EL CAMPO MEDIO EN LA FISICA CUANTICA DE MUCHOS

147
Rtvisla Mexicana de Física 31 No. 1 (1984) 141.182
EL CAMPO MEDIO EN LA FISICA
CUANTICA DE MUCHOS CUERPOS
Manuel de Llano de la Garza
Instituto de FTsica y Facultad de Ciencias
Universidad
Nacional Autónoma
Apartado
01000
de
México
Postal 20-36~
México 20. n.F.
(recibido mayo 29, 1984; aceptado
junio 19, 1984)
REStJ.lEN
A manera de introducción al problema cuántico de muchos cuerpos
exponemos de forma panorámica la clase de teorías más elementales, llamadas de "campo medio". En ellas caben: i) la teoría del gas ideal de fermiones que
implica de manera muy.simple la estabilidad de estrellas enanas blancas y
de neutrones,
ii) la aproximación de Hartree-Fock para sistemas termodinámicos que se ilustra aquí en el contexto de la transición de fase a un
cristal-líquido, y iii) la teoría de Thomas-Fermi que se aplica a la ener
gía de amarre total de los átomos neutros.
ABSTRACf
As an introduction
to the quantum problem
of many bodies we
148
present a panoramic view of the most elementary theories called mean field
theories.
They comprise:
i) the fermions ideal gas theory which implies,
in a simple manner, the stability oi white
dwarf stars and oi neutron
stars, ii) the Hartree-Fock approximation for thermodynamical systems
which 15 presented here in the context oi a liquid-crystal phase transition,
and lii) the Thomas-Fermi theory which i5 applied to the total binding
energy oi neutral atoros.
1.
lNfROOOCClON
Es bien sabido que la ecuaci6n fundamental de la mecánica cuántl
ca no-relativista, la ecuaci6n de SChrBdinger, admite soluci6n analítica o
bien por métodos gráficos, 5610 para el problema de un solo cuerpo. Los
poquísimos contra-ejemplos a esto lo constituyen algunos problanas.de muchos cuerpos exactamente solubles, pero hasta la fecha éstos representan
modelos (hamiltonianos) demasiado esquemáticos y en dimensionalidad menor
que tres, y JX>r tanto poco realistas. Gracias al advenimiento de computadoras electrónicas rápidas viene siendo factible resolver, por 10 menos p!
ra el estado base, la ecuaci6n de SChrBdinger para centenares de partículas, principalmente bosones, que interactúan en tres dimensiones con fuerzas realistas. Estos métodos numéricos son los de Mbnte carIo, basados en
la funci6n de Green (GFMC) del problema de N cuerpos, (1) y ofrecen una ve!
dadera riqueza de "datos experimentales" frente a los cuales se puede comparar y comprobar la validez de las distintas teorías y aproximaciones de
la ecuaci6n de SChr&:linger de ruchos cuerpos en interacción. De todas estas teorías trataremos aquí s610 las más elementales, que son las que po_
drían llamarse de "campo medio", en analogía a la teoría de van der Waals
para la descripci6n de fluidos clásicos. Esperamos que esta exposici6n
sirva de introducci6n al problema cuántico de muchos cueIlJos. Pn la secci6n 2 desarrollaremos algunos resultados algebraicos relacionados con la
antisimetría de fermdones; en la 3 deducimos la ecuaci6n de estado de los
gases ideales fermi6nicos y bos6nicos en su estado fundamental; en la 4
aplicarnos ideas de gas ideal (es decir, sin interacciones) de fermiones a
la estructura estelar de enanas blancas y estrellas neutrónicas; en la 5
planteamos la aproximaci6n de Hartree-Fock y la ilustramos con una aplic~
ci6n a la transición de fase al cristal-líquido; en la 6 desarrollamos la
149
teoría de Thomas-Fenni, aplicándola a los átomos neutros; y en la 7 prese,!!.
tamos algunas
conclusiones.
2.
Es conocido
DETER.'l1NANrES DE SLATER
que si teneros
lDl
sistema de N cuerpos
idénticos,
la
ftmci6n de onda (empíricamente) será simétrica o antisimétrica ante la tra~
posici6n en ella de todas las coordenadas de dos partículas cualesquiera.
El caso simétrico deja la ftmci6n de onda variante ante la trasposici6n y
se refiere a partículas llamadas basones (de espín intrínseco ~).
en
tanto que el caso antisimétrico hace que cambie de signo la ftmci6n y de~
cribe partículas llamadas fermiones (de espín intrínseco semi-entero).
Si dispone""s de un conjunto completo de ftmciones {~k(i=)l
('.9., de ondas planas) en términos de los cuales podernos desarrollar,
e.g.,
w(r) de una partícula en un potencial cualquiera
las eigenftu1ciones
(si las eigenfuncioncs obedecen las mismas condiciones a la frontera que
las funciones ~k (r)) , el conjunto de todos los posibles determinantes
(1)
_ (N!)-l
~ (r)~ (r)....
~ (r)
kl
N
k2
N
kN
donde
P
=
(-)p
perrnutaci6n par o impar,
"estados"
k
e. g.,
;
i
será un conjunto
eigenflD1ci6n
antisimétrica.
r.
6 - , sobre las coordenadas
1
o los
ki:: (ni 2.im),
completo
\l.t(r¡,
= +
r2' .. "
en términos
del cual podremos
r ), de lD1 h3miltoniano
N
desarrollar
de N cuerpos,
una
que sea
Es fácil ver que los determinantes (1) estarán normaliza-
dos si las orbitales
~k(r)10 están, es decir, si
150
J
<k Ik>= d'r¡I/\
~
)
.
ij
+
(r,)1il
(r,)
k.
1
<~
IIII~>de
IDOS,
(i,j
1,2, ... ,N) ,
1)
Un solo detenninante
la expresi6n
= ó ..
~ del conjlIDto (infinito)
(1) podría utilizarse
para calcular
por el teorema de Rayleigh-Ritz,
representado
Con esto tendria-
una cota r~rosa
descrito
superior
'.9., la energía cinética
2
«v
1. 1. y
- ~
¿m
la energía potencial
~ V(r .. ), cal
. L.
1<)
i=j
los valores
esperados
de los operadores
N
F -
1)
gen6ricos:
N
r
fi
G
= ¿
i=l
donde i,j
a la ene!
por ese hamiltonia-
H en general está compuesto por operadores de uno y dos cuerpos,
COTID
eulemos
por
el valor esperado
lIDhamiltoniano H de N cuerpos cualquiera.
gía del estado flIDdamental del sistema físico
no.
(2)
)
= O(i f j)
= l(i=j),
Ó
+
.
(3)
gij
i<j
1,2, ... ,N son índices de partícula.
Entonces, si P y P' se
refieren a transposiciones que act6an sobre los conjuntos idénticos (sa1va por orden) {kiJ y {k¡J respectivamente,
=
¿ (-) P+P'
1
= NI
PP'
J
J'
+
d'r, ••• d'rN~l(r,)"'lilk
P,P'
+
I-":p,p'
(
d'r
J
*
..•
Iil (r)1il
N k
N
N
1
-+
k'
N
(r)
p+p'
: ------ ¿ (-)
(N-l)!
(r+N)
N
p+p'
J •
I (-)
PP' d'r¡~k (r,)f,~.(r,)
1
1
N
:=
•
P,P'
PP'
N
+
J d'r2~ •
+
2
(r,)~.(r2)
2
+
_
151
donde en el penÚ1timo paso se us6 el hecho que los indices
i,j
li' lj
de
son mudos yen el Ú1tirrDpaso se emplea la supuesta normalizaci6n
Luego
(2).
(4 )
es decir, el valor esperado, que al principio era una integral de orden
3N, se reduce ahora a una suma de N términos
de integrales
de orden 3,
pues
(5)
Análogarrente,
<~IGI~>=
=
1
1"
1
nr
j'';:
para el operador
p+p
I (-)
P,P'
I
I
de dos cuerpos
f
(
PP Jd'r, ••• d'rN
G tendremos
•
\'
k k."k'k'
l 2
1 2:
(6)
donde hemos definido
la integral
sextuple
(7)
Observaws que la integral original
de N(N-l) integrales de orden 6.
de orden 3N se ha reducido a
lUla
suma
152
3.
GAS lDEAL DE F£Rr.lIONES y DE BOSONESEN SU ESTADOFUNDAr-IENTAL
Las eigenflll1ciones
unidimensional
de longitud
1-
ljl (x) =
k
nonnalizadas
de lUla partícula
en lllla "caja"
L son
eikx
/[
L
(8)
<k/k'> "Jdxljl* (x)1jl (x)
Imponiendo
•
o
=
r
1
k
k'
e i (k
I
-k) L _ 1
i(k' - k)
a la caja condiciones
peri6dicas se tiene
eikL = 1
ljl (x) " ljl (x + L) =>
k
a la frontera
k
por lo tanto
kL
(n
2m
=
O, :tI, !2,
...
La suma sobre k de tul. ftulci6n f(k) será,
I f(k)
I
-
n=O,::!:1,:!:2,
k
L
2n
M
inmediata
la completitud
1: & f(k)
L
k
(10)
2n
T
ni (i=x,y,z)
J( dk 1
re
ik (x'
tenemos
-
x)
que
" ó (x - x')
(11)
para ondas planas.
En tres dimensiones
=
2n
de este resultado
L
i
le.
(
2n
k
=
•••
como M " 1,
J dkf(k)
Como aplicaci6n
es decir,
'"f(n)
(9)
)
tendremos,
con
TI
i
en vez de la (9),
O,:!: 1, :!:2, ...
Entonces,
en
153
vez de la Ec. (10), se tiene que
If(k)
r;;t
(12)
li,,]'Jd 'k f(k)
k
Consideremos ahora N partículas
determinante
(1) compuesto
libres
de spin 1/2 descritas
por N orbitales
ortogonales.
por lUl 5610
El principio
de
autornfrticamente satisfecho, ya que el detenninante se
anula si dos columnas cualesquiera son idénticas, es decir, si dos part1c~
Pauli queda entonces
las ocupan el mismoestado cuántico.
orden del determinante,
El número N de partículas,
ser~ ahora la SlD11a
finita
que es el
dada por el número de 6r
bi tas ocupadas:
N
LL
a
L
1 -
k (ocC:)
1 ~v
~ bcc)
Lo+- 00
f
[L "
5J
d'k
=...:!L
(2n)
k <k
4r. k'
3
3
. (13)
F
F
Aquí v es la ocupaci6n máximade cada 6rbita
trones o neutrones
polarizados,
especial,
2 para neutrones
y sería
o electrones
1 para ele~
no polariza-
dos (por las 2 posi,bles orientaciones de su esp!n), 4 para nucleones (pues
cada nucleón puede ser neutr6n o prot6n),
etc.
Y k
será el radio máximo
F
(llamado de Fenni) que se ocupa en el espacio
V" L'
es el volurren total
(kx' ky' k,) en tanto que
ocupado por los N fenniones .. La densidad de nQ
mero no será entonces
no " N/V =
vk'/6n'
(14 )
p
Por otro lado, la energía
total del sistema de fermiones
libres
es por definici6n energía cinética pura, o bien
N
<T> " <$1 -
~
L
i=l
~2
2m
L
~
V'
1
<k,alv~
1$
>
~
IKI0>
(15)
k1,0
donde en el último paso usamos la Ec. (4).
Ahora bien, por la Ec. (8)
154
~
alv:
<k1
~ ~
1 (
¡¡(,a> "y
J
- ik 1 • r 1
d'r,e
v
k'
= - .;
f dr
3
J
::
k~
-
(16)
v
Por consiguiente.
la energfa (cinética)
por partfcula
se reduce, si emple~
mos la (12), a
-1
<T>/N= N
h2
1iñ
...•.L
,
.1
v-+&. N
kl
h2
2m
1
VI
,
d'k k'
'
J
(h) ,
kl,o
k1<k
F
_, h' vV 4n
N -'---k'
2m (2n)' 5
3 h'~
r
3
-
2m
5
(17)
°r
5
donde en el pen61timo paso se us6 la Ec. (14).
La energfa o se llama la
r
máximaque puede poseer lOla paE.
energía de Fermi y es la energía cinética
tículu;
la energía promedio
es ~ntonces 3/5 de este valor máximo.
mente, la energía por partícula
en función de la densidad
cir, la ecuaci6n de estado del gas ideal de felmiones
Final-
n," ~ • es de-
será, usando la Ec.
(14) en la Ec. (17),
,
ev n',
Notemos
que este resultado
(18)
riguroso se entiende
heurísticamente
nos de la relaci6n de incertidtmibre de Heisenberg (6pllX.tfij2)
.
.
(6p),
h'
gia cinétIca por partícula sería entonces'\; -2.S (
2
m
m lIX)
identificamos
la longitud lIXdisponible
pr()fredioentre partículas
ecuación
de estado referida
"'(V/N)
1
3
=
no
a una partícula
,
-'o
a temperatur3
en t~rmi-
,
pues la enerh'n j
-.::-.::.L-, si
m 8
con la separación
La Ec. (18) es entonces la
absoluta
~
es decir, al est~
do fundamentaldel gas ideal de feD,I\iones. Para bosones en vez de los determinantes (1) tendríamos pennanentes, o sea
cido al (1) salvo que al desarrollar
orbitales
lU1
arreglo de orbitales
todos los Ni términos (de N factores
cada uno) llevan signo positivo.
El permanentees entonces s~
trico ante el intercambio de dos colunmas cualesquicl"a, es decir,
transposici6n de dos partículas
par::,
,
ante la
entre dos estados k., k.)cualesquiera.
Pe
155
ro ade~~s,no hay ahora principio de exclusi6n de modo que podemos colocar
todos los N bosones en el estado orbital (8) de menor energía, a saber
k= O.
Así, vernos que el resultado
para el gas ideal de bosones
correspo,!!
diente a la Ec. (13) será
v- n, "
<1>/N " O
N/V
(19)
Queda claro, pues, que la energía cinética ~
so de fermiones
principio
se debe a la "repulsi6n
de exclusi6n
de raulí.
(18) que existe en el ca
estadistica"
La presi6n
proporcionada
por el
termodinror.ica correspondiente
es P " - (dF/dV)N,T donde F " E - TS es la energía libre de Helmholtz, dada
en términos de la energía interna E (que aquí es la energia cinética <T»
y la entropía
F = E =
P
S veces la temperatura
absoluta
T.
Como ésta es cero,
<r> y entonces
= n'
o
= ~ e n,~
d<T>/N
ano
3
que es la llamada presi6n
toda no'
(20)
v
de Fermi.
Para bosones,
Para terrperaturas elevadas, o sea T
la presi6n
(20) se verán at.mentados, a
lUla
>
claro está, P
=
O para
O, tanto 'la energía (18) Y
densidad
fija, por efectos
tér
micos (2). Esto se deberá a que entonces habrá en la Ec. (13) una mezcla-
v.! eik -; en
de todos los estados
más sobre los que tienen magnitud
"distribuci6n"
de estados
+
J(
las sumas respectivas
"£
F
=
no nada
(21)
= O coincide con la
h'k'/2m
(22)
F
liso (21) se vuelve tm "escal6n
La
liso" (en k) dado por
e [1'1'k '12m - ~ (T) l/kT}- 1
o sea, que el esca16n
mite:
:k, y
Irenor o igual a tm valor máximo kp.
serfi ahora el "esca16n
donde ~(T) es el llamado potencial químico que para T
energía de Fenni definida en la Ec. (17). Es decir,
~(O)
sobre
abrupto"
en este 1i
156
[1 (k~k,.l
n (O) = 0(k
K
- k)
=~
lO
F
(23)
(k> kF)
Esta última distribuci6n es la que se supone tAcitamente en las sumas e in
tegra1es de las Ecs
4
o.
o
(13)
ESTRELLAS
y
(17)
o
ENANAS BLANCAS,
ESTRELLAS
DE NElJIRONES
y AGUJEROS NEGROS
Una estrella
"normal" (de la llamada "secuencia principal")
como
nuestro sol produce energia principalmente por la fusi6n de núcleos ligeros
como el H a núcleos más pesados como el He.
La presi6n
ténnica,
provenie.!!
te de la energía cin~tica de las partículas constituyentes, más la presi6n
de radiaci6n, se equilibran con la compresi6n gravitacional de las masas
en atracci6n, y la estrellas mantienen una cierta estabilidad de tamaño, o
radio, Re que es del orden de 7x 101 °cm. Al agotarse este mecanismo de fu
si6n de producci6n de energia, y despu6s de pasar por una etapa de gigante
roia en que la estrella se enfrió y se expandi6 enormemente, ocurre la mue~
te de la estrella. Esta puede acabar como: i) una enana blanca, compuesta principalmente por núcleos de he1io-4 (o carbono-12, o hierro-56) sume~
sos en un mar de electrones liberados, todo el sistema a temperaturas abs£
1utas entre lOS y 107°K, Y densidades entre 106 y 188 gm/cm3 (contra
~1 gm/cm3 en el sol); o bien, ii) una estrella de neutrones con una densi
dad 10 "gm/an
(aproximadamente la densidad de un núcleo pesado como el
208Pb) compuesta en un 99% por los neutrones que restan después de la co!!.
versi6n de los protones Y electrones de la enana blanca en neutrones por el
proceso de decaimiento beta inverso p +e~ -+ n+ v; o finalmente, iii) un
aguiero negro en que la contracci6n gravitacional redujo el tamaño del cue~
po a un límite tal que la velocidad de escape es igual a la velocidad de la
luz, c, y ni un fot6n puede escapar. Este radio Rs, llamado de
2
Schwarzschild, está entonces definido por
mc2 = ~
' o bien Rs = zat/c ,
s
donde G es la constante gravitacional, M Y m las masas estelar y de una
4
"partícula" cualquiera, respectivarrente. El tipo (i) de "cadáver" de es~
trel1a "normal" con que empezamos ocurre generalmente cuando la masa de és
157
tu es del orden de magnitud
veces
y
de una masa solar Mg, el
(ii) cuando es diez
el (iii) cuando es cien o más veces (al grado tal que ningún me-
canismo de presi6n
es capaz de contrarrestar
La Fig. 1 compara los tamaños relativos
una enana blanca, una estrella
dios de Schwarzschild
rían, rcspcctivarrente,
de neutrones
Rs para cuerpos
1 en y 3 lan.
la contracci6n
gravitacional).
de una gigante roja, nuestro sol,
y el agujero
negro.
Los ra-
con la masa de la Tierra y el Sol s~
Una enana blanca típica con una masa
~t~es de un radio R;; 10 km, poco por encima
del Rs
=
3 km correspondiente.
SOL
ENANA BLANCA
ESTRELLA
DE
NEUTRONES
ESTRELLA
AGUJERO
•
DE
NEUTRONES
NEGRO
Figura.
La presi6n que equilibra
1
la compresi6n
gravitatoria
en la enana
158
blanca es básicaJlxmte la presi6n del gas (degenerade, es decir a telll"'rat!:'.
ra T = O) de ferrniones fonnado por los electrones
en la estrella
liberados,
Que estos dos sistemas puedan cOI~iderar5e a temperatura
pesar de encontrarse a tC"l'eraturas tan elevadas,
peraturas
son varios 6rdenes de magnitud
mada de Ferrni, TF definida
kT :,c
F
F
Por lo tanto,
en tanto que
de neutrones es esencialJoontc la de los fermiones neutrones.
=
h'k'/2m
ITCTIJrcs
está claro ya
qt.C
estas te!!!
lla-
Y (14), a saber:
,
=
cero, a
que la "temperatura",
por las 50s. (17), (22)
F
absoluta
h' [6,' n )'
Lmlv
o
(24 )
la dysYiaci6n del esca16n abrupto (23) que describe
sistewas
a T = O será completamente despreciable.
Tratándose
de una esfera
la energia potencial
gravitatoria
de radio R y masa total M tendremos
es aproximadamente
que
igual a la energía ci
nét ica de Fenni, o sea
(25)
donde
=
F
c
Aquí
~l
J
l
f¡'k;J211);
(estrella
hL2ki-C2 - m;c
li
-
es la masa del neutr6n
(26)
neutr6nica)
(supuestos
Do.relatiy]stas
usa la Ec. (17)) Y n'e es la masa de los electrones
blanca
(supuestos
expresión
relativistas.
relativista
V
=
por su pequeña
para )a energía cinética).
miones son de dos especies
(27)
mee2 (enana blanca).
y, por tanto,
liberados
de la enana
masa, y por tanto se usa la
81 ambos casos, los fer-
(v : Z) y por 10 tanto de la Ec. (14) con
4,R'/3 tendremos que
,
[~~],
Consideraremos
(28)
explícitamente
se
el caso de las enanas blancas.
Combinandolas Ecs. (25) y (27) se tiene la ecuaci6n
159
(29)
con N el número de electrones
mente la de los nucleones
con u el nwro
Como la masa total es prulcipal-
liberados.
de los núcleos
ionizados:
de Jlucleoncs por elcctr6n.
de helio~4 examinaremos aqu1,
lJ
c:
2.
COJOO
Para la enana blanca compuesta
el nÚJrero de Jlucleones
en el
sol es N • 10" Y
@
N '/' - hc
@
"00'
• 10"
(31)
N
la Ec. (29) se vuelve
N' +
2N'/'l'-N=
e
(32)
AC
Dividiendo por N~/3 tendremos que
~
N1¡:J
=
1. A
2
e
[[9n]1/'
4
1. _
X
xJ ~ O
(33)
= (N/N )'/, = CM/2M )'/'
x
@
-
@
donde la última igualdad se debe a queM.Nmya
6
6
N
lA desigualdad en (33) es idéntica a la desigualdad
la Ec.
(30)
con U
2.
(34)
que es llamada el limite de
M;¡¡¡:
1.45 Me'
nerada
J
El límite
tma estrella
Cbandrasekb3r.
sugiere
Un análisis menos burdo(3) da
que para poder morir come una estrella
con masas superior
a 1. 4S
M(i'l
deg~
deberá despojarse por al
160
gún mecanismo
siva.
(por ejemplo,
una cxplosi6n
Slwernoya)
de
De no ser así, se piensa en la actualidad,
mo un aguiero
vitaci6n,
blancas
negro,
o sea un objeto
corro veremos
colapsado
De las aproximadamente
por la gr~
200 enanas
unas diez tienen medi~ls sus masas y radios.
identificadas,
lar típico
acabará co-
la estrella
casi totalmente
adelante.
JMS
de su masa exce-
El va
de x en la Ec. (33) es tal que
(35)
El an&lisis
burdo que parte de las Ecs. (26) y (27) nos lleva,
para el caso de una estrella
M
neutránica
con radio de 13 km, a la masa
= 0.026 M•.
Si nuestra
tonces,
estrella
normal empez6
a la masa solar M@, y no se despoj6
masa permitiendo
lla neutr6nica,
la compresi6n
gravitacional
ces la intensidad
bosones
y
tícula.
o
corno
nucleares),
una estre-
su curso hasta produgravitacion~
(siendo ~lO-38v£
no hay nada qt~ detenga
(estrella)
inevitable
el
es suficientemente
de la materia
debido
a la
en el límite N-+-co, que produce una energ1a total '\,_N3para
7j3
'\,_N
para fermiones.
l~ energía total será un equilibrio e~
potencial
gravitacional
de incertidumbre
Esta dimensi6n
dcbico
'\,-GN2/R
de fleisenberg)
y t::.x es una dimensi6n
bal del sistema
mioncs,
seguirá
de la naturaleza
si la masa del cuerpo
Eshocew.os aquí el colapso
tre la energía
principio
de las fuerzas
que producen
grande.
de
Pese a que las fuerzas
les entre dos masas son las más débiles
gravitaci6n,
en
su vida del exceso
que acabe ya sea como una enana blanca
cir el llamado rol<lpsO gravitacional.
colapso
con masas bien superiores,
durante
pongan las partículas.
(por el
lineal en que puede moverse
lineal es ~R para bosones
a que el prinCipiO
Y la cin~tica
o.N/(6X)', donde R es el radio gl-,,-
de exclusi6n
pero
cada pa!.
(t::.x)3'\,R3jN para fe!.
de Pauli impide que se sobre
Entonces, sustituycndo tcnemos que la energía total
es
r
1{2-
E(R) '\,
NS/3
R'
N'
Gl{ (bosones)
(36)
N'
-GR
(fenniones)
161
Minimizando
en R encuéntrese
rZ/GN
o para
que E' (Ro)
(bosones)
(37)
Ro ~ lZ/GN'/3
(fermiones)
10 que deja, al sustituir en la Ec.
(36),
el resultado
(bosones)
(38)
(femones)
En ambos casos la energía por partícula
diverge a
-
00
cuando N-+
00,
y la
"densidad m:::dia" N/~ R~ djverge como N" para bosones y N2 para fenniones.
La exactitud asint6tica de la tcaria de Thomas-Fermi para neutrones ha sido establecida pcr Hertel, Narnhafer y Thirring (197Z)(4) quienes rigurosa
mente encuentran
73
/ ,
que EN~OO
~ - N
quedando
corroborada
El cuerpo que se colapsa irremediablemente
y representa
una verdadera
5.
de estructura
bre un gas de fenniones
10 detenninante
a temperatura
La funci6n
estelar
absoluta
acabado
de ver se basa so-
cero y sin interacciones
de onda correspondiente
a la aproximación
to lleva a la aproximaci6n de Hartree-Fock
que son ondas planas,
del determinante
un sistema
de N cuerpos
operadores
de uno y dos cuerpos
de masas
N
v"
L
i:l
corno en
idénticas
único:
m el hamiltoniano
T6rnese para
la suma de -
N
T. +
~
LV..
i<j ~J
es-
(19Z9) que en realidad puede
como un primer paso en una teoría perturbativa.
H " T +
e~
es por tanto un s~
Preguntemos si puede irse más allá del caso del gas
ideal pero aún limitándonos
considerarse
es el aguiero negro,
espeluznante.
(1) cOlllJuesto por "orbitales"
las Ecs. (15) a (17).
(38)~
APROX1MACION DE HARTREE-FOCK
El tratamiento
trc las partículas.
singularidad
la estimaci6n
(39)
162
La interacci6n
entre pares v .., e.9., podria ser la repulsión
trónica c2/rij
en un áton~, rnol~Lula o cristal.
interelec-
>]
El operador Ti puede ser
- ~ V' Y atracci6n e1ectr6n-núc1eo -2e' Ir .•
",ro i
~
periódico en un metal, etc. Sea 410 el determinan
la suma de energia cinética
o inclusive el potencial
te único
(N!fl
=
cuyas orbitales
.
.
~
ki
(r.)
ki
eXIgIremos
f
det[~
(r.ll
(40)
J
1,2, ...
(i,i
J
. ~
d3r~
k)"
3
pero qlre
.
(r)~
k.
, N) son desconocidas,
a saber,
ser ortogonales,
(r) = ó
( 41)
k, ,k.
3
)
El valor esperado del 133I11i1toniano(39) ser& por las Ec. (4),
si etiquetarnos los N estados k.
1,2, oo.,
=
(6) Y (7),
N,
3
( 42)
donde en el último paso empleamos
de matriz
llamados lIdirecto"
una abreviaci6n
e "intercambio".
mo, máximo o PWlto de inflexi6n)
3
,,
donde Ak k
~='
k
(es decir, mio,!,
considerada
como LUla
sujeta la extre
3
(41), se obtiene de
-.i, <[E[~',,p l k
£,
desconocidas
3
mal a la condición
6~
El extremal
de la energía
E[~~'~k] de las orbitales
funcional
obvia para los elementos
I
k1,k2
son constantes
Ak k
1 2
<1jJk I~k
1
2
>}
(43)
= O
llamadas multiplicadores
de Lagrange.
Para
c&1cu1ar la Ec. (43) usamos el hecho de que
ó
(44 )
ó,p' ~
e (r)
Por ejemplo,
163
(45)
y
así sucesivamente.
La Ec. (43) se reduce entonces a
(46)
* ~
~
~u1t ipl icarulo la Ec. (46) por ~k(r,) e integrando sobre r, queda la ~ci6n matricial
<o,Ok!T,lo,Ot> + ~ < lj\1j)k,
Iv" l1j)to,Ok, -
o,Ok, o,OR'"
< 1j)klHOllo,Ot >
=
Atk
(47)
donde es fácil
partícula,
total
comprobar que el operador Ho1 es un hamiltoniano de
actuando
sobre la partícula
1, proveniente
lUla
sola
del hamiltoniano
(39),
11
H,
=
+ V
N
11,
-
I
N
I
Hoi =:
i:1
LDl<l
interacci6n
N
(Ti + Ui) ;
V --
1=1
que ahora está cOqlucsta
más
#
I
N
Vij
- I
i<j
de tUl. hamil toniano de partícula
residual
V.
Ui
(48)
iE1
independiente
Ha
En el hamiltoniano independiente corres-
a la i~ésima partícula,
pondiente
(49)
aparece
ahora LID campo medio Ui agregado
el operador
a los campos
Ti' que por la Ec. (47) está definido
ci6n V12 original por
antes cxistente5
en
en t~rminos de la interne
164
<~kIUllljJ~>=
(50)
< ~k~k2Iv121~~~k2- ~k2~~>
~
2
es decir, en forma llamada
Tornando N combinaciones
autoconsistente.
les, digamos ~k ' de las N orbitales
originales
tal manera que queda diagonal izada la matriz
nos transfonnará
el problema
{ljIll!
=
1,2,
(47), es decir,
•••
A.V,
linea
, N} de
-+
£k6kt '
en
(51)
Suponiendo
que las N nuevas ~k
to, de modoq'"
LI~k><~kl
son parte de un conjunto
(infinito)
compl~
1, la Ec. (51) se vuelve, al multiplicarse
=
por I~k> y sumarse sobre k:
(52)
que representa
N ecuaciones
integro-diferenciales
(k1, k2 = 1,2, ...
de eigenvalores
de partícula
de ~~rtree-Fock(HF).
son las ecuaciones
J
N) no lineales acopladas
independiente.
Para cada eigenestado
ta pues de una ecuaci6n tipo Schr1ldinger de una pardcula
Estas
k1 se tra-
(la # 1) que se
encuentra en el campo (medio) producido por todas las demás partículas.
Por ejemplo,
el prtmer corchete
es la contribuci6n
directa
a este campO;
el último término del miembro izquierdo es la llamada contribuci6n
tercambio
pero su interpretaci6n
Finalmente,
calculado
deja de ser heurística.
la energía de Hartree-Fock
con las orbitales
de in-
de lW
(el valor esperado
~k(r) que satisfacen
(42) )
,la Ec. (52) scrti ,
recordando la Ec. (39),
E
=
< 4lolHl41o
>
:: <H>
-
<T>
+ <v>
.
(53)
Ahora, de la Ec. (48)
E=<H>=<T>+7<U>
1
(54)
165
donde usarnos el resultado,
que sigue de la Ec. (50) (con k
sobre k) y de la Ec. (42) (si reconocemos que
la autoconsistencia
<u>
exige que
),deque
k 1, k2
(55)
= <T> +
alternativamente
como
1
1
= ¿ <T> + ¿ <H,>
<U>
=
i
de la Ec. (48), podemes escribir
Mostremos
caja de volumen
del tipo
¿
k=l
«~k IT ,1~k
)
> + £
(56)
k
~ Y sumada sobre k.
que para un sistema de N fcnmiones
V, e interactuando
VI2
::::
la Ec. (54)
N
donde en el ú1timc paso usamcs la Ec. (52) con k
cial
r
y s~'lldo
= 2<v>
Luego, come <li,>
E
=i
~
k1<k2
= ~
ver} r
2)
encerrados
entre si a través de cualquier
(nonecesariarrente central)
en una
poten~
las ondas planas
(57)
proporcionan
una soluci6n
(trivial) a las ecuaciones
-=
de HF (52).
notamcs que en la Eco (52) T, ~~ lr,)
- tl' V'~~ (r~,)
¿ID 1 k¡
El término directo
además
r.!:
kl
de la Eco (52) será,
=
tl?l
ID
<P;>
k 1
Prirrero
(rJ
o
(58)
(
v(q)
=
.-+
-+
1qor
Jd'r e-
v(r)
(59)
donde hemos definido la transformada de Fouricr v(q) de la intcracci6n
v(~).siendo ~
= TI -
r2.
Por otro lado, el término de intercambio
Ec. (52) se Vl..Clve. multiplicando por e-ik1.
ik
;le ¡.;1
=:1
de la
166
"-
1
(60)
.v
donde en el último paso hemos interpretado fd3r2
como Jd3r y usando la Ec.
(59). Como todos los ténninos del miembro izquierdo de la Ec. (52), con
las soluciones
(57), equivalen
se satisface la Ec. (52).
a un n(~ro de veces la soluci6n
.9..:LQ.,
---
~
'k,
(11),
En el presente caso este niJrneroes
(61)
Como mera ill~traci6n de la posibilidad
les, es decir. no onda plana, analicemos
de soluciones
el siguiente
no-trivia.
ejemplo muy sencillo
de un cristal-líquido. SUpÓngase, como generalizaci6n de las orbitales de
rnldaplana (57), las orbitales(5)
(62)
que ocuparán el determinante
k< k
F
y que siguen obedeciendo
la ortogonalidad
(6:;)
(41), la que tomando en cuenta
el espín se escribe
, r
~
3
•
Jd r$k (rHk, (r)
z v
(64 )
167
c
_1
[(1
+
a')V] ,
(65)
En la Ec. (62) Xc (oz) es una funci6n de espDo con variable Oz = ,j y estado a = ti. Aquí a y q serán parámetros variacionales adicionales al parámetro kF (que por la Ec. (14) está relacionado a la densidad no , N/V de
part!culas). Empleando condiciones peri6dicas para las orbitales (62) ten
aremos integrales del tipo
'\l.o
(66)
n
0, tI, !2, ...
x
o"
;
= etc.
Definiremos lo que podríamos llamar la densidad local (a diferencia de la
N
~
global no ' V), en el punto r •
n(r) ,
L
l~k(r)12
=vC'
k
111
~ ~
-+
aeiq' r
[2
(67)
~
k
donde se emplea la Ec. (62) Y el hecho de que
I<x Ix
a
del índice de suma y la
sumando es independiente
a
>
=
a
I
1
=
v.
El
'o,.¡.
S"",1 sobre k da N/v; por
lo tanto
+ ----
1
es decir, la densidad
~}
2a
+
cos ~
q' r
(68)
a2
local tiene una variaci6n
del espacio (la que se elige para el vector
q)
cosenoidal
en ~
direcci6n
para la soluci6n no-trivial
n(r) = no que tenemos para la soluci6n trivial (57). a la que se reduce la (67) cuando a ~ O.
(62), en contraste
con el caso especialmente
homog6neo
La Fig. 2 contrasta estos dos casos que podríamos identificar c~
JJK)
tm "11quido"
(desorden posicional
la llamada fase ¿,ml.c.:tica-A
petpendiculares al vector
líquido bi-dimensional)
completo)
y con un "cristal-líquido",
(ordenado en "láminas", paralelas entre sí y
qJ
cada una de las cuales se comporta comotm
(ver Fig. 3).
Para
analizar la transici6n del
168
"liquido"
al "cristal-líquido"
basta considerar
hamiltoniano
lID
pendiente del espín para el cual la energía de HF, llamado
(39) inde-
Ika>
a la Ec.
(62), será, de las Ecs. (4) y (6),
(69)
{liq"idl~Jrl
desorden
::;:=
=
o
"cristal-liquido"
( a > O)
"liquido"
(a =0)
Fig.
2
donde usarnos las sumas sobre espines antes vistas.
racci6n
-
Tomemos para la inte-
la tipo delta
(70)
Vo = etc,
con la que la Ec. (69) se reducirá
con
B" a'
'"q
1
" q/2J<,. ~ 1
'"
2mE
3
£(q,B) ,,-= h'k'N
S
F
a la energía por partícula
Y
20 B
1 + - -3 1+
v
= 2 ,
",}
B
adimensional,
q'
si ().-+O, 8-+ O Y caemos en el caso trivial
3 rnv,p
+ - -4 h'k'
F
II -----1.1
I
+
'B
(1+
B)'
(71)
de ondas planas COP)que es
169
Cristal - Uquido
Fig.
3 mv,p
3
Eop
=
5
3
+
:1
(72)
h'k'
F
Debemos ahora minimizar la Ec. (71) con respecto a ~ ~ 1 Y
pregwttar
luego si existe
tm3
B ~ O.
y
energia menor que la trivial dada por la Ec.
(72). Es evidente por inspecci6n de la Ec. (71) que el mínimo en ~ OCurre
precisamente para q = 1, o sea q : 2k.
Introduciendo el par~tro
de aco
plruniento adimcnsional,
F
(73)
170
donde se us6 la Ec. (14) con v
2 en el último paso, la Ec. (7l) con
~=
1
se reduce a
o(S)
J, + 4
=
S__
1 +S
A[l+_S
+
(l
El valor de S, digamos
+
J
(74)
S)'J S ~
O
S" que satisface o'(S,)
O es
(75)
A> 2
La última conclusi6n
en la energía
se puede entender graficando 60 contra A.
5610 se verifica,
sin embargo,
El minimo
si
> O= a ~ - 2
o "(S,)
(76)
Es decir, habrá m1nirno únicamente si la interacci6n (70) es atractiva. y lo
suficientemente as1.
o(B,) = O(A) =
y buscamos
Sustituyendo (75) en (74) se tiene
13
"
2
+
I
3
+ ~
A
una ganacia en energía
(77)
de amarTe, es decir, que
(78)
para
A ~ - 2. La Fig. 4 muestra la curva de la Ec. (78): vemos que efecti
vamcntc, para A
$ -
2 la soluci6n no triYial
energía) que la trivial,
(tiene renor
(curva llena) .• La curva en trazos corresponde
la (75) a valores
negativos
El punto indicado
con un círculo
equivalen
es más estable
de 60
=
a
, que
2
no se admiten
si no es real.
en A = -2 es un mmto de bifurcaci6n
las energías de los d05 estados, y puede considerarse
de la transici6n.
2a,
(l+a:)
por
donde
el punto
El 'parfimctro de orden", el factor
21Bo'
(l+S,)
en la Ec. (67) vale cero en el punto de bifurcaci6n,
y crece en valor con-
171
forme disminuye A a partir del valor crítico -2.
cristal-líquido
continuamente.
La transici6n líquido a
es de segundo orden ya que el parámetro de orden aumenta
a partir de cero (Fig. 4).
/:;'E
2
O
I
-I{quido--,'
,
,,,
-2
,
-3
I
cristal
'd o
IqUI
J:¿
I
I
I
-4
4
,"
,,
-1
3
I
3
2
I
-).
-).
•
4
I
I
Fig.
Finalmente
haceros
4
notar la naturaleza
no perturbativa
de nues-
tro resultado. Es decir, la diferencia 6£ de la energía (78) no es analítica en A alrededor de A = O sino que tiene un polo simple allí.
6.
APROXIMACION DE 1HC"lAS FERMI
De gran interés es la vicja (1927) teoría de Thomas y de Fermi
(TF) para la dcscripci6n
de sistemas coulombianos
dos, etc.) por su sencillez
(áton~s)moléculas,
frente a la teoría de Hartree-Fock.
última se trabaja con N orbitales
funciones de
r, mientras
ría de TF hay una sola ftmci6n, la densidad local n(r).
s61l
En esta
que en la teo-
Además, mientras
172
que en la tearia de IW un conjunto
de orbitales
(y aun si la minimizan
minimiz~ la energía
soluci6n
éste no es necesariamente
mínimo más bajo), en la teoría de TF el extrema!
luto.
El interés en la teoría TF ha aumentado
10 años pues esta descripci6n
resulta
es siempre
enormemente
ser asint6ticamente
mite en que el número de cargas Z ~ ~, para átomos,
(Tambiénes así para estrellas
que en el fondo interactúan
bianas-
g{3vitatorias,
bla aquí se refiere
con fuerzas puramente
tiende al infinito).
al régimen
fd'r n(r)
=
el mínimo
ah so
en los últimos
exacta en el lí-
moléculas
y s61idos.
-tipo cOlllo~
atractivas
La exactitud
de la que se ha
no relativista.
un núcleo ~untual con carga 2e, colocado
por una nube electr6nica
de carga negativa
el
ene! límite en que el n(unero de partículas,
exclusivarr£nte
Considérese
gen, rodeado
no necesariamente
esféricamente
en el ori-
sirrétrica con densidad
n(r), tal que
(79)
N
ser~ el número total de cargas -e en la nube.
mo neutrOj si N> Z de
llil
Si N
=
Z se trata de un áto-
i6n negativo y si N< Z de un i6n positivo.
La
energía total 8 se compone por: i) energía cinética electrónica T;
ii) energía potencial núcleo-electr6n Vne; y iii) energía de repulsión
electrón-electrón V . Evidentemente, ésta será una funcional de n(r) y
ee
de la fonna
(80)
E[n(r)]
donde
Vne
- -eJd'r~n(r)n(r)
V ee
= -
;
i eJd'r~e(r)n(r);
~n(r)
-
~ e (r) -
Ze/r
-efd~rl
n(r')
Ir _ r' I
T _ Jd'r n(r) t (r) •
Aquí, ~n(r) es el potencial electrostático en el punto r debido al núcleo
puntual en el origen y ~e(r) el debido a la nube electr6nica. AUemás,
173
ter) es por definici6n la energía cinética (electr6nica) en el punto r, por
electron.
1homas y Fcnni ahora suponen como hip6tesis
ter)
de trabajo
= C,n(r) '/' ,
que
(81)
en analogía al resultado (18) obtenido para un gas ideal de fermiones con
\) =
2 en tres dimensiones.
Admitido esto,
la energía total
(80) se vuel-
ve la funcional explícita en n(r) dada por
E[n(r))
=
c,Jd'r n(r)5/' - Ze' Jd'r
n~'1
+
(8Z)
+ 1
e'Jd'r Jld'r' n(:) n ~r')
T
+
V
Ir - r' I
¿
se busca ahora una ecuaci6n (de Euler-Lagrange) en n(r) tal que E[n(r)J
sea (por lo menos) estacionaria,
o extremal,
ante variaciones
funcionales
en n(r), sujeta la variaci6n a la condici6n (79) donde N es una constante.
(Esta extremal
resulta
cienda el multiplicador
_0_
ser siempre el m!nimo absoluto).
Es decir, introdu
de Lagrange e~o, tenemos
{E[n(r)] - e~oJd'rn(r)f)
=
O
(83)
on(r")
Para calcular la expresi6n (83) usamos, en analogía a la Ec. (44), que
o
n(r) = é(r
- rOO) y por consiguiente
queda la ecuaci6n
on(r")
,-s C,n(r,,)'/3
.
Ze'
e2
- -+
rOO
J
n(r')
r'
¿3
----+
-+" -+,
1r - r
I
e$o
= O
Notando que el segundo y tercer término no son más que -e~n (r") y
-e$e(r"), respectivamente, definiendo el potencial total
~(r) - ~n(r)
y cambiando
+
~e(r)
la variable
T" a r teneros
(84)
174
n(r)
r2me (
l
---
L
1J'/'
(85)
't~(r) - ~0f.j
A esta ecuaci6n afiadiremosuna segunda ecuaci6n que eslabona ~(r) con n(r)
que es la ecuaci6n de Poisson de la electrostática clásica:
V'~(r) = 4ne n(r)
t
(r
(86)
O)
Combinando ahora las Ecs. (85) Y (86), reconociendo que por la simetrfa es
l d'
férica y la constancia de ~o se tiene que V'~(r) = -r ~ur r[~(r) - ~ol
llegamos a la ecuaci6n de 1homas-Fermi para el potencial total ~(r)
d'
l -r[Hr)-~ol
r
4e(2me)'/'
----[Hr)-~ol'/',
dr'
que claramente es una ecuaci6n diferencial
condiciones
(87)
3nh'
a la" frontera
i)
~(r)
ii)
$(r)
Requeriremos dos
que serán:
~o ~
=
no~lineal.
(88)
2e/r
(89)
(para r ~ ro)
(2- N)e/r
La condici6n (i) implica, por la Ec. (85), que
n(r) -ct
r ..•.
u
cte
es decir, la densidad
(ii)
(90)
~
r3{2
de carga electr6nica
hemos definido un radio
fo
anula, de modo que el potencial
diverge
en el origen.
En la
a partir del cual la densidad de la nube se
total $(r) es la diferencia
indicada,
gra-
cias al teorema de Newtonde que el efecto de la nube es cano si toda su
carga se colocase en el origen. Asf, por las Ecs. (85) y (89) podemos deducir el significado
~o
de
= ~(ro) = (2 - N)e/ro
(91)
--_._-----------------------------------175
corro el potencial
total en el "borde"
de la nube electr6nica.
Observ3lllas que la ecuaci6n flIDdamental (87) es lID tanta
pues tendría
que resolverse
vos (N, Z).
Puede deducirse
gran desventaja.
X
=
una ecuación
Introduciendo
Z;
- to"
universal
una longitud
y una función
T/a es adimcnsional,
Hr)
para cada valor de la pareja
f(x)
de enteros
que no adolece
(por averiguarse)
adimensional
incánoda
positl
de esta
a tal que
f(x) por la ecuación
x " r/o.
(92)
y sustituyendo. en la Ec. (87) llegamos a
IX
d'f(x),
f'/' (x)
dx'
i)
f(x)
_ 1
0.'2
~
x ~ a
[3'J'/'
T
1,
ii)
ecuaciones
-~
x
i: Xo
O,
(93)
a.
-:z'l'
que es la ecuación universal
primeras
f(x)
de la teoría de Thomas-Fermi.
re~ucltas con computadora
electrónica
Fue una de las
digital
en 1931
por Bush y Caldwell.
La Fig. 5 muestra tres tipos de solución numérica:
TIJ
"'ml(~tCJm.)5
neutros);
B) en que
la nube tiene "soporte compacto";
cripci6n
averiguado
(iones positivos,
TO<OO
y
C) soluciones
de lID átomo ligada en lID cristal.
que, para N
f(x)"i«"<i
=
A)
Z>N),
apropiadas
De la saluci6n
en que
es decir
para la de~
numérica se
Z,
1-1.58807x
+ jx'/'
+ •••
(94)
-~+
x »
1
144
x'
ha
176
f(x)
...,,""
e
/
x
o
Fig.
5
Antes de calcular la energía total de Thomas-Fenni E, en funci6n
de Z, para átomos neutros, estiman~sque ésta será de la forma
-z • Z/Z -'/" = -z /' ya que tenemos Z electrones interactuando con Z cargas
positivas nucleares, a distancias ~Z.1/3 por la Ec. (93). La energía QQI
electr6n £/2, entonces, diverge a menos infinito como .Z~/3 para Z ~
es
decir, no existe para el átomo neutro el límite termodinámico, consistente
en una energía extensiva, es decir, proporcional al número de partfculas,
coro se espera en la materia condensada (liquidos, s61idos, etc.). OCurre
lo semejante para un sistema de N fenmiones idénticos que interactúan por
gravedad, por ejemplo una estrella, donde la energ1a total diverge como
-N'/', véase la Ec. (38). Para calcular E(Z) en forma precisa usaremos el
siguiente resultado formidable: El teorema del virial para un átomo poli00,
electr6nico afirma que
E =<T>+<V>=
-2<T>
(95)
donde E es la energía exacta (no relativista) del estado fundamental y los
valores esperados del operador de energía cinética T y de la energía poten
cial V se toman con la funci6n de onda exacta (desconocida) del estado fun
damental. Este resultado, válido para la energia y estado fundamental
exactos~ también es válido enla aproximaci6n de Thomas-Fermi. Esto se de-
177
muestra
si en la Ec. (79) reemplazamos
(x,y,z)
por (>.x, AY, AZ)
=
(X,y,z)
las coordenadas
con A real.
(cartesianas)
Entonces
(96)
es decir, frente al citado escalamaento
n(r)
--+
A'n(Ar)
(97)
Luego, la Ec. (72) se vuelve
E[A'n(Ar)] = C'A')d'rA'n(Ar)'/'
(98)
n(Ar) n (Ar')
lAr - Al" I
Ty V
donde
son la energía
cinética
Ec. (82), tomandoen cuenta 4ue allí
do la Ec. (97) con respecto a A
y
y potencial
ryr
t
promedio
definidas
son variables~.
exigiendo que para A
en la
Derivan
= 1 la derivada se
anule, se llega a
tr+v=o
(99)
E ~T
+
V
=
-
-2T
=
1",
"2" '
que coincide con el resultado exacto (95).
tes, la energía
total en la aproxUmaci6n
como
E
-2 c,fd'r n(r)'/'
-D)d'r ~5/'(r)
Por tanto si D y F son const~
de Thomas-Fenmi
podrá expresarse
178
=
i
=
-0.'768745
(100)
F f' (O)
Z7/' e'
a,
al caso neutro (N = Z, 410= O)
Y usamos la Ec. (75). En la penúltima igualdad se us6 el valor numérico
de la f'(O) de la Ec. (94), habiendo llegado a esa igualdad por las siguie~
donde en la segtm.da igualdad especializamos
tes consideraciones.
La integral
por la Ec. (93). Integrando por partes
OO
I = f f'
(
Jdx(f')'
lo
(101)
-f' (O) -
f dx(f')'
Por otro lado, también
I =
dx
f '/'
- o ?'
[
=
Zf
'/'
(x)
¡ 100 (00
,
X-S)
dx x'
o
f'
/,
f'
o
Suponiendo que el té11l1ino integrado se anula esto da, usando de nuevo la
Ec. (93),
I
=
-5
f x.
f'f"
dx -
-5fudV
(10Z)
=
%
fdx(f')'
Combinando ahora las Ecs. (101) y (102) queda I
El resultado
= -
i f'(O) , Q.E.V.
para la energía de un átomo neutro de Thomas-Fermi
(100) es de suma importancia dado que Lieb
sulta exacta en el ¡£mite Z ~
oo.
...oceánica cuántica no relativista
& Simon(6) demostraron que re-
Es decir, coincide
con el resultado
en ese Imite, o sea, con el estado
TI.:.'ltal de la ecuaci6n de Schrtxlinger.
Además, se conjetura
de la
flUld.a-
que la (100) es
•
179
el término
dominante
de una serie asint6tica
empezando con 7, 6, 6,
rie,
o
••
,
de Z1/3.
en potencias
descendientes,
Una deducci6n heuristica de esta se-
a veces llamada de Thomas-Fermi-SCott y Schwinger (TFSS), proviene de
despreciar
la repulsi6n
cargas nucleares
electr6n-electr6n
positivas.
noide la energía total
Por la f6nnula
de Bohr para
lD1
y Z
~tomo hidroge-
será (en unidades de e'/a,)
1 2n'. [- fn,-J" -
E(Z) =
en el átomo con electrones
(103)
Z'N
n""l
donde 2n2 es la degeneraci6n
capas totalmente
r
Z
llenas.
Z n'
=
de la n-ésima
Por esto último
j N(N + I)(Z
y hay, digamos,
capa at6mica
también
N + 1) "
j N'
1
3,
.. -J
tendremos
+ N' +
N
la relaci6n
jN
(104)
n=l
Por desarrollo
Z-./,
binomial
[i]'
~
./,
~ rL
y, si irrJcrtimos la serie
a.
1 -:-r¡,
'"
Ñ
Z
N"'--
-
donde
31,
fl
+
[ 1
32,
33
de la Ec. (105) .
'"
E(Z)
Z»l
-::rT3
+
a
+
y
... I
Z'f'
J
+
+ _8_
a,
- 1.1447
son constantes
8.
Sustituyendo
Z7/'
(106)
... 1J
+
z'/'
7.'7'
•••
-,
a,
Z"
L
(105)
tenernos
a,
Z'h
a,
1
I-Z¡¡+3NN
N »1
en la Ec. (103) queda
+ 1
1
Z' - 0.0728
Z5/'
detcnninablcs
a partir
finalmente
+ •••
(107)
Este resultado heurístico es serrejanteal correcto, que sí tomaen cuenta
las repulsiones
E(Z)
z»
=1
electr6n-electr6n
- 0.768745
(serie
Z7/3 + ~ Z'
L.
TFSS)
0.2699
Z5/' ••••
(108)
180
obtenido por Plindov
ra el resultado
tras
&
Dimitrieva(7) y por SCh~inger(8).
l~ Fig. 6 compa-
de esta serie con las energías ~mpirica5 de los átomos ncu
(tomadas como las de HFpara Z> 17, donde el error con las energías
de Sdhr5dinger sería despreciable a la escala de la gr~fica).
ximo es ~7% y ocurre para la Z menores (9).
0.768745
THOMAS-
,
El error má-
FERMI
,
\\
0.7
,,
290-\_268
218 \-168
1
- El
(Q.
118-\ ..100
85\_75
65,_60
50.\_45
40A,_35
Zm 30-\ .-25
U,)
2(\~~,.-17
15~:
',0-12
0.6
10),,°,,_9
8,"-,.,1
~
~~~<
¡
SchrCidinQer
Hortree - Fock
Z
-,
0,8
0.9
.l/3
0.5+--~~-~-~~-~-~O
0,1
0.2
0.3
0.4
0,5
rige
Entre los defectos
principales
0.6
• 0.7
6.
de la teoría de Thomas-Fcrmi
es
que predice que un cúmulo de átomos no puede ligarse entre sí para fOlmar
una molécula
-teorema de Teller(lO,11).
la realidad física.
Esto por supuesto es contrario a
181
7.
f~mos visto
OONCWSIONES
a lo largo de esta monografía
tal del "campo medio" en la física cuántica
cientemente
rico como para ilustrar
nes de fase y las energías
. La estabilidad
da por el equilibrio
cIernen
que el concepto
de muchos cuerpus es lo sufi-
la estabilidad
estelar,
las transicio
de amarre de los átomos neutros .
de estrellas
~nanas y neutr6nicas
entre las atracciones
gravitatorias
qued6 establec~.
y
la presi6n
de
en el primer caso y los neutrones
un gas ideal de Fermi, de los electrones
Vimos ademns que esta prcsi6n no es capaz de impedir el c~
en el segundo.
lapso gravitacional,
por ejemplo,
si hubiese suficiente
en un agujero negro, que sería inevitable
masaen la estrella.
Laaproxl.m.lCi6n de lIartree-Fock
se plante6
para sistemas
termo<ii-
námicos (es decir, con un número muy grande de partieulas) y se ilustr6 la
posibilidad
de soluciones
mos la existencia
energía,
ilustrado
mas comúnmente
de transiciones
sino en la temperatura.
que describen
fases ordenadas.
de fase como puntos de bifurcación
a través del ejemplo
conocida
"cristales-líquidos
no triviales
del cristal-líquido.
no lo es en la densidad,
Vien la
La transici6n
como en nuestro
ejemplo,
No se excluye, sin embargo, la posibilidad
de
cunnticos" con transiciones en el estado flmdarnental,
es decir, a temperatura
absoluta
cero.
Finalmente deduj irnos la aproxirnaci6n
se maneja una sola funci6n.
la densidad
de
Tho1Tl3s4Fenn~,
en la que
local, en vez de N funciones
como
en la teoría de Hartn:e-Fock.
REFERENCIAS
1.
D.N. Ceperley,
& M.H. Kalos, en "Topies un Current Physies",
Vol. 7:
MaMe Cma Me.thacú-in s.tat,¿6t-ical PhyÚCA , ed. por K. Binder
(Springer-Ver1a9,
1979).
2. MeQuarrie
(1976).
3. L.D. Landau. & E.W. Lifshitz,.
Statil>tical Plty~-iCA, (Per9amon, 1958)
p. 334.
4. P.H. f'erte1, H. Narnhofer & W. Thirrin9,
Cammun. Matlt. Plty~. 28 (1972)
159.
5. M. de Llano, & A. P1astino,
PIty~. Rev., AI3(1976)
1633.
6. E.H. Lieb & B. Simon, Phy~. Rev. Lett., II (1973) 681; Adv. Math.• 23
(1977) 22.
7. G.1. Plindov & I.K. Dmitrieva,
Phy~. Lett., 64A (1978) 348.
182
8. J. Schwinger, Phy •. Rev. A22 (1980) 1827 24 (1981) 2353.
9. V.C. Aguilera-Navarro, M:-Qe Llano, O. RojCi& S.L.L. Verardi, J. Chem.
Phy •• , 77 (1982) 6131.
10. E. Teller, Rev. Mod. Phy'., 34 (1962) 627.
11. N. Balazs, Phy •• Rev., ~
(1967) 42.