efecto del flujo de agua en la estabilidad de taludes.

EFECTO DEL FLUJO DE AGUA EN LA ESTABILIDAD DE
TALUDES.
POR: DR. RAÚL FLORES BERRONES.
INTRODUCCION
Existe numerosos casos prácticos donde es necesario conocer el efecto de la
presencia y flujo del agua en la estabilidad de los taludes de material térreo.
Estos taludes pueden ser naturales, como los que se tiene en las laderas del
vaso de una presa, o pueden ser artificiales, como los que se construyen en los
terraplenes para una cortina o bordo de una presa.
En lo que se refiere al análisis de estabilidad de cortinas de tierra para presas,
las condiciones de flujo, a las cuales pueden estar sujetas, son varias:
a) Flujo no establecido, como el que ocurre durante el primer llenado o
después de un vaciado rápido.
b) Flujo establecido, como el que ocurre tiempo después de estar operando
una presa.
c) Flujo anisotrópico, como el que ocurre cuando la permeabilidad horizontal
difiere de la vertical.
d) Cualquiera de las condiciones anteriores, considerando además las fuerzas
de un sismo.
Los efectos del flujo del agua en los taludes pueden ser:
a) Erosión interna (tubificación) por remoción de las partículas de suelo,
pudiendo originar conductos de agua que, al agrandarse rápidamente,
pueden originar la falla de la cortina.
b) Aumento en las presiones del agua que conducirá a la disminución de los
esfuerzos efectivos y, por tanto, disminución de la resistencia al esfuerzo
cortante disponible del suelo.
c) Aumento de las fuerzas de flujo que, aunadas a las fuerzas de gravedad,
pueden hacer que el factor de seguridad se disminuya significativamente
hasta alcanzar la falla del terraplenes.
Basado en el método de las redes de flujo, a través del cual se pueden
determinar los gradientes y las presiones de agua que existen dentro de una
masa de suelo sujeta al flujo del agua, en este trabajo se presenta un análisis
del mecanismo de las fuerzas de flujo que deberán tomarse en cuenta en el
análisis de estabilidad de un terraplén.
Primeramente se muestra las fuerzas que ejerce el agua sobre el suelo a través
del cual circula; se presentan dos procedimientos de análisis para tomar en
cuenta las fuerzas de filtración y finalmente se ilustra la aplicación de la
metodología propuesta a través de dos ejemplos.
VELOCIDAD DE FLUJO DEL AGUA A TRAVÉS DE LOS SUELOS.
Como es bien conocido, el flujo del agua a través del suelo tiene un régimen
laminar, de manera que es válida la ley de Darcy:
v = ki......................................................(1)
Donde v = velocidad de descarga del agua.
k= coeficiente de permeabilidad o conductividad hidráulica.
i=
∆h
= gradiente hidráulico
∆s
∆h= variación de carga potencial hidráulica entre dos puntos.
∆s = trayectoria que recorrió el agua entre los dos puntos donde varió
la carga potencial hidráulica.
Cabe señalar que la carga potencial hidráulica, de acuerdo con la ley de
Bernoulli, esta dada por:
h=
2
v
p
+
+ z...........................................(2)
2g γ w
Donde: g = aceleración.
p = carga de presión o piezometría.
z =carga de posición.
γ w = peso volumétrico de agua.
Debe también señalarse que el primer término del lado derecho de la
expresión (2), representante de la energía cinética, es generalmente
despreciable en problemas de flujo de agua a través de suelos.
La fig. (1) ilustra el significado físico de los componentes de h entre las
secciones 1 y 2 de un tubo de flujo. La ley de Bernoulli, para este caso, se
puede expresar como:
p1
p
+ z 1 = 2 + z 2 + ∆ h .......... .......... .......... .......( 3)
γw
γw
De acuerdo a lo anterior, debe existir una variación de h para que exista flujo
de agua a través de un suelo.
DETERMINACIÓN GRÁFICA DEL FLUJO Y PRESIONES DEL
AGUA.
Si se considera el flujo que pasa por el elemento de suelo mostrado en la
figura 2, se observará lo siguiente:
∂h
∂ 2h
q x + dq x = k x
dy + k x 2 dydx
∂x
∂x
(4)
∂h
∂2h
dx + k y 2 dxdy
∂y
∂y
(5)
qy + dqy = k y
Donde h es la carga hidráulica y “x” e “y” son las coordenadas
correspondientes en un sistema bidimensional; qx y qy son los gastos de agua
que pasan a través del elemento de suelo en las direcciones x y y,
respectivamente.
y
qy
dx
q x + dq x
dy
qx
x
q y + dq y
Figura 2. Consideraciones de flujo establecido en dos dimensiones, a través de
un elemento de suelo.
SOLUCIONES GRÁFICAS DE FLUJO ESTABLECIDO MEDIANTE
REDES DE FLUJO.
Si el flujo es establecido la diferencia entre el gasto que sale de las caras del
elemento y el que entra, debe ser igual a cero, es decir, por condiciones de
continuidad se tiene:
kx
∂2h
∂2h
dydx
+
k
dxdy = 0
y
∂x 2
∂y 2
Al reducir términos la expresión enterior queda:
kx
∂2h
∂ 2h
+
k
=0
y
∂x 2
∂y 2
Si el suelo es isotrópico, kx=k y la expresión anterior queda:
∂ h ∂ h
+ 2 =0
2
∂x
∂y
2
2
( 6)
que es la ecuación de Laplace. Si las condiciones mostradas en la figura 2, las
extendemos al caso de tres dimensiones, tendremos que la condición más
general de flujo establecido estará dada por:
∂ h ∂ h ∂ h
+ 2 + 2 =0
2
∂z
∂y
∂x
2
2
2
(7 )
Para el caso más común en presas, el problema de flujo se puede simplificar
en un sistema dibimensional, por lo que la expresión a considerar es la Ec.6.
La solución a esta última ecuación esta representada gráficamente por un par
de familias de curvas que se intersectan entre sí en ángulos rectos. Esta
solución, con las condiciones de frontera apropiadas, da la variación de la
carga hidráulica y, por lo tanto, la dirección del escurrimiento en todo punto
de la zona de flujo.
En hidromecánica estas curvas se conocen como líneas de flujo y líneas
equipotenciales, respectivamente.
El método de las redes de flujo consiste primeramente en establecer las líneas
de flujo frontera y las equipotenciales frontera. Se trazan después una cuantas
línea de flujo de manera que entre cada dos de ellas pasa una misma porción
de gasto ∆q. Posteriormente, perpendicular las líneas de flujo trazadas, se
dibujarán líneas equipotenciales de manera que entre cada dos de ellas exista
una misma caída de potencial ∆h. La configuración así debujada estará
constituida por una red de rectángulos de lados a x b, de manera que la relación
a/b resulta una constante; cuando la red se construye de manera que a=b, es
decir, que está constituida por cuadrados, la relación a/b es igual a la unidad.
Este procedimiento se ilustra a través de ejemplos mostrados en la fig. (3),
correspondiente al flujo a través de la cimentación de una presa de concreto
que se apoya sobre un estrato de material permeable. El diagrama que aparece
en esta figura corresponde a una sección transversal de la presa; el flujo que
allí se determina es por unidad de longitud de la cortina; esto significa que
para obtener el gasto total habrá que multiplicar, al gasto determinado
mediante la red de flujo, por la longitud total de la cimentación que se analiza.
Al analizar el gasto a través de cualquier elemento de suelo dentro de la red de
flujo, como el que se encuentra azurado en la fig.3, si se aplica la ley de Darcy
se obtiene.
∆q = kiax1 = k
∆h
a..................................(8)
b
Pero puesto que:
Donde: ne =número de caídas de potencial que hay entre las líneas
∆h =
∆q =
h
ne
q
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .(9)
n
f
equipotenciales frontera de entrada y salida, y por otro lado:
Donde: nf =número de canales que se forman entre cada dos líneas de flujo, y
q es el gasto total que pasa por unidad de longitud.
El gasto total resulta entonces :
q = kh
nf a
ne b
Y puesto que a=b (ya que la red de flujo está constituida por cuadrados), se
obtiene:
Como se puede observar en la fig.4, teniendo la red de flujo se puede
determinar las presiones de agua en cualquier punto de la región de flujo,
q = kh
nf
................................................(10)
ne
incluyendo la base de la presa, así como los gradientes de salida.
En el caso de que el suelo tenga una permeabilidad anisotrópica, es decir, que:
kv#kh a través de una transformación en el sistema de coordenadas el
problema se resuelve como si fuera isotrópico, de manera que el gasto se
puede determinar directamente de la red de flujo obtenida en la sección
transformada, usando como coeficiente de permeabilidad a:
k = k h .k v
El procedimiento y la demostración para hacer la sección transformada se
pueden ver en R. Flores Berrones (2000); sin embargo, basta decir que la
transformación de coordenadas se hace de manera que, la escala del eje
paralelo a la dirección en que k es máximo, se reduce al multiplicar la escala
original de todas las distancias en esa dirección, por un factor de reducción Fr,
donde:
Fr =
k mín
k máx
El mismo resultado se obtiene si en vez de reducir la dirección de kmax ,se
amplifica la escala en la dirección de kmin aplicando el factor de amplificación
Fa =
k máx
k mín
La fig.5 muestra la sección transformada para una anisotropía de kh=4kv y la
fig.6 la sección antitransformada. Obsérvese la necesidad de dibujar esta
última sección a fin de obtener los gradientes de salida, así como la influencia
de la anisotropía en dichos valores; comparando los gradientes de salida
determinados en las fig. 4 y 6, se observa que para una anisotropía de kh=4kv,
el gradiente de salida en el punto J se duplica (ija≈2iji).
Cuando se trata del flujo establecido en una cortina de tierra a través de su
corazón impermeable, existe una zona a través de la cual pasa el flujo de agua
y es en esa zona donde se debe trazar la red de flujo. La zona restante, si está
constituida por material de respaldo de alta permeabilidad, tiene una presión
igual a la atmósfera. En este caso, existe una línea superior de flujo que
constituye una frontera entre la zona de flujo y aquella no saturada donde se
tiene la presión atmosférica; existe también una línea llamada de superficie
libre localizada a lo largo del talud aguas abajo, que está comprendida entre
los puntos donde dicho talud es interceptado por la línea superior de corriente
y el tirante aguas abajo de la cortina. La fig.7 muestra el ejemplo de una red en
este tipo de cortina; obsérvese que las líneas equipotenciales en este tipo de
redes interceptan tanto a la línea superior de flujo, como a la línea de
superficie libre, en puntos que tienen iguales distancias verticales. El análisis
del flujo a través de cortinas de tierra que tienen características anisotrópicas
en su permeabilidad, como consecuencia de la construcción por capas de los
terraplenes, se realiza aplicando el concepto de la sección transformada antes
señalado.
FUERZAS DEL FLUJO DE AGUA.
La fuerza que el flujo del agua ejerce sobre el suelo que atraviesa se puede
determinar analizando un elemento de la red de flujo, como el mostrado en la
fig.8. En esta figura se observa que la fuerza de flujo por unidad transversal
del elemento de suelo esta dada por:
J = ∆h γ w xAx1 = ∆hγ w A.......................(11)
Y la fuerza de flujo por unidad de volumen es:
J=
∆hγ w A ∆h
=
γ w = iγ w .....................(12)
cA
c
Cuando la porción de suelo que se analiza corresponde a un flujo uniforme
(gradiente constante), la fuerza de filtración total es simplemente:
Donde V en el volumen de suelo por donde pasa el flujo de agua que se
analiza.
J = iγ w V................................................(13)
Si el gradiente en la masa infiltrada es una función de punto, la fuerza de
filtración resultante es la suma vectorial de las fuerzas en cada uno de los
elementos de volumen, esto es:
J = γw ∫ idv............................................(14)
v
Ahora bien, la fuerza de flujo se puede ver a través de la fig. 9b, en la cual se
observa el incremento de la presión del agua en la base y la disminución de los
esfuerzos efectivos, en términos de la diferencia de carga hidráulica h que
origina un flujo de agua ascendente.
Es importante notar que los esfuerzos efectivos pueden ser nulos cuando:
h=
Dγ 1 m
.............................................(15)
γw
En la práctica, tomando en cuenta que γ'≈γw, cuando se tiene la relación
h/D=1 es que se tiene la condición de esfuerzos efectivos nulos. En tal caso, se
tiene lo que se conoce como gradiente crítico, es decir:
ic =
h
= 1..............................................(16)
D
En la fig.10 se muestran las presiones de agua actuando tanto en la parte
superior como en la inferior de la muestra de suelo sujeta a las condiciones
mostradas. En la fig.9b se muestra que el análisis de equilibrio del elemento
de suelo de la fig.10 se puede hacer de dos maneras:
1) Considerar las fuerzas fronteras de agua y el peso TOTAL del elemento del
suelo que se analiza (ver fuerzas actuando en la fig.10a). En este caso se
está haciendo un análisis de cuerpo libre del suelo, y la fuerza neta
actuando sobre la rejilla de soporte del elemento de suelo de área A será:
F = [zγ w + Dγ m − (h + z + D )γ w ]A
F = [Dγ m − (h + D )γ w ]A
[
]
F = Dγ 1 m − hγ w A
Nota: El signo es positivo para las fuerzas que van hacia abajo
∇
σ
∇
µ
⎯σ
Z
zγ w
zγ w
D
Manguera
Suelo
zγ w + Dγ m
Rejilla
(z +D)γw
Dγ ′m
Fig. 9(a) distribución de esfuerzos totales, neutros y efectivos en una
muestra de suelo SIN FLUJO.
∇
σ
h
µ
⎯σ
∇
Z
zγ w
zγ w
D
zγ w + Dγ m
(h+z+D)γw
Dγ ′m − hγ w
Fig.9(b) Distribución de los esfuerzos totales, neutros y efectivos en una
muestra de suelo CON FLUJO ASCENDENTE.
zγw
zγw
=
+
hγw
(z+D)γw
(h+z+D)γw
(a )
(b )
(c )
presión
total.
presión
estática.
presión
del
flujo.
Fig.10.- Presiones fronteras del agua sobre la muestra de suelo de la
fig.9b.
2) Considerar el peso sumergido del suelo más las fuerzas de flujo (fuerzas
actuando en el elemento mostrado en 10b y 10c). En esta alternativa la
fuerza neta sobre la rejilla será:
[
]
F = zγ w + Dγ m − (z + D) γ w − hγ w = D( γ m − γ w ) − hγ w = Dγ m − hγw A
1
que es exactamente la misma que la obtenida en la alternativa (1)
Concluyendo, sobre las fuerzas de flujo de agua se pueden decir:
a) Las fuerzas fronteras del agua actuando en un elemento de suelo es igual a
la fuerza de Arquímedes (empuje estático del agua) más las fuerzas de
flujo
b) Para analizar las fuerzas de flujo que actúan sobre un elemento se puede
usar:
1) Las fuerzas frontera de agua más peso total del elemento de suelo.
2) La fuerza de flujo más peso sumergido del elemento de suelo.
c) La fuerza del flujo por unidad de volumen es: j=iγw.
Esta fuerza siempre actúa en dirección de flujo.
d) Las fuerzas de flujo son transferidas a las partículas de suelo a través de
fricción.
Consideración de las fuerzas de flujo en la estabilidad de taludes.
El flujo del agua interviene en la estabilidad del talud de una cortina acorde a
las diferentes condiciones a las que se puede someter la cortina durante su
vida útil. Entre las condiciones más críticas se tiene:
a) llenado rápido
b) flujo establecido con presa llena
c) vaciado rápido.
La primera de estas ocurre por ejemplo cuando existe una avenida rápida
estando la presa casi vacía; esto sucede cuando recién terminada la presa
ocurre el primer llenado. El vaciado rápido ocurre cuando es necesario bajar
repentinamente el embalse para resolver algún problema de operación o de
daño en alguna parte de la presa. Finalmente la condición de flujo establecido
bajo un NAME puede presentarse varias veces durante la vida útil de una
presa.
Cualquiera que sea la condición que se estudia, se requiere dibujar la red de
flujo para determinar las presiones del agua a lo largo de los círculos de falla
que se analizan. A este respecto existen los siguientes métodos.
1) EMPLEANDO PESO SUMERGIDO Y FUERZAS DE FILTRACIÓN.
Existe tres procedimientos para determinar las fuerzas de filtración.
a)Método SARH (1987)
Este método consiste en determinar primeramente la red de flujo del problema
que se estudia, encontrar las fuerzas de filtración de cada canal de flujo y
obtener la fuerza resultante haciendo una suma vectorial de las resultantes
parciales en cada canal. La suma vectorial se hace a través de un polígono
funicular de fuerzas, mismo que se utiliza también para definir el punto de
aplicación de la fuerza resultante.
La fig.(11) ilustra, a través de un ejemplo, la aplicación de este método. En
este ejemplo las fuerzas FF1, FF2, ...... son las fuerzas de flujo en cada tramo
de canal que comprende el círculo de falla que se estudia. El polígono
funicular que allí se observa se obtuvo colocando a escala la fuerza FFi una a
continuación de otra, y uniendo el punto inicial de la primera con el extremo
de la ultima para definir la resultante RFF.
El cálculo del punto P, por donde pasa la resultante de la fuerza de filtración,
se obtiene de la siguiente manera. Se elige arbitrariamente un polo 0 y se
trazan los rayos L1, L2............., según se muestra en la fig. (11); a continuación
y sobre la red de flujo se traza el rayo L1, paralelo al rayo L1, hasta cortar a la
fuerza FF1 en cualquier punto de una línea de acción, definiendo así el punto
A; a partir de este punto se traza el rayo L’2, paralelo al rayo L2 hasta cortar la
línea de acción de FF2, definiendo de esta manera el punto B. Se procede en
forma análoga para obtener el punto C; paralelo al rayo L4 y a partir de C se
traza L’4 hasta encontrar la intersección de este ultimo rayo con L’1; este
último punto de intersección (punto P) es por donde pasa la línea de acción de
la resultante RFF.
Una vez calculada la magnitud y el punto de aplicación de la fuerza, se
traslada al círculo de falla y se descompone en una fuerza normal y en otra
tangente al mismo, tal como se observa en la fig.(11)
La fuerza normal no tiene momento respecto al centro del círculo; sin
embargo, la fuerza tangente si lo tiene y su efecto en este caso contribuye a
provocar el deslizamientos. Cuando se usa el método de las dovelas en el
análisis de estabilidad, esta componente tangencial modifica la expresión del
factor de seguridad de la siguiente manera.
FS =
∑(N i tanφ + cLi )
∑ Ti + FFT
Donde:
Ni = componente normal del peso sumergido del suelo en la
Dovela i (ver fig.12)
Ti = componente tangencial del peso sumergido del suelo en la
dovela i.
Li = longitud en la base de la dovela i
c y φ = cohesión y ángulo de fricción interna respectivamente del
material que atraviesa el círculo de falla.
FFT= Componente tangencial de la fuerza de filtración.
En el caso de que la fuerza de filtración tangencial FFT actúe en sentido
opuesto al deslizamiento, el factor de seguridad quedará expresado como:
FS =
∑(N i tanφ + cL i )
∑ Ti − FFT
Es importante reafirmar que, si se están empleando las fuerzas de filtración y
el peso sumergido del suelo, no se deberá considerar en esta condición de
carga la presión hidrostática.
b ) Método del gradiente (Cedergren, 1989)
Este método consiste en determinar el gradiente promedio en el elemento de
suelo que se estudia (por ejemplo la dovela en una masa deslizante), y calcular
la magnitud de la fuerza de flujo, su posición y su dirección. La fig. (13)
ilustra como se determina el gradiente promedio a partir de dividir ∆h (caída
de potencial entre dos equipotenciales seguidas) entre las longitudes ∆l1,∆l2,∆l3
y ∆l4, correspondientes a la trayectoria del flujo de agua en la zona que
comprende la dovela que se analiza. El promedio que resulta del gradiente en
este caso es 0.48, que al multiplicarse por el volumen de suelo de la dovela
comprendida entre los puntos a,b,c y d, y el peso volumétrico del agua (γw),
nos da la fuerza de flujo F.
Es decir,
F = i.Vabcd γ w = 0.48Vabcd γ w
Donde Vabcd es el volumen de la dovela, que resulta igual al área por l m
de espesor.
La dirección de la fuerza resultante se estima a juicio en función de la
dirección de los canales de flujo en la zona de la dovela y la posición se
establece en el centro de gravedad de la porción del elemento de suelo
sometida a flujo del agua. En el caso de tener un suelo anisotrópico, se debe
dibujar la red primeramente en la sección transformada y por teóricamente
regresar a la sección real mediante una artitransformada, a fin de establecer,
en esta última sección, la magnitud y dirección de las fuerzas de filtración.
Aplicando este procedimiento a la fig.9b, la fuerza de flujo será:
FF = iγ w .Vol =
h
γ w D.A = Ahγ w
D
Donde A = área de la muestra de suelo.
c) Método de las presiones periféricas.
Este método consiste en determinar la fuerza de flujo como la resultante de
todas las fuerzas periféricas del agua sobre el elemento que se estudia, más la
fuerza W0 que es igual al peso volumétrico del agua, multiplicada por el
volumen de suelo del elemento (dovela) que se estudia. Las presiones
periféricas del agua sobre el elemento se obtienen determinando en la red de
flujo las cargas de agua que se tienen en la esquina del elemento considerando
obteniendo la fuerza resultante de estas presiones sobre cada uno de los lados
del elemento.
La fig.14 muestra el mismo ejemplo de la fig.13 donde se ilustra la obtención
de la presiones periféricas del agua actuando sobre los lados del elemento
abcd, con la ayuda de un compás y haciendo uso de la carga de agua
deducidas de las líneas equipotenciales de la red de flujo. La fuerza resultante
P1 es igual al área del triángulo abe´, multiplicada por el peso volumétrico del
agua (γw). De manera similar, las fuerzas P2 y P3 se determinan actuando sobre
las líneas bc y cd respectivamente. La fuerza W0 es, como ya se indicó, el peso
volumétrico sumergido del suelo multiplicado por el volumétrico del
elemento (igual al determinado en el método del gradiente). En la
determinación de todas estas fuerzas se está considerando que el espesor
perpendicular al dibujar del elemento que es analiza, es igual a la unidad (sí se
trabaja en el sistema internacional, dicha unidad es un metro).
Habiendo determinado las fuerzas P1, P2, P3 y W0, se construye el polígono de
fuerza (fig.14b) y se determina la fuerza F de flujo que resulta de unir el
extremo de la suma vectorial de las fuerzas del agua, con el inicio de la
fuerza que representa W0. La dirección de esta fuerza la da el polígono de
fuerzas y la posición se obtiene siguiendo el procedimiento señalado en el
método del gradiente.
Aplicando este método de las presiones periféricas al ejemplo mostrado en la
fig.9b, se tendrá el esquema de la fig. 15.
P1 = zAγ w
P2
FF = Ahγ w
A
D
Wo = D.Aγ w
P2 = (D + z + h )Aγ w
Fig.15.a) Fuerza del agua actuando
sobre el elemento de suelo
de la fig.9
Wo
P1
Fig.15.b) Diagrama de fuerzas
donde se determina la
dirección y la
magnitud de la fuerza
de flujo.
La fuerza FF resulta, obviamente, idéntica a la obtenida mediante el método
del gradiente.
2)
Empleando el peso total del suelo y las presiones periféricas del agua.
Este procedimiento toma en cuanta que la resistencia S del suelo, en términos
de los esfuerzas efectivos, está dado por la siguiente expresión:
S = c + (σ n − u ) tanφ
donde: c = cohesión
σn= esfuerzo normal total.
u = presión del agua.
φ = ángulo de fricción interna del suelo.
En este caso el factor de seguridad está dado por:
FS =
∑((N i − U i )tanφ + cL i )
∑ Ti
La fuerza Ui se obtiene de multiplicar la presión media ui por la longitud Li
en la base de la dovela que se analiza en el círculo de falla. Haciendo
referencia a la fig.14, esta fuerza sería el valor de P2, determinado a partir de
la red de flujo. En este caso, sin embargo, el valor de Ni se obtiene usando el
peso TOTAL del suelo; es decir, no se debe considerar el peso sumergido.
BIBLIOGRAFÍA.
Cedergren, H. (1989); “Seepage, Drainage and Flow Nets”. Third Edition,
John Wiley & Sons, Inc. pp 151-200
Flores Berrones R. (2000); “ Flujo de agua a través de suelos”
Avances en Hidráulica. Asociación Mexicana de Hidráulica e Instituto
Mexicano de Tecnología del Agua.
SARH (1987); “Manual de Mecánica de Suelos; Tomo V; Diseño de
Estructuras Térreas”. Dirección de Ingeniería Experimental.