• Las estrellas son configuraciones gaseosas, cuyas propiedades

• Las estrellas son configuraciones
gaseosas, cuyas propiedades vienen
gobernadas por las leyes de un gas
ideal.
• Dichas leyes se derivan de la Teoría
Cinética de los Gases, bajo las
suposiciones:
1. El gas consiste de un gran número
de moléculas en movimiento
aleatorio que obedecen las leyes de
Newton.
2. El volumen de las moléculas es
despreciable frente al ocupado por
el gas.
3. No hay fuerzas que actúen sobre
las moléculas, excepto durante
colisiones elásticas de duración
despreciable
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• Las estrellas se forman a partir de nubes de gas y
colapsan debido a su propia gravedad.
• Durante el colapso, la energía potencial de los átomos
de hidrógeno, se transforma en energía cinética que
calienta el centro de la estrella.
• Al aumentar la temperatura, aumenta la presión que,
finalmente, consigue detener el colapso.
• La estructura de la estrella viene determinada por cinco
relaciones o conceptos físicos:
1.
2.
3.
4.
5.
El equilibrio hidrostático.
El equilibro térmico
La opacidad del material
La producción de energía
El transporte de la energía
Si despreciamos los efectos de rotación y
campos magnéticos ⇒ las únicas fuerzas que
actúan sobre un elemento de masa son:
Presión – P – y gravedad – g -
CONFIGURACIÓN ESFÉRICA
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ECUACIONES DE ESTRUCTURA
FÍSICA
La forma más general de las ecuaciones de continuidad y
conservación de momento son las ecuaciones hidrodinámicas
ρ
dv
= −∇P − ρ ∇φ
dt
∂ρ
+ ∇ ⋅ (ρ v ) = 0
∂t
∇ 2φ = 4π Gρ
donde
• v ≡ velocidad del fluido
• ρ ≡ densidad
• P ≡ presión
• φ ≡ potencial gravitatorio
∂
d
= + v ⋅∇
dt ∂t
En simetría esférica:
∂vr
∂v
1 ∂P ∂φ
+ vr r = −
−
∂t
∂r
ρ ∂r ∂r
(
)
∂ρ 1 ∂ ρ r 2 vr
+ 2
=0
∂t r
∂r
1 ∂  2 ∂φ 
r
 = 4π Gρ
2
r ∂r  ∂r 
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DISTRIBUCIÓN DE MASA: ECUACIÓN DE
CONTINUIDAD
dm
m + dm
r + dr
r
m
M(r,t) ≡ Mr
dMr = 4π r2 ρ dr + (- 4π r2 ρ v dt)
②
①
Variación de Mr debida a la
variación de r a t constante
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Flujo de masa fuera de la esfera
de radio r constante, debido a
una velocidad radial v hacia
afuera en t
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4
∂M r
= 4π r 2 ρ
∂r
①⇒
②⇒
∂M r
= − 4π r 2 ρ v
∂t
A partir de ① y ②, usando :
∂  ∂M r  ∂  ∂M r 

= 

∂t  ∂r  ∂r  ∂t 
∂  ∂M r  ∂
∂ρ
4π r 2 ρ = 4π r 2

=
∂t  ∂r  ∂t
∂t
(
)
∂  ∂M r  ∂
∂ρ
∂v 

− 4π r 2 ρv = −4π  2rρv + r 2 v
+ r2ρ

=

∂r  ∂t  ∂r
∂r
∂r 

(
Se obtiene :
)
(
1 ∂ ρ r 2v
∂ρ
=− 2
∂t
∂r
r
)
Ecuación de continuidad
∂ρ
= − ∇ ⋅ (ρ v )
∂t
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Si adoptamos una representación LAGRANGIANA en lugar de
EULERIANA, podemos tomar Mr como coordena. Entonces la
coordenada espacial de un determinado elemento de
masa no depende de t.
Mrr varía entre 0 en el centro de la estrella y M (masa total de
la estrella), en su superficie.
Esta formulación puede resultar muy útil cuando se estudian
configuraciones en expansión o contracción, en las cuales
varía el radio de la estrella, pero no su masa.
Transformación entre coordenadas
∂
∂ ∂r
∂
1
= ⋅
=
⋅
∂M r ∂r ∂M r 4π r 2 ρ ∂r
CAMPO GRAVITATORIO
La aceleración gravitatoria a distancia r desde el centro de la
estrella es:
g=
∂φ GM r
= 2
∂r
r
solución de la ecuación de Poisson y
r
GM r
dr + cte
2
r
0
φ=∫
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[φ (r → ∞ ) = 0]
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CONSERVACIÓN DEL MOMENTO
ECUACIÓN DEL EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO
∂P
−
∂r
-gρ
Pe
Pi
En la mayor parte de las
estrellas no se observan
cambios apreciables ⇒la
materia estelar no está
acelerada. Este equilibrio
mecánico en la estrellase
denomina equilibrio
hidrostático e implica que
ninguna de las variables
físicas (macroscópicas) de la
estrella cambia rápidamente
en el tiempo.
En estrellas sin rotación y sin campos magnéticos :
∂P
∂P
GM
− gρ = 0 ⇒
=− 2 r ρ
∂r
∂r
r
∂P
GM r
Usando la masa como coordenada :
=−
∂M r
4π r 4
−
Si P=P(ρ), las dos ecuaciones de continuidad y equilibrio
hidrostático bastan para determinar la estructura de la estrella.
Estos modelos se llaman polítropos.
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DESVIACIONES DEL EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO
ESCALA TEMPORAL DINÄMICA
En la ecuación de equilibrio hidrostático se palntea la igualdad entre
las dos principales fuerzas que actúan sobre un elemento de masa
de la estrella: gravedad y gradiente de la presión
∂P
GM
=− 2 r ρ
∂r
r
Imaginemos que el soporte debido a la presión desapareciera.
Las capas superficiales de la estrella colapsarían con una
GM
velocidad comparable a la velocidad de escape
v2 ≈
R
La escala dinámica de tiempo es por tanto
t din
R
R3
1
≈ ≈
≈
v
GM [G < ρ >]1/ 2
donde <ρ> es una densidad característica promedio.
• Para el Sol
• Para una gigante roja
• Para una enana blanca
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tdin ≅ 27 min
tdin ≅ 14 días
tdin ≅ 4.5 s
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TEOREMA DEL VIRIAL
Para una estrella en equilibrio:
Multiplicando por
∂P
GM
=− 2 r ρ
∂r
r
4
V (r ) dr = π r 2 dr
3
GM r
4
VdP = − π r 2 ρ dr
r
3
y, usando la acuación de continuidad,
VdP = −
1 GM r
dM r
3 r
Integrando sobre toda la estrella
∫ VdP = −
Ahora:
∫ VdP = PV
y
GM r
∫ r dM r = Ω
R
0
1 GM r
dM r
∫
r
3
− ∫ PdV
Tomando P=0 en la superficie de la estrella (r=R,) resulta:
3∫ PdV + Ω = 0
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Utilizando la ecuación de estado para un gas ideal (el caso
más frecuente): PV = T, donde es la constante de los
gases. En este caso, la ecuación de estado se escribe:
P = (γ − 1) ρ
donde
es la energía interna por unidad de masa
Entonces:
∫ PdV = ∫ (γ − 1)ρ
dV
y, para el caso de γ constante,
0 = Ω + 3(γ − 1) U
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APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VIRIAL
ESTIMACIÓN DE LA TEMPERATURA INTERNA DE LA ESTRELLA
Para un gas ideal monoatómico, con γ = 5/3 :
3
MN A
U ≅ kT
2
µ
GM 2
Ω≅−
R
y
Para una composición química estándar, µ = 0.6 y
 M
T ≈ 5 × 106 
M
 R

 R
−1

 K

Consecuencias
• T>> Te ⇒ Existe un gradiente de temperatura en el
interior estelar
• La mayor parte de la estrella está altamente
ionizada.
• La temperatura central es suficientemente elevada
para que se den reacciones nucleares.
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ENERGÍA TOTAL DE LA ESTRELLA
La energía total de la estrella es :
De acuerdo al Teorema del virial:
E =U + Ω
0 = Ω + 3(γ − 1) U
E = U − 3 (γ − 1)U = − (3γ − U )U =
3γ − 4
Ω
3(γ − 1)
Consecuencias
• Como Ω < 0, E < 0 si γ > 4/3. Por lo tanto, una estrella
con γ = 5/3 es una configuración ligada.
• Para la presión de radiación
Pr = (1/3) a T4
y la energía por unidad de volumen es:
a T4 y P = (γ - 1) ur con γ = 4/3.
Por tanto, a medida que la radiación cobra
importancia, la estrella se vuelve menos ligada
gravitatoriamente.
• Contracción gravitatoria. La estrella radia energía al
medio interestelar más frío. A medida que lo hace, ∆E
< 0 ➾ ∆Ω < 0 y ∆U > 0. Es decir, en ausencia de
fuentes de energía diferentes de la contracción
gravitatoria, a medida que la estrella radia, se contrae
y se calienta.
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Por consideraciones de conservación de energía:
dE
L+
=0
dt
⇒
L=−
3γ − 4 dΩ
3γ − 3 dt
A medida que la estrella radia, su energía gravitatoria disminuye
(se hace más negativa) y, además, la estrella se calienta. En en
caso de un gas ideal completamente ionizado (γ=5/3), la mitad
de la energía liberada en la contracción se radia al exterior y una
cantidad igual a ésta se almacena como energía interna de la
estrella.
ESCALA TEMPORAL DE KELVIN-HELMHOLTZ
La escala de tiempo característica para la liberación de energía
gravitatoria se puede calcular a partir de de la cantidad de
energía gravitatoria disponible y la luminosidad de la estrella:
Ω=∫
R
0
M GM
GM r
GM 2
2
r
dM r = q
ρ 4π r dr = ∫
0
r
r
R
Donde q es un número del orden de la unidad.
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El tiempo de Kelvin-Helmoholtz es por tanto
tK −H
GM 2
=
RL
Esta escala temporal también se llama escala térmica. Nos da
una idea de cuanto tiempo puede la estrella seguir emitiendo
energía a un ritmo constante, sin fuentes internas de energía.
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