Ejercicios

Ejercicios
1.- Simplificar:
a)
d)
a x2
a2 x5
x x2
x2 x3
b)
x 2 x 1
x x 1x 1
e)
4 x2
x2
c)
x 2 5x
x x 5 2
f)
9x 2 4
9 x 2 12 x 4
2.- Calcular:
a)
c)
80
x
x3
x2 x2
4 x2
x2 9
˜
x 2 6x 9
x 2 4x 4
b)
d)
1
2
x 10 x 25
x 2 x 1
2
x 5x 6
y
1
x5
x2 x
x2 9
3.7 Práctico: Expresiones Algebraicas
Ejercicio 1: Expresar con un monomio el área de la parte
sombreada.
x
x
Ejercicio 2: a) Verificar que el área del trapecio de la figura es A = 2xy.
x
b) Expresar la diagonal mayor del trapecio utilizando x e y.
y
3x
Ejercicio 3: Expresar el área de las figuras siguientes mediante un polinomio.
a)
b)
3
x
2x
x
x
10
x
Ejercicio 4: Expresar el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes cuerpos
geométricos, mediante un polinomio.
a)
b)
3x
x+3
x
x-1
x
x
Ejercicio 5: Hallar la suma y diferencia de los polinomios: P ( x )
Q( x )
4x 3 5x 2 6x 4
2x 3 4 x 2 x 5
Ejercicio 6: ¿Cuánto debe valer x para que al sustituirla en cada una de las casillas
resulte un cuadrado mágico?
x-1
3x - 2
4 - (1- x)
3x
10 -(x+2)
x-2
x+1
2x - 3
3x - 1
La suma de las filas, de las
columnas y de las diagonales
debe ser la misma.
Ejercicio 7: Efectuar con los siguientes polinomios las operaciones que se indican:
A( x )
3x 4 8x 2 5 ;
D( x )
x3 8;
B( x )
E( x )
x 2 x 1;
C( x )
2x 3 x 2 5 x 3
x 2;
F( x )
x2
a) A + C - B
b) C - 2D
d) A ˜ B
e) A ˜ B – E ˜ F
1
B
2
f) E ˜ C + D ˜ F
g) A y C
h) D y B
i) B y E ˜ F c) 3C - 4D +
Ejercicio 8: Determinar los valores de a y b para que el polinomio:
Q( x )
3a b 5x 2 4a b 9x
sea idénticamente nulo.
81
Ejercicio 9: ¿Existe un único polinomio del tipo P(x) = ax3 + bx + c , tal que satisface la
condición que P(1) + P(-1) = 6?
Ejercicio 10: Calcular:
a) x 2 2 x 1
2
b) x 3 x 2 x 1
2
Ejercicio 11: Encuentre, si es posible, los coeficientes a, b, c y d, de tal manera que los
polinomios P(x) = x4 + 2x3 + ax2 + bx + 1 y Q(x) = (x2 + cx +d )2 sean iguales.
Ejercicio 12: Calcular las siguientes divisiones y expresarlas en la forma
r
D
C
d
d
c) x
2 x 3 y x
a) x 6 4 x 4 x 2 y x 3 2 x 2
3
x2
2
1
3
1·
§
b) ¨ 3 x 3 x 2 x ¸ y 2 x 4 2
4
2¹
©
4 x 2 x 5 y el resto
Ejercicio 13: En una división de polinomios el cociente es C( x )
es R( x )
d) 8 x 5 16 x 2 8 x y 2 x 3 x 2 1
1
x 3 x 1?
3 x 7 . ¿Cuál es el dividendo, si el divisor es d ( x )
Ejercicio14: Encontrar m de modo que la siguiente división sea exacta:
( 6 x 2 mx 15 ) y ( 2 x 3 )
Ejercicio 15:
Aplicar la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las
siguientes divisiones:
a) 3 x 3 x 2 x 1 y x 1
c)
x
4
x 2 2 y x 2 e) 2 x 4 x 3 3 x 5 y x 2
b) x 5 10 x 7 y x 3 1
3
1·
§
d) ¨ x 3 x 2 x ¸ y x 1
2
4
2¹
©
f) x 5 243 y x 3 Ejercicio 16: En el polinomio A( x ) x 5 2 x 4 x 3 3 x 2 kx 3
¿cuánto vale k, si A(-1) = -2?
Ejercicio 17: Dado el polinomio Q( x ) 2 x 3 4 x 2 x 5 , calcular Q(1). ¿Cuál es el
resto de dividir Q(x) por (x – 1)?
Ejercicio 18: Determinar, sin efectuar la división, en que casos el dividendo es múltiplo
del divisor:
c) x
e) x
g) x
y x a y x a y x a a) x 5 a 5 y x a 5
a5
4
a4
4
a4
d) x a y x a f) x a y x a h) x a y x a b) x 5 a 5 y x a 5
5
4
4
4
Observa los resultados obtenidos, ¿puedes generalizarlos?
82
4
Ejercicio 19: Calcular los valores de m y n para que el polinomio x 3 6 x 2 mx n sea
divisible por:
x 2 x 12
Ejercicio 20: Hallar a y b en el polinomio 3 x 4 2 x 3 5 x 2 ax b para que sea
divisible por: x 2 y el polinomio cociente tenga por término
independiente 4.
Ejercicio 21: Al dividir un polinomio por x 1 se obtiene resto 5, y al dividirlo por
x 2 el resto que se obtiene es –1. ¿Qué resto se obtendrá al dividir el
mismo polinomio por x 1x 2 ?
2
son raíces del polinomio
Ejercicio 22: Comprobar que 3, -3, -5 y
3
P ( x ) 3 x 4 13 x 3 37 x 2 117 x 90
y escribir su descomposición factorial.
(Ayuda: Es muy laborioso determinar el valor numérico de P(x) para las raíces
dadas, una manera menos complicada es aplicar la regla de Ruffini sucesivamente.
Es decir, por ejemplo, para x = 3, si P(3) = 0, en el cociente de P(x) por (x – 3) se
vuelve a aplicar Ruffini para x = -3 y así se continúa hasta terminar con todas las
raíces)
Ejercicio 23: Escribir un polinomio cuyas raíces son: -3, 5 y –7.
Ejercicio 24: Calcular las raíces de los siguientes polinomios:
a) x 2 10 x 25
b) x 2 5 x 4
c) x 2 3
d) x x 3
e) x 3 1
f) 3 x 2 2 x
Ejercicio 25: Encontrar un polinomio P(x):
a) de grado 3 tal que P(0) = 10 y cuyas raíces sean 2
,1y5;
3
b) de grado 2 tal que P(2) = - 6 y cuyas raíces sean 2 2
y 2 2
Ejercicio 26: Factorear:
a) x 3 7 x 2 16 x 12
b) 5 x 3 x 5
c) 4 x 4 13 x 2 9
d) 2 x 4 6 x 3 18 x 2 10 x
e) 6 x 2 18 x 12
f) 2 x 3 5 x 2 x 2
g) x 4 8 x 3 11x 2 32 x 60
h) x 3 2 x 2 x
i) 4 x 3 4 x 2 25 x 25
Ejercicio 27: Buscar dos polinomios divisibles por x 3 , x 5 y x 2 .
Ejercicio 28: Si el lado x, de un cuadrado, aumenta en un 10 %, ¿en qué porcentaje
aumenta
la superficie?
x
x
83
Ejercicio 29: ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas racionales son
irreducibles?
2x 3
x4
a)
x 2 16
x4
b)
x 3
c)
d)
x 2 6x 9
x3 1
x2 x 1
Ejercicio 30: Simplificar:
a)
d)
g)
j)
ax 3
15 x 3 y 4
b)
a2x 2
x 1
10 y 5 x 2
x 3 x 2 2
e)
x2 1
x3 x2 x
h)
5x 2 5x 5
4 x 2 12 x 9
9
x2 4
k)
8x 3
c)
x3 x2
f)
x 2 2x
x2 x
x x2
x2 x 2
i)
x 2 2x 1
x4 1
x2 x 6
x 3 3 x 2 4 x 12
l)
1 x 2
22 x 2
x 3 2 x 2 9 x 18
Ejercicio 31: Determinar, entre las siguientes expresiones, las que son equivalentes:
x4y
a)
b)
x5y 2
x 2 3x 2
c)
d)
2
x x2
x 2 2x 1
x2 1
x y ( x 1)
3 2
x y x2y 2
Ejercicio 32: Reducir a común denominador:
xy
a)
2
x y
y
;
2
3
x yx y
1
b)
2 2
2
x 2x 3
x2
;
2
x 4x 3
x
;
y x y 3
x 3
;
x2 9
Ejercicio 33: Calcular y simplificar:
a)
c)
2( x 3 )
x 2 2x 3
x5
2
x 4x 3
x3
x 2 4x 3
2x 6
d)
2
x 3x
Ejercicio 34: Al simplificar la expresión x 1 y 1
a) x + y
84
b)
xy
xy
b)
c) xy
1
x
x2
x 1 x2 1
x
2
x 1
1
2
x 2x 1
1
, es resultado que se obtiene es:
d)
1
xy
e)
xy
xy
Ejercicio 35: Operar y simplificar:
a)
x
2
x 4
˜
x3 1
2x
b)
2
3x 1
x
5
˜
x3
c)
2
9x 6x 1
x3 x
˜
2
x2 4
x 5x 6 x 2 x
Ejercicio 36: Operar y simplificar:
1
1
y
2
x 2 3 x 12
a)
b)
x3
x2 4
y
x 2 x 12
c)
x3 8
x3 x
x2 x 1
y
4x 2 4
x2 x 2
Ejercicio 37: Resolver:
a) 3 x x2
x3
b)
§ 1
2x
c) ¨¨
1
x
1 x 2
©
e)
g)
· §
§ x2
x·
d) ¨
y ¸ y ¨¨1 ¸¸
¸ ©
¨ y
y
¹
¹
©
· §
1·
¸¸ ˜ ¨1 ¸
x
¹
¹ ©
3·
§ 1
· §
1¸ ˜ ¨ 3 x ¸
f) ¨
x¹
© x 1 ¹ ©
x
1
2
x 5 x
x
25 5
1
x 2 6x 9
1
x2 9
x · § x
1 ·
§ 1
h) ¨
¸˜¨
¸
© x 1 x 1¹ © x 1 x 1¹
1
x 2 6x 9
ab
c
i)
a(b c )
a
j)
§
y 2 ·¸ x 3 y 3
k) ¨ x y ¨
x y ¸¹ x 2
©
m)
o)
y 2 6y 9
4y 2 4
y
x
x
1 x 1 x
y2 9
2y 1 y 2
a1
1
a2
a 1 a3 1 a2 a 1
1
a( b 5 )
ab
a
5
2x 3 ·
25
§
l) 26 x 6 ¨ 3 x ¸
5
©
¹ 169 x 2 9
n)
p)
x 4 1 2ax 2 x 4 x 2 1 1
˜
˜
˜
2x
x 6 1 x 2 2 x 1 ax
5m
2
m
1
4
4
5
1
1
m 1
m 1
2
2
85
86