06_Problemas resueltos inversa1

Proporcionalidad
1
PROBLEMAS SOBRE MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Para resolver problemas de proporcionalidad directa, podemos emplear varios procedimientos:
o
Mediante proporción (empleando la constante de proporcionalidad)
o
Mediante reducción a la unidad.
Ejemplo:
Seis personas realizan un trabajo en 12 días, ¿Cuánto tardarán 8 personas?
1ª forma: Empleando la constante de proporcionalidad:
Escribimos los datos del problema mediante una tabla:
Nº personas
6
8
Nº días
12
x
A mayor nº de personas se necesita menor nº de días, luego son magnitudes inversamente
proporcionales.
Se verifica K = (Magnitud A)· (Magnitud B):
6 · 12 = 8 · x → 72 = 8x → x = 9
Por tanto, se necesitan 9 días.
2ª forma: Por reducción a la unidad:
6 hombres
1 hombre
8 hombres
necesitan

→ 12 días
necesitan

→ 12 · 6 = 72 días
necesitan

→ 72 : 8 = 9 días
Proporcionalidad
2
Ejercicios propuestos
1.- Un barco que navega a 24 km/h ha tardado en hacer un recorrido 12 h. ¿Cuánto tardará en hacer el mismo
recorrido otro barco que navega a 32 km/h?
2.- Si 6 pintores necesitan 54 días para pintar un edificio, ¿en cuánto tiempo lo pintarán 18 pintores?
3.- Tres personas se reparten un premio de quinielas, tocándole a cada uno 240 millones de euros. Si hay 8
acertantes, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno?
4.- Hemos cortado una pieza de tela en 24 paños de 0,80 cm de largo cada uno. ¿Cuántos paños de 1,20 m de
largo podremos cortar?
5.- Una fábrica de bombones necesita para envasar su producción diaria con cajas de ½ kg, 3600 cajas.
a) ¿Cuántas necesitará si quiere que sean de ¼ kg?
b) ¿Y si quiere que sean de 300 g?
6.- Cinco amigos quieren hacer un regalo de cumpleaños. Deben poner cada uno 5,40 €. Otros cuatro amigos
se unen para contribuir al regalo, ¿cuántos euros debe poner ahora cada uno?
7.- Para abonar un campo se han necesitado 42300 kg de un cierto abono que contenía 25 % de nitrógeno.
¿Cuántos kg se necesitan de otro abono que contenga un 36 % de nitrógeno para que el campo reciba la
misma cantidad de nitrógeno?
8.- Un depósito se llena en 12 horas con un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo
tardará en llenarse el depósito si el grifo echara 360 litros por minuto?
9.- Un barco que navega a 32 Km. por hora ha tardado en hacer un recorrido 9 horas. ¿Cuánto tardará en
hacer el mismo recorrido si navega a 24 Km. por hora?
10.- Para vaciar un depósito hemos empleado 18 cubos de 24 litros cada uno. Para vaciar otro depósito de la
misma capacidad se emplean cubos de 27 litros. ¿Cuántos necesitaremos?
Proporcionalidad
3
1.- Un barco que navega a 24 km/h ha tardado en hacer un recorrido 12 h. ¿Cuánto tardará en hacer
el mismo recorrido otro barco que navega a 32 km/h?
Escribimos los datos del problema mediante una tabla:
Velocidad (km/h)
24
32
Tiempo (horas)
12
x
A mayor velocidad se necesita menor tiempo, luego son magnitudes inversamente proporcionales.
Se verifica:
24 · 12 = 32 · x → x =
24 ·12
=9h
32
2.- Si 6 pintores necesitan 54 días para pintar un edificio, ¿en cuánto tiempo lo pintarán 18 pintores?
Nº pintores
6
18
Tiempo (días)
54
x
A mayor nº pintores se necesita menor tiempo, luego son magnitudes inversamente proporcionales.
Se triplica el nº de pintores, con lo cual se reduce el tiempo a la tercera parte (54 : 3 = 18)
Necesitan 18 días.
3.- Tres personas se reparten un premio de quinielas, tocándole a cada uno 240 millones de euros. Si
hay 8 acertantes, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno?
Nº acertantes
Premios (millones)
3
8
240
x
A mayor nº acertante toca menor premio, luego son magnitudes inversamente proporcionales.
Se verifica:
240 · 3 = 8 · x → x =
240 · 3
= 90 millones
8
4.- Hemos cortado una pieza de tela en 24 paños de 0,80 cm de largo cada uno. ¿Cuántos paños de 1,20
m de largo podremos cortar?
Nº paños
Largo (cm)
24
x
0,80
1,20
A mayor largo del paño se obtiene menor nº de paños, luego son magnitudes inversamente
proporcionales.
Se verifica:
24 · 0,80 = 1,20 · x → x =
24 · 0 , 80
= 16 paños
1, 20
Proporcionalidad
4
5.- Una fábrica de bombones necesita para envasar su producción diaria con cajas de ½ kg, 3600 cajas.
a) ¿Cuántas necesitará si quiere que sean de ¼ kg?
b) ¿Y si quiere que sean de 300 g?
Nº cajas
3600
x
y
Tamaño (gramos)
500
250
300
A mayor tamaño de la caja se necesita menor nº de cajas, luego son magnitudes inversamente
proporcionales.
Se verifica:
3600 · 500 = 250 · x = 300 · y
x=
3600 · 500
= 7200 cajas
250
x=
3600 · 500
= 6000 cajas
300
6.- Cinco amigos quieren hacer un regalo de cumpleaños. Deben poner cada uno 5,40 €. Otros cuatro
amigos se unen para contribuir al regalo, ¿cuántos euros debe poner ahora cada uno?
7.- Para abonar un campo se han necesitado 42300 kg de un cierto abono que contenía 25 % de
nitrógeno. ¿Cuántos kg se necesitan de otro abono que contenga un 36% de nitrógeno para que el
campo reciba la misma cantidad de nitrógeno?
Peso (kg)
42300
x
25
36
% de nitrógeno
A mayor % de cantidad de nitrógeno se necesita menor nº de kg, luego son magnitudes inversamente
proporcionales.
Se verifica:
42300 · 25 = 36 · x → x =
42300 · 25
= 29375
36
8.- Un depósito se llena en 12 horas con un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. ¿Cuánto
tiempo tardará en llenarse el depósito si el grifo echara 360 litros por minuto?
Velocidad (l/min)
180
360
Tiempo (horas)
12
x
A mayor velocidad de llenado menos tiempo se necesita, luego son magnitudes inversamente
proporcionales.
Si duplicamos la velocidad, se necesitará la mitad de tiempo: 6 horas.
Proporcionalidad
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9.- Un barco que navega a 32 Km. por hora ha tardado en hacer un recorrido 9 horas. ¿Cuánto
tardará en hacer el mismo recorrido si navega a 24 Km. por hora?
Velocidad (km/h)
32
24
Tiempo (horas)
9
x
A mayor velocidad de menos tiempo se necesita, luego son magnitudes inversamente proporcionales.
Se verifica:
32 · 9 = 24 · x → x =
32 · 9
= 12 horas
24
10.- Para vaciar un depósito hemos empleado 18 cubos de 24 litros cada uno. Para vaciar otro depósito
de la misma capacidad se emplean cubos de 27 litros. ¿Cuántos necesitaremos?
Nº cubos
18
27
Capacidad del cubo (l)
24
x
A mayor capacidad del cubo menor nº de cubos, luego son magnitudes inversamente proporcionales.
Se verifica:
18 · 24 = 27 · x → x =
18 · 24
= 16 cubos
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