Coherencia parcial

LAS BASES DE LA TEORIA DE
LA COHERENCIA.
INTRODUCCION A LOS LASERES
PROFESOR:
MANUEL FERNANDEZ GUASTI
Elías Castellanos Alcántara.
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1 INTRODUCCION
Coherencia temporal: Está directamente relacionada
con el ancho de banda. Si la luz fuera totalmente
monocromática ∆tc sería infinito. (El tiempo de
coherencia es el intervalo temporal en el que podemos
predecir la fase de la onda luminosa en un punto del
espacio.)
Longitud de coherencia: ∆lc = c∆tc. (Es la extensión
en el espacio en la que la onda tiene una bonita forma
sinusoidal de tal manera que su fase pueda predecirse con
seguridad.)
Coherencia espacial: Se utiliza con mas frecuencia
para describir efectos procedentes de la extensión espacial
finita de fuentes de luz corrientes (si dos puntos
desplazados lateralmente se hallan en el mismo frente de
onda en un tiempo determinado, los campos en estos
puntos serán coherentes espaciales).
Coherencia parcial: Las perturbaciones totalmente
coherentes o totalmente incoherentes son ambas
idealizaciones.
Interferencia: Equivale a la interacción de dos o mas
ondas de luz que producen una irradiancia resultante que
se desvía de la suma de las irradiancias de sus
componentes.
La generación de franjas de interferencia es una
medida muy conveniente de la coherencia.
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LONGITUDES APROXIMADAS DE
COHERENCIA DE VARIAS FUENTES
Fuente
Longitud de
onda media λ
(nm)
Ancho de
línea ∆λ (nm)
Longitud de
coherencia
∆lc
Luz blanca
550
300
≈ 900 nm
Arco de
mercurio
546.1
1.0
δ 0.03 cm.
605.6
1.2x10-3
0.3 m
Láser He-Ne
estabilizado
632.8
10-6
δ400m
Láser especial
He-Ne
1.153
8.9x10-11
1.5x106m
Lámpara de
descarga de
Kr86
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INTERFERENCIA DE DOBLE HAZ
Interferencia de doble haz producido por un par de
aberturas circulares. (a) Luz de láser He-Ne iluminando
los orificios. (b) Nuevamente luz láser pero ahora uno de
los orificios esta cubierto con una lamina de vidrio de 0.5
mm de espesor. (c) Franjas producidas por un colimado de
un arco de mercurio. (d) Esta vez las franjas desaparecen
al insertar la placa utilizando luz de mercurio,
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Visibilidad
La calidad de las franjas producidas por un sistema
interferométrico puede describirse cuantitativamente
usando la visibilidad dada por:
I max − I min
V=
I max + I min
Donde Imax e Imin, son las irradiancias máxima y
mínima respectivamente. Esta expresión nos será útil ya
que podremos relacionarla con el grado de coherencia.
2 LA FUNCIÓN DE COHERENCIA
MUTUA Y EL GRADO DE
COHERENCIA
Supongamos que tenemos una fuente ancha, con ancho de
banda estrecho, que genera un campo luminoso cuya
representación compleja esta dada por:
G
E~ (r , t )
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Si a esta perturbación se le hace incidir sobre una
pantalla opaca con dos aberturas entonces tenemos el
experimento de Young, Las dos aberturas sirven como
fuentes de ondas secundarias que se propagan hacia un
punto P en un dispositivo de detección, Allí el campo
resultante es:
E~ p = K~1 E~1 (t − t1 ) + K~ 2 E~2 (t − t 2 )
Donde: t1= r1/c y t2= r2/c, y las ‘Ks’, son los
llamados propagadores, los cuales dependen de la
geometría de las aberturas y del punto P.
Experimento de Young.
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La irradiancia en el punto P viene dada por:
~
~
*
I = Ep(t)Ep(t)
T
Entonces:
I = K~ 1 K~
+ K~
2
K~
+ K~ 1 K~
+ K~
*
1
K~
*
2
*
2
2
E~ 1 (t − t 1 )E~ 1* (t − t 1
*
1
E~
2
(t
− t2
)E~ 2* (t
E~ 1 (t − t 1 )E~
(t
*
2
E~ 1* (t − t 1 )E~
2
(t
)
− t2
− t2
− t2
)
)
T
)
T
El momento en que decidamos medir la intensidad no
es importante entonces, ya que el campo de onda es
estacionario, es decir no altera su naturaleza estadística
con el tiempo, de manera que el promedio temporal es
independiente de cualquier origen temporal que se escoja
por lo tanto:
I s1 = E~1 (t )E~1* (t )
T
I s2 = E~2 (t )E~2* (t )
T
T
τ = t 2 − t1
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T
Entonces definamos a la función de coherencia mutua
como:
~ (τ
Γ
12
)≡
E~ 1 (t + τ
)E~ 2* (t )
T
Por lo tanto la irradiancia viene dada por:
2
2
~
~
~
~
~
I = K1 I s1 + K2 I s2 + 2 K1 K2 Re Γ12 (τ )
Pero los dos primeros términos de la ecuación
anterior son las irradiancias respectivas de una abertura u
otra respectivamente entonces:
~ (τ
I = I 1 + I 2 + 2 K~ 1 K~ 2 Re Γ
12
)
Si hacemos coincidir las dos aberturas entonces:
~ (t +τ )E
~*(t)
~ (τ) = E
Γ
11
1
1
T
~
~
~
Γ (τ) = E (t +τ)E*(t)
22
2
2
T
Γ11 (0) = I s1
Γ22 (0) = I s2
Que son las llamadas funciones de auto coherencia.
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Definamos ahora el grado de coherencia complejo
que esta dado por:
γ~12 (τ ) ≡
~ (t + τ )E~ * (t )
~
E
1
2
Γ12 (τ )
T
=
2
2
Γ11 (0 )Γ22 (0 )
E~1
E~ 2
Y sustituyendo en la expresión de la irradiancia
resulta:
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 Re γ~12 (τ )
Que es la llamada ley general de interferencia para
luz parcialmente coherente.
A la norma del grado de coherencia complejo se le
llama grado de coherencia es decir:
Grado de coherencia
γ~12
γ~12 = 1
Limite coherente.
γ~12 = 0
Limite incoherente.
0 < γ~12 < 1
Coherencia parcial.
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Es decir que la coherencia del haz de luz en cuestión
viene determinada por el grado de coherencia.
Ahora recordando la expresión para la visibilidad y
sustituyendo:
V =
2
I1 I 2 ~
γ 12 (τ
I1 + I 2
)
Haciendo I1 = I2 tenemos:
V = γ~12(τ )
Es decir el modulo del grado de coherencia
complejo es idéntico a la visibilidad de las franjas.
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FIGURAS DE INTERFERENCIA DE DOBLE HAZ
USANDO LUZ PARCIALMENTE COHERENTE
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3 EL EFECTO DE MOTEADO
La coherencia espacial de la luz del láser se ve
reflejada en su apariencia granular al reflejarse en una
superficie difusa.
La luz espacialmente coherente que se esparce de una
superficie difusa llena la región circundante con una figura
de interferencia estacionaria. En cualquier posición en el
espacio, el campo resultante es la superposición de
muchos trenes de onda esparcidos contributivos cuya fase
relativa constante deberá definirse por la longitud del
camino óptico de cada difusor al punto en cuestión.
DISTRIBUCIONES DE MOTEADO
(a) Un bloque de cemento iluminado por un arco de
mercurio y (b) con un láser de He-Ne.
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BIBLIOGRAFIA.
E. Hecht, Óptica, Addisson Wesley Iberoamericana,
(2000)
L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and
Quantum Optics, Cambridge University Press, Cambridge
(1995).
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