1.7 Triangulo de inclinacion y pendiente entre dos rectas paralelas

Ángulo de inclinación y pendiente entre dos rectas paralelas, oblicuas (no
perpendiculares) o perpendiculares.
Rectas paralelas.
Dos rectas son paralelas, si tienen la misma pendiente y por lo tanto también el mismo
ángulo de inclinación, como las rectas que se muestra en la siguiente figura.
y
R1
R2
m1= m2
m1
m2
θ1
θ2
x
Ángulo entre dos rectas oblicuas (no perpendiculares).
Cuando dos rectas no perpendiculares se cortan entre sí, se forman cuatro ángulos tales que
los ángulos opuestos por los vértices son iguales, dos de ellos son agudos y dos son
obtusos, como se muestra en la siguiente figura.
Ángulo obtuso
m1
Ángulo agudo
m2
Sean dos rectas R1 y R2, cuyos ángulos son α1 y α2 respectivamente, entones, si
deseamos determinar el ángulo que se forma al momento de cortarse tenemos lo siguiente:
y
4.
Dividiendo
cada
factor
entre
(cosα2)(cosα1) y Factorizando tenemos
que:
R2
R1
θ
α1
α2
x
( senα 2 )(cosα 1 ) (cosα 2 )( senα 1 )
−
(cosα 2 )(cosα 1 ) (cosα 2 )(cosα 1)
Tanθ =
( senα 2 )( senα 1 ) (cosα 2 )(cosα 1 )
+
(cosα 2 )(cosα 1 ) (cosα 2 )(cosα 1 )
1.- Considerando que:
α2 = α1 + θ
5. Reduciendo factores iguales.
θ = α2 - α1
senα 2 senα 1
−
cosα 2 cosα 1
Tanθ =
( senα 2 )( senα 1 )
+1
(cosα 2 )(cosα 1 )
Aplicando la tangente.
Tanθ = tan ( α2 - α1)
2. Aplicando la identidad trigonométrica.
Tanθ =
senθ
cosθ
6. Ordenando términos y cambiando
identidad trigonométrica.
Tanθ = tan (α2 - α1)
Tanθ =
Tanθ =
sen(α 2 − α 1 )
cos(α 2 − α 1 )
3. Aplicando las fórmulas
diferencia de ángulos.
tan α 2 − tan α 1
1 + (tan α 2 )(tan α 1 )
7. Pero la tanα2 = m2 y tanα1= m1
de
la
sen(A - B)=senA*cosB- cos A*senB
cos( A-B)=senA*senB + cos A*cosB
(senα 2 )(cosα 1 ) − (cosα 2 )( senα 1 )
Tanθ =
(senα 2 )( senα 1 ) + (cosα 2 )(cosα 1 )
entonces tenemos que:
Tanθ =
m2 − m1
1 + (m2 )(m1 )
 m 2 − m1 

θ = tan −1 
1
+
(
m
)(m
)
2
1 

Rectas perpendiculares.
Dos rectas son perpendiculares, si la diferencia de sus ángulos de inclinación es un ángulo
recto (90°), por lo que sus pendientes son el recíp roco negativo de la otra o lo que es lo
mismo que el producto de sus pendientes sea -1, como se muestra en la siguiente figura.
1.- Sabemos que en todo triángulo, la
medida de un ángulo externo equivale
a la suma de los dos ángulos internos
no adyacentes.
y
R1
R
Por lo anterior tenemos que:
90
θ2 = θ1 + 90°
θ2
θ1
90° = θ2 - θ1
x
tan90° = tan ( θ2 - θ1).
2. Siguiendo el procedimiento realizado anteriormente cuando las rectas no forman un ángulo
recto tenemos lo siguiente.
Tan 90° =
tan θ 2 − tan θ1
1 + (tan θ 2 )(tan θ1 )
3. Como la tan90° no está definida, aplicaremos el r ecíproco en cada lado de la expresión,
quedando:
1
1 + (tan θ 2 )(tan θ1 )
=
Tan 90°
tan θ 2 − tan θ1
4. Pero como:
1
= cot 90°
Tan 90°
Cot 90° =
0=
Tan θ 2 = m2
1 + (tanθ 2 )(tanθ1 )
tan θ 2 − tan θ1
1 + (m2 )(m1 )
m2 − m1
Tan θ1 = m1
y como Cot90°= 0
Finalmente
( m2 )( m1 ) = −1
Para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Hallar el ángulo agudo que se forma al cortarse dos rectas cuyas pendientes son m1=1 y
m2= -4.
−5
m2 − m1
Tanθ=
Tanθ =
1− 4
1 + (m2 )(m1 )
−5
Tanθ=
− 4 −1
−3
Tanθ =
1 + (−4)(1)
5
Tanθ=
θ= tan-1(1.66)
3
−5
Tanθ =
1 + (−4)
θ= 59.03°
Ejemplo 2.
Investiga, por medio de sus pendientes, si la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y
B( -4, 2) es paralela, perpendicular u oblicua a la recta que pasa por los puntos C(-5, 4 ) y
D(5, -3).
mCD =
y 2 − y1
x2 − x1
m AB =
y 2 − y1
x2 − x1
mCD =
−3− 4
5 − (−5)
m AB =
2−3
− 4 −1
mCD =
−7
7
=−
10
10
m AB =
−1 1
=
−5 5
Conclusión.
1. Como m AB ≠ (no es igual) a
m CD las rectas no son paralelas.
 1  7 
7
y no es -1 entonces no son perpendiculares.
= 50
 5  10 
2. Como (m AB )(m CD )=   −
3. Por lo anterior calcularemos el ángulo entre ellas.
θ = tan
−1 



 1 + ( m )(m ) 

2
1 
m
2
−m
 450 
θ = tan −1 

 430 
1
 1  7 
 9 
− 
 


−1  5  10  
−1 10

θ = tan
θ = tan 
43
  1  7  


 1 +   −  
 50 
  5  10  
θ= tan-1(1.04)
θ= 46.30° se trata de dos rectas oblicuas.