guia3 - Eduardo Valenzuela Domínguez

Univ ersida d Técnica Federico Sa nt a M a ría
Pro ba bilida d y Est a díst ica M a t 0 4 1
Edua rdo Va lenzuela Do ming uez
Pa tricio Videla J imenez
Guía de Ejercicios 3
1.
Un jugador lanza dos monedas. Gana $10 ó $20 según aparezca una ó dos caras respectivamente.
Por otro lado pierde $50 si aparecen dos sellos. ¿Es favorable el juego para el jugador?.
2.
Una caja contiene 2 tarjetas rojas, 4 verdes y 6 negras, con la cual se realiza el siguiente juego. Un
jugador saca al azar una tarjeta de la caja, si la tarjeta es roja gana $200, si la tarjeta es verde gana
$50, y si la tarjeta es negra pierde cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es el máximo valor que el
jugador debería pagar por la tarjeta negra para al menos no tener perdidas con el juego?.
3.
Una rata ha sido entrenada para correr a través de un laberinto. Hay 5 posibles pasillos, uno sólo
lleva a través de él a un plato de comida. Supongamos que la rata escoge un pasillo al azar hasta
que encuentra el pasillo correcto. Sea R: nº de pasillos escogidos. Encuentre E(R) y V(R) si:
a.
b.
4.
No elige un pasillo incorrecto dos veces.
Puede elegir más de una vez un pasillo incorrecto.
Cierto vendedor de un producto petrolero vende una cantidad aleatoria x por día. Supóngase que x
(en galones), tiene una función de densidad de probabilidad dada por:
 3 x2

f X ( x)   8
 0

0  x  2
e.o.c
La ganancia del vendedor resulta ser $ 5 US por cada 100 galones vendidos si x < 1 y $ 8 US por
cada 100 galones si x > 1. Encuentre la ganancia esperada dl vendedor para cualquier día
especificado.
5.
Un agrónomo a observado ha través de los años, que la proporción T de tierra destinada a la
producción de flores de exportación, en la comuna de Hijuelas se encuentra adecuadamente
modelada por la siguiente función de distribución acumulada:
0
 2
F T (t )  t (3 - 2t )
1

a.
b.
t < 0
0  t  
t  
Halle la función de densidad de probabilidad fT(t) y la constante .
¿En qué porcentaje de los años se ha destinado más del 75% de la tierra a la producción de
flores?.
Univ ersida d Técnica Federico Sa nt a M a ría
Pro ba bilida d y Est a díst ica M a t 0 4 1
Edua rdo Va lenzuela Do ming uez
Pa tricio Videla J imenez
Halle la mediana de la distribución y compárela con la esperanza, interprete ambas en forma
adecuada.
La cantidad de dinero ahorrada (en miles de pesos), X, es considerada como una variable aleatoria
(Ahorro por persona en un mes), que tiene una función de probabilidad acumulada dada por la
siguiente función:
c.
6.
0
1
 x
2
1
F X ( x)  
2
1 x
4
1

a.
b.
x < 0
0  x  1
1 x  2
2  x  4
x  4
Grafique la función de distribución acumulada de X.
Determine la probabilidad de que en un mes la cantidad de dinero ahorrada sea:
b.1 Superior a $ 2 000.
b.2 Inferior a $ 4 500.
b.3 Superior a $ 500 y menor o igual a $ 2 500.
7. Una gasolinera recibe bencina una vez por semana. Si su volúmen de venta en miles de
litros se puede modelar por la f.d.p.

5 (1  x)4
f (x) = 

 0
a.
b.
8.
si 0  x  1
e.o.c.
Determine la capacidad del depósito de la gasolinera de forma que la probabilidad de
que se agote la bencina en una semana determinada sea 5%.
Si los ingresos se pueden estimar por la función aleatoria Y = 10X + 100 (M$). Calcular
E[Y] y V[Y]. Interprete.
La distribución de probabilidad de X, el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética
en rollos continuos de ancho uniforme, es:
a.
b.
c.
X
0
1
2
3
4
P[X = x]
0.41
0.37

0.05
0.01
Determine la constante .
Realice una gráfica de la distribución de probabilidad de X.
Encuentre las siguientes probabilidades:
c.1 P [X > 3].
c.2 P [X = 6].
c.3 P [X > 1 / X < 3].
c.3 P [1 < X  4].
Univ ersida d Técnica Federico Sa nt a M a ría
Pro ba bilida d y Est a díst ica M a t 0 4 1
c.3
9.
P [X = 2 / X = 3].
Un embarque de 8 microcomputadoras similares que se envía a un distribuidor contiene tres
aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra de dos de estas computadoras, encuentre:
a.
b.
c.
10.
Edua rdo Va lenzuela Do ming uez
Pa tricio Videla J imenez
La función de distribución de probabilidad para el número de microcomputadoras defectuosas.
La función de distribución acumulada para el número de microcomputadoras defectuosas.
Determine las siguientes probabilidades:
c.1 P [D = -1].
c.2 P [D > 2].
c.3 P [D  1].
Considere una variable aleatoria X, con función de distribución definida en el gráfico siguiente:
Fx(x )
1
0,8
0,6
0,4
0,2
x
0
-1
a.
b.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
¿Es X una variable aleatoria discreta o continua?. Justifique.
Determine el valor de las siguientes probabilidades:
 P [X = 4]
 P [X  3]
 P [X = 1]
 P [5.5  X  7.5]
11. Artex Computers ha recibido un contrato para fabricar dos sistemas de computación X–60 para una
universidad japonesa. El contrato establece que Artex recibirá 150 millones de yenes dentro de seis
meses, al entregar las computadoras. La tasa actual de cambio es de 150 yenes por dólar; sin
embarga hay ciertas preocupaciones en los mercados financieros acerca del valor de yen a futuro.
Esta situación se refleja en el mercado de divisas a futuro, en donde se pueden comprar o vender
yenes ‘adelantados’ seis yenes a una tasa de 155 yenes por dólar. Específicamente, Artex puede
vender ‘barato’ los 150 millones de yenes y recibir ahora 967 000 dólares. El tesorero de Artex ha
asignado las siguientes probabilidades a la tasa de cambio dentro de seis meses:
Tasa de cambio (yenes por dólar)
140
150
160
170
Probabilidad
0.10
0.60
0.20
0.10
Univ ersida d Técnica Federico Sa nt a M a ría
Pro ba bilida d y Est a díst ica M a t 0 4 1
Edua rdo Va lenzuela Do ming uez
Pa tricio Videla J imenez
Suponiendo que Artex está dispuesta a usar el valor medio esperado como criterio de decisión,
¿debe vender los yenes ahora (en mercados a futuro) o esperar a que reciba el pago dentro de
los próximos seis meses?.
b. Sería el valor medio esperado un criterio razonable para este problema.
12. Suponga que un tendero se enfrenta al problema de determinar cuantas cajas de leche debe tener en
existencia para satisfacer la demanda del día siguiente. Suponga que la leche que no se venda en el
día representará una pérdida total para el tendedero. Además, la demanda insatisfecha no tiene
mayor costo que la venta perdida; pero el cliente insatisfecho regresará. Suponga que el tendero en
cuestión ha llevado un registro de las ventas en el pasado como se muestra a continuación:
a.
Demanda total por día
Número de días en los que
se registró la demanda
25 cajas
26 cajas
27 cajas
28 cajas
20
60
100
20
El precio de compra (costo variable) es de $8 por caja, mientras que el precio de venta es de $10
por caja. De acuerdo con los antecedentes entregados:
a. Elabore una tabla que muestre los costos de oportunidad asociados a problema (mantener en
inventario menos de las que podría vender).
b. Evalúe cual es la mejor decisión que debe tomar el tendero, sobre la base de el mínimo costo de
oportunidad esperado.
c. Evalúe cual es la mejor decisión que debe tomar el tendero, sobre la base de la utilidad
esperada.
d. ¿Qué decisión escogería Ud. la obtenida en b o en c?. Muestre las alternativas del tendedero en
un diagrama de árbol.
13. Sea X una v. a. con función de cuantía de probabilidad dada por:
1

f X ( x) =  3

0
a.
b.
c.
d.
x = 1, 2, 3
e.o.c.
Encuentre la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y = 2X – 1.
Determine la esperanza y varianza de X.
Determine la esperanza y varianza de Y.
Determine la Probabilidad:
d.1 P [Y = 5]
d.2 P [Y  5]
d.3 P [Y  6  Y > 1]
14. La utilidad de un distribuidor, en unidades de $ 1 000, en la venta de un nuevo automóvil es
Y = X2, donde la variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad dada por:

2(1 - x)
f X ( x) = 

0
0 < x <1
e.o.c.
Univ ersida d Técnica Federico Sa nt a M a ría
Pro ba bilida d y Est a díst ica M a t 0 4 1
a.
b.
Edua rdo Va lenzuela Do ming uez
Pa tricio Videla J imenez
Encuentre la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y.
Utilizando la función de densidad de Y, encuentre la probabilidad de que la utilidad sea menor
a $250 en el siguiente automóvil que venda este distribuidor.