TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL

INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE
CONTROL
CONTENIDO
DEFINICIONES BÁSICAS Y CLASIFICACIÓN DE
LOS SISTEMAS DE CONTROL
y IMPORTANCIA DE LA RETROALIMENTACIÓN
Ó
y TRANSFORMADA DE LAPLACE, FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
y RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
y
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
1
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
DEFINICIONES BÁSICAS Y CLASIFICACIÓN DE
LOS SISTEMAS DE CONTROL
Objetivos
j
de control: entradas,, señales actuantes (u)
( )
Sistema de Control: Planta o proceso
Resultados: Salidas
Objetivos
j
SISTEMA DE
CONTROL
Resultados
Retroalimentación: Tomar una medición de la variable de salida y
compararla con una referencia para regular la variable de entrada.
Control regulador: El sistema opera en base a controlar (disminuir
las perturbaciones).
Servocontrol: El sistema opera en base a cambios en la referencia.
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2
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IMPORTANCIA DE LA RETROALIMENTACIÓN
Aire acondicionado
Horno de micro
ondas
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Autos
3
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IMPORTANCIA DE LA RETROALIMENTACIÓN
Entrada de
referencia r
Controlador
Señal
actuante u
Proceso
controlado
Sistemas controlados en lazo abierto
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4
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IMPORTANCIA DE LA RETROALIMENTACIÓN
Control de
motores
Control
C
t ld
de
robots
AERONÁUTICA
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5
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IMPORTANCIA DE LA RETROALIMENTACIÓN
e(t)
Vref +
u(t)
CONTROLADOR
-
PLANTA
y(t)
Vs
TRANSDUCTOR
Sistemas controlados en lazo cerrado
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6
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Se transforma del dominio del tiempo al dominio de
l variable
la
bl compleja
l
“ ”
“s”
y Como ejemplo se puede hacer una analogía con los
LOGARITMOS
y Se transforma porque su manejo es más simple.
ÁLGEBRA
y Es importante la transformada porque con ella se
puede predecir el comportamiento del sistema con
respecto a estabilidad, exactitud y rapidez de
respuesta
t sin
i tener
t
que resolver
l
realmente
l
t ell sistema
i t
de ecuaciones
y
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7
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Nú
Números
complejos
l j
Parte real + j Parte imaginaria
j = −1
donde
Un número complejo se puede representar de 3 formas:
- Rectangular
- Polar
3 + j4
32 + 42 tan −1 (4 / 3) = 5 53.1º
- Exponencial
5e j 0.927
Im (Eje imaginario)
Im (Eje imaginario)
5 53.1º = 5e j 0.927
3+j4
θ = 53.1
53 1º = 0
0.927rad
927rad
Re (Eje real)
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Re (Eje real)
8
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
O
Operaciones
i
- Suma y resta
(3 + j 2) + (2 + j1) = (5 + j 3)
(3 + j 2) − (2 + j1) = (1 + j1)
- Multiplicación y división
j1
j2
j (1+ 2)
j3
5
e
2
e
=
(5)(2)
e
=
10
e
( )( )
( 5 57.3º )( 2 114.6º ) = (5)(2) 57.3 + 114.6 = 10 171.9º
5e j1 5 j (1− 2)
− j1
=
e
=
2.5
e
2e j 2 2
5 57.3º 5
= 57.3
57 3 − 114.6
114 6 = 22.5
5 −57
57.33º
2 114.6º 2
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9
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Conjugado de un número complejo
( A + jB)* = ( A − jB )
Concepto de variable compleja
Plano s
s = σ + jω
ω1
s1
σ1 + jω1
σ1
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Mapeo desde el plano s al plano G(s)
I
Im
ω
s
σ + jω
G(s)
σ
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Re
11
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Función Analítica:
Una función G(s) de una variable compleja s, se llama función
analítica en una región del plano s,
s si la función y todas sus
derivadas existen en dicha región.
G (s) =
1
s ( s + 1)
Analítica excepto en los puntos s = 0
y s = -1
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12
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Polos de una función: hacen infinito a la función (singularidad)
Ceros de una función: hacen cero a una función
G(s) =
10( s + 2)
s ( s + 1)( s + 3) 2
p1 = 0; p2 = -1; p3 = -3 (orden 2)
z1 = -2
2
jω
Plano s
σ
-3
-2
-1
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Dominio de la frecuencia
Dominio del tiempo
Ri (t ) + L
di (t ) 1
+ ∫ i (t )dt = e(t )
dt
C
RI ( s ) + LsI
L I (s) +
1
I ( s) = E ( s)
Cs
Transformada
de Laplace
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14
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Definición de la transformada de Laplace.
Dada la función real f(t) que satisface la condición:
∞
∫
f (t )e −σ t dt < ∞
0
Para alguna σ real finita, la transformada de Laplace de f(t) se
define como:
∞
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
0
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15
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Ejemplos:
f (t ) = e − at
f (t ) = 1
∞
1
F ( s ) = ∫ 1e − stt dt = − e − stt
s
0
∞
0
1
1
F ( s ) = − (0
( − 1)) =
s
s
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∞
F ( s ) = ∫ e − att e − stt dt = −
0
F ( s) =
− ( s + a )t ∞
e
s+a
0
1
s+a
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Teoremas de la Transformada de Laplace
TEOREMA 1.
1 Multiplicación por una constante
TL(kf(t)) = kF(s)
TEOREMA 2. Suma y Resta
TL [( f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) )] = F1 ( s ) ± F2 ( s )
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17
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Teoremas de la Transformada de Laplace
Teorema 3. Diferenciación
⎡ df (t ) ⎤
= sF ( s ) − lim f (t ) = sF ( s ) − f (0)
TL ⎢
⎥
t →0
⎣ dt ⎦
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18
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Teorema 3. Diferenciación (demostración)
∞
TL { f ′(t )} = ∫ f ′(t )e − st dt
0
∫ udv = uv − ∫ vdu
u = e − st ; dv
d = f ′(t )dt
du = − se − st dt ; v = f (t )
∞
∫
0
∞
∫
f ′(t )e dt
d = (e
− st
− st
∞
f (t ) ) + s ∫ f (t )e − st dt
d
∞
0
0
f ′(t )e − st dt = − f (0) + sF ( s )
0
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Teoremas de la Transformada de Laplace
Teorema 4. Integración: DEMOSTRARLO
⎧∞
⎫ F ( s)
TL ⎨∫ f (t )dt ⎬ =
s
⎩0
⎭
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20
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Teoremas de la Transformada de Laplace
Teorema 5. Valor inicial y valor final
lim f (t ) = lim sF ( s )
t →∞
s →0
lim f (t ) = lim sF ( s )
t →0
s →∞
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21
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Teorema de Euler
cosθ + jsenθ = e jθ
e jθ + e − jθ
cosθ =
2
e jθ − e − jθ
senθ =
2j
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22
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Transformada de la función seno
TL {sen(ωt )}
e jωt − e − jωt
sen(ωt ) =
2j
1
F ( s ) ⎡⎣TL {e jωt } − TL {e − jωt }⎤⎦
2j
F ( s) =
1 ⎛ 1
1 ⎞ 1 ⎛ s + jω − s + jω ⎞
−
⎜
⎟=
⎜
⎟
2 j ⎝ s − jω s + jω ⎠ 2 j ⎝
s2 + ω 2
⎠
F ( s) =
ω
s2 + ω 2
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23
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Transformada de la función coseno
TL {cos (ωt )}
e jωt + e − jωt
cos (ωt ) =
2
1
F ( s ) = TL {e jωt } + TL {e − jωt }
2
1⎛ 1
1 ⎞ 1 ⎛ s + jω + s − jω ⎞
F ( s) = ⎜
+
⎟= ⎜
⎟
2 ⎝ s − jω s + jω ⎠ 2 ⎝
s2 − ω 2
⎠
s
F ( s) = 2
s −ω2
(
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)
24
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Transformada de la función seno amortiguado
g
Demostrar que:
f (t ) = e −α t sen(ωt )
TL { f (t )} =
ω
(s + α )2 + ω 2
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25
INGENIERÍA DE CONTROL I
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Función Compuerta
G(t)
u(t-t0)
1
1
T
t0
t0
t0+T
-1
-u(t-T)
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26
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Función Compuerta: ejemplo de uso
f (t ) =
E
tG (t )
T
E
E
E
E
f (t ) = t (u (t ) − u (t − T )) = tu (t ) − tu (t − T )
T
T
T
⎧E
⎫ ⎛ E ⎞⎛ 1 ⎞
TL ⎨ tu (t ) ⎬ = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎩T
⎭ ⎝ T ⎠⎝ s ⎠
TL {tu (t − T )}
t (t − T ) = (t − T + T )u (t − T ) = (t − T )u (t − T ) + Tu
tu
T (t − T )
T
e −Ts
e −Ts
TL {(t − T )u (t − T ) + Tu (t − T )} = 2 + T
s
s
E ⎛ 1 e −Ts
e −Ts ⎞
F ( s) = ⎜ 2 + 2 + T
⎟
T ⎝s
s
s ⎠
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27
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
Ejercicios: obtener la Transformada de Laplace de las
siguientes
g
funciones
E
E
T/2
T/2
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
T
3T/2
2T
28
INGENIERÍA DE CONTROL I
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Representación Externa
G(s)
u1
u2
un
.
.
.
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
y1
.
.
.
y2
yn
29
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Representación Externa
G ( s) =
Y (s)
U ( s)
d n y (t )
d n −1 y (t )
dy (t )
+ a n−1
+ ... + a1
+ a0 y (t )
n
n −1
dt
dt
dt
d mu (t ) m −1 d m −1u (t )
du (t )
= bm
+b
+ ... + b1
+ b0u (t )
m
m−1
dt
dt
dt
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30
INGENIERÍA DE CONTROL I
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Representación Externa
La función de transferencia con condiciones iniciales de cero está
dada por la siguiente expresión:
( s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0 )Y ( s )
= (bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 )U ( s )
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31
INGENIERÍA DE CONTROL I
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TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Representación
p
Externa
Entonces la relación entrada – salida queda expresada cómo sigue:
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0
G ( s) =
= n
U (s)
s + an −1s n −1 + ... + a1s + a0
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32
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Representación Externa
Propiedades de la función de transferencia:
Está definida únicamente para sistemas lineales invariantes en el
tiempo.
Se define por la T. de L. de la salida entre la entrada del sistema
Las condiciones iniciales del sistema son cero
La función de transferencia es independiente de la entrada del
sistema
La función de transferencia se obtiene usualmente en función de la
variable s cuya parte imaginaria es la frecuencia.
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33
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Representación Externa
Algunas definiciones importantes:
Función de transferencia estrictamente propia: si el grado del
polinomio del denominador es mayor que el del numerador (n >
m)
Función de transferencia propia: si n = m
Función de transferencia impropia: si n < m
Ecuación característica: es la ecuación q
que se obtiene al hacer el
denominador de la función igual a cero
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34
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
€ Diagramas de bloques
Su utilidad es p
para representar
p
de forma simplificada
p
todo tipo de sistemas físicos
Voltaje de
entrada
Amplificador
Perturbación
Motor de
CD
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Velocidad
de salida
CARGA
35
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
€ Diagramas de bloques
Es posible hacer representaciones matemáticas con bloques
TL(s)
vi(t)
Vi(s)
va((t))
va(t)
vi(t)
Va(s)
Ki
R+Ls
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1
B+Js
ω((t))
Ω(s)
36
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
R1
R2
C1 = G2 M
G1
M
G2
G3
C1
C
C2
M = G1 R1
C2 = G3 R2
C = G1G2 R1 − G3 R2
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37
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LAPLACE,
LAPLACE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES
E
R
G1
M
C
G2
B
H
C = G2 M
M = G1 E
E = R−B
C = G1G2 E
B = HC
E = R − HC
C = G1G2 R − G1G2 HC
G1G2
C
=
R 1 + G1G2 H
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38
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace
Teoremas:
⎧1 ⎫
(a) TL−1 ⎨ ⎬ = 1
⎩s⎭
⎧ n! ⎫
(b) TL−1 ⎨ n +1 ⎬ = t n
⎩s ⎭
⎧ 1 ⎫ at
( ) TL−1 ⎨
(c)
⎬=e
⎩s − a⎭
⎧ ω ⎫
((d)) TL−1 ⎨ 2
= sen(ωt )
2⎬
⎩s +ω ⎭
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f (t ) = TL−1 { F ( s )}
⎧ s ⎫
= cos (ωt )
(e) TL−1 ⎨ 2
2⎬
⎩s +ω ⎭
ω ⎫
−1 ⎧
= senh(ωt )
(f) TL ⎨ 2
2⎬
s
ω
−
⎩
⎭
⎧ s ⎫
(g) TL−1 ⎨ 2
= cosh(ωt )
2⎬
⎩s −ω ⎭
39
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Transformada Inversa de Laplace: también es una
operación lineal
TL−1 {C1 F1 ( s ) + C2 F2 ( s )} = C1TL−1 { F1 ( s )} + C2TL−1 { F2 ( s )}
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40
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Fracciones Parciales
Cuando la solución de una ecuación diferencial mediante la T.
de L. es una función racional en s se puede escribir de la
siguiente forma:
G( s) =
Q( s)
P( s)
Siendo:
P( s ) = s n + an −1s n−1 + ...... + a1s + a0
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41
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Existen 3 casos más comunes: CASO 1 Cuando G(s) tiene
polos simples
G( s) =
Kn
K1
K2
+
+ ... +
( s + s1 ) ( s + s2 )
( s + sn )
⎡
Q(− s1 )
Q( s) ⎤
K1 = ⎢( s + s1 )
=
⎥
P
(
s
)
⎣
⎦ s =− s1 ( s2 − s1 )( s3 − s1 )...( sn − s1 )
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42
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Ejemplo: Sea la función siguiente de la que se desea obtener la
T. de L. inversa
G ( s) =
5s + 3
( s + 1)( s + 2)( s + 3)
Expandiendo en funciones parciales queda:
K3
K1
K2
G( s) =
+
+
s +1 s + 2 s + 3
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43
INGENIERÍA DE CONTROL I
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Los coeficientes se calculan de la siguiente manera:
5(−1) + 3
K1 = [ ( s + 1)G ( s ) ] s =−1 =
= −1
(−1 + 2)(−1 + 3)
5(−2) + 3
K 2 = [ ( s + 2)G ( s ) ] s =−2 =
=7
(−2 + 1)(−2 + 3)
5((−3)) + 3
K 3 = [ ( s + 3)G ( s ) ] s =−3 =
= −6
(−3 + 1)(−3 + 2)
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Queda entonces:
−1
7
6
G(s) =
+
−
s +1 s + 2 s + 3
g (t ) = −e − t + 7e −2t − 6e −3t
44
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INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
RESPUESTA TRANSITORIA Y TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Determinación gráfica de residuos
G(s) =
K
K
K
K (s + 2)
= 1+ 2 + 3
s(s + 1)(s + 3) s s + 1 s + 3
jω
K (2 0) 2
= K
K1 =
(10)(3 0) 3
σ
K2 =
K3 =
K (10)
1
1
= K −180 = − K
(1180)(2 0) 2
2
K (1180)
1
1
= K 180 − 360 = − K
(3180)(2180) 6
6
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45
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Existen 3 casos más comunes: CASO 2 Cuando G(s) tiene
polos de orden múltiple
p
p
Si r de los n polos de G(s) son idénticos, se dice que el
polo en s = –si es de multiplicidad r, entonces G(s) se
escribe de la siguiente forma:
G ( s) =
Q( s)
Q( s)
=
P( s ) ( s + s1 )( s + s2 )....( s + sn − r )( s + si ) r
Siendo :
i ≠ 1,2,...., n − r
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46
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En el caso anterior se puede expandir G(s) como sigue:
K ( n−r )
K1
K2
+
+ .... +
G(s) =
s + s1 s + s2
s + s( n − r )
n − r términos de polos simples
+
A1
A2
Ar
+
+
.....
+
s + si ( s + s i ) 2
( s + si ) r
r términos de polos repetidos
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Los n - r coeficientes de polos simples, se puede calcular del modo
descrito anteriormente. Los polos repetidos se calculan como sigue:
A r = ⎡⎣ ( s + s i ) r G ( s ) ⎤⎦
A r −1 =
Ar−2
A1
s = − si
d
⎡⎣ ( s + s i ) r G ( s ) ⎤⎦
ds
s = − si
1 d 2
r
⎡
=
+
s
s
G ( s ) ⎤⎦
(
)
i
2 ⎣
2! ds
s = − si
d r −1
1
r
⎡
s
s
G ( s ) ⎦⎤
(
)
=
+
i
r −1 ⎣
( r − 1) ! d s
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s = − si
48
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Ejemplo: Sea la función siguiente de la que se desea obtener la
T. de L. inversa
G( s) =
2.25
s ( s + 3.5) 2
Expandiendo en funciones parciales queda:
G( s) =
K1
A1
A2
+
+
s s + 3.5 ( s + 3.5 )2
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49
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Los coeficientes se calculan de la siguiente manera:
2.25
⎛ 2.25 ⎞
K1 = [ sG ( s ) ] s =0 = ⎜
=
= 0.1837
⎟
2
3 5 ⎠ s =0 (0 + 3.5)
3 5)
⎝ s + 3.5
A1 =
⎛ 2.25 ⎞
d
d ⎛ 2.25 ⎞
1
⎛ 2.25 ⎞
⎡⎣( s + 3.5) 2 G ( s ) ⎤⎦
= ⎜
=
−
=
= −0.1837
⎜−
⎟
⎜
2 ⎟
2 ⎟
s
=−
3.5
(
(3.5)
)
ds
ds
s
s
2
1
!
−
( )
⎝
⎠ s =−
⎝
⎠ s =−
⎝
⎠
= 3.5
35
= 33.55
2.25
⎛ 2.25 ⎞
A2 = ⎡⎣( s + 3.5) 2 G ( s ) ⎤⎦
= −0.6429
=⎜
=
⎟
s =−3.5
⎝ s ⎠ s =−3.5 (−3.5)
Queda entonces:
0.1837 0.1837
0.6429
G( s) =
−
−
2
s
s + 3.5
3
( s + 3.5)
g (t ) = 0.1837 − 0.1837e −3.5t − 0.6429te −3.5t
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Existen 3 casos más comunes: CASO 3 Cuando G(s) tiene
polos reales y complejos
Los residuos se determinan más fácilmente de manera gráfica
1.78
1.78
=
s ( s + 2)( s 2 + s + 00.89)
89) s ( s + 2)( s + 00.5
5 − j 00.8)(
8)( s + 00.5
5 + j 00.8)
8)
K3
K
K
K4
= 1+ 2 +
+
s s + 2 s + 0.5 − j 0.8 s + 0.5 + j 0.8
G(s) =
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s
j0.8
28.1º
-2
K1 =
jω
58º
-0.5
K2 =
1.78
=1
−58)(0.943
((2 0)(0.943
)(
)(
58))
1.78
= 0.307 180 = −0.307
( 180)(1.7
(2
)( 208.1)(1.7
)( 151.9))
σ
K3 =
1.78
= 0.694 120
((1.7 28.1)(0.943122)(1.6
)(
)( 90))
1.78
K4 =
= 0.694 −120
((1.7 −28.1)(0.943
)(
−122)(1.6
)( −90))
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1 0.307
0.694 120
0.694 −120
G( s) = −
+
+
s s + 2 s + 0.5 − j 0.8 s + 0.5 + j 0.8
g (t ) = 1 − 0.307e −2t + ( 0.694 120 ) e( −0.5+ j 0.8)t + ( 0.694 −120 ) e( −0.5− j 0.8)t
Haciendo un poco de álgebra de complejos se obtiene:
g (t ) = 1 − 0.307e −2t + 1.388e −0.5t cos ( 0.8t + 120 )
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