q̇) = 0.
(2)
tin
tin
Podemos desarrollar
δL =
∑
i
∂L
∂L
δqi +
δq̇i =
∂qi
∂q̇i
∑
i
∂L
∂L d
δqi +
δqi ,
∂qi
∂q̇i dt
(3)
donde se ha usado que
∂
∂q̇i
δα =
δq̇i =
∂α
∂α
dqi
dt
d
δα =
dt
∂qi
∂α
d
δα = δqi
dt
(4)
siendo α un conjunto discreto de parámetros tal que qi = qi (α, t) es
suficientemente suave de modo que las derivadas respecto a α y respecto a t
conmutan, pues podemos discretizar ambas variaciones.
62
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Sistema de N partículas
Por otro lado, integrando por partes:a
t
ˆ tfi
ˆ tfi
fi
d ∂L
∂L ∂L d
δqi =
δq
−
dt
δqi .
dt
i
∂q̇i dt
dt ∂q̇i
tin
tin
∂q̇i
tin
(5)
Por tanto,
ˆ
tfi
δS =
dt
tin
⇒
ˆ
a
b
En efecto:
a
∑
i
d ∂L
∂L
−
δqi = 0,
∂qi dt ∂q̇i
∂L
d ∂L
−
=0
∂qi dt ∂q̇i
dv
dt u
= [uv]ba −
dt
ˆ
b
dt v
a
∀δqi
(Ecuaciones de Euler-Lagrange)
(6)
(7)
du
.
dt
63
Sistema de N partículas
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Recordemos también que en el formalismo hamiltoniano el objeto básico es
H ( p, q) =
∑ pi q̇i − L,
i
pi =
∂L
.
∂q̇i
Diferenciando esta expresión obtenemos
∂L
∂L
dH = ∑ q̇i dpi + pi dq̇i −
dqi +
dq̇i
∂qi
∂q̇i
i
= ∑ {q̇i dpi − ṗi dqi }
(8)
(9)
(10)
i
donde se han usado las ecuaciones de Euler-Lagrange (7) y la definición de
momento en (8). Esto demuestra que el hamiltoniano H es una función de p y q.
La expresión anterior conduce a:
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
∂qi
(ecuaciones de Hamilton)
(11)
64
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Sistema de N partículas
Definiendo ahora el corchete de Poisson de dos variables dinámicas cualesquiera
f1 y f2
∂ f1 ∂ f2 ∂ f1 ∂ f2
[ f1, f2 ]P = ∑
(12)
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
es fácil comprobar que
[qr , ps ] P = δrs
(13)
y las ecuaciones de Hamilton pueden reescribirse como
q̇r = [qr , H ] P ,
ṗr = [ pr , H ] P
(14)
y en general para cualquier variable dinámica f se tiene
df
∂f
f˙ ≡
= [ f , H ]P +
dt
∂t
(15)
donde ∂ f /∂t aparece si f depende explícitamente del tiempo.
65
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Medio continuo
Supongamos ahora que, en vez de un sistema con un número finito de grados de
libertad, tenemos un medio continuo. Entonces el sistema viene descrito por un
campo φ( x ),
qi (t) −→ φ(t, ~x ) = φ( x )
(16)
y su dinámica por un lagrangiano,
ˆ
L=
d3 x L(φ, ∂µ φ).
(17)
En adelante, llamaremos lagrangiano a la densidad lagrangiana L. La acción es
entonces
ˆ
ˆ
S = dt L = d4 x L(φ, ∂µ φ).
(18)
66
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Medio continuo
El principio de mínima acción se escribe:
ˆ
ˆ
∂
L
∂
L
∂
L
∂
L
δS = d4 x
δφ +
δ(∂µ φ) = d4 x
− ∂µ
δφ = 0,
∂φ
∂(∂µ φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
(19)
donde la condición de contorno ahora no es que qi (tin ) y qi (tfi ) fijos sino que los
campos permanecen constantes en el infinito, pues
ˆ
ˆ
ˆ
∂L
∂L
∂L
4
4
4
δ(∂µ φ) = d x∂
δφ − d x ∂µ
δφ
(20)
d x
µ
∂(∂µ φ)
∂
(
∂
φ
)
∂
(
∂
φ
)
µ
µ
y se ha usado el teorema de Stokes,
ˆ
ˆ
∂
L
∂
L
d4 x ∂µ
δφ =
dA nµ
δφ
∂
(
∂
φ
)
∂
(
∂
φ
)
µ
µ
V
Σ
(21)
(nµ es el vector normal a la superficie) y la mencionada condición de contorno
δφ|Σ = 0.
(22)
67
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Medio continuo
Así que tenemos:
∂L
∂L
− ∂µ
=0
∂φ
∂(∂µ φ)
(Ecuación de Euler-Lagrange para el campo φ).
(23)
Nótese que si se añade al lagrangiano un término de la forma (derivada total)
L −→ L + ∂µ K µ (φ)
(24)
las ecuaciones de movimiento no cambian debido a la condición de contorno de
que los campos sean constantes en el infinito, pues usando de nuevo el teorema
de Stokes,
ˆ
ˆ
d4 x ∂µ K µ =
dA nµ K µ ,
(25)
V
Σ
se añade una constante a la acción y la ecuación (2) queda inalterada.
68
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Medio continuo
En el formalismo hamiltoniano definimos el momento conjugado del campo φ,
∂L( x )
Π( x ) =
∂ ( ∂0 φ )
(26)
y la densidad hamiltoniana (o simplemente hamiltoniano),
H( x ) = Π( x )∂0 φ( x ) − L( x )
siendo,
(27)
ˆ
H=
d3 x H( x ).
(28)
69
Teorema de Noether
Vamos a discutir la relación existente entre simetrías continuas y leyes de
conservación en teoría clásica de campos.
Una transformación infinitesimal global, i.e. con |e a | 1 independiente de las
coordenadas, de los campos φi de lo que depende la acción S(φ) se escribe
φi ( x ) 7→ φi0 ( x 0 ) ≡ φi ( x ) + e a Fi,a (φ, ∂φ)
(29)
y para las coordenadas
x µ 7→ x 0µ = x µ + δx µ ≡ x µ + e a A a ( x ),
µ
(30)
donde “a” puede ser un índice, dos, . . . o ninguno.
Decimos que esta transformación es una simetría si deja invariantes las
ecuaciones del movimiento, i.e. si la acción no varía:
S ( φ ) 7 → S ( φ 0 ) = S ( φ ).
(31)
70
Teorema de Noether
Entonces, a primer orden en δx,
ˆ
ˆ
ˆ
0 0
0
4 0 0 0
4
4
µ
0 = S(φ ) − S(φ) = d x L ( x ) − d x L( x ) = d x L ( x ) − L( x ) + ∂µ δx L( x )
(32)
donde se ha usado
0µ ∂x 4
4 0
d x = ν d x,
∂x
Ahora bien, como
0
0
∂δx
1 + ∂δx
.
.
.
0µ ∂x0
∂x1
∂x µ
2
1
= ∂δx1
=
1
+
∂
δx
+
O(
δx
)
.
∂δx
µ
∂x ν 1+
... 0
1
∂x
∂x
...
...
... (33)
L0 ( x 0 ) = L0 ( x ) + δx µ ∂µ L( x ) + O(δx )2
y δL( x ) = L0 ( x ) − L( x ), la ecuación (32) queda
ˆ
4
µ
0 = d x δL( x ) + ∂µ [δx L( x )] .
(34)
(35)
71
Teorema de Noether
Por otro lado,
∂L
∂L
δφ
+
∑ ∂φi i ∂(∂µ φi ) δ(∂µ φi )
i
∂L
∂L
∂L
=∑
− ∂µ
δφi + ∂µ
δφi
∂φi
∂(∂µ φi )
∂(∂µ φi )
i
δL( x ) =
(36)
y a partir de
φi0 ( x 0 ) = φi ( x ) + e a Fi,a = φi ( x 0µ − e a A a ) + e a Fi,a
(37)
φi0 ( x ) = φi ( x µ − e a A a ) + e a Fi,a = φi ( x ) − e a A a ∂µ φi ( x ) + e a Fi,a
(38)
µ
tenemos
µ
µ
de modo que
δφi ( x ) = φi0 ( x ) − φi ( x ) = −e a [ A a ∂µ φi ( x ) − Fi,a ]
µ
(39)
72
Teorema de Noether
Por tanto, si φ = φcl es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange,
(35) queda
"
#
ˆ
∂L
4
0 = d x ∂µ ∑
δφi + δx µ L( x )
∂(∂µ φi )
i
y sustituyendo δx µ de (30) y δφ de (39) tenemos
ˆ
µ
0 = e a d4 x ∂µ ja (φcl ),
(40)
(41)
donde
µ
ja ( φ ) ≡
∂L
µ
ν
A
(
x
)
∂
φ
(
x
)
−
F
(
φ,
∂φ
)]
−
A
[
a ( x )L( x )
i,a
∑ ∂(∂µ φi ) a ν i
i
(42)
73
Teorema de Noether
Supongamos por un momento que hacemos una transformación local, e a = e a ( x ),
sobre esta acción invariante solo bajo transformaciones globales. Entonces no
quedará invariante sino que
ˆ
µ
S(φ0 ) = S(φ) + d4 x [e a ( x )Ka (φ) − (∂µ e a ) ja (φ)] + O(∂∂e) + O(e2 ),
(43)
donde el coeficiente Ka (φ) es cero, porque en el caso particular de e a constantes la
´ 4
invariancia global implica d x Ka (φ) = 0, para cualquier φ. Veamos por qué
µ
hemos llamado precisamente − ja (φ) al otro coeficiente. Si los e a ( x ) van
suficientemente rápido a cero en el infinito, podemos deducir del teorema de
Stokes que
ˆ
ˆ
ˆ
µ
µ
µ
d4 x ∂µ e a ja (φ) = 0 ⇒ − d4 x (∂µ e a ) ja (φ) = d4 x e a ( x )∂µ ja (φ)
(44)
de donde
ˆ
S(φ0 ) − S(φ) =
d4 x e a ( x ) ∂ µ j a ( φ ) .
µ
(45)
74
Teorema de Noether
Ahora bien, si tomamos en particular φ = φcl , una solución de las ecuaciones de
Euler-Lagrange, que es un extremo de la acción, la ecuación anterior expresa una
variación lineal de la acción en torno a ese extremo y por tanto se anula. Es decir,
ˆ
µ
0 = d4 x e a ( x )∂µ ja (φcl ).
(46)
Como esto ocurre para cualquier e a ( x ), tenemos que
µ
∂µ ja (φcl ) = 0,
(47)
µ
es decir, ja (φcl ) son corrientes conservadas. Así que (41) no solo implica que la
integral se anula, sino también el integrando.
75
Teorema de Noether
Si definimos las cargas
ˆ
Qa ≡
d3 x ja0 (t, ~x )
(48)
µ
vemos que la conservación de la corriente ja ( x ) implica que la carga Q a se
conserva, i.e. es independiente del tiempo, pues
ˆ
ˆ
∂t Q a = d3 x ∂0 ja0 (t, ~x ) = − d3 x ∂i jai (t, ~x ) = 0,
(49)
ya que los campos decrecen suficientemente rápido en el infinito (de nuevo el
teorema de Stokes).
µ
Las simetrías pueden ser internas, si no cambian las coordenadas, i.e. A a ( x ) = 0,
o espaciotemporales. La conservación de la carga eléctrica, el isoespín, el número
bariónico, etc., son consecuencias de las primeras. Veamos ahora todos los
ejemplos de las segundas: invariancias bajo traslaciones espaciotemporales,
rotaciones y boosts.
76
Teorema de Noether
Traslaciones espaciotemporales
Vienen dadas por las siguientes transformaciones de coordenadas y campos
(cualquier componente, si tienen alguna):
x µ 7 → x 0µ = x µ + eµ ⇒ e a = eν ,
µ
µ
A a ( x ) = δν
φi ( x ) 7→ φi0 ( x 0 ) = φi ( x ) ⇒ Fi,a (φ, ∂φ) = 0.
(50)
(51)
Por tanto, hay 4 corrientes conservadas que forman el tensor energía-momento,
µ
θν
∂L
µ
∂ν φi − δν L,
=∑
∂(∂µ φi )
i
∂µ θ
µ
ν
=0
(52)
y 4 “cargas” que son constantes, la energía y las 3 componentes del momento,
"
#
ˆ
ˆ
∂L
Pν = d3 x θ 0ν = d3 x ∑
∂ν φi − δν0 L .
(53)
∂(∂0 φi )
i
Es decir, la invariancia bajo traslaciones espaciotemporales implica la
conservación del cuadrimomento,
∂t Pν = 0 ,
ν = 0, 1, 2, 3 .
(54)
77
Teorema de Noether
Rotaciones y boosts
Consideremos por simplicidad un campo escalar. Las transformaciones de
Lorentz son de la forma
x 7→ x
µ
0µ
1 ρσ µ ν
µ
= x + ω (δρ δσ − δσ δρν ) xν ⇒e a = ω ρσ = −ω σρ ,
2
1 µ
µ
µ
A a ( x ) = (δρ δσν − δσ δρν ) xν
2
φ( x ) 7→ φ0 ( x 0 ) = φ( x ) ⇒ Fa (φ) = 0.
µ
(55)
(56)
Por tanto,
µ
1 µ
∂L 1 ν
µ
(δρ xσ − δσν xρ )∂ν φ − (δρ xσ − δσ xρ )L
∂(∂µ φ) 2
2
1 µ
∂L 1
µ
(∂ρ φxσ − ∂σ φxρ ) − (δρ xσ − δσ xρ )L
=
∂(∂µ φ) 2
2
1 µ
µ
µ
=
θ ρ xσ − θ σ xρ , ∂µ j ρσ = 0.
2
j ρσ =
(57)
78
Teorema de Noether
Traslaciones espaciotemporales
Es decir, el siguiente tensor contiene seis corrientes conservadas:
T µρσ ≡ −(θ µρ x σ − θ µσ x ρ ),
∂µ T µνρ = 0
y hay seis cargas o constantes del movimiento,
ˆ
ˆ
Mρσ = d3 x T 0ρσ = d3 x ( x ρ θ 0σ − x σ θ 0ρ ),
∂t Mρσ = 0.
(58)
(59)
de las cuales Mij (momento angular) se deben a la invariancia bajo rotaciones y
M0i a la invariancia bajo boosts.
79
Teorema de Noether
Rotaciones y boosts
Conviene ahora hacer dos comentarios:
1. Nótese que la ecuación (58) implica que el tensor energía-momento debe ser
simétrico, pues ∂µ θ µν = 0 y
ρ
0 = ∂µ ( x ρ θ µσ − x σ θ µρ ) = x ρ ∂µ θ µσ − x σ ∂µ θ µρ + θ µσ δµ − θ µρ δµσ = θ ρσ − θ σρ . (60)
Como el θ µν definido en (52) no es necesariamente simétrico, hay que añadirle
una derivada total de la forma ∂λ f λµν , con f λµν = − f µλν , para que
θeµν = θ µν + ∂λ f λµν ,
y como
ˆ
∂µ θeµν = ∂µ θ µν + ∂µ ∂λ f λµν = ∂µ θ µν = 0
ˆ
d3 x ∂λ f λ0ν =
ˆ
d3 x ∂i f i0ν = 0 ⇒ Pν =
(61)
ˆ
d3 x θe0ν =
d3 x θ 0ν ,
(62)
las cargas conservadas son las mismas, siempre que los campos, de los que
depende f , se anulen suficientemente rápido en el infinito.
80
Teorema de Noether
Traslaciones espaciotemporales
Conviene ahora hacer dos comentarios:
2. Estamos acostumbrados a la conservación del momento angular (∂t Mij = 0)
pero no a la conservación de cantidades asociadas a los boosts (∂t M0i = 0).
En efecto, en mecánica cuántica,
ˆ
K k = M0k = Pk t − d3 x x k θ 00 = M0k (t)
(imagen de Heisenberg)
(63)
y recordemos que ∂t M0k ≡ dM0k /dt = i[ H, K k ] + ∂K k /∂t = i2 Pk + Pk = 0.
Sin embargo, a diferencia de energía, momento y momento angular, estas
cantidades conservadas no sirven para etiquetar estados, ya que los
operadores que representan a los generadores de los boosts no siempre son
hermíticos y además no conmutan con el hamiltoniano.
81
Campos escalares
Ecuación de Klein-Gordon
Consideremos para empezar un campo escalar real, φ( x ) = φ∗ ( x ). Una acción que
describa una dinámica no trivial del campo debe contener derivadas, ∂µ φ. Los
índices Lorentz deben estar contraídos, pues la acción es un escalar. La acción
más sencilla es
ˆ
ˆ
1
S=
d4 x (∂µ φ∂µ φ − m2 φ2 ) = d4 x L( x ).
(64)
2
La ecuación de Euler-Lagrange para φ es entonces la ecuación de Klein-Gordon,
∂L
∂L
− ∂µ
= 0 ⇒ ( + m2 )φ( x ) = 0,
∂φ
∂(∂µ φ)
≡ ∂µ ∂µ .
(65)
Sus soluciones son ondas planas,
φ ∝ e±ipx , con px ≡ pµ x µ y p2 ≡ pµ pµ = ( p0 )2 − ~p2 = m2 .
El parámetro m es la masa, que por definición tomaremos m > 0.
82
Campos escalares
Ecuación de Klein-Gordon
La solución más general de la ecuación de Klein-Gordon es por tanto,
ˆ
3
d p
−
ipx
∗
ipx q
a~p e
+ a~p e
φ( x ) =
(2π )3 2E~p
√
p0 = E~p ≡+
(66)
m2 +~p2
La normalización de los campos se ha elegido por conveniencia. Vemos que entre
las soluciones hay modos de energía positiva (e−ipx ) y modos de energía negativa
(e+ipx ), cuya interpretación surgirá solo al cuantizar el campo.
El signo de la acción se ha elegido para tener un hamiltoniano definido positivo:
i
∂L
1h
Πφ =
= ∂0 φ ⇒ H = Π φ ∂0 φ − L =
(∂0 φ)2 + (∇φ)2 + m2 φ2 > 0. (67)
∂ ( ∂0 φ )
2
El tensor energía-momento es directamente simétrico,
θ µν = ∂µ φ∂ν φ − gµν L
(68)
y, en efecto, H = θ 00 .
83
Campos escalares
Ecuación de Klein-Gordon
En cuanto a las cargas conservadas asociadas a las rotaciones,
ˆ
ˆ
i
Mij = d3 x ( xi θ 0j − x j θ 0i ) =
d3 x [φLij ∂0 φ − ∂0 φLij φ],
2
donde se ha usado la definición de Lij = i( xi ∂ j − x j ∂i ) y se ha integrado por
partes con i 6= j,
ˆ
ˆ
ˆ
d3 x ∂ j [φxi ∂0 φ] = 0 ⇒ d3 x ∂ j φxi ∂0 φ = − d3 x φxi ∂ j ∂0 φ,
ˆ
ˆ
ˆ
d3 x ∂ j [∂0 φxi φ] = 0 ⇒ d3 x ∂ j ∂0 φxi φ = − d3 x ∂0 φxi ∂ j φ.
Si definimos el producto escalar de dos campos reales como
ˆ
↔
↔
i
3
d x φ1∂0φ2 , f ∂ g ≡ f ∂g − ∂ f g,
hφ1 |φ2 i ≡
2
(69)
(70)
(71)
(72)
tenemos que
84
Campos escalares
Ecuación de Klein-Gordon
Mij = hφ| Lij |φi ,
(73)
que es lo que uno esperaría, pues Lij es la representación del operador J ij sobre el
espacio vectorial de los campos.
Veamos que hφ1 |φ2 i es independiente del tiempo si φ1 y φ2 son soluciones de la
ecuación de Klein-Gordon, lo que está de acuerdo con que Mij es una cantidad
conservada. En efecto,
ˆ
i
∂0 hφ1 |φ2 i =
d3 x ∂0 [φ1 ∂0 φ2 − ∂0 φ1 φ2 ]
2
ˆ
n
o
i
=
d3 x ∂0 φ1 ∂0 φ2 + φ1 ∂20 φ2 − ∂20 φ1 φ2 − ∂0 φ1 ∂0 φ2
2
ˆ
n
o
i
=
d3 x φ1 ∇2 φ2 − ∇2 φ1 φ2 − m2 φ1 φ2 + m2 φ1 φ2
2
ˆ
i
=
d3 x {−∇φ1 · ∇φ2 + ∇φ1 · ∇φ2 } = 0,
(74)
2
85
Campos escalares
Ecuación de Klein-Gordon
donde se ha usado
( + m2 )φ1,2 = 0 ⇒ ∂20 φ1,2 = ∇2 φ1,2 − m2 φ1,2
ˆ
ˆ
ˆ
d3 x ∇ · (φ1,2 ∇φ2,1 ) = 0 ⇒ d3 x φ1,2 ∇2 φ2,1 = − d3 x ∇φ1,2 · ∇φ2,1 .
Análogamente, podemos escribir
ˆ
Pµ = d3 x θ 0µ = hφ| i∂µ |φi .
(75)
(76)
B En efecto, usando de nuevo la ecuación de Klein-Gordon e integrando por partes,
ˆ
1
P0 = hφ| i∂0 |φi = hφ| i∂0 |φi = −
d3 x [φ∂20 φ − (∂0 φ)2 ]
2
ˆ
1
=−
d3 x [ φ ∇ 2 φ − m 2 φ 2 − ( ∂ 0 φ ) 2 ]
2
ˆ
ˆ
1
=
d3 x [(∇φ)2 + m2 φ2 + (∂0 φ)2 ] = d3 x θ 00 ,
2
(77)
86
Campos escalares
Ecuación de Klein-Gordon
1
i
i
P = hφ| i∂ |φi = −
2
=
ˆ
d3 x [φ∂i ∂0 φ − ∂0 φ∂i φ]
ˆ
ˆ
ˆ
d3 x ∂i φ∂0 φ = d3 x θ i0 = d3 x θ 0i .
Y también,
(78)
ˆ
M0i = hφ| L0i |φi =
d3 x ( x0 θ 0i − xi θ 00 ).
(79)
B En efecto,
ˆ
1
M0i = hφ| L0i |φi = −
d3 x [φ( x0 ∂i − xi ∂0 )∂0 φ − ∂0 φ( x0 ∂i − xi ∂0 )φ]
2
ˆ
i
x
= d3 x x0 ∂0 φ∂i φ + [φ∂20 φ − (∂0 φ)2 ]
2
ˆ
i
x
= d3 x x0 ∂0 φ∂i φ − [(∂0 φ)2 − φ∇2 φ + m2 φ2 ] .
2
(80)
87
Campos escalares
Ecuación de Klein-Gordon
Nótese que, como habíamos anticipado, Lµν y i∂µ son operadores hermíticos, por
lo que tenemos una representación unitaria de dimensión infinita del grupo de
Poincaré. Así que Mµν y Pµ son cantidades reales.
Finalmente, podemos generalizar la acción de Klein-Gordon para incluir
interacciones del campo escalar introduciendo un potencial V (φ),
h
ˆ
i
1
∂µ φ∂µ φ − m2 φ2 − V (φ) .
S = d4 x
2
(81)
Términos proporcionales a φ3 , φ4 , . . . en el potencial dan lugar a contribuciones
no lineales en las ecuaciones de movimiento, que corresponden a
auto-interacciones del campo:a
( + m2 ) φ = −
∂V
.
∂φ
(82)
a
Añadir un término lineal c3 φ al potencial es equivalente a reparametrizar φ → φ − c3 /m2 , que
conduce a la misma dinámica.
88
Campos escalares
Campos complejos
Supongamos ahora un campo escalar complejo,
1
√
(φ1 + iφ2 )
φ=
2
(83)
donde φ1 y φ2 son dos campos reales con la misma masa m. Entonces
ˆ
S = d4 x ( ∂ µ φ ∗ ∂ µ φ − m 2 φ ∗ φ )
ˆ
ˆ
1
1
=
d4 x (∂µ φ1 ∂µ φ1 − m2 φ12 ) +
d4 x (∂µ φ2 ∂µ φ2 − m2 φ22 )
2
2
ˆ
= d4 x L( x ).
(84)
Está claro que la ecuación de Klein-Gordon para φ es la misma que (65), pues
tanto la parte real como la imaginaria la satisfacen. La solución más general es
ˆ
3
d p
−
ipx
∗
ipx q
a~p e
+ b~p e
(85)
φ( x ) =
(2π )3 2E~p
√
p0 = E~p ≡+
m2 +~p2
89
Campos escalares
Campos complejos
Conservación de la carga
La acción de este campo complejo es invariante bajo las transformaciones globales
de simetría del grupo U(1),
φ( x ) 7→ φ0 ( x ) = e−iθ φ( x ),
φ∗ ( x ) 7→ φ0∗ ( x ) = eiθ φ∗ ( x )
(86)
lo que significa que existe una corriente conservada asociada (tomar φi = (φ, φ∗ )):
x µ 7 → x 0µ = x µ ⇒ A a ( x ) = 0
µ
φ( x ) 7→ φ0 ( x ) = φ( x ) − iθφ( x )
φ∗ ( x )
7→
φ0∗ ( x )
=
φ∗ ( x ) + iθφ∗ ( x )
a
⇒ e = −θ,
(87)
Fφ,a = iφ
Fφ∗ ,a =
−iφ∗
↔
∂L
∂L
∗
µ
µ
∗
∗
µ
∗ ,a = i( φ ∂ φ − φ∂ φ ) = iφ ∂ φ.
j =−
Fφ,a −
F
φ
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ∗ )
µ
(88)
(89)
90
Campos escalares
Campos complejos
Conservación de la carga
La carga conservada es
ˆ
ˆ
↔
3
0
3
∗
Q = d x j = i d x φ ∂0φ = hφ |φi ,
∂t Q = 0,
(90)
consistente con que el generador de las simetrías e−iθ es el operador identidad y
definiendo el producto escalar de dos campos complejos φ A y φB como
ˆ
↔
3
∗
(91)
hφ A |φB i ≡ i d x φ A∂0φB .
91
Campos espinoriales
Ecuación de Weyl
Consideremos espinores de Weyl ψR y ψL . Entonces
ψR† σµ ψR ,
ψL† σµ ψL
(92)
con σµ ≡ (1,~σ), σµ ≡ (1, −~σ), son cuadrivectores Lorentz.
B Para demostrar esto recordemos que
~σ
ψR 7→ exp (−i~θ + ~η ) ·
ψR .
2
(93)
Consideremos, por ejemplo, un boost infinitesimal de rapidity η en la dirección x,
ψR† σµ ψR
7→
ψR† σµ ψR
⇒
ψR† ψR
ψR† σi ψR
†σ
+ ηψR
1
2
σ
µ
† µσ
ψR + ηψR σ
1
2
7→ ψR† ψR + ηψR† σ1 ψR
7→
ψR† σi ψR
+ ηδi1 ψR† ψR ,
ψR
(94)
pues σi σ j + σ j σi = 2δij .
92
Campos espinoriales
Ecuación de Weyl
Vemos que ψR† σµ ψR se transforma bajo ese boost igual que un cuadrivector vµ ,

 
 
1 η 0 0
v0
v0

 
 
 η 1 0 0  v1 
 v1 

 
 
(95)
 .
  7→ 
2
2
 0 0 1 0  v 
v 

 
 
v3
0 0 0 1
v3
Consideremos ahora una rotación infinitesimal θ alrededor del eje z,
ψR† σµ ψR
7→
ψR† σµ ψR
σ
+ iθψR†
ψR† ψR
⇒
3
2
σ
µ
σ
ψR − iθψR† σµ
2
ψR
7→ ψR† ψR
ψR† σ1 ψR 7→ ψR† σ1 ψR − θψR† σ2 ψR
ψR† σ2 ψR
ψR† σ3 ψR
3
7→
7→
ψR† σ2 ψR + θψR† σ1 ψR
ψR† σ3 ψR ,
(96)
pues σi σ j − σ j σi = 2ieijk σk .
93
Campos espinoriales
Ecuación de Weyl
Vemos que ψR† σµ ψR se transforma bajo esa rotación igual que un cuadrivector vµ ,
 

 
v0
1 0 0 0
v0
 

 
0 1 − θ 0  v1 
 v1 
 

 
(97)
 .
  7→ 
2
2
0 θ 1 0  v 
v 
 

 
v3
0 0 0 1
v3
Y análogamente para ψL† σµ ψL .
94
Campos espinoriales
Ecuación de Weyl
Concentrémonos en ψL . Podemos construir la acción más sencilla para estos
campos,a
ˆ
ˆ
S = i d4 x ψL† σµ ∂µ ψL = d4 x L( x ).
(98)
El factor i se introduce para que el lagrangiano sea hermítico. Hallemos sus
ecuaciones de Euler-Lagrange, considerando ψL y ψL∗ como campos
independientes:
[ψL∗ ] :
[ψL ] :
iσµ ∂µ ψL = 0
−i∂µ ψL† σµ
=0
⇒ σµ ∂µ ψL = 0 ⇒ (∂0 − σi ∂i )ψL = 0.
(99)
(ecuación de Weyl para ψL )
Acabamos de probar que ψL† σµ ψL 7→ Λ ρ ψL† σρ ψL = ψL† Λ ρ σρ ψL , pues Λ y σ actúan en distintos
espacios. Por otro lado, ∂µ 7→ Λµσ ∂σ . Entonces, el siguiente término es un escalar Lorentz pues usando:
µ
a
µ
ψL† σµ ∂µ ψL 7→ ψL† σρ Λ ρ Λµσ ∂σ ψL = ψL† σρ gρσ ∂σ ψL = ψL† σµ ∂µ ψL .
µ
95
Campos espinoriales
Ecuación de Weyl
La ecuación de Weyl para ψL es equivalente a una ecuación de Klein-Gordon sin
masa para sus dos componentes,
∂0 ψL = σi ∂i ψL ⇒ ∂20 ψL = ∇2 ψL ⇒ ψL = 0
(100)
y además aporta información sobre la helicidad de los distintos modos del campo.
B Si tomamos un modo de energía positiva (negativa) de ψL ,
ψL ( x ) = u L e−ipx (u L eipx )
(101)
con u L un espinor constante y pµ = ( E, ~p) donde E = |~p| (masa cero), pues
~J = ~σ ⇒ ( p̂ · ~J ) u L = 1 p̂ ·~σ u L ≡ hu L
2
2
(102)
vemos que
σµ ∂µ ψL = (∂0 − σi ∂i )u L e∓ipx = ∓i( E +~σ · ~p)u L e∓ipx = 0 ⇒ ~σ · p̂ u L = −u L , (103)
lo que significa que los modos de ψL son todos de helicidad negativa h = − 21 .
96
Campos espinoriales
Ecuación de Weyl
Por otro lado, el tensor energía-momento es
θ
µν
∂L
∂ν ψL − gµν L = iψL† σµ ∂ν ψL ,
=
∂(∂µ ψL )
(104)
donde se ha usado que para los campos que satisfacen la ecuación de
Euler-Lagrange (99) el lagrangiano L = 0. El hamiltoniano es H = θ 00 = iψL† ∂0 ψL .
Además la acción es invariante bajo transformaciones globales de simetría del
grupo U(1),
ψL 7→ e−iθ ψL ,
(105)
así que existe una corriente conservada
∂L
j =−
iψL = ψL† σµ ψL ,
∂(∂µ ψL )
µ
y una carga conservada
Q=
ˆ
∂µ jµ = 0
(106)
∂t Q = 0.
(107)
ˆ
d3 x j 0 =
d3 x ψL† ψL ,
97
Campos espinoriales
Ecuación de Weyl
Análogamente puede verse que la ecuación de Weyl para ψR es
σµ ∂µ ψR = 0 ⇒ (∂0 + σi ∂i )ψR = 0,
(108)
que es equivalente a una ecuación de Klein-Gordon sin masa para sus dos
componentes,
∂0 ψR = −σi ∂i ψR ⇒ ∂20 ψR = ∇2 ψR ⇒ ψR = 0.
(109)
Los modos de ψR tienen helicidad positiva h = 21 . El tensor energía-momento, la
corriente y la carga conservada correspondientes son, respectivamente,
ˆ
θ µν = iψR† σµ ∂ν ψR , jµ = ψR† σµ ψR , Q = d3 x ψR† ψR .
(110)
98
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Nótese que, bajo una transformación de Lorentz,
ψL 7→ Λ L ψL ,
ψR 7 → Λ R ψR ,
y Λ†L Λ R = Λ†R Λ L = 1.
(111)
Por tanto, ψL† ψR y ψR† ψL son escalares Lorentz.
B Bajo paridad (ψL ↔ ψR ) las siguientes combinaciones hermíticas se transforman:
(ψL† ψR + ψR† ψL ) 7→
(ψL† ψR + ψR† ψL ) (escalar)
i(ψL† ψR − ψR† ψL ) 7→ −i(ψL† ψR − ψR† ψL )
(pseudoescalar)
(112)
Así que el lagrangiano de Dirac,
L D = iψL† σµ ∂µ ψL + iψR† σµ ∂µ ψR − m(ψL† ψR + ψR† ψL )
(113)
es invariante bajo paridad. El lagrangiano de Weyl no lo es.
99
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Hallemos las ecuaciones de Euler-Lagrange:
[ψL∗ ] :
iσµ ∂µ ψL − mψR = 0
[ψL ] : −i∂µ ψL† σµ − mψR† = 0
[ψR∗ ]
:
iσµ ∂
µ ψR
− mψL = 0
⇒
iσµ ∂µ ψL = mψR
iσµ ∂
µ ψR
= mψL ,
(114)
[ψR ] : −i∂µ ψR† σµ − mψL† = 0
que es la ecuación de Dirac en términos de espinores de Weyl.
B Nótese que ψL y ψR ya no son autoestados de helicidad y que las 2 componentes
de ψL y las de ψR satisfacen una ecuación de Klein-Gordon de masa m, pues
iσµ ∂µ ψL = mψR ⇒ (iσν ∂ν )iσµ ∂µ ψL = miσν ∂ν ψR
1
⇒ − (σµ σν + σν σµ )∂µ ∂ν ψL = m2 ψL ⇒ ( + m2 )ψL = 0,
(115)
2
donde se ha usado (108) y la identidad σµ σν + σν σµ = 2gµν . Lo mismo para ψR ,
( + m2 )ψR = 0.
(116)
100
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Es conveniente introducir el campo de Dirac, de 4 componentes,


ψL ( x )

 (representación quiral)
ψ( x ) =
ψR ( x )
y definir las matrices gamma de Dirac,






i
µ
0
σ
0
σ
0
1
 , γi = 
 ⇒ γµ = 

γ0 = 
−σi 0
1 0
σµ 0
(117)
(representación quiral),
(118)
que satisfacen el álgebra de Clifford,
{γµ γν + γν γµ } = 2gµν .
(119)
B La ecuación de Dirac queda entonces
(i/
∂ − m)ψ = 0,
A
/ ≡ γµ Aµ .
(120)
101
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Podemos escribir el lagrangiano de Dirac de forma compacta introduciendo
ψ ≡ ψ † γ0
(espinor adjunto).
(121)
En la representación quiral, ψ = (ψR† , ψL† ) y
L D = ψ(i/
∂ − m)ψ.
También se define la matriz γ5 ≡ iγ0 γ1 γ2 γ3 que es


−1 0

 (representación quiral)
γ5 =
0 1
(122)
(123)
Por tanto, los operadores PL = 12 (1 − γ5 ), PR = 12 (1 + γ5 ) son proyectores sobre
los espinores de Weyl ψL y ψR , respectivamente,
 
 
ψL
0



.
PL ψ =
, PR ψ =
(124)
0
ψR
102
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Pueden elegirse otras representaciones,
ψ0 ( x ) = Uψ( x ),
γ0µ = Uγµ U † ,
0
ψ ( x ) = ψ 0 † ( x ) γ 00 ,
(125)
donde U es una matriz unitaria constante.
B De este modo,
0
L D = ψ0† Uγ0 (iγµ ∂µ − m)U † ψ0 = ψ (iγ0µ ∂µ − m)ψ0 ,
(126)
tiene la misma forma que el lagrangiano original.
B Además el álgebra de Clifford permanece invariante, {γ0µ γ0ν + γ0ν γ0µ } = 2gµν .
103
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Una representación que se usa con frecuencia es la representación estándar o
representación de Dirac, que se obtiene a partir de la quiral mediante


1  1 1
U= √
.
(127)
2 −1 1
B El campo y las matrices de Dirac quedan


1  ψR + ψ L 
√
,
ψ=
2 ψR − ψ L




i
1
0
0
σ
 , γi = 
,
γ0 = 
0 −1
−σi 0
(128)

0 1 2 3
γ5 = iγ γ γ γ = 
0 1
1 0

.
(129)
B La representación de Dirac resulta cómoda en el límite no relativista, mientras
que la quiral es más conveniente en el límite ultrarrelativista.
104
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
La solución general de la ecuación de Dirac es una superposición de ondas planas,
ψ( x ) ≡ u(~p)e−ipx (modos de energía positiva E > 0),
ψ( x ) ≡ v(~p)eipx (modos de energía negativa − E < 0),
(130)
E=+
q
m2 + ~p2 . (131)
Aplicando (120) a estas soluciones tenemos
(/
p − m)u(~p) = 0,
(/
p + m)v(~p) = 0.
(132)
105
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Hallemos ahora la forma explícita de estas soluciones en la representación quiral:




u L (~p)
v L (~p)



.
u(~p) =
, v(~p) =
(133)
u R (~p)
v R (~p)
B Tomemos primero el caso m 6= 0. Entonces, en el sistema de referencia en reposo,
pµ = (m, 0, 0, 0)
(/
p − m ) u (0) = 0 ⇒ ( γ0 − 1) u (0) = 0 ⇒ u L (0) = u R (0),
(134)
(/
p + m ) v (0) = 0 ⇒ ( γ0 + 1) v (0) = 0 ⇒ v L (0) = − v R (0).
(135)
Entonces, centrándonos en el espinor de energía positiva u(~p), podemos elegir
√
(s)
(s)
u L (0) = u R (0) = m ξ (s) , s ∈ {1, 2}, ξ (r)† ξ (s) = δrs ,
 
 
1
0
(1)
(2)



.
ξ =
, ξ =
(136)
0
1
106
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Las soluciones para ~p arbitrario se hallan mediante boost en dirección p̂ = ~p/|~p|,


1
− 2 η p̂·~σ u(s) (0)
e
L
.
(137)
u(s) (~p) =  1
(
s
)
+
η
p̂
·~
σ
e 2
u R (0)
Desarrollando las exponenciales,
e
con
±η p̂·~σ
∞
∞
1 2k
1
= ∑
η ± p̂ ·~σ ∑
η 2k+1
(2k)!
(2k + 1)!
k =0
k =0
1
= cosh η ± p̂ ·~σ sinh η = ( E ± ~p ·~σ),
m
E
|~p|
cosh η = γ = , sinh η = γβ =
m
m
( pσ) = pµ σµ = E − ~p ·~σ, ( pσ) = pµ σµ = E + ~p ·~σ,
p
(s)

p
(138)
(139)
(140)

1  ( pσ) u L (0)  ( pσ) ξ (s) 
(s)
⇒ u (~p) = √
= p
.
p
(s)
(
s
)
m
( pσ) u R (0)
( pσ) ξ
(141)
107
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Otra forma de escribir estas soluciones es


p
p
1 − p̂ ·~σ
1 + p̂ ·~σ
+ E − |~p|
ξ (s) 
E + |~p|

2
2


(s)
u (~p) = 
,
p
p


1 + p̂ ·~σ
1 − p̂ ·~σ
(
s
)
E + |~p|
+ E − |~p|
ξ
2
2
(142)
donde se ha usado,
e
η
± 2 p̂·~σ
1 ∓ p̂ ·~σ
+e
2
r
p
p
E ± |~p|
= cosh η ± sinh η = γ ± γβ =
.
m
= cosh
e
η
±2
η
η
± p̂ ·~σ sinh = e
2
2
η
2
1 ± p̂ ·~σ
2
η
−2
(143)
(144)
108
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Si hacemos el límite ultrarrelativista (E m), pµ → ( E, 0, 0, E),



r 
3 ) ξ (1)
√
(
1
−
σ
0
E
(1)




u (~p) →
= 2E
2 ( 1 + σ 3 ) ξ (1)
ξ (1)



r 
(2)
3 ) ξ (2)
√
(
1
−
σ
ξ
E

 = 2E 

u(2) (~p) →
2 ( 1 + σ 3 ) ξ (2)
0
(145)
vemos que u(1) solo tiene componente right-handed y u(2) solo tiene componente
left-handed, es decir son campos de Dirac con helicidad bien definida
(quiralidad), como corresponde a campos de masa nula.
109
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Si repetimos el procedimiento para el espinor de energía negativa v(~p) obtenemos
  p

 p
(s)
(
pσ
)
v
( pσ) η (s)
(0)
1
L
(s)
 , η (r)† η (s) = δrs , (146)
= p
v (~p) = √  p
m − ( pσ) v(s) (0)
− ( pσ) η (s)
R
o bien
 
1 − p̂ ·~σ
1 + p̂ ·~σ
(s)
E
−
|~
p
|
+
η


2
2


(s)
v (~p) =  .
p
p


1 + p̂ ·~σ
1 − p̂ ·~σ
(
s
)
−
+ E − |~p|
η
E + |~p|
2
2
p
E + |~p|
p
(147)
110
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Veremos que resulta conveniente elegir
η (s) = −iσ2 ξ (s)∗ ⇒ η (1)
 
0

,
=
1
η (2)
 
1

.
=−
0
Entonces, en el límite ultrarrelativista (E m), pµ → ( E, 0, 0, E),



r 
3 ) η (1)
(1)
√
(
1
−
σ
η
E

 = 2E 

v(1) (~p) →
2 −(1 + σ3 )η (1)
0



r 
3 ) η (2)
√
(
1
−
σ
0
E
(2)




v (~p) →
= − 2E
2 −(1 + σ3 )η (2)
η (2)
(148)
(149)
lo que significa que v(1) solo tiene componente left-handed y v(2) solo tiene
componente right-handed, es decir son campos de Dirac con helicidad bien
definida y masa nula.
111
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Introduciendo ahora los correspondientes espinores adjuntos,a
u = u † γ0 ,
v = v † γ0 ,
(150)
v(~p)( /
p + m) = 0,
(151)
que satisfacen las ecuaciones de Dirac,
u(~p)( /
p − m) = 0,
pueden demostrarse las siguientes relaciones de ortonormalidad,
u(r) (~p)u(s) (~p) = 2mδrs ,
v(r) (~p)v(s) (~p) = −2mδrs
(152)
u(r)† (~p)u(s) (~p) = 2E~p δrs ,
v(r)† (~p)v(s) (~p) = 2E~p δrs ,
(153)
u(r) (~p)v(s) (~p) =v(r) (~p)u(s) (~p) = 0
(154)
y las relaciones de completitud,
∑
u(s) (~p)u(s) (~p) = /
p + m,
s=1,2
a
∑
v(s) (~p)v(s) (~p) = /
p − m.
(155)
s=1,2
Úsese la identidad 㵆 = γ0 γµ γ0 .
112
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Es importante notar que las 16 matrices,
1, γ5 , γµ , γµ γ5 , σµν ≡
i µ ν
[γ , γ ]
2
(156)
son linealmente independientes y forman una base para las matrices 4 × 4. Así
que se pueden definir los siguientes bilineales fermiónicos con propiedades de
transformación bien definidas (covariantes) bajo transformaciones de Lorentz,
ψψ, ψγ5 ψ, ψγµ ψ, ψγµ γ5 ψ, ψσµν ψ.
(157)
Puede comprobarse también que las transformaciones de Lorentz del campo de
Dirac ψ pueden escribirse, en cualquier representación de las matrices gamma, de
la forma
i
1
ψ 7→ exp − ωµν σµν ψ, i.e. J µν = σµν .
(158)
4
2
(Basta comprobar que J µν = 21 σµν satisface el álgebra de Lorentz.)
113
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Una simetría global interesante que posee el lagrangiano de Dirac sin masa es la
simetría quiral,
ψL 7→ e−iθ L ψL ,
ψR 7→ e−iθR ψR
(θ L y θ R independientes),
(159)
que, en términos del espinor de Dirac, puede escribirse
ψ 7→ e−iα ψ,
ψ 7→ e−iβγ5 ψ
(α y β independientes).
En efecto, haciendo transformaciones infinitesimales,
 


ψL
(1 − iα)ψL
−iα



 ⇒ θR = θL ≡ α
ψ=
7→ e ψ =
ψR
(1 − iα)ψR
 


ψL
(1 + iβ)ψL
−iβγ5



 ⇒ θ R = −θ L ≡ β.
ψ=
7→ e
ψ=
ψR
(1 − iβ)ψR
(160)
(161)
(162)
114
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Como
ψ 7→ e−iα ψ ⇒ψ 7→ ψeiα
(163)
ψ 7→ e−iβγ5 ψ ⇒ψ 7→ ψ† eiβγ5 γ0 = ψ† γ0 e−iβγ5 = ψe−iβγ5 ,
pues γ5† = γ5 ,
{γµ , γ5 } = 0,
(164)
(165)
la invariancia del lagrangiano bajo ambas transformaciones independientes es
clara:
ψ 7→ e−iα ψ ⇒ L = iψ/
∂ψ 7→ iψeiα ∂/e−iα ψ = iψ/
∂ψ = L
ψ 7→ e−iβγ5 ψ ⇒ L = iψ/
∂ψ 7→ iψe−iβγ5 γµ ∂µ e−iβγ5 ψ = iψ/
∂ ψ = L.
(166)
(167)
115
Campos espinoriales
Ecuación de Dirac
Hay por tanto dos corrientes conservadas,
µ
jV = ψγµ ψ
(corriente vectorial),
µ
j A = ψγµ γ5 ψ
(corriente axial).
(168)
Si m 6= 0 solo la corriente vectorial se conserva. Basta usar la ecuación de Dirac
para comprobarlo:
(i/
∂ − m)ψ = 0 ⇒
iγµ ∂µ ψ = mψ
−i∂µ
ψγµ
= mψ, pues
γ0 㵆 γ0
=
γµ
(169)
µ
⇒
∂µ jV = ∂µ (ψγµ ψ) = ∂µ ψγµ ψ + ψγµ ∂µ ψ = imψψ − imψψ = 0
µ
∂µ j A = ∂µ (ψγµ γ5 ψ) = ∂µ ψγµ γ5 ψ + ψγµ γ5 ∂µ ψ = imψγ5 ψ + imψγ5 ψ = 2imψγ5 ψ.
(170)
116
Campos espinoriales
Masa de Majorana
Un campo de Majorana es un campo de Dirac autoconjugado,
 
ψL

 , ψR = ζiσ2 ψL∗ , |ζ |2 = 1.
ψM =
ψR
(171)
B Es evidente que ψM puede tener masa a pesar de estar generado por un solo
espinor de Weyl. Basta con escribir
(i/
∂ − m)ψ M = 0 ⇒ iσµ ∂µ ψL = mψR = iζmσ2 ψL∗
(172)
que conduce a una ecuación de Klein-Gordon con masa para ψL ,
( + m2 ) ψ L = 0
(173)
independientemente de que ψR venga o no dado por ψL .
117
Campos espinoriales
Masa de Majorana
No escribiremos el lagrangiano clásico para
proporcional a

†
∗ T 2 0
ψ M ψ M = (ψL , −iζ ψL σ )
1
ψ M porque su término de masa sería
1
0


ψL

iζσ2 ψL∗

= iζψL† σ2 ψL∗ − iζ ∗ ψTL σ2 ψL = −iζ ∗ ψTL σ2 ψL + h.c.
(174)
que es nulo a no ser que las componentes de ψ M sean tratadas como cantidades
anticonmutantes (variables de Grassmann) pues
iψTL σ2 ψL = ψ1L ψ2L − ψ2L ψ1L .
(175)
118
Campos espinoriales
Masa de Majorana
Pero lo más interesante es que, si bien el lagrangiano de Dirac es invariante bajo
el grupo U(1) de transformaciones globales
ψL 7→ e−iα ψL ,
ψR 7→ e−iα ψR ,
(176)
esta simetría no pueden tenerla los campos de Majorana pues las componentes
left y right están conjugadas según (171).
B Esto significa que un campo de Majorana no puede tener cargas U(1), como la
carga eléctrica, el número bariónico o el número leptónico.
B ¿Es el neutrino un fermión de Majorana?
119
Campo electromagnético
Forma covariante de las ecs de Maxwell
El campo electromagnético viene descrito por el cuadrivector Aµ .
Definiendo el tensor F µν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,
el campo eléctrico ~E y el campo magnético ~B son
Ei = − F0i = −∂t Ai − ∇i A0 ,
1
~ )i ,
Bi = − eijk F jk = (∇ × A
2
(177)
de donde Fij = −eijk Bk , pues eijk ei`m = δ j` δkm − δ jm δk` .
Es decir:

F
µν
0

 E1

=
 E2

− E1 − E2 − E3
0
− B3
B3
0
E3 − B2
B1




 .
1
−B 

0
B2
120
Campo electromagnético
Forma covariante de las ecs de Maxwell
Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange al lagrangiano de Maxwell,
1
1 ~2 ~2
µν
L = − Fµν F = ( E − B )
4
2
(178)
que también puede escribirse L = − 12 (∂µ Aν ∂µ Aν − ∂µ Aν ∂ν Aµ ), obtenemos las
ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Maxwell en el vacío)
∂µ F µν = 0 ⇒ ∇ · ~E = 0,
∇ × ~B = ∂t ~E
(179)
Las otras dos ecuaciones de Maxwell se obtienen a partir del tensor dual
Feµν = 21 eµνρσ Fρσ , cuya cuadridivergencia es nula, pues ∂µ Feµν = eµνρσ ∂µ ∂ρ Aσ = 0,
∂µ Feµν = 0 ⇒ ∇ · ~B = 0,
∇ × ~E = −∂t ~B
(180)
121
Campo electromagnético
Simetría gauge
El lagrangiano de Maxwell es simétrico bajo transformaciones locales θ = θ ( x ) de
la forma
Aµ ( x ) 7→ Aµ ( x ) − ∂µ θ ( x )
(transformación de gauge U(1)).
(181)
La existencia de esta simetría local implica que Aµ ( x ) hace una descripción
redundante del campo electromagnético, pues podemos usar la libertad de
elección de gauge para restringir Aµ ( x ).
122
Campo electromagnético
Simetría gauge
Podemos tomar A0 ( x ) = 0 eligiendo
ˆ
Aµ ( x ) 7→ A0µ ( x ) = Aµ ( x ) − ∂µ
t
dt0 A0 (t0 , ~x ),
(182)
pues así A00 ( x ) = A0 ( x ) − A0 ( x ) = 0.
Podemos también hacer otra transformación, que no cambia la componente A0 ,
ˆ
3y
0i ( t, ~
d
∂A
y)
0
00
0
.
(183)
Aµ ( x ) 7→ Aµ ( x ) = Aµ ( x ) − ∂µ θ (~x ), θ (~x ) ≡ −
4π |~x − ~y|
∂yi
Aunque no lo parezca, esta θ no depende de t, pues
E = − F = −∂ A + ∂ A = − ∂0 A 0i
i
0i
0
0i
i 00
(184)
y como ∇ · ~E = ∂i Ei = 0 en ausencia de fuentes tenemos que ∂0 ∂i A0i = 0 y por
tanto ∂0 θ = 0. Así que también A000 ( x ) = 0.
123
Campo electromagnético
Simetría gauge
B Veamos qué consecuencias tiene la transformación de gauge anterior:
ˆ
0
i
1
y) 2
∂A0i ( x )
3 ∂A ( t, ~
0
2
~
∇
=
∇
·
A
,
∇ θ (~x ) = − d y
=
x
4π |~x − ~y|
∂yi
∂xi
(185)
donde se ha usado que
∇2x
1
4π |~x − ~y|
= −δ3 (~x − ~y),
(186)
así que
~ 00 = ∇ · A
~ 0 − ∇2 θ = 0.
∂µ A00µ ( x ) = ∂µ A0µ ( x ) − ∂µ ∂µ θ (~x ) ⇒ ∇ · A
(187)
~ = 0. A esta elección,
Es decir podemos tomar también ∇ · A
A0 = 0,
~ =0
∇·A
(188)
que solamente es posible en ausencia de fuentes, se le llama gauge de radiación.
124
Campo electromagnético
Simetría gauge
Otra elección, que puede hacerse siempre, es
Aµ 7→ A0µ = Aµ − ∂µ θ,
∂µ ∂µ θ ≡ ∂µ Aµ
(189)
de modo que podemos tomar
∂µ Aµ = 0.
(190)
Es el llamado gauge de Lorenz.a Entonces
∂µ F µν = 0 ⇒ ∂µ (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = Aν = 0.
(191)
Es decir, cada componente de Aµ satisface una ecuación de Klein-Gordon sin
masa. Sus soluciones son de la forma (Aµ es un campo real de masa cero)
Aµ ( x ) = eµ (k )e−ikx + eµ∗ (k)eikx ,
k2 = 0.
(192)
a
No debe confundirse a L.V. Lorenz (físico y matemático danés), autor del gauge de Lorenz, con
H.A. Lorentz (físico holandés, premio Nobel en 1902), que propuso las transformaciones de Lorentz.
Tampoco con E.N. Lorenz (matemático y meteorólogo norteamericano), fundador de la teoría del caos,
que acuñó el “efecto mariposa” y propuso el atractor de Lorenz.
125
Campo electromagnético
Simetría gauge
B La condición (190) implica que el vector de polarización eµ (k) satisface
ke = 0.
(193)
En el gauge de radiación, compatible con el gauge de Lorenz, el campo es
transverso pues la polarización e0 = 0 y ~k ·~e = 0.
~ = 0, que solo puede imponerse en
Aclaración: A diferencia de la condición ∇ · A
ausencia de fuentes, la condición A0 = 0 puede usarse siempre, aunque no suele
hacerse cuando hay fuentes.
126
Campo electromagnético
Simetría gauge
B Por ejemplo, consideremos un observador frente a una carga e en reposo a una
distancia r. En ese caso se suele tomar
e
~) =
,0 ,
(194)
Aµ = (φ, A
4πr
que conduce al campo electromagnético
~ − ∇φ = e r̂, ~B = ∇ × A
~ = 0.
~E = −∂t A
(195)
2
4πr
Sin embargo, podríamos haber elegido un gauge en el que
~ 0 ) = 0, − et r̂ ,
A0µ = (φ0 , A
(196)
2
4πr
que conduce al mismo campo electromagnético,
~ 0 − ∇φ0 = e r̂, ~B = ∇ × A
~ 0 = 0.
~E = −∂t A
(197)
2
4πr
Ambas elecciones están conectadas mediante la transformación de gauge
A0µ ( x ) = Aµ ( x ) − ∂µ θ ( x ),
θ (x) =
et
.
4πr
(198)
127
Campo electromagnético
Simetría gauge
Hallemos ahora el tensor energía-momento. Aplicando el teorema de Noether:
θ
µν
1 µν 2
∂L
ν
µν
µρ ν
∂ Aρ − g L = − F ∂ Aρ + g F ,
=
∂(∂µ Aρ )
4
F2 ≡ Fµν F µν ,
(199)
que no es invariante gauge ni tampoco simétrico!
B Podemos simetrizarlo añadiéndole ∂ρ ( F µρ Aν ), que cumple ∂µ ∂ρ ( F µρ Aν ) = 0 y
además lo convierte en invariante gauge,
1
T µν = − F µρ ∂ν Aρ + gµν F2 + ∂ρ ( F µρ Aν )
4
1 µν 2
µρ ν
= F Fρ + g F , cuando ∂ρ F µρ = 0 .
4
(200)
B Las cargas conservadas bajo transformaciones espaciotemporales son por tanto
ˆ
ˆ
1
E = d3 x T 00 =
d3 x (~E2 + ~B2 ) (energía)
(201)
2
ˆ
ˆ
Pi = d3 x T 0i = d3 x (~E × ~B)i (vector de Poynting).
(202)
128
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
En presencia de fuentes del campo electromagnético (cargas y corrientes) las
ecuaciones de Maxwell son
∂µ F µν = jν ⇒ ∇ · ~E = ρ,
∇ × ~B = ∂t ~E + ~j,
∂µ Feµν = 0 ⇒ ∇ · ~B = 0,
∇ × ~E = −∂t ~B.
jµ ≡ (ρ,~j),
(203)
(204)
B Nótese que las dos últimas son las mismas que en ausencia de fuentes, debido a
que ∂µ Feµν = eµνρσ ∂µ ∂ρ Aσ = 0 en cualquier caso. Estas ecuaciones se obtienen al
minimizar la acción
ˆ
ˆ
1
4
S = d x − Fµν F µν − jµ Aµ = d4 x L( x ) .
(205)
4
129
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
La acción es invariante gauge solo si jµ es una corriente conservada, ∂µ jµ = 0,
pues
jµ Aµ 7→ jµ Aµ − jµ ∂µ θ
y, como
´
d4 x
∂µ
´
´
4
µ
=0⇒
µ θ = − d x θ∂µ j = 0, tenemos que
ˆ
ˆ
d4 x jµ Aµ 7→ d4 x jµ Aµ ⇔ ∂µ jµ = 0.
(207)
(θjµ )
d4 x j µ ∂
(206)
B La invariancia gauge es el principio que guía cómo deben ser las interacciones.
130
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
Veamos cómo funciona el método aplicándolo al lagrangiano de Dirac en
presencia de un campo electromagnético. El lagrangiano de Dirac
L D = ψ(i/
∂ − m)ψ
(208)
no es invariante bajo transformaciones de gauge U(1)
(transformaciones de fase locales),
ψ 7→ e−iqθ ( x) ψ,
ψ 7→ ψeiqθ ( x) .
(209)
Sin embargo, el lagrangiano de Maxwell,
1
L A = − Fµν F µν
4
(210)
sí es invariante bajo la transformación de gauge
1
A µ 7 → A µ + ∂ µ θ ( x ).
e
(211)
131
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
B Podemos conseguir un lagrangiano total invariante gauge si cambiamos la
derivada ∂µ por la derivada covariante
Dµ = ∂µ + ieqAµ
(212)
pues entonces
Dµ ψ = (∂µ + ieqAµ )ψ 7→(∂µ + ieqAµ + iq∂µ θ )e−iqθ ψ
= e−iqθ (−iq∂µ θ + ∂µ + ieqAµ + iq∂µ θ )ψ = e−iqθ Dµ ψ
(213)
y el lagrangiano resultante,
1
L = ψ (i D
/ − m)ψ − Fµν F µν
4
1
= ψ(i/
∂ − m)ψ − Fµν F µν − eqAµ ψγµ ψ
4
(214)
es invariante gauge.
132
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
De esta forma, hemos introducido una interacción de la forma jµ Aµ
(acoplamiento mínimo) entre la corriente fermiónica,
jµ = eqψγµ ψ
(215)
y el campo electromagnético, que nos permite restaurar la simetría local.
B Nótese que jµ es una corriente conservada debida a la invariancia global de L D
bajo transformaciones de fase U(1). Por tanto, la carga conservada es:
ˆ
ˆ
ˆ
Q = d3 x j0 ( x ) = eq d3 x ψγ0 ψ = eq d3 x ψ† ψ (carga eléctrica).
(216)
B Otras interacciones invariantes gauge son posibles, pero involucran términos de
interacción con dimensión canónica mayor que cuatro, que deben ir multiplicados
por constantes con dimensiones de masa elevada a una potencia negativa.
Por ejemplo, la interacción dipolar magnética:
L = aψσµν ψFµν ,
[ a ] = M −1 .
Tales acoplamientos surgirán de forma natural al cuantizar la teoría y son
correcciones al acoplamiento mínimo de siguiente orden en TP.
133
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
En general si { T a } son los generadores del grupo de simetrías gauge, {Wµa ( x )} los
bosones de gauge asociados a cada generador y {θ a ( x )} los parámetros de la
transformación, es fácil comprobar que si los campos se transforman
U = exp{−iT a θ a ( x )}
i
†
e µ ≡ T a Wµa ,
e
7→ U Wµ U + (∂µ U )U † , W
g
ψ 7→ Uψ,
eµ
W
(217)
(218)
introduciendo la derivada covariante
eµ
Dµ = ∂µ + igW
(219)
Dµ ψ 7→ UDµ ψ
(220)
L = ψ (i D
/ − m)ψ
(221)
se tiene que
y el lagrangiano resultante
queda invariante.
134
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
B Para un grupo de simetrías no abeliano, el lagrangiano invariante de los campos
de gauge (210) debe generalizarse e incluye, además de los términos cinéticos,
autointeracciones cúbicas y cuárticas fijadas por las constantes de estructura:
1 a a,µν
1 n e e µν o
= − Wµν W
(222)
LG = − Tr Wµν W
2
4
= Lkin + Lcubic + Lquartic
(223)
donde
1
Lkin = − (∂µ Wνa − ∂ν Wµa )(∂µ W a,ν − ∂ν W a,µ )
4
1
Lcubic = g f abc (∂µ Wνa − ∂ν Wµa )W b,µ W c,ν
(224)
2
1
Lquartic = − g2 f abe f cde Wµa Wνb W c,µ W d,ν
(225)
4
y
e µ + ig[W
e µ, W
e ν ] 7→ U W
e µν U †
e µν ≡ Dµ W
e ν − Dν W
e µ = ∂µ W
e µ − ∂ν W
W
a
⇒Wµν
= ∂µ Wνa − ∂ν Wµa − g f abc Wµb Wνc .
(226)
(227)
135
Campo electromagnético
Acoplamiento mínimo con la materia
B En el caso del grupo U(1) del electromagnetismo el único generador es un
múltiplo de la identidad:
T = q (la carga del campo en unidades del acoplamiento g = e).
En adelante la llamaremos Q f , pues será la carga eléctrica (en unidades de e) del
fermión f que aniquila el campo cuántico ψ.
136