Ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticas
Resolver ecuaciones cuadráticas
mediante factorización
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Polinomios de grado 2
Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica
de segundo grado.
En esta parte del curso resolveremos ecuaciones
cuadráticas en una variable.
Ejemplos:
2w2 - 8w + 3 = 0
5x2 - 3 = 6x + 5
3x - x2 + 4 = 2x - 6
7 = 5y2
Ecuación cuadrática en forma
general
Una ecuación cuadrática tiene una forma general
como sigue
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b,c son valores reales; y a≠0
a es el coeficiente del término cuadrático
(coeficiente de la variable de grado 2).
b es el coeficiente del término lineal
(coeficiente de la variable de grado 1.)
c es la constante.
Escribir en forma general
Ejemplo: Escriba 4 = 2x (3x + 5) en forma
general.
Solución:
4 = 6x2 + 10x
4 – 4 = 6x2 + 10x – 4
0 = 6x2 + 10x – 4 por la propiedad reflexiva,
6x2 + 10x - 4 = 0
Ejemplo
Escriba 3x – x2 + 4 = 2x – 6 en forma general.
Solución:
3x – x2 + 4 = 2x – 6
3x – x2 + x2 + 4 = 2x – 6 + x2
3x + 4 = 2x – 6 + x2
3x – 3x + 4 = 2x – 3x – 6 + x2
4 = -x – 6 + x2
4 – 4 = -x – 6 – 4 + x2
0 = -x – 10 + x2 ordenar, luego usar propiedad reflexiva
x2 – x – 10 = 0
Ejemplo
Escriba (5x – 3) (4x + 2) = 3x + 9 en forma
general.
Solución:
5x (4x + 2) – 3 (4x + 2) propiedad distributiva
20x2 + 10x – 12x – 6 = 3x + 9
20x2 – 2x – 6 = 3x + 9
20x2 – 2x – 3x – 6 = 3x – 3x + 9
20x2 – 5x – 6 – 9 = 9 – 9
20x2 – 5x – 15 = 0
Soluciones de una ecuación
Las soluciones de una ecuación cuadrática son
aquellos valores de la variable que hacen que la
expresión cuadrática tenga un valor de 0.
Ejemplo: Determine si x = 2 es solución de
5x2 – 6x – 8 = 0.
Solución:
=5(2)2 – 6(2) – 8
=20 – 12 – 8
2 ES solución de la ecuación.
=0
Ejemplo
Determine si x = -3 es solución de 5x2 – 6x – 8 = 0.
Solución:
= 5(-3)2 – 6(-3 ) – 8
= 5(9) + 18 – 8
= 45 + 18 – 8
= 63 – 8
= 55 ≠ 0
Por lo tanto, x = -3 NO es solución de la ecuación.
Soluciones de una ecuación
Una ecuación cuadrática puede tener
• Dos (2) soluciones reales
• Una (1) solución real
• Ninguna (0) solución real
Resolver ecuaciones
cuadráticas
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
• Método de factorización
• Método de raíz cuadrada
• Método utilizando la fórmula cuadrática
Método de factorización
Factorizamos la ecuación cuadrática y luego
aplicamos
el principio del factor cero
que establece que:
Si a * b = 0 entonces a = 0 ó b = 0
En otras palabras, si un producto de dos
números es cero, es porque por lo menos uno
de los números es cero.
Pasos en el método de
factorización
1. Escribir la ecuación de la forma general:
ax2 + bx + c = 0
2. Factorizar el polinomio cuadrático
ax2 + bx + c
3. Utilizar la propiedad de factor cero
Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0.
4.
Resolver las ecuaciones lineales.
5.
Verificar la solución.
Principio del factor cero
Según este principio, si tenemos:
(x + 2)(x + 3) = 0
podemos decir que
x + 2 = 0 ó x + 3 = 0 por lo que
x = -2
ó
x = -3
Estas son las soluciones de la ecuación..
Ejemplo:
Determine las soluciones de
2 – 11x = – 12x2.
Paso 1. Escribir la ecuación en forma general.
12x2 – 11x + 2 = 0
Paso 2. Factoriza el polinomio cuadrático.
Necesitamos factores de 24 que sumen – 11,
12x2 – 8x – 3x + 2 = 0
4x(3x – 2) – (3x – 2) = 0
(4x – 1)(3x – 2) = 0
Ejemplo (cont)
(4x – 1)(3x – 2) = 0
Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero.
4x – 1 = 0 ó
3x – 2 = 0
Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales.
4x – 1 = 0 ó
3x – 2 = 0
3x = 2
4x = 1
x = 1/4
x = 2/3
1 2
El conjunto solución es ,
4
3
Ejemplo
Hallar el conjunto solución : 3x2 – 5x = 0
Solución:
Esta ecuación cuadrática tiene solo dos términos que
tienen un factor común.
x(3x – 5) = 0
Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos
que:
x=0 ó
3x – 5 = 0
3x – 5 = 0
3x = 5
5
El conjunto solución es 0,
3
x = 5/3
Ejemplo
Hallar el conjunto solución de 5x2 – 6x – 8 = 0
Solución:
Factorizar la expresión cuadrática.
Necesitamos factores de -40 que sumen -6. Usemos -10 y 4
5x2 – 10x + 4x – 8 = 0
5x(x – 2) + 4(x – 2) = 0
(x – 2)(5x + 4) = 0
Continuación del ejemplo
Ahora, usamos el principio del factor cero y
establecemos que:
x – 2 = 0 ó 5x + 4 = 0 por lo que:
x = 2 ó x = -4/5
El conjunto de soluciones de la ecuación
son: {2, -4/5}
Cuidado
El principio del factor cero funciona solo con
cero, y no con otros números.
Es común cometer el error de aplicar una
versión similar de este principio con otros
números,
Por ejemplo si, (x + 4)(x – 3) = 5 NO
podemos concluir que x + 4 = 5 ó x – 3 = 5
En ese caso, tendríamos que multiplicar los
binomios y escribir la ecuación en forma
general antes de empezar a factorizar.
Ejemplo
Hallar el conjunto solución de 2x2 + 4x – 9 = 0
Solución:
Factorizar la expresión cuadrática.
Necesitamos factores de -18 que sumen 4. Los posibles son:
(- 2)(9) = -18
(- 2) + (9) = 7
La ecuación NO
(2)
+
(
-9)
=
-7
(2)(-9) = -18
factoriza sobre los
(3) + ( -6) = -3
(3)(-6) = -18
reales. Habría que
(-3) + ( 6) = 3
utilizar OTRO
(-3)(6) = -18
(1) + ( -18) = -17
método para
(1)(-18) = -18
resolver.
(-1) + ( 18) = 17
(-1)(18) = -18
Ejemplo
Resolver: 4x2 – 9 = 0
Solución:
Factorizar la expresión cuadrática.
Esto es una diferencia de cuadrados, por lo tanto
factoriza
(2x – 3) (2x + 3) = 0
Por el principio del factor cero tenemos que
2x + 3 = 0
2x – 3 = 0
El conjunto solución
2x = -3
2x = 3
3 3
x = -3/2
es − ,
x = 3/2
2 2
Ejemplo
Resolver:
Solución:
Factorizar la expresión cuadrática.
2𝑥 2 + 8𝑥 − 3𝑥 − 12 = 0
2x(x + 4) – 3(x + 4) = 0
(x + 4)(2x – 3)=0
Por el principio del factor cero tenemos que
El conjunto solución es
2x – 3 = 0
x + 4=0
2x = 3
−4, 3/2
x= -4
x = 3/2
Ejemplo
Resolver:
Solución:
Factorizar la expresión por factor común.
𝑥 3 − 8𝑥 2 + 16𝑥 = 0
𝑥(𝑥 2 − 8𝑥 + 16) = 0
Factoriza el trinomio cuadrático
x(x – 4)(x – 4) = 0 Aplicar el principio del factor cero .
x–4=0
x= 4
x=0
El conjunto solución es
0,4
Ejemplo
Resolver: 16𝑥 2 − 9𝑥 4 = 0
Solución:
Factorizar la expresión por factor común.
16𝑥 2 − 9𝑥 4 = 0
𝑥 2 (16 − 9𝑥 2 ) = 0
Factorizar la diferencia de cuadrados
𝑥 2 (4 − 3𝑥)(4 + 3𝑥) = 0 Aplicar el principio del factor cero
4 – 3x = 0 4 + 3x = 0
x2 = 0
x= - 4/3
x=0
x= 4/3
El conjunto solución es
𝟒
𝟎, − , 𝟒/𝟑
𝟑
Ejercicios
A. Escriba en forma general
1) 3x - 5 = 2x2 + 10
2) (4x - 5)(3x + 2) - 3x = 5
3) 7x - 3x2 = 4 - 6x
B. Determine si el número a la derecha es solución
o no de la ecuación.
1) x2 - 5x - 24 = 0 {8}
2) 2x2 - 4x + 5 = 0 {2}
3) 3x2 + x - 2 = 0 {-1}
Soluciones
A. Escriba en forma general
1) -2x2 - 3x + 15 = 0
2) 12x2 - 10x - 15 = 0
3) -3x2 + 13x - 4 = 0
B. Determine si el número a la derecha es solución
o no de la ecuación.
1) cierto
2) falso
3) cierto
Ejercicios
Soluciones