guia5 - Eduardo Valenzuela Domínguez

Univ ersida d Técnica Federico Sa nt a M a ría
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Edua rdo Va lenzuela Do ming uez
Pa tricio Videla J imenez
Guía de Ejercicios 5
1.
Sólo el 30% de la población de una gran ciudad, piensa que el sistema de trámite masivo es el
adecuado. Si 20 personas son seleccionadas aleatoriamente de dicha población.
a.
b.
2.
Encuentre la probabilidad de que cinco o menos, piensen que el sistema es el adecuado.
Encuentre la probabilidad de que exactamente 6 piensen que el sistema es el adecuado.
Un psicólogo piensa que sólo la mitad de los alumnos de cuarto medio, que tienen la aptitud para ir
a la universidad, realmente van a la universidad. De un grupo de 17 alumnos de cuarto medio que
tienen la aptitud para ir a la universidad.
Encuentre la probabilidad de que 10 o más alumnos ingresen a la universidad. Asumiendo que
el pensamiento del psicólogo es correcto e independencia entre los eventos.
b. Encuentre el número esperado de la variable definida.
a.
3.
A partir de los registros históricos de una empresa, se ha estimado de que la probabilidad de que se
venda en un día más de 10 de sus artículos es de 0,2. Indique la probabilidad de que la venta de
más de diez de sus artículos ocurra al menos una vez en los próximos cinco días.
4.
Para estudiar la efectividad de un insecticida (sobre un particular tipo de insecto), una gran área fue
cubierta con el insecticida. Luego de un tiempo se inspecciona el área, para lo cual se escogieron
aleatoriamente regiones cuadradas previamente trazadas, contándose en ellas la cantidad de
insectos vivos por cuadrados. Experiencias pasadas con el insecticida, han demostrados que la
cantidad de insectos vivos por cuadrados, después de esparcir el insecticida es 0,5. También se ha
observado que la cantidad de insectos vivos por cuadrados puede modelarse por la función de
distribución de probabilidad Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en un cuadrado seleccionado
aleatoriamente, contenga...
a.
b.
c.
d.
Exactamente un insecto vivo?.
Ningún insecto vivo?.
Exactamente cuatro insecto vivo?.
Al menos cuatro insecto vivo?.
5.
Suponga que el 30% de los árboles de la V Región están afectados por cierto parásito. ¿Cuál es la
probabilidad de 18 que tiene que examinar un inspector en una mañana, más del 60% de estos
estén infectados?.
6.
Lotes de cuarenta componentes, cada uno se considera aceptable si no contiene más de tres
defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar cinco componentes al
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7.
azar y rechazar el lote si se encuentra al menos un componente defectuoso. ¿Cuál es la
probabilidad de que el lote sea rechazado si hay tres defectuosos en todo el lote?.
Un sufrido automovilista sabe que el promedio de hoyos por cuadra en su ciudad es de 7,2.
Encuentre la probabilidad que en un cuarto de cuadra seleccionada al azar se encuentre.
a.
b.
c.
8.
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Exactamente 4 hoyos.
A lo más 4 hoyos.
A lo menos 4 hoyos.
Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos
antes de ser embarcados. Se preparan cajas de 25 artículos para embarque y se selecciona una
muestra de 3 para verificar si tiene alguno defectuoso. Si se encuentra alguno, la caja entera se
regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso la caja se embarca.
¿Cuál es la probabilidad de que se realice el embarque si una caja que contiene 3 artículos
defectuosos?.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene un artículo defectuoso se rechace?.
a.
9.
Basándose en experiencias previas, se ha logrado establecer que la probabilidad aproximada, de
que un animal de laboratorio responda en forma positiva cuando se le somete a cierto estímulo es
de 0,2. Se realiza el siguiente experimento: se aplica el estimulante hasta que el animal responda
positivamente, de ser así, se termina el experimento.
Encuentre la probabilidad de que sean necesarios exactamente cinco ensayos para conseguir
una respuesta positiva.
b. Encuentre la cantidad esperada de ensayos necesarios.
a.
10. Si se considera que la probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria
es 0,002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de cinco de las próximas 2 000 personas
infectadas.
11. En un estudio invernal de una tienda, se determina que un artículo se pide en promedio cinco veces
por semana (de cinco días). ¿Cuál es la probabilidad de que en un día específico, el artículo ...
a.
b.
sea pedido más de cinco veces?.
no sea pedido?.
12. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a dos canadienses, tres japonés, cinco
italianos y dos alemanes. Si se selecciona un comité de cuatro estudiantes aleatoriamente,
encuentre la probabilidad de que ...
a.
estén representadas todas las nacionalidades.
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estén representadas todas las nacionalidades excepto de italiana.
13. Los accidentes graves en una planta industrial ocurren al azar en el tiempo. Para el número de
accidentes, se incorpora un plan efectivo que considere reducir el número de accidentes en la
planta. Un año después de ponerlo en marcha; sólo han ocurrido cuatro accidentes.
b.
a.
b.
¿Qué probabilidad hay de 4 o menos accidentes por año, si la frecuencia promedio aún es 10?.
Después de lo anterior. ¿Puede concluirse que, luego de un año, el número de accidentes
promedio ha disminuido?.
14. De una cierta región se sabe, por experiencia acumulada, que la probabilidad de que ocurra una
tormenta en un día cualquiera de Enero o Febrero es de 0,1. Suponga independencia entre los
eventos de que ocurra en uno u otro día. (Considere Enero 31 días, Febrero 28 días).
a.
b.
c.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera tormenta ocurra el 3 de Febrero?.
¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran tormentas en Enero y Febrero?.
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente tres tormentas en dos meses?.
15. En una caja hay 100 artículos de los cuales 10 tienen una marca que los identifica. Se extrae una
muestra de cinco, se observa si aparecen artículos marcados y se vuelven a la caja, después de un
tiempo se repite el proceso. Si se repite 20 veces el proceso.
a.
b.
c.
¿Cuál es la probabilidad que en diez muestras no aparezcan artículos marcados?.
¿Cuál es la probabilidad que al menos seis muestras tengan artículos marcados?.
Determine el número esperado de muestras, para obtener una de éstas con cuatro artículos
marcados.
16. Un fabricante de ciertas piezas de computadoras garantiza que una caja de sus piezas, contiene
como máximo dos piezas defectuosas. Sabiendo que cada caja contiene 20 piezas y que la
experiencia ha mostrado que su proceso de manufactura produce un 15% de piezas defectuosas.
¿Cuál es la probabilidad de que la caja satisfaga la garantía?.
17. El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una v. a. con distribución
Poisson, con un promedio de ventas de 48 vehículos al mes (se trabaja seis días a la semana).
a.
b.
¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?.
El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de 60 U.F., si
vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F., y si no vende vehículos pierde 15
U.F. ¿Cuál es la ganancia esperada neta?.
18. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es 0.8. Suponga que se hacen ensayos hasta que han
ocurrido tres éxitos.
a.
b.
¿Cuál es la probabilidad que sean necesarios seis intentos?.
¿Cuál es la probabilidad que sean necesarios menos de seis intentos?.
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¿Cuál es el numero esperado de intentos necesarios?.
19. Cada vez que se hace un experimento, la ocurrencia de un suceso particular ‘A’ es igual a 0.2. El
experimento se repite, independientemente hasta que ocurra ‘A’. Calcule la probabilidad de que
sean necesario realizar un cuarto experimento para que ocurra el suceso ‘A’.
c.
20. Suponga que el 65% de una particular raza de ratas, cuando es inyectada con una dosis de
estimulante, muestra un comportamiento agresivo. Un experimentador aplica el estimulante a
cuatro ratas, una después de otra y observa la presencia o ausencia de agresividad en cada uno de
los casos. Determine las siguientes probabilidades (bajo el supuesto de independencia entre las
probabilidades de agresividad de las ratas).
a.
b.
c.
Dos o más ratas son agresivas.
La primera rata es agresiva y la tercera rata es no agresiva.
Exactamente dos ratas agresivas.
21. X e Y denotan dos variables aleatorias, cada una con una distribución Binomial con los parámetros
que se indican a continuación: X  B(2, p) e Y  B(4, p).
Si se sabe que  [X  1] = 5/9. Encuentre  [Y  2].
22. Suponga que en un volumen unitario existen m moléculas de la sustancia ‘A’ y n de la sustancia
‘B’. m y n son números grandes. Debido a colisiones dentro del volumen unitario, hay moléculas
que son rechazadas aleatoriamente hacia el exterior y son capaces de reingresas. Estos sucesos son
independientes. Encuentre la posibilidad de que ...
a.
b.
c.
Las primeras dos moléculas rechazadas, sean de la sustancia ‘B’.
La tercera molécula rechazada sea de la sustancia ‘B’.
La segunda molécula rechazada, sea de la sustancia ‘A’, si es que se sabe que la primera fue
una molécula de la sustancia ‘B’.
23. La cantidad de partículas emitidas por una fuente radioactiva, durante un período de tiempo
específico sigue una Distribución de Probabilidad Poisson. Si se tiene como antecedente que la
probabilidad de que no ocurra ninguna emisión es de 1/3, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran
dos o más emisiones?.
24. La cantidad de accidentes automovilísticos registrados diariamente en una cierta ciudad en una
muestra de 100 días consecutivos es la siguiente:
Cantidad de Accidentes
Número de Días
0
19
1
26
2
26
3
15
4
9
Asumiendo que los accidentes se presentan al azar (ley Poisson), determine:
a.
b.
c.
Número promedio de accidentes diarios.
Probabilidad de tener a lo más 2 accidentes en un día.
Probabilidad de que en una semana en tres días hallan accidentes.
5
4
6
1
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Número esperado de días para que se presente algún accidente.
25. Se tendieron mil trampas para langostas, en las que se atraparon mil doscientos de estos crustáceos.
Bajo el Supuesto que el número de langostas por trampa es una variable aleatoria Poisson. ¿Cuál es
la probabilidad ....
d.
a.
b.
c.
d.
Una trampa no tenga ninguna langosta?.
Una trampa contenga dos o más langostas?.
¿Cuál es el número esperado de trampas que contengan exactamente una langosta?.
Si se sacan al azar 80 trampas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos el 90% de ellas
contenga alguna langosta?.
26. Se observa una fuente radioactiva durante 8 intervalos de 6 segundos de duración cada una y se
registra la cantidad de partículas emitidas durante estos períodos. Por experimentos previos, se
piensa que la cantidad de partículas emitidas en intervalos de dos segundos, siguen una distribución
Poisson con un promedio de una partícula por intervalo. Determine la probabilidad de que...
a.
b.
En exactamente uno de estos ocho intervalos, se emitan más de dos partículas.
En exactamente tres de estos ocho intervalos, se emitan al menos de dos partículas.
27. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicas. La decisión para
aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base en una muestra aleatoria de 100
unidades. El lote se rechaza al encontrar tres o más defectuosos en la muestra.
a.
b.
¿Cuál es probabilidad de rechazar un lote si éste contiene un 1% de componentes defectuosos?.
¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8% de unidades defectuosas?.
28. Suponga que un sistema contiene cierto componente cuyo tiempo de falla (en años) está dada por la
variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla  = 5. Si cinco de
estos componentes se instalan en diferentes sistemas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos
continúen funcionando después de 8 años?.
29. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería en una variable
aleatoria que tiene distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad
de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos uno de los 6 días
siguientes?.
30. El período de vida de una bacteria (medida en hrs.) es una variable aleatoria con distribución
exponencial 1/12.
Calcular la probabilidad que una bacteria muera durante las doce primeras horas de vida.
Si se toma una m.a. de 15 de estas bacterias. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 3 duren
más de doce horas de vida?.
c. Si se toma una m.a. de 150 de estas bacterias. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 5
duren más de 36 horas de vida?.
a.
b.
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RESPUESTAS
1.-
a.
0,416
b.
0,192
3.-
0,6723
4.-
a] 0,3033
5.-
0,0061
7.-
a] 0,0723
b] 0,9636
9.-
a] 0,0819
b] 5
10.- 0.6288
11.- a] 0,0006
b] 0,3679
12.- a] 4/33
b] 8/165
13.- a] 0,0293
b] Sí
14.- a] 0,0031
b] 0,0020
c] 0,0890
15.- a] 0,1325
b] 0.750
c] 4000
17.- a] 0,5413
b] 40,38
b] 0,6065
c] 0,0016
2.-
a.
0,3145
6.-
0,3375
8.-
a] 77/115
c] 0,1087
18.- a] 0,0410
b] 0,9421
c] 0.7500
19.- 0,1024
20.-
b] 0,2275
c] 0,3105
21.- 11/27
22.- a] (n(n - 1))/((n + m)(n + m + 1))
b] n/(n + m)
c] m/(n + m + 1)
23.- 0,3005
24.- a] 1,9
b] 0,7037
c] 0,0108
d] 1 ó 2
25.- a] 0,3012
b] 0,3374
c] 361
d] 0,00
26.- a] 0,0112
b] 0,0090
27.- 0.0007
29.- 0.9889
30.- a] 0.6321
b] 0.0922
c] 0.1094
8ó9
d] 0,9998
16.- 0,4049
a] 0,8735
b.
b] 3/25