a Q

22.6 Las 3 esferas pequeñas que se muestran en la figura tienen cargas
q1=4 nC, q2= -7.8 nC y q3=2.4 nC. Halle el flujo eléctrico neto a través de
cada una de las superficies cerradas S1, S2, S3, S4 y S5.
S3
S1
S2
q1
S5
q2
q3
S4
4 10 −9 Cm 2
3 2
S1 Φ E =
=
=
0
.
451
10
m
ε 0 8.85 10 −12 C 2
C
q2 − 7.8 10 −9 Cm 2
3 2
S2 ΦE =
=
=
−
0
.
880
10
m
8.85 10 −12 C 2
C
ε0
q1
S3
S1
S2
q1
S5
q2
q3
S4
q1 + q2
S3 ΦE =
ε0
S4 ΦE =
S5 ΦE =
q1 + q3
ε0
(4 − 7.8) 10 −9 Cm 2
3 2
=
=
−
0
.
429
10
m
8.85 10 −12 C 2
C
(4 + 2.4) 10 −9 Cm 2
3 2
=
=
0
.
772
10
m
8.85 10 −12 C 2
C
q1 + q2 + q3
ε0
(4 + 2.4 − 7.8) 10 −9 Cm 2
3 2
=
=
−
0
.
158
10
m
8.85 10 −12 C 2
C
22.8 Una carga puntual q1=4 nC está situada sobre el eje de las x en x=2
m, y una segunda carga puntual q2= -6 nC está sobre el eje de las y en y=1
m. ¿Cuál es el flujo eléctrico total debido a estas dos cargas a través de
una superficie esférica centrada en el origen y con un radio de a) 0.5 m?
b) 1.5 m?c)2.5 m?
a )Φ E = 0
q2
q1
− 6 10 −9 Cm 2
3
2
b)Φ E =
=
=
−
0
.
677
10
m
/C
−12 2
ε 0 8.854 10 C
q1 + q2 (4 − 6) 10 −9 Cm 2
3
2
c )Φ E =
=
=
−
0
.
225
10
m
/C
−12 2
ε0
8.854 10 C
q2
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
La ley de Gauss es válida con respecto a cualquier distribución de cargas y a
cualquier superficie cerrada.
n
r r
Φ E = ∫ E ⋅ dA =
Se conoce la distribución
de la carga (y ésta tiene la
simetría suficiente para
evaluar la integral de la ley
de Gauss), se puede hallar
el campo eléctrico.
∑q
i
i =1
ε0
=
Qenc
ε0
Se
conoce
el
campo
eléctrico, se puede hallar
la distribución de carga.
DISTRIBUCIÓN DE CARGAS EN UN
CONDUCTOR
(en condiciones electrostáticas)
+
+ +
+ +
+
+
+ + +
+
+
+
+
+
Superficie
gaussiana
En condiciones electrostáticas el campo
eléctrico E al interior de un conductor es cero.
(Si E no fuera cero, las cargas se desplazarían).
Consideremos una superficie gaussiana dentro
del conductor. Puesto que E=0 (flujo eléctrico a
través de la superficie gaussiana), la ley de
Gauss exige que la carga neta dentro de la
superficie sea cero.
Se puede hacer esto dondequiera en el interior
del conductor.
No puede haber un exceso de carga en punto alguno dentro de un conductor
sólido, todo el exceso de carga debe residir en la superficie del conductor.
Cuando se coloca un en un conductor un exceso de carga y ésta se halla en
reposo (condiciones electrostáticas), reside en su totalidad en la superficie.
CAMPO DE UNA ESFERA CONDUCTORA CON CARGA
Se coloca una carga positiva q en una esfera conductora sólida de radio R.
Halle el campo eléctrico en cualquier punto adentro o afuera de la esfera
+
+
+
+ R
+
+
+
+ +
r<R
E
E(R)
r >= R
Simetría: por simetría de la esfera el campo E es
radial (depende de la distancia r del centro de la
esfera). Como superficie gaussiana consideremos
una esfera de radio r de área 4πr2.
Φ E = E (4πr ) =
2
Φ E = E (4πr ) =
2
r
0
ε0
q
ε0
=0 ⇒E=0
1
q
⇒E=
4πε 0 r 2
CAMPO DE UNA CARGA LINEAL
a
Ex =
dQ
Q
1
Q
λ=
2a
4πε 0 x ( x 2 + a 2 )
r
y
α
P
x
Ex =
-a
λ 2a
λ
1
=
4πε 0 x ( x 2 + a 2 ) 2πε 0
1
 x2 
x  2 + 1

a
≈
λ ˆ
i a >> x
2πε 0 x
CAMPO DE UNA CARGA LINEAL
Halle el campo eléctrico a una distancia x del
alambre, cuando la distancia x es mucho menor que
la longitud del alambre.
λ
L
x
Simetría: el sistema tiene simetría cilíndrica (se
puede hacer girar el sistema cualquier ángulo en
torno a su eje). El campo tiene que ser
perpendicular al alambre.
Como superficie gaussiana consideremos un cilindro
de radio arbitrario x y longitud arbitraria L
λL
Φ E = E (2πxL) =
=
ε0 ε0
1 λ
λL
E (2πxL) =
⇒ E=
2πε 0 x
ε0
q
CAMPO DE UNA LÁMINA INFINITA DE CARGA
+
E
A
+
+
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
+
Halle el campo eléctrico creado por una
lámina infinita que tiene una densidad
superficial de carga σ.
E
Simetría: una simetría plana significa que la
distribución de carga no cambia si se desliza en
cualquier dirección paralela a la lámina. En cada
punto E es perpendicular a la lámina.
Como superficie gaussiana empleamos un
cilindro perpendicular a la lámina.
σA
Φ E = 2 EA =
=
ε0 ε0
q
σ
E=
2ε 0
El campo es paralelo a la
superficie lateral del cilindro,
solo las caras transversales
contribuyen al flujo
CARGAS EN CONDUCTORES
+
+ +
+ +
+
+
+ + +
+
+ +
+ +
+
+
+ + +
El campo eléctrico en todos los puntos interiores de un
conductor es cero.
+
+
+
+
+
¿Qué ocurre si hay una CAVIDAD adentro del conductor?
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+ - - +
- +q
+
+
- - - +
+
+
+ + +
A
Si no hay carga en la cavidad se puede emplear una
superficie gaussiana como A. La carga neta en la
superficie de la cavidad debe ser 0 porque E=0.
A
Si hay carga en la cavidad:
En la superficie gaussiana A el campo es E=0 (la superficie
está adentro del conductor. Por la ley de Gauss, la carga
total que encierra la superficie tiene que ser 0. Debe
haber una carga –q distribuida en la superficie de la
cavidad, de modo que Qenc=q-q=0.
EJEMPLO 22.11 Un conductor tiene una carga total de +3 nC. La carga
en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -5 nC. ¿Cuánta
carga hay en cada superficie (interna y externa) del conductor?
Q=+3nC - - +
Considero la superficie gaussiana A. Para que
-5 nC la carga total adentro de la superficie sea 0,
- + + + +
la carga en la superficie interna tiene que ser
- - A
qint=-(-5 nC)=5 nC
Q=qint + qext
3nC=5nC+ qext
qext=3nC-5nC=-2nC
22.29 Se coloca una carga negativa –Q en el interior de la cavidad de un sólido
metálico hueco. El exterior del sólido está conectado a tierra mediante un
alambre conductor que va del sólido al suelo.
a)¿Se induce algún exceso de carga en la superficie interna del objeto de
metal?
b) ¿ Hay algún exceso de carga en el exterior del objeto de metal?
c) ¿ Hay un campo eléctrico en la cavidad?
d) ¿ Hay un campo eléctrico dentro del metal? ¿Afuera del metal?
e) ¿Alguien en el exterior del sólido mediría un campo eléctrico debido a la
carga –Q?
+
+
+A
-Q +
+
+
+
+
a) Consideremos la superficie gaussiana A, el
campo en el metal es E=0, por la ley de Gauss la
carga total encerrada por A tiene que ser 0,
hay una carga +Q en la superficie interna.
b) Si el conductor no fuera conectado a tierra
tendría carga en la superficie exterior, pero con el
alambre conectado al suelo no hay carga.
22.29 Se coloca una carga negativa –Q en el interior de la cavidad de un sólido
metálico hueco. El exterior del sólido está conectado a tierra mediante un
alambre conductor que va del sólido al suelo.
a)¿Se induce algún exceso de carga en la superficie interna del objeto de
metal?
b) ¿ Hay algún exceso de carga en el exterior del objeto de metal?
c) ¿ Hay un campo eléctrico en la cavidad?
d) ¿ Hay un campo eléctrico dentro del metal? ¿Afuera del metal?
e) ¿Alguien en el exterior del sólido mediría un campo eléctrico debido a la
carga –Q?
-Q
+Q
A
c) Consideremos la superficie gaussiana A con
radio menor que el radio de la cavidad. En la
cavidad hay carga neta –Q, entonces por la ley
de Gauss en la cavidad hay un campo eléctrico.
d) En el metal E=0 (conductor en condiciones
electrostáticas). Aplicando la ley de Gauss con la
superficie gaussiana A de radio mayor que el radio
del conductor se puede ver que E=0 afuera del
metal.
22.17 ¿Cuántos electrones en exceso se deben agregar a un conductor esférico
aislado de 32 cm de diámetro para producir un campo eléctrico de 1150 N/C
inmediatamente afuera de su superficie?
r=d/2=16 cm=0.16 m
Φ E = ∫ EdA = E 4πr =
2
q
ε0
q = E 4πr 2ε 0 =
2
C
−12
1150 (4π )(0.16m) 2 (8.854 10 −12
)
3274
10
=
C = 3.2nC
2
C
m
3.27 10 −9 C
10
n=
=
2
.
04
10
el.
−19
1.6 10 C
22.18 El campo eléctrico a 0.4 m de una línea con carga uniforme y muy larga es
de 840 N/C. ¿Cuánta carga hay en una sección de 2 cm de la línea?
+
+
+
+ E
+
0.4 m
+
+
E (r = 0.4m) = 840
C
r = 0.4m
l = 0.02m
+
+
E 2πrl =
q
ε0
q = E 2πrlε 0 =
2
C
−12
840 (2π )(0.4m)(0.02m)(8.854 10 −12
)
=
373
.
6
10
C
2
C
m
22.19 Una línea de carga uniforme y muy larga tiene una carga en cada unidad de
longitud de 4.8 µC/m y yace a lo largo del eje de las x. Una segunda línea con
carga uniforme y larga tiene una carga en cada unidad de longitud de – 2.4 µC/m
y es paralela al eje de las x en y=0.4 m. ¿Cuál es el campo eléctrico neto
(magnitud y dirección) en los puntos siguientes del eje de las y: a) y=0.2 m, b)
y=0.6 m?
a) E
y
Y=0.6 m
E1
E2
E?
E1
E2
E?
λ1 ˆ
λ2 ˆ
j+
j=
=
2πε 0 r1
2πε 0 r2
4.8 10 −6 C / m 2.4 10 −6 C / m
6 ˆ
0
.
64
10
+
=
j
λ2=-2.4 µC/m
2πε 0 (0.2m)
2πε 0 (0.2m)
C
---------------
Y=0.4 m
Y=0.2 m
b)
+++++++++++
x
λ1=4.8 µC/m
E1
E2
λ1 ˆ
λ2
E=
j+
(− ˆj ) =
2πε 0 r1
2πε 0 r2
4.8 10 −6 C / m 2.4 10 −6 C / m
−
=
2πε 0 (0.6m)
2πε 0 (0.2m)
6 5 ˆ
− 0.2110
= −0.72 10
j
0.14 10
C
C
C
6
22.20
* En clase 9/9
a) A una distancia de 0.2 cm del centro de una esfera conductora con carga
cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo
eléctrico a 0.6 cm del centro de la esfera?
b) A una distancia de 0.2 cm del eje de un cilindro conductor muy largo con
carga, cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el
campo eléctrico a 0.6 cm del centro del eje del cilindro?
c) A una distancia de 0.2 cm de una lámina con carga grande y uniforme, el
campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo eléctrico a 1.2 cm desde la
lámina?
22.36 Una esfera conductora sólida con una carga q tiene un radio a. Está
adentro de una esfera conductora hueca concéntrica con radio interior b y
radio exterior c. La esfera hueca no tiene carga neta. a) Deduzca
expresiones de la magnitud del campo eléctrico en términos de la distancia r
desde el centro para las regiones: r < a, a < r < b, b< r < c y r > c.
b) ¿Cuál es la carga de la superficie interna de la esfera hueca?
c) ¿ Y en la superficie externa?
a) r < a interior de un conductor, E=0.
a < r < b ley de Gauss sobre la superficie A
a
q
A
b
E 4πr 2 =
q
ε0
⇒ E (r ) =
1
q
4πε 0 r 2
b < r < c interior de un conductor, E=0
c
r > c ley de Gauss sobre la superficie B
B
E 4πr 2 =
q
ε0
⇒ E (r ) =
1
q
4πε 0 r 2
E
b) En la superficie interior hay una
carga –q
E(R)
c) En la superficie exterior hay
una carga +q
a
b
c
r
CAMPO DE UNA ESFERA AISLANTE CON CARGA UNIFORME
Una carga positiva Q está distribuida de manera uniforme en todo el
volumen de una esfera aislante de radio R. Halle la magnitud del campo
eléctrico en un punto P que se encuentra a una distancia r del centro de la
esfera.
Consideremos el flujo eléctrico a través de la
superficie de una esfera de radio r. La cantidad de
+ +
carga encerrada en el interior de la superficie
+ + + r+
+
depende del radio r.
+
+
+ +
+ + + R
r<R
ρ=
Q
Q
=
Densidad
V 4 πR 3
volumétrica
3
Venc
4 3
= πr
3
La carga Qenc encerrada por la superficie es:
Qenc = ρVenc
de
carga
Volumen encerrado por la
superficie gaussiana
 4 3  Qr 3

Q
 πr  = 3
= 
3 
 R
 (4 / 3)πR  3
Por la ley de Gauss:
4πr E =
2
Qenc
ε0
Q r3
=
ε 0 R3
1 Qr
⇒E=
4πε 0 R 3
Por r > R
4πr E =
2
Q
ε0
1
Q
⇒E=
4πε 0 r 2
E
E(R)
R
r
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA (CAP. 23)
ENERGIA POTENCIAL Y FUERZAS CONSERVATIVAS
Trabajo
r r b
= ∫ F ⋅ dl = ∫ F cos φdl
b
Wa →b
a
a
Si la fuerza es conservativa, el trabajo se puede expresar en términos
de una energía potencial:
r r b
= ∫ F ⋅ dl = ∫ F cos φdl = U a − U b = −(U b − U a ) = − ∆U
b
Wa →b
a
a
Si Wab es positivo, Ua es mayor que Ub y la energía potencial disminuye.
Teorema trabajo-energía: el cambio de energía cinética ∆K durante
cualquier desplazamiento es igual al trabajo total:
∆K = K b − K a = −(U b − U a ) ⇒ K a + U a = K b + U b
LA ENERGÍA MECÁNICA TOTAL SE CONSERVA.