Lección 11: Fracciones . Equivalencia y orden

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
LECCIÓN 11
Lección 11: Fracciones .
Equivalencia y orden
Fracciones equivalentes
No siempre podemos trabajar con unidades divididas
decimalmente; con frecuencia nos conviene partir de otra
manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de
distintas maneras a veces necesitamos saber cuánto tenemos
en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos
conceptos.
Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el
rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas
pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad
que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad
o medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo
expresamos como 1 = 2 . Si partimos la unidad en 3 partes
2
iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida
en 3 tercios. Eso se expresa como 1 = 3 . En el dibujo de
3
abajo también hemos partido la unidad en sextos y en
cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que
queda partida la unidad y el nombre de las partes.
A
B
C
D
E
F
1
1= 2
2
mitades
1= 3
3
tercios
1= 6
6
sextos
1= 2
2
medios
1= 4
4
cuartos
unidad
116
LECCIÓN
En la forma en que estamos expresando estas particiones el
número de abajo sirve para decir en cuántas partes iguales
se fraccionó la unidad y el número de arriba para decir
cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se
llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo
denominador (el que da nombre), y la expresión se llama
completa fracción o quebrado. En las figuras de arriba son
iguales el numerador y el denominador porque tomamos
todas las partes que forman la unidad.
Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con
respecto al entero usamos la misma notación. Por ejemplo, en
la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes
pero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I dos
sextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cada
dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada.
A
G
H
I
J
K
1
1
2
1
3
2
6
1
2
2
4
Observe que en las figuras G, J y K se marcó la misma cantidad
de área aunque la manera de partir es distinta. En este caso
se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa
que expresan la misma cantidad. Lo mismo sucede con las
figuras H e I.
En las figuras G y J tenemos dos maneras de partir
la unidad en dos partes iguales y en cada figura marcamos
un medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro partes
iguales pero hemos tomado dos de ellas y juntas también
son la mitad del rectángulo; esto se expresa como
117
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LECCIÓN 11
1 = 2 . En las figuras H e I tenemos 1 = 2 pero hay muchas
2
4
3
6
otras maneras de tener esa misma cantidad. Observe las
siguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad;
en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchas
maneras:
U
1
1
3
2
6
4
12
4
12
8
24
2
6
8
24
En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del
área del rectángulo U con diversas fracciones.
Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma
cantidad, un tercio:
1 = 2 = 4 = 8
3
6
12
24
Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un
tercio multiplicando numerador y denominador por el mismo
número:
1 = 1´2 = 2
3
6
1 = 1´4 = 4
3
12
1 = 1´8 = 8
3
24
118
LECCIÓN
Estas operaciones corresponden a obtener una partición más
fina, de partes más pequeñas.
1
3
1
3
2
6
4
12
1
3
a
8
24
De esta manera es posible obtener todas las fracciones
equivalentes que se quiera. Tomamos una fracción y
multiplicamos numerador y denominador por el mismo
número natural. Por ejemplo, dos diecisieteavos es
equivalente a dieciséis ciento-treinta-y-seis-avos porque
2 ´ 8 = 16 y 17 ´ 8 = 136:
2 = 2 ´ 8 = 16
17
136
119
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LECCIÓN 11
Observe también que si el numerador y el denominador de
una fracción son divisibles por un mismo número, entonces
al hacer esas divisiones obtenemos una fracción equivalente.
Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en una
mayor. Por ejemplo:
4 = 4¸2 = 2
12
6
4
12
2
6
{
{
Si
se obtienen fracciones equivalentes con este proceso se dice
que se simplifica o que se reduce una fracción. Cuando el
numerador y el denominador de una fracción no tienen divisores en común se dice que la fracción es irreductible,
es decir que no se puede reducir. Por ejemplo, podemos
simplificar la fracción cuarenta y ocho sesentavos dividiendo
entre dos, dos veces, y luego entre tres, una vez. Obtenemos
una fracción que ya no se puede simplificar más:
48 = 48 ¸ 2 = 24 = 24 ¸ 2 = 12 = 12 ¸ 3 = 4
60
30
15
5
Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil, sobre
todo para comparar fracciones y para hacer operaciones con
ellas. Por ejemplo, si queremos saber qué es más grande,
tres quintos o cuatro séptimos, buscamos una manera de
dividir la unidad que permita expresar tanto séptimos como
quintos y vemos cuál es mayor directamente. Veamos
cómo hacer esto.
Si queremos tener quintos debemos partir en 5 o en
un múltiplo de 5, y si queremos tener séptimos debemos
partir en 7 o en un múltiplo de 7. Necesitamos entonces
un múltiplo común de 7 y 5; puede ser cualquiera de sus
120
LECCIÓN
múltiplos en común pero, si no queremos acabar trabajando
con números muy grandes, conviene que sea el mínimo
común múltiplo de estos números, mcm {5, 7}. Como 5 y 7
son números primos, no tienen divisores en común, y
entonces mcm {5, 7} = 5 ´ 7 = 35. Debemos entonces
escribir los dos quebrados con denominador 35:
4 = 4 ´ 5 = 20
7
35
3 = 3 ´ 7 = 21
5
35
Aquí vemos
directamente que
3 es mayor que
5
4 porque 21 es
7
mayor que 20.
Cuando
tenemos un quebrado con el numerador más chico que el
denominador, tenemos menos que una unidad y
decimos que es una fracción propia. Por ejemplo,
4 , 11 y 32 son fracciones propias. Sin embargo podemos
7 20 360
tener un quebrado con el numerador mayor que el
denominador; en ese caso tenemos más que una unidad
y decimos que es una fracción impropia. Por ejemplo,
23 y 132 son fracciones impropias. También podemos
10
25
escribir las fracciones impropias como los enteros que forman
y una fracción propia. Por ejemplo, en siete quintos tenemos
un entero y dos quintos; esto se acostumbra escribir como
7 = 1 2 y se lee un entero dos quintos. Cuando tenemos
5
5
enteros y fracciones en esta forma decimos que es una fracción
mixta. Por ejemplo, 5 7 y 14 3 son fracciones mixtas.
25
8
121
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LECCIÓN 11
En las siguientes figuras el rectángulo R es la unidad. Diga
qué parte de la unidad es la parte sombreada de cada uno
de los otros rectángulos. Encuentre todas las fracciones
equivalentes que haya en estas figuras.
B
A
R
C
F
122
D
G
E
H
LECCIÓN
En las siguientes figuras cada rectángulo es la unidad
de referencia. Escriba qué parte del entero es la parte
sombreada en cada caso y encuentre tres fracciones
equivalentes a la que dio.
A
B
C
D
E
Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción
irreductible:
a)
8
12
b) 36
60
c)
11
121
d) 48
6
e)
85
180
f)
72
360
De las siguientes parejas de fracciones diga cuál es más grande:
a) 4 y 3
9 5
b) 46 y 34
60 30
c) 36 y 12
45 15
d) 48 y 30
6
4
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LECCIÓN 11
Quebrados y fracciones decimales
Para expresar partes de una unidad hemos trabajado
con números fraccionarios en el sistema de numeración
decimal posicional y también con quebrados con cualquier
denominador. Es conveniente ver la relación entre estas dos
maneras de escritura.
Observe que podemos escribir las fracciones decimales como
quebrados o como números decimales, por ejemplo:
un décimo
un centésimo
un milésimo
un diezmilésimo
un cienmilésimo
un millonésimo
un diezmillonésimo
un cienmillonésimo
1
10
1
100
1
1000
1
10000
1
100000
1
1000000
1
10000000
1
100000000
= 0.1
= 0.01
= 0.001
= 0.0001
= 0.00001
= 0.000001
= 0.0000001
= 0.00000001
En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlo
basta para saber cómo se puede escribir como un quebrado.
Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos.
Sabemos entonces que se puede escribir como 23 partes
de un entero partido en cien pedazos iguales. Es decir:
0.23 = 23 . Observe que el denominador de la fracción
100
que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifras
decimales.
124
LECCIÓN
Este procedimiento para escribir un número decimal como
quebrado se puede usar siempre que el número tenga
expansión decimal finita. Se pone como numerador la parte
decimal del número y como denominador un uno con tantos
ceros como decimales tenga nuestro número.
Veamos un par de ejemplos:
14.876 = 876
1000
642.28349 = 642 28349
100000
Veamos ahora el procedimiento inverso: escribir un quebrado
como un número decimal. Si tenemos un quebrado con
denominador distinto de una potencia de diez, por ejemplo
cuatro quintos, quiere decir que partimos la unidad en cinco
partes iguales y de ellas tomamos cuatro. Si queremos
expresar esta misma cantidad con una fracción decimal
podemos buscar una fracción equivalente con denominador
10, que es la potencia de 10 inmediatamente más grande
que 5. En este ejemplo, si multiplicamos el numerador y el
denominador por dos, obtenemos ocho décimos que es una
fracción con denominador 10, y la podemos expresar como
quebrado o como decimal.
4 = 4 ´ 2 = 8 = 0.8
5
10
Observe que, para encontrar la fracción decimal que
necesitábamos, usamos el 10 que divide a 8.
Cuando tenemos un quebrado con denominador a una
potencia de 10, podemos usar el procedimiento anterior.
Por ejemplo, si queremos expresar siete veinticincoavos
como un decimal, multiplicamos numerador y denominador
por 4 y obtenemos veintiocho centésimos. Este número se
puede escribir directamente como quebrado o como decimal:
7 = 7 ´ 4 = 28 = 0.28
25
100
125
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LECCIÓN 11
El procedimiento anterior se puede usar si tenemos un
quebrado con denominador que divide a una potencia de diez
pero puede ser complicado. Observe que si en los ejemplos
anteriores dividimos 4 entre 5, obtenemos 0.8 y si dividimos
7 entre 25, obtenemos 0.28. Esta es otra manera de encontrar
un número decimal equivalente al quebrado que tenemos y
se puede usar aunque el denominador no divida a una
potencia de diez.
3
0. 8
4
4 0
0
25
0. 2
7
7 0
2 0
8
0
0
Por ejemplo, si queremos expresar tres octavos como
un número decimal no podemos encontrar una fracción
equivalente con denominador que sea una potencia de diez.
Pero podemos dividir tres entre ocho sin problema para
encontrar su equivalente en notación decimal que es 0.375.
3 = 0.375
8
8
0. 3
3
3 0
6
7
0
4
5
0
0
Con este procedimiento es posible encontrar el número
decimal equivalente a cualquier quebrado. Desde luego
encontraremos distintas expansiones decimales, algunas
de ellas finitas y algunas de ellas periódicas.
126
LECCIÓN
Encuentre el número decimal equivalente a cada uno de los
siguientes quebrados:
a)
1
2
b)
1
3
c)
1
4
g)
1
8
h)
1
9
i)
1
10
d)
j)
1
5
e)
1
6
f)
1
7
1
11
k)
1
12
l)
3
4
Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de los
siguientes números decimales:
a) 0.12
b) 1.34
c) 9.75
d) 71.1
e) 82.7
f) 38.44
g) 0.75
h) 0.25
i) 1.20
j) 5.5
k) 21.83
l) 8.90
José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismo
tamaño y decidieron que cada uno pintara una pared. En 3
horas José pintó 3 de la pared que le correspondía y Fermín 2 .
5
3
a) Represente gráficamente las paredes y la parte de cada
una que ya está pintada.
b) Exprese las porciones de pared pintadas por cada uno
con fracciones de igual denominador.
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c) ¿Quién pintó más, José o Fermín?
d) ¿Terminarán de pintar en 2 horas más de trabajo al
mismo ritmo? ¿Por qué?
Se
extrajeron 7 del contenido de un depósito de agua que
11
estaba lleno.
a) Represente gráficamente el depósito y la parte de agua
que se extrajo.
b) Exprese con un quebrado la parte del contenido que
quedó en el depósito.
c) ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa
más o menos de la mitad de su capacidad?
128
LECCIÓN 11