Año 2010 (Específica)

Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
SEPTIEMBRE 2010
Opción A
1.- Se considera el sistema de ecuaciones:
 x− y = 2

3 x + 2 y = 4
4 x + y = a 2

a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro
a.
a) Resuélvelo siempre que sea compatible.
2.- Se desea construir un depósito con forma de prisma rectangular de base cuadrada y con una
capacidad de 360 m3. Los costes por m2 son los siguientes: 40 € para el fondo, 30 € para las paredes
laterales y 60 € para el techo del depósito. Calcula las dimensiones del depósito para que su coste
sea el menor posible.
3.- La estatura de los alumnos de un colegio es una variable aleatoria que tiene una distribución
normal de desviación típica 25 cm. Se ha elegido una muestra de 100 alumnos de ese colegio
comprobándose que la estatura media es de 170 cm. Calcula:
a) El intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99 %.
b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95 %, un
error máximo de 8 cm en la estimación de la estatura media.
4.- En la cesta de una frutería hay 10 nectarinas blancas y 7 nectarinas amarillas. Si se compran 2
nectarinas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
Dpto. Matemáticas
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IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
Opción B
1.- Un alfarero dispone semanalmente de 150 kg de arcilla de tipo A y de 22 kg de arcilla de tipo B
para la fabricación de ánforas y jarrones. La producción de un ánfora requiere 3 kg de arcilla de tipo
A y 1 kg de tipo B, pero la de un jarrón necesita 6 kg de arcilla de tipo A y 500 gramos de arcilla de
tipo B. Por limitaciones de espacio para el almacén, como máximo puede fabricar 26 vasijas (entre
ánforas y jarrones). El precio de venta de un ánfora es 20 euros y el de un jarrón es 30 euros. Utiliza
técnicas de programación lineal para hallar el número de ánforas y de jarrones que debe fabricar el
alfarero para que su recaudación sea máxima. ¿Cuál es esa recaudación máxima?
x−2
si x ≠ −2

2B- Sea la función f (x) =  x + 2
.
 0 si x = −2
a) Determina sus puntos de discontinuidad y su derivada en x = −2 y en x = 2.
b) Dibuja la gráfica de la función.
c) Explica la relación existente entre la derivada y la tasa de variación media en un punto, indicando
lo que significa el valor obtenido de la derivada de la función f (x) en x = 2.
3.- De 1500 individuos enfermos 90 padecen hepatitis, 135 anemia y el resto otras enfermedades.
Todas esas enfermedades no se presentan juntas en ninguno de ellos. Se sabe que la ictericia se
presenta en el 76 % de los enfermos de hepatitis, en un 27 % de los enfermos de anemia y en un
20 % en el resto de los enfermos. Nos encontramos con uno de los individuos por la calle.
a) Determina la probabilidad de que presente ictericia.
b) Hablamos con el individuo y nos dice que tiene ictericia, ¿qué enfermedad es más probable que
padezca, hepatitis o anemia?
4.- El 5 % de los clientes de una entidad bancaria son morosos. ¿Cuál es la probabilidad de
encontrar al menos un moroso entre 10 clientes elegidos al azar?
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
SOLUCIONES
Opción A
1.- Se considera el sistema de ecuaciones:
 x− y = 2

3 x + 2 y = 4
4 x + y = a 2

a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro
a.
a) Resuélvelo siempre que sea compatible.
Solución:
a) Consideremos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A :
 1 −1 
A =  3 2 
4 1 


 1 −1 2 


A = 3 2 4 
 4 1 a2 


Estudiemos los rangos de estas matrices. Se tiene que rango A = 2 siempre pues en ella podemos
encontrar un menor de orden dos no nulo, como por ejemplo:
1 −1
=2+3=5≠0
3 2
Por otra parte, el determinante de A , | A |, viene dado por:
1 −1
| A |= 3
4
2
1
2
4 = 2a2 + 6 – 16 – 16 – 4 + 3a2 = 5a2 – 30
a2
Dicho determinante se anula para a = ± 6 . Por tanto:
•
Si a ≠ ± 6
⇒ rango A = 2 ≠ rango A = 3
⇒
S.I. ⇒ Sin solución.
•
Si a = ± 6
⇒ rango A = rango A = nº de incógnitas = 2 ⇒ S.C.D. ⇒ Solución única.
b) Vamos a resolverlo para el caso de que sea compatible determinado (a = ± 6 ). En este caso,
podemos tomar como ecuaciones principales las dos primeras ecuaciones, y utilizando el método de
Gauss-Jordan, obtenemos que:
 1 −1 2  f2 → f2 −3 f1
 1 −1 2 

 → 

 0 5 −2 
3 2 4
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
El sistema equivalente que se obtiene es:
x − y = 2

 5 y = −2
2
Despejando y de la última ecuación se obtiene que y = − . Sustituyendo este valor en la primera
5
8
ecuación, se llega a que x = . Por tanto la solución es:
5
8

 x = 5

y = − 2

5
2.- Se desea construir un depósito con forma de prisma rectangular de base cuadrada y con una
capacidad de 360 m3. Los costes por m2 son los siguientes: 40 € para el fondo, 30 € para las paredes
laterales y 60 € para el techo del depósito. Calcula las dimensiones del depósito para que su coste
sea el menor posible.
Solución:
Necesitamos que el coste del depósito sea mínimo. Dicho
coste viene dado por:
Coste total (x, y) = 40 · x2 + 30 · 4xy + 60 · x2 = 100x2 + 120xy
La relación entre las variables viene dada por la capacidad:
Capacidad = Volumen = x2 · y = 360 cm3
Por tanto: y =
360
x2
Sustituyendo en el coste total:
Coste total (x) = C (x) = 100x2 +
43200
x
Le aplicamos la técnica de máximos y mínimos:
C ‘(x) = 200x –
43200
x2
Entonces:
C‘(x) = 0
Dpto. Matemáticas
⇒
200x –
43200
=0
x2
⇒
4/4
200x3 – 43200 = 0
⇒
x=6
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Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
Veamos que es un mínimo con la 2ª derivada:
C ‘’(x) = 200 +
86400
x3
⇒
C ‘’(6) = 200 + 400 = 600 > 0
Las dimensiones de la caja para un coste mínimo son x = 6 m e y =
⇒
Mínimo
360 360 360
= 2 =
= 10 m.
x2
6
36
3.- La estatura de los alumnos de un colegio es una variable aleatoria que tiene una distribución
normal de desviación típica 25 cm. Se ha elegido una muestra de 100 alumnos de ese colegio
comprobándose que la estatura media es de 170 cm. Calcula:
a) El intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99 %.
b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95 %, un
error máximo de 8 cm en la estimación de la estatura media.
Solución:
a) Consideremos la variable aleatoria X, que indica la estatura de los alumnos del colegio. Dicha
variable aleatoria se distribuye según una distribución normal N (µ, 25). El intervalo de confianza
pedido será de la forma:
σ
σ 

, x + zα / 2 ·
 x − zα / 2 ·

n
n

en el que x = 170 cm, n = 100, σ = 25 cm y a un nivel de confianza del 99 % le corresponde un
z α / 2 = 2,58. Así pues:
σ
σ 
25
25

, x + zα / 2 ·
, 170 + 2,58 ·
) = (163,55; 176,45)
I =  x − zα / 2 ·
 = (170 – 2,58 ·
n
n
100
100

σ
, siendo σ la desviación típica poblacional,
n
n el tamaño muestral y zα / 2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza 1 − α.
En nuestro caso, para una confianza del 95 %, zα / 2 = 1,96.
b) El error admitido, E, viene dado por E = zα / 2 ·
Como además tenemos que σ = 25 cm y el error E ha de ser menor que 8, se tendrá:
1,96 ·
25
<8
n
⇒
n > 6,125
⇒
n > 37,515625
Por tanto, el tamaño muestral debe ser n ≥ 38.
Dpto. Matemáticas
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Septiembre 2010 (Prueba Específica)
4.- En la cesta de una frutería hay 10 nectarinas blancas y 7 nectarinas amarillas. Si se compran 2
nectarinas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
Solución:
Este problema se puede resolver utilizando el siguiente diagrama de árbol, en el cual elegimos dos
nectarinas de manera consecutiva y sin devolución (B: “nectarina blanca”; A: “nectarina amarilla”):
10/17
7/17
B
A
9/16
B
7/16
A
10/16
B
6/16
A
Si se compran 2 nectarinas al azar, la probabilidad de que ambas sean blancas es:
P (1B ∩ 2B) = P (1B) · P (2B / 1B) =
10 9
90
45
· =
=
≈ 0,3309
17 16 272 136
También podemos resolver este problema usando la combinatoria y la regla de Laplace. Dicha regla
nos dice que la probabilidad de un suceso S viene dada por:
P (S) =
Número de casos favorables
Número de casos posibles
En nuestro ejercicio, los casos posibles, son los grupos de dos nectarinas que se pueden formar con
las 17 que hay en la cesta, y vienen dados por las combinaciones sin repetición de 17 elementos en
grupos de 2, C172 :
17 
C172 =   = 136
2
Para calcular el número de casos favorables, observemos que las dos nectarinas han de ser blancas,
y por tanto el número total de casos favorables vendrá dado por las combinaciones sin repetición de
10 elementos en grupos de 2, C102 :
10 
C102 =   = 45
2
Por tanto, la probabilidad pedida viene dada por:
P (2 nectarinas blancas) =
Dpto. Matemáticas
Número de casos favorables
45
=
≈ 0,3309
Número de casos posibles
136
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Septiembre 2010 (Prueba Específica)
Opción B
1.- Un alfarero dispone semanalmente de 150 kg de arcilla de tipo A y de 22 kg de arcilla de tipo B
para la fabricación de ánforas y jarrones. La producción de un ánfora requiere 3 kg de arcilla de tipo
A y 1 kg de tipo B, pero la de un jarrón necesita 6 kg de arcilla de tipo A y 500 gramos de arcilla de
tipo B. Por limitaciones de espacio para el almacén, como máximo puede fabricar 26 vasijas (entre
ánforas y jarrones). El precio de venta de un ánfora es 20 euros y el de un jarrón es 30 euros. Utiliza
técnicas de programación lineal para hallar el número de ánforas y de jarrones que debe fabricar el
alfarero para que su recaudación sea máxima. ¿Cuál es esa recaudación máxima?
Solución:
Sean x e y el número de ánforas y de jarrones respectivamente. A partir del enunciado del problema
podemos establecer las siguientes condiciones:
3x + 6y ≤ 150
x + 0,5y ≤ 22
x + y ≤ 26
x≥0
y≥0
La función a maximizar es: F (x, y) = 20x + 30y
Dibujemos la región factible:
Los vértices de esta región son los puntos:
A = (0, 0) ; B = (22, 0) ; C = (16, 8)
;
D = (2, 24)
;
E = (0, 25)
El máximo de la función objetivo se presentará en uno de estos puntos. Veamos en cual:
F (0, 0) = 20 · 0 + 30 · 0 = 0
F (22, 0) = 20 · 22 + 30 · 0 = 440
F (18, 8) = 20 · 18 + 30 · 8 = 600
F (2, 24) = 20 · 2 + 30 · 24 = 760
F (0, 25) = 20 · 0 + 30 · 25 = 750
Por tanto el número de ánforas y de jarrones que debe fabricar el alfarero para que su recaudación
sea máxima es 2 ánforas y 24 jarrones. La recaudación máxima será en ese caso de 760 €.
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
x−2
si x ≠ −2

.
2B- Sea la función f (x) =  x + 2
 0 si x = −2
a) Determina sus puntos de discontinuidad y su derivada en x = −2 y en x = 2.
b) Dibuja la gráfica de la función.
c) Explica la relación existente entre la derivada y la tasa de variación media en un punto, indicando
lo que significa el valor obtenido de la derivada de la función f (x) en x = 2.
Solución:
x−2
es continua y derivable pues las funciones
x+2
racionales son continuas y derivables en su dominio. Por tanto el único punto donde se pueden
presentar problemas de continuidad o derivabilidad es en x = –2. Estudiemos si es continua en él.
Para que lo fuera debería cumplirse que:
f (–2) = Lim f ( x)
a) Para cualquier punto x ≠ –2, la función g (x) =
x →− 2
Tenemos que:
x−2
=∞
x →− 2 x + 2
f (–2) = 0 ≠ Lim f ( x) = Lim
x →− 2
Por tanto la función no es continua en x = –2. De igual modo no será derivable en él (por no ser
continua).
Calculemos por otra parte f ‘(2):
f ‘(x) =
1· ( x + 2) − ( x − 2)·1
4
=
2
( x + 2)
( x + 2) 2
⇒
f ‘(2) =
4
1
=
2
(2 + 2)
4
b) La gráfica de la función es:
c) En muchas ocasiones, los valores de la tasa de variación media de la función y = f (x) en
intervalos [a, b] se aproximan a cierto número cuando el extremo b se aproxima al extremo a. Este
número se llama tasa de variación instantánea o derivada de la función f en x = a y se define como:
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
f ‘(a) = Lim
b→a
f (b) − f (a)
b−a
Si expresamos el valor variable a + h = b, tenemos que h = b – a de tal manera que cuando b → a se
cumplirá que h → 0. Por tanto, la derivada en x = a también puede ser expresada de la siguiente
manera:
f ‘(a) = Lim
h→0
f ( a + h) − f ( a )
h
Por tanto la derivada es el límite, si existe, cuando h → 0, de la tasa de variación media.
3.- De 1500 individuos enfermos 90 padecen hepatitis, 135 anemia y el resto otras enfermedades.
Todas esas enfermedades no se presentan juntas en ninguno de ellos. Se sabe que la ictericia se
presenta en el 76 % de los enfermos de hepatitis, en un 27 % de los enfermos de anemia y en un
20 % en el resto de los enfermos. Nos encontramos con uno de los individuos por la calle.
a) Determina la probabilidad de que presente ictericia.
b) Hablamos con el individuo y nos dice que tiene ictericia, ¿qué enfermedad es más probable que
padezca, hepatitis o anemia?
Solución:
Consideremos los siguientes sucesos:
“H“: “padecer hepatitis”
“A“: “padecer anemia”
“O”: “padecer otras enfermedades”
“I”: “padecer ictericia”
Podemos confeccionar el siguiente diagrama de árbol:
0,76
I
H
0,24
90/1500
135/1500
0,27
I
I
A
0,73
0,20
1275/1500
I
I
O
0,80
I
a) Con el diagrama de árbol anterior y aplicando el teorema de la probabilidad total, tenemos que:
P (I) = P (H) · P (I / H) + P (A) · P (I / A) + P (O) · P (I / O) =
90
135
1275
=
· 0,76 +
· 0,27 +
· 0,20 = 0,0456 + 0,0243 + 0,17 = 0,2399
1500
1500
1500
Dpto. Matemáticas
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Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba Específica)
b) Calculemos la probabilidad de padecer hepatitis o anemia, sabiendo que dicho individuo tiene
ictericia, aplicando el teorema de Bayes:
90
·0, 76
P ( H )· P ( I / H ) P( H ∩ I ) 1500
P (H / I) =
=
=
= 0,1901
P (I )
P( I )
0, 2399
135
·0, 27
P ( A)· P ( I / A) P( A ∩ I ) 1500
P (A / I) =
=
=
= 0,1013
P (I )
P( I )
0, 2399
Por tanto, sabiendo que un individuo tiene ictericia, es más probable que padezca hepatitis a que
padezca anemia.
4.- El 5 % de los clientes de una entidad bancaria son morosos. ¿Cuál es la probabilidad de
encontrar al menos un moroso entre 10 clientes elegidos al azar?
Solución:
Consideremos la variable aleatoria X que nos indica el número de morosos. Dicha variable sigue
una distribución de probabilidad binomial:
X ~ B (10; 0,05) → n = 10; p = 0,05; q = 0,95
Como sabemos, para la B (n, p), la probabilidad de r aciertos en n intentos es:
n
P ( X = r) =   p r q n – r
r
En este caso nos piden encontrar al menos un moroso entre 10 clientes elegidos al azar, esto es:
P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0)
10 
P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 –   · 0,050 · 0,9510 ≈ 1 – 0,5987 ≈ 0,4013
0
Dpto. Matemáticas
10 / 10
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