Problemas de Electromagnetismo I

Problemas de
Electromagnetismo I
2º Grado de Física
L. Soriano
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
L. Soriano
Tema 1.- CALCULO VECTORIAL
1.1
Usar métodos vectoriales para determinar la ecuación de la recta que pasa por (-1,1,0)
y (0,0,1).
1.2
Un ave va volando en línea recta con vector velocidad 10ux + 6uy + uz en km/h. Suponer
que (x,y) son sus coordenadas en tierra y z es su altura. a) Si en cierto momento el ave
esta en (1,2,3) ) donde estará una hora despues? )cuanto tarda en subir 10 m?.
1.3
Hallar el ángulo entre ux + uy + uz y ux + uy - uz .
1.4
Hallar por métodos vectoriales el área del triángulo con vértices en los puntos (1,1),
(0,2) y (3,2).
1.5
Demuestra las siguientes identidades: a) ax(bxc) = (a.c)b - (a.b)c ; b) (axb)xc = (c.a)b (c.b)a .
1.6
Calcula grad f en el punto (2,3,5) para un campo escalar f dado por f(x,y,z)=2sen x -x2 y z
+ x ex .
1.7
Calcular las constantes a,b y c de forma que f= (x+2y+az)ux + (bx-3y-z)uy + (4x+cy+2z) uz
sea irrotacional.
1.8
Hallar la derivada direccional de f = x2yz + 4xz2 en el punto (1,-2,-1) y en la dirección y
sentido de 2ux - uy - 2uz.
1.9
Calcular la divergencia∇f y el rotacional ∇×f de cada uno de los campos vectoriales: a)
f(x,y,z)= xux + yuy + zuz . b) f(x,y,z)= (x2 + y2 + z2) (3ux + 4uy + 5uz)
f = x2 y2 ux + 2 x y z uy + z2 uz .
1.10
Calcular ∇×f en el punto (1,-2,1) para
1.11
Demostrar las siguientes identidades: a) rot grad a = 0 . b) div rot f = 0.
1.12
Calcular grad f (∇f) en coordenadas cilíndricas para f(x,y,z) = z/(x2 + y2).
1.13
Hallar por métodos vectoriales el ángulo que forman las superficies x2 + y2 + z2 = 9 y z =
x2 + y2 - 3 en el punto (2,-1,2).
1.14
Demostrar que ∇×(∇×f ) = - ∇2 f + ∇ (∇f).
1.15
Sea r el campo vectorial r(x,y,z) = (x,y,z) el vector posición y sea r el módulo de r.
Calcular ∇r y ∇(rr).
1.16
Dado f = x y2 ux + y z2 uy + 2 x z uz . Calcular la circulación del vector f a lo largo de la
recta que une los puntos (0,0,0) y (1,2,3).
2
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
1.17
L. Soriano
Evaluar cada una de las integrales de línea siguientes: a) ∫ x dy - y dx a lo largo de
s(t)=(cost,sent), 0 ≤ t ≤ 2π. b) ∫ yz dx + xz dy + xy dz a lo largo de la trayectoria formada
por los segmentos de recta que unen a (1,0,0) a (0,1,0) a (0,0,1). c) ∫ x2 dx - xy dy + dz
2
entre los pumtos (-1,0,1) y (1,0,1) por la parábola z=x , y=0.
1.18
Dado f = k rn ur. Calcular ∫∫s f .n da , ∫ ∫s f × n da y ∫ ∫ ∫v div A dτ donde s y τ
corresponden a la esfera de radio a centrada en el origen.
1.19
Dado f = x y2 ux + y3 uy + x2 y uz. Calcular
∫ ∫s f . n da , ∫ ∫s f x n da y ∫∫s rot f.n da,
para
la
superficie de la figura
consistente en un cuadrado de lado 2
en el plano xy.
1.20
Evaluar la integral de superficie ∫ ∫s f.n da, donde f(x,y,z)=ux + uy + z(x2+y2)2 uz en la
superficie del cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤1.
1.21
Comprueba el teorema de la divergencia para un campo eléctrico E = 2 r2 u
r
en
coordenadas esféricas. Calcula primero la integral de volumen de la divergencia del
campo para una esfera de radio r=3 y despues el flujo del campo a través de la
superficie que delimita tal volumen.
1.22
Comprueba el teorema de Stokes con f = (x + y) ux - 2 x2 uy + x y uz
y la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 1
1.23
Calcular directamente y aplicando el teorema de la divergencia ∫ ∫s f.n da siendo f= 4xz
ux - y2 uy + yz uz y S la superficie del cubo limitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 y z=1.
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
L. Soriano
Tema 2.- CAMPOS ELECTROSTÁTICOS EN VACÍO
2.1
Calcular la carga total en cada una de las distribuciones de la figura: a) distribución
uniforme lineal de carga λ0 en una circunferencia de radio a. b) distribución uniforme
superficial de carga σ0 en un disco circular de radio a. c) distribución lineal de carga
infinita a lo largo del eje z con una densidad de carga λ = λ0 / (1+(z/a)2). d) la nube
electrónica alrededor del núcleo cargado Q positivamente en el átomo de hidrógeno
representada por una distribución esférica de carga de densidad:
ρ(r) = - (Q /πa3) exp (-2r /a) donde a es el radio de Bohr.
2.2
Calcular el campo eléctrico sobre el eje z creado por
una distribución lineal de carga con forma circular de
densidad λl = k sin Φ.
2.3
Calcular el campo eléctrico en cada una
de las cargas puntuales situadas en los vértices
del cubo de la figura.
2.4
Calcular el campo eléctrico sobre el eje z que crea una densidad de
carga superficial uniforme σs distribuida sobre una superficie
cilíndrica de radio a y que se extiende desde z=-h hasta z=h.
4
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
2.5
L. Soriano
Calcular el campo eléctrico E (x,y,z) creado por una
distribución uniforme superficial de carga distribuida en
una franja del plano y=0 que se extiende desde x=−d/2 a
x=d/2 y desde z=∞ hasta z=−∞.
2.6
Calcular la componente x del vector campo eléctrico en el
origen para una distribución volumétrica de carga dada
2
2
2 5/2
por ρ = ( x + y +z ) y distribuida en la región dada por 0
≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1.
2.7
Sea un cubo de lado 1mm uniformemente cargado con densidad de carga ρ = 10−6 C m-3
encerrado dentro de una esfera hueca de radio 1 m. Calcular el flujo del campo
eléctrico a través de la superficie esférica.
2.8
Dadas tres distribuciones lineales de carga λ1=5 10-9
Cm-1; λ2=4 10-9 Cm-1 y λ3=-6 10-9 Cm-1 situadas en
(0,0), (3,0) y (0,4) respectivamente. Calcular E y la
densidad de flujo del campo eléctrico en el punto
(3,4) como suma de los campos eléctricos creados
por cada una de las cargas.
2.9
Dada una superficie cilíndrica de radio a y altura h=1 en un
campo E=E0(xux+yuy+(z2-1)uz), donde E0 es constante.
Calcular el flujo de E por integración directa y por el
teorema de la divergencia.
2.10
Calcular el campo eléctrico creado por tres distribuciones
superficiales de carga paralelas e infinitas en las siguientes
regiones: a) 0 < x < a; b) a < x < b; c) b < x < ∞ .
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
2.11
L. Soriano
Considera un haz de electrones de forma cilíndrica con una densidad volumétrica de
carga ρ = ρ0 (1-(r/d)2) Cm-3. Calcular E para d<r y d>r.
2.12 Determina la distribución de cargas que produce un campo eléctrico E=(r +1/r2)
U(r0-r)ur donde U(r0-r) es la función escalón definida por U(r0-r)=0 si r>r0 y U(r0-r)
= 1 si r<r0 (nota: considerar δ (r0-r) como la derivada de U (r0-r) en r=r0).
2.13
a) En cierta región del espacio los componentes del campo eléctrico vienen dados por
Ex = ax, Ey = ay, Ez = 0. Determinar la forma de las líneas de campo y la cantidad de
carga contenida en un cilindro de radio b y longitud L (con el eje z como eje de
simetría). b) en otra región las componentes radial y transversal del campo eléctrico
vienen dadas por Er=2p cos Θ/r3 y EΘ=p sen Θ/r3. Determinar la forma de las líneas de
campo y la carga contenida dentro de una esfera de radio b con centro en el origen.
2.14
Una carga puntual Q está situada en el centro geométrico de un cubo. a) Calcular,
aplicando Gauss, cuál es el flujo del campo E a través de cada una de las caras del
cubo. b) Si la carga se desplaza a uno cualquiera de los vértices del cubo, cuál es ahora
el flujo del campo E a través de cada una de las caras del cubo.
2.15
Una distribución volumétrica de carga uniforme ρ0 tiene forma de tubo
b
a
cilíndrico con radio interior a y exterior b. Se pide: a) Determinar el
campo eléctrico en todas las regiones: r <a; a<r<b; r>b; b) ¿Qué
ρ0
λ
densidad de carga lineal debería situarse en r=0 para reducir el campo
externo (r>b) a cero?
2.16
Comprobar si el campo existente en una cierta región del espacio, que
viene dado por la expresión E = kx2 ux + ky2 uy + 10 uz, siendo k una constante,
representa un campo electrostático y determinar, en su caso, la densidad de carga
en dicha región.
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
2.17
L. Soriano
Sea un cilindro hueco e infinito con radio interno a y
radio externo b, con una densidad volumétrica de
carga ρ = A r2, siendo r la distancia al eje y A una
constante. Calcular: a) El campo eléctrico E en las
b
a
distintas regiones del espacio. b) La diferencia de
potencial entre los puntos r = R1 y r = R2, siendo a < R1
< b y R2 >b.
2.18
R
Un alambre conductor uniformemente cargado con carga q tiene la
forma de un arco de circunferencia de radio R y amplitud 2α. Calcular el
α
campo eléctrico en el centro del círculo.
α
d
φ
R
2.19
Sobre un plano infinito (xy) existen dos distribuciones superficiales
de carga: una densidad superficial de carga uniforme -σ
z
sobre un círculo de radio R y otra de signo contrario + σ
sobre el resto del plano. Calcular el campo eléctrico E
sobre el eje Z, supuesto éste que pasa por el centro del
σ
R
-σ
círculo de la primera distribución (ver figura). NOTA: Se
aconseja resolverlo mediante el principio de superposición de campos.
2.20
y
Dos esferas conductoras y cargadas igualmente con carga Q y de
masa m se cuelgan mediante hilos de masa despreciable y
aislantes, tal y como se muestra en la figura. Determinar la carga
α
l
de las esferas en función de la masa m y la longitud del hilo l
para que, cuando el sistema se encuentre en equilibrio, el ángulo
formado sea α. (Tomar las esferas como cargas puntuales).
2.21
x
Q
Q
Una carga Q está uniformemente distribuida a lo
largo del perímetro de una circunferencia de radio R.
Calcular la diferencia de potencial entre el centro del
anillo y un punto sobre el eje del anillo que dista 3R
Q
R
r
O
3R
del centro del anillo.
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Tema 3.- CAMPOS ELECTROSTÁTICOS EN CONDUCTORES
3.1
La figura muestra un conductor (z<0) con una densidad
superficial de carga uniforme σ = σ0 en z=0 y una densidad
volumétrica de carga ρ = ρ0 exp (-αz) en z>0. Calcular el campo
eléctrico debido a tal distribución de carga.
3.2
Considera una corona esférica conductora de radio interno a y
radio externo b conteniendo una carga q en el centro. Calcular la
densidad de carga inducida en las superficies esféricas interior y
exterior y el potencial electrostático al que se encuentra el
conductor. Repetir el problema con el conductor a potencial φ0 en
lugar de aislado.
3.3
Supóngase el sistema de la figura formado por una esfera metálica de radio R
inicialmente descargada; una corteza esférica de radio 2R
(concéntrica con la anterior) sobre la cual hay depositada una
carga Q, distribuida uniformemente; y una corteza metálica,
también concéntrica, de radio 4R que inicialmente se halla sin
carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse
desconectado o conectarse a la cáscara exterior. Calcular los
potenciales y densidades de carga de cada una de las esferas a) en el estado inicial
(desconectado); b) Cuando el cable conecta la esfera interior con la cáscara exterior.
3.4
Tres láminas conductoras, paralelas de superficie S, están
dispuestas como se indica en la figura. La lámina central, aislada,
tiene una carga Q y las otras dos, unidas eléctricamente y
separadas de la lámina central una distancia d, tienen en
conjunto una carga –4Q. Determinar, suponiendo que en cada
cara de cada placa la densidad de carga es uniforme, las
distribuciones superficiales de carga en cada una de las dos
superficies de cada lámina.
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
3.5
L. Soriano
Se disponen dos láminas plano paralelas conductoras e infinitas,
separadas una distancia d y conectadas eléctricamente. A una
distancia d/3 de una de ellas se introduce una distribución
superficial de carga positiva de espesor despreciable y densidad
σ. Calcular el campo entre las dos regiones definidas entre las
tres láminas. Calcular las densidades superficiales de carga
inducidas en cada una de las caras de los planos conductores
conectados.
3.6
Una esfera conductora contiene dos cavidades esféricas
según se muestra en la figura. La esfera no está cargada, sin
q3
embargo en el centro de cada una de las cavidades esféricas
hay una carga puntual q1 y q2 respectivamente. A una
r
q2
q1
distancia r del centro de la esfera (con r>> radio esfera) está
situada otra carga puntual q3.
a) Calcular la fuerza ejercida sobre la carga q3, teniendo en
cuenta que está a una distancia suficientemente grande del
centro de la esfera.
b) ¿Qué se puede decir sobre las distribuciones superficiales de carga que
aparecen en las superficies de la esfera conductora?
3.7
Dos esferas conductoras, concéntricas y de radios a y b (a<b) tienen cargas qa y
qb respectivamente. Calcular:
a) Los potenciales de las dos esferas.
b) Si la esfera de radio a se conecta a tierra,
recalcular las nuevas cargas y los nuevos potenciales
de las dos esferas.
c) A continuación se conecta la esfera de radio b a
una batería de potencial V0, manteniéndose la de
radio a unida a tierra. Calcular las cargas de las dos
esferas en esta nueva configuración.
9
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
3.8
L. Soriano
Tres esferas conductoras de radio R se sitúan alineadas con sus centros separados entre sí
una distancia d (d>>R). Las esferas de los extremos están conectadas a tierra mientras que
la esfera central tiene una carga Q. Calcular cuánto vale el potencial electrostático para la
esfera central.
V
R
d
3.9
Supóngase una lluvia formada por gotas de agua iguales, esféricas de 1 cm de diámetro,
que tienen una carga de 3x 10-8 C cada una, repartida uniformemente por su superficie.
Si las gotas se juntan unas con otras formando gotas más grandes,
a) Averiguar cómo cambia el potencial y el campo eléctrico en la superficie cuando se
juntan dos gotas en una sola.
b) Si el campo eléctrico de ruptura del aire es de 2 x 107 V/m, ¿cuántas gotas se pueden
juntar antes de que salten chispas?
3.10
Tres superficies esféricas conductoras concéntricas de radios R1, R2 y R3, donde R1< R2<
R3, están conectadas respectivamente a tres fuentes de potencial V1, V2 y V3.
a) Calcular la carga de cada una de las tres esferas.
A continuación se desconectan las esferas de sus fuentes y posteriormente la esfera de
radio R2 se conecta a tierra.
b) Qué carga ha pasado de la esfera de radio R2 a tierra en esta nueva situación,
respecto a la anterior configuración.
3.11
Una esfera conductora, descargada y de radio R2 tiene un hueco concéntrico y de forma
esférica de radio R1. En el centro del hueco se sitúa una carga puntual +Q.
a) Si la esfera está aislada, ¿cuál será la distribución de cargas del sistema?
b) Calcular el potencial y el campo eléctrico E en las distintas regiones del espacio.
Si la esfera se conecta a tierra, ¿cuál será la nueva distribución de cargas del sistema?
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L. Soriano
Tema 4.- ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
4.1
Tres cargas puntuales de valores 1, 2 y 3 C se
encuentran situadas en los vértices de un triángulo
equilátero de lado 1m. Se pide calcular el trabajo
necesario para mover tales cargas a los vértices de
otro triángulo equilátero de lado 0.5 m.
4.2
Dada una esfera conductora aislada de radio R con una densidad de carga superficial σ.
Calcular la energía potencial en términos de R.
4.3
Dado el campo eléctrico E=ay ux + ax uy con a = 100 voltios/m2. Calcular a) el
potencial eléctrico Φ, tomando Φ = 0 en el origen. b) el trabajo realizado por el
campo cuando una carga q=10-8 C se mueve desde (-1,2) a (2,3). c) la densidad
de carga en cualquier punto.
4.4
Dadas cuatro cargas puntuales en los vértices de un
cuadrado de lado 6 m. según indica la figura Calcular la
energía total de tal configuración con q= 2 10-8 C.
4.5
Calcular la energía almacenada en el campo electrostático
entre dos esferas concéntricas conductoras de radios R y 2R respectivamente. Las
cargas en las dos esferas son iguales Q pero de signo opuesto.
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
4.6
L. Soriano
Un condensador plano paralelo está cargado con carga Q. La distancia entre las
placas es d y sus áreas es A. a) Calcular la energía almacenada en el
condensador. b) Calcular la fuerza electrostática por unidad de área entre las
placas. Desprecia los efectos de borde.
4.7
Sea una distribución esférica de carga de radio a y ρ
uniforme. Si la carga total es Q calcular a) la energía
necesaria para la formación del sistema mediante
U=1/2 ∫V ρφdτ. b) Repite el c álculo usando U=1/2∫V ε0E2dτ.
c) Si hacemos a=0, determina la energía necesaria para
formar una carga puntual Q. d) Calcula la energía para
traer desde el infinito la primera carga Q de un sistema de cargas.
4.8
Una esfera de radio 1 m tiene inicialmente una distribución uniforme de carga en todo
su volumen de 2 μCm-3. Si en un instante dado la esfera se vuelve conductora, la carga
emigra hacia la superficie. Calcular cuánto cambia la energía electrostática del sistema
al pasar la esfera de aislante a conductora.
12
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
L. Soriano
5.- MULTIPOLOS ELÉCTRICOS
5.1
Calcular el vector momento dipolar p de cada una de las distribuciones de carga
representadas en las figuras a, b y c.
5.2
¿Cuál es la dirección y sentido de la fuerza sobre el dipolo central debida al campo de
los otros dos dipolos? Hallar el módulo de la fuerza.
5.3
Un dipolo de módulo p=2/3 10-9 C está situado en el origen en la dirección uz. A su
campo se le añade un campo eléctrico uniforme de intensidad 15 104 voltios/m en la
dirección uy. ¿En dónde será nulo el campo total?
5.4
Sea un dipolo p situado en un punto dado por r en el campo de una carga puntual q en
el origen. Determinar: a) la energía de interacción del campo con p, b) el momento T
correspondiente y c) la fuerza neta sobre él.
5.5
Sea un dipolo puntual p1 en r1 y otro p2 en r2. Determinar la energía de p2 en el campo
de p1 debida a la energía de interacción dipolo-dipolo. Determinar la fuerza F2 sobre p 2.
Calcular F 2 si:
a) p 1 y p 2 son paralelos entre sí pero perpendiculares a R=r2-r1.
b) p1 y p2 paralelos entre sí y paralelos a R.
13
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
5.6
L. Soriano
Un modelo simplificado del átomo es suponer al núcleo como una carga puntual +q y a
los electrones como una distribución de carga esférica uniforme de volumen τ en torno
al mismo. Supongamos que un átomo así se coloca en presencia de un campo externo
uniforme E0. a) Calcular la separación de los centros de carga producida por el campo
externo. b) Calcular el momento dipolar inducido en el átomo. c) Si los átomos son de
un gas monoatómico con N átomos por unidad de volumen, calcular la susceptibilidad
eléctrica χ y la constante dieléctrica ε.
5.7
Considérese que la molécula de amoníaco es rígida y tiene
N
la forma de la figura, siendo l =1.5 Å y θ = 60°. Los tres
átomos de hidrógeno forman un triángulo equilátero.
θ
Supóngase también que los iones son cargas puntuales que
valen +e (hidrógeno) y –3e (nitrógeno). Determinar: a) el
ℓ
H
momento dipolar de la molécula de amoníaco y b) la fuerza
H
con que se atraerían dos moléculas separadas 1mm en la
H
dirección de su eje.
5.8
y
En un campo eléctrico uniforme E se coloca un dipolo
P
eléctrico con momento dipolar p en un punto donde
r
el potencial es V0. Si el dipolo es paralelo a E, a)
potencial eléctrico resultante.
b) Encontrar las componentes radial y tangencial del
θ
p
Hallar en coordenadas polares la expresión del
x
Vo
E
campo eléctrico resultante.
14
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
5.9
L. Soriano
Sean dos dipolos coplanarios p1 y p2 separados por el vector r12 y orientados de forma
arbitraria formando ángulos θ1 y θ2 con respecto a la línea que los une. Deducir la
relación entre θ1 y θ2 en la posición de equilibrio considerando constante el valor de θ1.
Se considerarán positivos los ángulos formados en dirección contraria a las agujas del
reloj.
p1
5.10
p2
θ1
θ2
P
Se tiene una distribución de cargas puntuales según la figura.
Calcular a) cuánto vale el momento monopolar, dipolar y el
r
+q
tensor cuadrupolar de la distribución de carga. b) el campo
a
eléctrico en el punto P situado en el eje de la distribución con
a
-2q
+q
r>>a.
5.11
λ = λ0 (1-cos Φ)
Sobre un hilo metálico cuya sección es
despreciable frente a su longitud y dispuesto en forma
R
Φ
de circunferencia de radio R sobre el plano XY, se
distribuye una densidad lineal de carga λ = λ0 (1-cos Φ).
Calcular los momentos monopolar, dipolar y cuadrupolar
de la distribución de carga.
5.12
z
Se tiene una superficie esférica de radio R
con una densidad superficial de carga dada
σ = σ0 cos θ
en coordenadas esféricas por: σ = σ0 cos θ,
θ
donde σ0 es una constante positiva. Calcular
los
momentos
monopolar,
dipolar
r
y
y
cuadrupolar de la distribución de carga.
x
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
L. Soriano
6. DIELÉCTRICOS
6.1
Calcular la polarización P y las densidades volumétrica y superficial de carga de
polarización cuando se introduce un cilindro de radio a con carga λ Q/m)
(
en un medio
dieléctrico l.i.h.
6.2
Un electrete tiene un momento dipolar eléctrico permanente incluso en ausencia de
cargas libres. Dado un electrete esférico de radio R con vector polarización eléctrica P=
P0r. Determinar la densidad de carga ligada ρb , el vector desplazamiento D y el campo
eléctrico E en función de r.
6.3
Sean un par de conductores coaxiales de
longitud L con un dieléctrico de permitividad
ε entre ellos mientras el resto del espacio
esta ocupado por el aire. Suponiendo que el
conductor interno esta cargado con carga +Q
y el externo con carga neta 0: determinar en
cada una de las regiones del sistema a) D; b) E; c) P y d) la densidad superficial de carga
en los conductores y la densidad de carga de polarización en r = b y r = c.
6.4
Dada una carga puntual q en el centro de una corona esférica
dieléctrica de radios externo e interno a y b respectivamente.
Calcular a) D y E para r < a, a < r < b y b < r, b) la polarización eléctrica
P y la densidad de carga ligada ρb para r<a, a<r<b y r>b.
6.5
Una esfera conductora de radio a y con carga Q se introduce
en un líquido dieléctrico de constante ε, quedando
sumergida solo hasta su mitad. Calcular el campo eléctrico
fuera de la esfera y la densidad de carga superficial en ella.
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
6.6
L. Soriano
Un campo eléctrico en un medio cuya permitividad relativa
ε/ε0 es 7 pasa a otro medio de permitividad relativa 2. Si E
forma un ángulo de 60o respecto a la normal a la intercara
entre ambos medios. ¿Qué ángulo forma el campo en el
segundo dieléctrico?
6.7
El espacio entre dos cilindros conductores coaxiales de
longitud L= 25 cm esta relleno en su mitad con un
dieléctrico de constante dieléctrica relativa ε/ε0 = 8. Los
cilindros tienen radios 0.5 y 2 cm respectivamente y
están conectados a una batería de 100 V. Calcular a) los
campos E y D en el aire y en el dieléctrico. b) la carga
superficial inducida en el conductor interior en puntos
adyacentes al aire y en puntos adyacentes al dieléctrico.
c) la carga total en el conductor interior y la capacidad.
6.8
Dos placas planas, infinitas y paralelas al eje YZ están situadas en x=-d y x =+d. Si el
espacio entre las placas, se rellena con un dieléctrico con permitividad dependiente del
espaciado ε = 4ε0/(1+(x/d)2) y la placa en x =+d se mantiene a potencial φ0 con respecto
a la placa en x = -d. Calcular a) el campo eléctrico y la distribución de potencial entre las
placas. b) la polarización P y la densidad de carga de polarización ρb.
6.9
Considerar un campo eléctrico uniforme E0 en un medio de permitividad ε1.
Consideremos además una esfera dieléctrica
descargada de permitividad ε2 inmersa en el medio
anterior. Calcular el campo dentro de la esfera
(supuesta uniforme) si además del campo externo
uniforme E0 existe un dipolo p en el centro de la
esfera.
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Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
6.10
L. Soriano
Un cilindro dieléctrico infinito de radio b con un hueco
circular en su centro de radio a se introduce en una región
donde existe un campo eléctrico uniforme. Determinar el
campo en la región hueca del dieléctrico.
6.11
Un condensador plano paralelo contiene dos dieléctricos de
constantes respectivas ε1 y ε2 como se muestra en la figura.
Calcular su capacidad.
6.12
El volumen comprendido entre dos superficies esféricas
conductoras y concéntricas de radio a y b (a < b) está relleno con un
dieléctrico no homogéneo de constante dieléctrica ε=ε0/(1+Kr),
donde ε0 y K son constantes y r es la coordenada radial, de manera
que se cumple que D(r) = ε E(r). Si en la superficie interior se pone
una carga Q mientras que la exterior se conecta a tierra, se pide
calcular: a) El vector desplazamiento en la región a < r < b. b) La capacidad del sistema. c) La
densidad de carga de polarización en a < r < b. d) La densidad superficial de carga de
polarización en r = a y r = b.
6.13
Un cable coaxial de potencia tiene un
conductor interno de radio a. La
región
comprendida
entre
el
conductor interno y el externo está
relleno con dos capas concéntricas de dieléctricos ε1 = 1.5ε0 y ε2 = 4.5ε0 y de radios r1 y r2
respectivamente, según se muestra en la figura. Si el conductor exterior está conectado a
tierra y el interior está conectado a un potencial de forma que produce una densidad de
carga lineal homogénea λ, calcular lo siguiente:a) Los campos E, D y P en las regiones 1, 2 y
3 b) La densidad superficial de carga ligada σb para r = a y para r = r1 c) La densidad
volumétrica de carga ligada bρen la región 2.
18
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
L. Soriano
7.- PROBLEMAS DE CONTORNO
7.1
Sean dos cargas +q y -q situadas en (a,0,a) y (-a,0,a) sobre un plano conductor en z=0 a
potencial cero. Calcular: a) La fuerza total sobre la carga +q. b) El trabajo realizado para la
formación del sistema. c) La densidad de carga superficial en (a,0,0).
7.2
Sea un dipolo eléctrico p fijo a una distancia z0 sobre el
eje z y formando un ángulo θ respecto a tal eje (p.uz = p
cos θ). Si el plano xy es un conductor a potencial cero,
determinar la densidad de carga en el conductor
inducida por el dipolo.
7.3
El plano xz se compone de cuatro planos cargados
separados con los siguientes potenciales: primer cuadrante: (x>0,z>0) Φ = Φ0; segundo
cuadrante: (x<0,z>0) Φ = 0; tercer cuadrante: (x<0,z<0) Φ = -Φ0; cuarto cuadrante:
(x>0,z<0) Φ = 0; Calcular el campo eléctrico E(x,y,z). Tener en cuenta la equivalencia que
se muestra en la figura.
Φ=0
Φ=Φ0
Φ=½Φ0
Φ=-½Φ0
Φ=-Φ0
7.4
Φ=½Φ0
Φ=-½Φ0
Φ=0
Sean dos placas conductoras de 1 m de
lado y separadas 1 mm por aire.
Calcular su capacidad. Si una de las
placas se gira ligeramente respecto a un
eje paralelo a su borde y que pasa por
el centro de la placa hasta que la
separación en uno de los bordes es 0.5
mm y en el otro 1.5 mm calcular la
nueva capacidad del sistema.
1m
O
0.5
1.5
19
Problemas de Electromagnetismo I; 2º Grado de Física
7.5
7.6
L. Soriano
Calcular la capacidad entre un cono
conductor con su vértice separado de un
plano conductor por un espacio
infinitesimal y con su eje perpendicular al
plano. Resolver la ecuación de Laplace en
esféricas considerando el potencial solo función de θ.
Un conductor esférico de radio a se
encuentra inmerso en una campo eléctrico
uniforme de la forma E0= E0 uz.. Determinar
la distribución superficial del carga en la
superficie del conductor. (Sugerencias:
Considerar el potencial debido al campo
externo en el infinito de la forma φ0= -E0z = E0 r cos θ; Tomar el origen de potenciales en
la superficie de la esfera.)
θ
P
E0
7.7
Un analizador electrostático de electrones cilíndrico consiste en dos
cilindros conductores concéntricos con una diferencia de potencial
entre ellos. Si el radio del cilindro interior es a y el del exterior b,
encontrar la función φ en el espacio comprendido entre ellos si,
además el cilindro interior está a tierra y el exterior está conectado a
una batería que suministra un voltaje φ0. Encontrar también la
expresión para el campo eléctrico E.
7.8
Una distribución de carga de densidad ρ=A(x2-d2/4) está limitada por
dos planos paralelos separados una distancia d. El eje x es
perpendicular a los planos y el origen está situado en el medio de la
distribución. Calcular: a) El campo eléctrico E en un punto entre los
planos situado a una distancia d/4 del origen de coordenadas (utilizar
la ecuación de Poisson) b) El campo eléctrico E en cualquier punto del
exterior de la distribución.
r
θ
z
y
x
d/2
d/2
20