Tema 5. Transmisión de Calor

Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 1
TRANSMISIÓN DE CALOR
EN RÉGIMEN
ESTACIONARIO
UNIDIMENSIONAL (II).
SUPERFICIES EXTENDIDAS.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
1
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Diapositiva 2
INDICE:
1. INTRODUCCIÓN.
1.1. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
1.2. CLASIFICACIÓN.
2. ECUACIÓN GENERAL.
3. ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE.
3.1. HIPÓTESIS DE CÁLCULO.
- Aleta muy larga.
- Calor despreciable en el extremo de una aleta.
- Convección en el extremo de la aleta.
3.2. COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
4. ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE. ALETAS ANULARES.
5. EFICIENCIA.
6. EFECTIVIDAD. CONDICIONES DE UTILIZACIÓN DE ALETAS.
7. CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS.
7.1. RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA.
7.2. CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
8. CONSIDERACIONES DE DISEÑO.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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INTRODUCCIÓN
OBJETIVO: AUMENTO DEL CALOR DISIPADO POR
CONVECCIÓN AL AMBIENTE.
Tfluido , h
Q=A*h*(Tsup-T fluido)
Tsup , A
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EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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1.2. CLASIFICACIÓN:
SECCIÓN CONSTANTE
Aletas rectas
Aguja
Sección constante
Sección constante
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SECCIÓN VARIABLE
Aleta anular de espesor
uniforme
Aleta recta de
Sección variable
Aguja
Sección variable
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Aleta anular de espesor
variable
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ECUACIÓN GENERAL
dQconv
dAconv
x
Acond
Q (x+dx)
Q(x)
dx
Balance de energía
Q( x) = Q( x + dx ) + dQconv
dT ( x)
dQconv = h ⋅ (T ( x) − T∞ ) ⋅ dAconv ( x)
dx
Utilización función de diferencia de temperaturas θ ( x ) = T ( x) − T∞
Q( x ) = −k ⋅ Acond ( x ) ⋅
 1
 d
 1 h d

d2
d



 ⋅ θ = 0
θ
+
⋅
⋅
A
⋅
θ
−
⋅
⋅
⋅
A
cond
conv
A
 dx
A
dx2
dx
k
dx
 cond

 cond

J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 9
AGUJAS Y ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE
Tf , h
Q
Q
Tb
e
P*x
L
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D
P*x
w
x
Tf , h
Q
Tb
Aconv =P x
A cond A b w. e
A conv 2 . ( w e) . x
Q
x
L
2
π .D
A cond A b
4
A conv π . D . x
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Diapositiva 10
 1
 d
 1 h d

d2
d



 ⋅ θ = 0
θ
+
⋅
⋅
A
⋅
θ
−
⋅
⋅
⋅
A
cond
conv
A
 dx
A
dx2
dx
k
dx
 cond

 cond

h⋅ P
m=
k ⋅ Acond
d 2θ
2
−
m
⋅θ = 0
2
dx
θ ( x ) = C1 ⋅ e m⋅ x + C 2 ⋅ e − m⋅ x = C 3 ⋅ sh ( m ⋅ ( L − x ) + C4 ⋅ ch( m ⋅ ( L − x ))
Qaleta = Q( x = 0) = − Ab ⋅ k ⋅
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dT
dx
= − Ab ⋅ k ⋅
x= 0
dθ
d x x=0
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Diapositiva 11
CONDICIONES DE CONTORNO:
1)
T ( x = 0 ) = TB
TB
T(L)
2)
T FLUIDO
TB
T ( x = L) = ??
QEXTREMO=0
d
dx
TFLUIDO
TB
L
QCOND =Q CONV
k.
d
dx
T ( L) h . T ( L )
TFLUIDO
T (L )
0
L
TB
T(x=L)=T
T(x=L)=Tconocida
conocida
T fluido
T(L)
TFLUIDO
L
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TFLUIDO
L
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Diapositiva 12
(I): ALETA MUY LARGA
θ b
T ( x → ∞) → T fluido
θ (x) θ
b
Qaleta = Ab ⋅ k ⋅ m ⋅ θ b = h ⋅ Ab ⋅θ b ⋅
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
θ ( x → ∞) → 0
. e m. x
m⋅k
m⋅k
= Qbase _ sin _ aleta ⋅
h
h
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Diapositiva 13
(II) CALOR DESPRECIABLE EN EL EXTREMO DE LA ALETA
En muchas ocasiones Qextremo es despreciable frente al disipado
por el resto de la aleta:
Q cond
Qextremo» 0
dθ
dx
=0
x= L
ch(m ⋅ (L − x ))
ch(m ⋅ L )
m⋅k
m⋅k
Qaleta = h ⋅ Ab ⋅θb ⋅
⋅ th(m ⋅ L ) = Qbasesin aleta ⋅
⋅ th( m ⋅ L)
h
h
θ ( x) = θ b ⋅
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Diapositiva 14
(III) CONVECCIÓN EN EL EXTREMO DE LA ALETA:
Qcond
Qconv
θ(x ) = θb ⋅
Q aleta
− k ⋅ Ab ⋅
dT
dx
= h ⋅ (T − T∞ )
x =L
h
⋅ sh(m ⋅ (L − x ))
m⋅ k
h
ch(m ⋅ L ) +
⋅ sh(m ⋅ L )
m⋅ k
ch(m ⋅ ( L − x )) +
m⋅ k
m⋅k
⋅ th(m ⋅ L ) + 1
⋅ th (m ⋅ L ) + 1
h
h
= Qbase sin aleta ⋅
= h ⋅θb ⋅ Ab ⋅
th (m ⋅ L )
th(m ⋅ L )
1+
1+
 m⋅k 
 m⋅k 




h


 h 
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Diapositiva 15
COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
Aplicación de agujas en disipador
θb
(I):
T ( x → ∞ ) → T fluido
(II): dT
(II) y (III)
dx
= 0
x=L
dT
(III): − k ⋅ Ab ⋅ d x
Evolución temperatura
en agujas disipador:
L=0.02 m. k=100 W/mK
t=0.003 m. h = 25 W/m2 K
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(I)
= h ⋅ (T − T∞ )
x= L
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Diapositiva 16
ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE
dQconv
dAconv
x
Acond
Q (x+dx)
Q(x)
dx
 1
 d
 1

d2
d
h d



 ⋅ θ = 0
θ
+
⋅
⋅
A
⋅
θ
−
⋅
⋅
⋅
A
cond
conv
A
 dx
A
dx2
dx
k
dx
 cond

 cond

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Diapositiva 17
CASO MÁS SIMPLE DE ALETA DE SECCIÓN VARIABLE:
ALETA ANULAR.
Superficies:
2
Aconv = 2 ⋅ π ⋅ (r 2 − rbase
)
Acond = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ e
d2
1 d
⋅
θ
+
⋅ ⋅ θ − n 2 ⋅θ = 0
2
dr
r dr
n=
2⋅h
k ⋅e
θ ( x ) = C1 ⋅ I (n ⋅ r )0 + C2 ⋅ K (n ⋅ r )0
I y K: funciones modificadas de Bessel de primera y segunda especie, orden 0.
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Diapositiva 18
Hipótesis: convección despreciable en el extremo.
–Distribución de temperaturas:
θ (r ) = θ b ⋅
I (n ⋅ r )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ r )0 ⋅ I (n ⋅ re )1
I (n ⋅ rb )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ rb )0 ⋅ I (n ⋅ re )1
Potencia calorífica:
Qaleta = h ⋅ 2 ⋅ π ⋅ rb ⋅ e ⋅ θ b ⋅
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k ⋅ n K (n ⋅ rb )1 ⋅ I (n ⋅ re )1 − K (n ⋅ re )1 ⋅ I (n ⋅ rb )1
⋅
h I (n ⋅ rb )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ rb )0 ⋅ I (n ⋅ re )1
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Diapositiva 19
EFICIENCIA
Efficiency of extended surfaces, Gardner, K.A.
(ASME Thermal Engineering Proceedings, 1945)
Hipótesis:
• Transmisión de calor unidimensional.
•Coeficiente de convección uniforme.
•Temperatura de la base uniforme.
•Flujo de calor despreciable en extremo.
 1
 d
 1 h d

d2
d
θ + 
⋅ ⋅ Acond  ⋅ θ − 
⋅ ⋅ ⋅ Aconv  ⋅ θ = 0
2
dx
 Acond dx
 dx
 Acond k dx

[
]
[
]
d2
d
2⋅ 2 θ + (1−2⋅m) ⋅ x −2⋅α⋅ x2 ⋅ θ + p2 ⋅c2 ⋅ x2⋅ p +α2 ⋅ x2 +α⋅( 2⋅ m−1) ⋅ x+m2 − p2 ⋅n2 ⋅θ = 0
dx
dx
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Diapositiva 20
Resultados tabulados a través del parámetro eficiencia:
(Ojo, llamada efectividad en el libro A.F. Mills)
η=
Qaleta
Qaleta _ temperatura _ base
Qaleta
η=
=
h ⋅ Aconv ⋅ θ b
∫
Aconv
0
θ ⋅ dAconv
θ b ⋅ Aconv
=
(T − T
)
fluido media
Tbase − T fluido
Aplicación práctica fundamental a efectos de cálculo:
Aconv =Aaleta
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Qaleta = η ⋅ Aaleta ⋅ h ⋅θ b
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Diapositiva 21
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Diapositiva 22
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA:
ε=
Q aleta
h ⋅ Ab ⋅ θ b
ε Aaleta
=
η Abase
Evaluación de la conveniencia de utilización de aletas
Se justifica la utilización de aletas, si ε aleta mayor que 2
Para aletas de sección constante y convección despreciable
en el extremo:
ε=
A m⋅k
A m⋅ k
m⋅k
⋅ th ( m ⋅ L ) = b ⋅
⋅ th (m ⋅ L)
⋅ th ( m ⋅ L) η = b ⋅
A
h
P
⋅
L
h
h
aleta
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 23
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA DE SECCIÓN
CONSTANTE CONSIDERANDO CONVECCIÓN EN EL
EXTREMO.
20
18
16
Efectividad
14
12
10
8
6
4
4.75
4.5
4.25
4
3.75
3.5
3.25
3
2.75
2.5
2.25
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
2
m*L
m*k/h=2.5
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
m*k/h=5
m*k/h=10
m*k/h=15
m*k/h=20
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Diapositiva 24
Empleo de aletas justificado:
m⋅k
>> 1
h
(recomendable
superior a 10)
Sección constante: m ⋅ k
2⋅k
=
>> 1 :
h
t ⋅h
•k alta: materiales conductividad elevada
•t bajo: espesor aletas pequeño
•h bajo: en entornos con convección débil
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Diapositiva 25
CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS
Apared
Te
Aaletas
Atotal=Alibre+Aaletas
Alibre
Qsup erficie _ aleteada = Qaletas + Qarea _ libre
Qsuperficie _ aleteada = η ⋅ Aaletas ⋅ h ⋅ θ b + ( Atotal − Aaletas ) ⋅ h ⋅ θ b
Se define el parámetro geométrico:
β=
Aaletas
Atotal
Qsuperficie _ aleteada = Atotal ⋅ h ⋅ θ b ⋅ ( β ⋅η + 1 − β ) = Atotal ⋅ h ⋅ θ b ⋅ η pond
ηpond = β ⋅ η + 1 − β
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 26
RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA EN
PARALELO:
R1 =
Tb
R2 =
1
Alibre ⋅ h
T∞
Tb
1
Atotal ⋅ h ⋅ (
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
T∞
1
Aaletas ⋅η ⋅ h
1
1
1
=
+
RT R1 R2
RT =
RT
Alibre Aaletas
+
⋅η )
Atotal Atotal
RT =
=
1
Alibre ⋅ h + Aaletas ⋅ η ⋅ h
1
Atotal ⋅ h ⋅ η pond
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26
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Diapositiva 27
T
e
Muros multicapa
Q=
Ti
Te
Q=
1
hi ⋅ A pared
Ti − Te
ei
1
+∑
+
ηpond ⋅ he ⋅ Atotal
i k i ⋅ Apared
Cilindros
Ti − Te
r 
ln  j +1 
 rj 
1
1
 +
+∑ 
2 ⋅ π ⋅ ri ⋅ L ⋅ hi
ηpond ⋅ he ⋅ Atotal
j 2⋅π ⋅ L ⋅ ki
En cada caso el calor se calcula referido a un área característica,
que suele ser la interior o la exterior de la superficie global:
Q = Aref ⋅ U A _ ref
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Q
U
=
A _ ref
⋅ (Ti − Te )
Aref ⋅ (Ti − Te )
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Diapositiva 28
CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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28
Diapositiva 29
ASHRAE, 1993:
η=
th( m ⋅ ri ⋅ φ )
m ⋅ ri
m=
2⋅h
k ⋅e
φ = (α − 1) ⋅ (1 + 0.35 ⋅ ln (α))
α = f (a , b )
b
a
ri
a
b
"Configuración rectangular"
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
"Configuración hexagonal"
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Diapositiva 30
CONSIDERACIONES DE DISEÑO
•Perfil óptimo para la disipación de una potencia
térmica con el mínimo volumen.
•Dimensiones óptimas para un determinado
volumen de aleta.
•Espaciado óptimo entre aletas.
•Elección del material.
•Contacto térmico con la base.
APLICACIONES TEORÍA CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN 1D.
•Extrusión de fibras.
•Cables eléctricos.
•Colectores solares.
•Medida de temperatura de una gas con un termopar.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
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