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¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella?
Bastara reemplazar los puntos en la ecuación
y = ax 2 + bx + c y plantear el sistema
correspondiente.
Los puntos correspondientes son 0,-2 3,1 y
5,8
Usando una tabla para ordenar, se tendrá que
x
0
3
5
ax 2 + bx + c
a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c
c = −2
a ⋅ 32 + b ⋅ 3 + c
9a+3b=3
a ⋅ 52 + b ⋅ 5 + c
25a+5b=10
y
-2
1
8
Por las deducciones de la tabla se plantea el
sistema de ecuaciones
9a + 3b = 3
25a+5b=10
Aplicando algún método, ya sea reducción, igualación, sustitución o cramer, se podrá
determinar los valores de a y b, que son respectivamente a=1/2 y b= -1/2, de donde la
ecuación principal de la cuadrática será
y=
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1 2 1
x − x−2
2
2
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¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella?
Como puede observar la grafica corresponde a la parábola que pasa por los puntos
mostrados. Dibuje en ella el eje de simetría y verifique que las raíces son las correctas.
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¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella?
Ejemplo 2
Dados los puntos ( 0,8 ) ( 5,5 ) ( 7, 0 )
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Reemplazando ordenadamente en la ecuación y = ax + bx + c se tendrá que, del punto
(0,8)
8 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c
De donde
Del punto ( 5,5 )
c = 8
5 = a ⋅ 52 + b ⋅ 5 + c
5 = 25a + 5b + 8
Y del tercer punto, ( 7, 0 )
25a + 5b = −3
0 = a ⋅ 72 + b ⋅ 7 + c
49 + 7b + 8 = 0
49 + 7b = −8
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¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella?
Al resolver el sistema obtenido, se tiene que, por igualación,
25a + 5b = −3
49a + 7b = −8
25a + 5b = −3
−3 − 5b
a=
25
49a + 7b = −8
−8 − 7b ,
a=
49
−3 − 5b −8 − 7b
=
25
49
49 ( −3 − 5b ) = 25 ( −8 − 7b )
−147 − 245b = −200 − 175b
.
−147 + 200 = 245b − 175b
53 = 70b
53
b=
70
Bastara ahora evaluar el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones, con el fin ultimo de
obtener el valor de la segunda incógnita
y
entonces
25a + 5b = −3
53
25a + 5 ⋅ = −3 / 70
70
1750a + 5 ⋅ 53 = −210
1750a + 265 = −210
1750a = −210 − 265
1750a = −475
−475 −97 ⋅ 5 −19 ⋅ 5 ⋅ 5 −19
a=
=
=
=
1750 175 ⋅10 35 ⋅ 5 ⋅10
70
Luego, los valores buscados son A =
−19
53
, B=
y C = 8 , de donde la ecuación buscada
70
70
es
−19
53
x2 +
x + 8 = y ( x)
Ax 2 + Bx + C = Y ( x) ⇒
70
70
Nota. Aplique cualquiera de los métodos conocidos para determinar el valor de A, B y C.
No se centre en solo aplicar el método explicado, pues de usted depende relacionar lo
aprendido en forma concreta.
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¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella?
Ejercicios
Determine ahora la ecuación de cada una de las cuadráticas mostradas en la grafica. Luego
verifique si la ecuación obtenida cumple con cada curva, reemplazando diversos puntos.
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