5 Estudio cualitativo de las soluciones de la ecuación de primer orden

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5.1.
Estudio cualitativo de las soluciones de la ecuación de
primer orden
Campos de direcciones
Es un método para tener una idea cualitativa de las soluciones de una e.d.o. de primer orden sin tener
que conocerlas de forma explícita o implícita.
Si y = y(x) es solución de y 0 = f (x, y), entonces, en cualquier punto (x0 , y0 ) del plano por donde pase una
curva solución se tiene que la pendiente de la recta tangente a ese punto es f (x0 , y(x0 )). Si se representa
en cada punto la dirección de la pendiente, se obtiene el campo de direcciones.
Ejemplo: La gráfica representa el campo de direcciones de la e.d.o.
condición inicial y(0) = π/2.
dy
= sen(y) y la solución con
dx
4
2
0
-2
-4
-4
5.2.
-2
0
2
4
Principio de unicidad del problema de valor inicial
Sea R una región rectangular del plano, definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contiene al punto (x0 , y0 )
∂f
en su interior. Si f (x, y) y
son continuas en R, entonces existe un intervalo I0 : x0 − h < x < x0 + h,
∂y
h > 0, contenido en a ≤ x ≤ b, y una función única y(x), definida en I0 , que es solución del problema de
valor inicial
½ 0
y = f (x, y)
.
y(x0 ) = y0
Ejemplo: Sea el problema:
½
√
y0 = 2 x
.
y(x0 ) = y0
Comprobamos las condiciones del teorema:
√
La función f (x, y) = 2 x es continua para todo punto (x, y) donde x ≥ 0.
La función
1
∂f
= √ es continua para (x, y) tales que x > 0.
∂y
x
Entonces existe solución y es única para el problema si x0 > 0.
1
5.3.
Soluciones de equilibrio de una ecuación autónoma
Una ecuación autónoma es una ecuación diferencial en la que no aparece de forma explícita la variable
independiente:
y 0 = f (y).
Ejemplos:
dT
= k(T − T0 ).
dt
dA
= kA,
dt
Un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma y 0 = f (y) es una solución de f (y) = 0.
Si y = c es un punto crítico (de equilibrio o estacionario) de la ecuación diferencial, entonces
y(x) = c es solución de la ecuación diferencial.
Una solución constante de una ecuación diferencial se le llama solución de equilibrio de la
ecuación.
5.3.1.
Propiedades de las soluciones de equilibrio
Por cada punto del plano sólo pasa una curva solución del mismo.
Si la ecuación tiene dos soluciones de equilibrio y = c1 y y = c2 , entonces:
1. La gráfica de una solución no constante de la ecuación no atraviesa ninguna de las soluciones
de equilibrio, es decir, c1 < y(x) < c2 para todo x. (Teorema de existencia y unicidad).
2. Una solución y = y(x) no constante de y 0 = f (y) es estrictamente creciente o decreciente (no
oscila ni tiene máximo ni mínimo relativo).
3. Si y(x) está acotada superior o inferiormente por una solución de equilibrio, entonces debe
tender a esa solución cuando x → ∞ o x → −∞, y si está entre dos, debe tender hacia las
dos.
Análisis cualitativo de las soluciones de la ecuación autónoma y 0 = −(y − 1)(y − 3) :
Soluciones de equilibrio: y = 1
y = 3, entonces:
Las curvas solución no atraviesan nunca las soluciones de equilibrio y = 1 e y = 3
Las soluciones que pasan por un punto (x0 , y0 ) donde y0 < 1:
• son estrictamente decrecientes pues
dy
< 0 y además
dx
• y(x) → 1 cuando x → −∞
Las soluciones que pasan por un punto (x0 , y0 ) donde 1 < y0 < 3:
dy
> 0 y además
dx
• y(x) → 1 cuando x → −∞ y y(x) → 3 cuando x → +∞
• son estrictamente crecientes pues
Las soluciones que pasan por un punto (x0 , y0 ) donde y0 > 3:
• son estrictamente decrecientes pues
dy
< 0 y además
dx
• y(x) → 3 cuando x → +∞
2
5.3.2.
Algunas soluciones analíticas
La solución del problema de valor inicial
(
dy
= −(y − 1)(y − 3)
dx
y(0) = y0
es
y(x) =
3(y0 − 1) − (y0 − 3)e−2x
(y0 − 1) − (y0 − 3)e−2x
Ejemplos:
Si y(0) = 4 > 3, entonces y(x) =
9 − e−2x
:
3 − e−2x
•
lı́m y(x) = 3
x→+∞
• Asíntota vertical x = −
ln 3
:
2
lı́m
x→− ln23
y(x) = +∞
La representación gráfica de la solución es:
20
10
-2
-1
1
2
-10
-20
Intervalo de definición de la solución: I = (− ln 3/2, +∞).
Si y(0) = y0 con 1 < y0 < 3, entonces:
•
lı́m y(x) = 3
x→+∞
•
lı́m y(x) = 1
x→−∞
Si representamos gráficamente la scurva solución:
3
3
2.5
2
1.5
-2
-1
Si y(0) = 0 < 1, entonces y(x) =
1
2
−3 + 3e−2x
:
−1 + 3e−2x
•
lı́m y(x) = 1
x→−∞
• Asíntota vertical x =
ln 3
: lı́mx→ ln 3 y(x) = −∞
2
2
Gráficamente
20
10
-2
-1
1
2
-10
-20
Intervalo de definición de la solución: I = (−∞, ln 3/2).
4
Ejercicios del capitulo
Examinaremos la relación que existe entre las gráficas de las soluciones de una ecuación
diferencial de primer orden (curvas solución) y el campo vectorial que se genera en el
plano xy.
1. El campo vectorial de la ecuación de primer orden y 0 = sen y y la gráfica de la solución que pasa
por (0, π/2) es el siguiente:
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
Dibuja la curva solución que pasa por el punto (0, 0).
Dibuja la gráfica de una función en la figura con la propiedad de que si la gráfica de la solución
y = y(x) corta la curva en (x0 , y0 ), entonces y 0 (x0 ) = 0. ¿Qué puntos son esos? . Explica qué
puede ocurrir con la solución en esos puntos.
En diferente color, dibuja la gráfica de la función con la propiedad de que si una curva
solución y(x) de la ecuación corta a esa curva en (x0 , y0 ), entonces y 00 (x0 ) = 0. Explica qué
puede ocurrir en esos puntos.
2. El campo vectorial de la ecuación de primer orden y 0 = y − x2 es el siguiente:
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-2
0
2
4
5
¿Cuál es la gráfica de la solución que pasa por el punto (0, 0)? ¿Y la que pasa por el punto
(1, 1)?
Calcula la función con la propiedad de que si la gráfica de la solución y(x) corta a esta en
(x0 , y0 ), entonces y 0 (x0 ) = 0. ¿Qué se puede decir a priori (sin representarlas gráficamente) de
lo que ocurre en los puntos intersección (x0 , y0 )? ¿Cuál es la gráfica que tiene esta propiedad
de las que ves?
Calcula la función con la propiedad de que si la gráfica de la solución y(x) corta a esa curva
en (x0 , y0 ), entonces y 00 (x0 ) = 0. ¿Qué se puede decir a priori de lo que ocurre en los puntos
de intersección? ¿Cuál es la gráfica que tiene esta propiedad de las que ves?
Existencia y unicidad de solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden
3. Determina una región del plano xy para la cual la ecuación diferencial (y − x)y 0 = y + x tenga
solución única que pase por un punto (x0 , y0 ) de la región.
4. Demuestra que en el intervalo [0, 2π], las funciones y1 (x) = 1 y y2 (x) = cos y satisfacen el prody p
+ 1 − y 2 = 0, y(0) = 1. ¿Por qué este hecho no contradice las
blema con condición inicial
dx
conclusiones del teorema de existencia y unicidad?
Examinaremos la relación que existe entre las curvas solución de un sistema autónomo
y las gráficas de sus soluciones de equilibrio.
5. Sean las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:
2
y 0 = (y − 1) .
y 0 = −(y − 1)(y − 3).
Para cada una de ellas:
a) Calcula las soluciones de equilibrio.
b) A mano, traza la gráfica de algunas soluciones típicas y = y(x) en las distintas regiones del
plano que se forman con las soluciones de equilibrio.
c) Expresa explícitamente la solución y(x) en términos de x y de la condición inicial y(0) = y0 .
d ) Especifica y0 cualquiera en cada una de las zonas, calcula en ese caso la solución y = y(x) y
el intervalo de definición.
6. Sea la ecuación y 0 = k(y − α), donde k < 0 y α > 0: Calcula la solución de equilibrio y haz un
análisis cualitativo de las soluciones de la ecuación.
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