SOLUCION GENERAL PARA LAS RESPUESTAS NATURAL Y

SOLUCION GENERAL PARA LAS RESPUESTAS NATURAL Y FORZADA
t=0
t =0
t =0
+
Is = I0
v(t)
R
C
-
t =0
R
+
-
V0
Vs = V0
+
-
L
i(t)
CIRCUITO RC
I0
CIRCUITO RL
Los interruptores de los circuitos RC y RL respectivamente cambian de posición en t=0,
ocasionando que los elementos de almacenamiento de energía se comporten de la siguiente
forma:
t<0,
Carga del capacitor vc(0-)
t<0,
Carga del inductor iL(0-)
t=0,
vc(0)=vc(0+)=vc(0-)=V0
t=0,
iL(0)=iL(0+)=iL(0-)=I0
t>0,
Respuesta forzada
t>0,
Respuesta forzada
Existe una respuesta forzada debido a la fuente independiente de corriente y de voltaje
respectivamente. Para demostrarlo, se aplican la leyes de Kirchoff de la siguiente manera:
LCK, en el nodo superior:
C
LVK, alrededor del lazo:
dv v
+ = I0
dt R
L
dividiendo la ecuación entre C:
di
+ Ri = V0
dt
dividiendo la ecuación entre L:
I
dv
v
+
= 0
dt RC C
V
di R
+ i= 0
dt L
L
Se observa que ambas ecuaciones son del tipo:
dx x
+ =k
dt τ
En este caso k representa a la respuesta forzada, pero cuando k es cero se tiene entonces a la
respuesta natural del circuito.
Cuando x alcanza su valor final (estado estable), es decir, cuando x se hace constante,
entonces
x
dx
= 0 , por lo que al sustituirlo en la ecuación: 0 + = k , se obtiene a x f = kτ ,
τ
dt
donde x f representa al valor final de la variable.
Resolviendo la ecuación, se tiene:
t0=Tiempo de conmutación
dx
x
=− +k
τ
dt
(x − kτ )
dx
=−
τ
dt
τ=Constante de tiempo
Sustituyendo a x f = kτ
Por lo que para para un circuito RC:
(x − x f )
dx
=−
dt
τ
dx
1
= − dt
τ
x − xf
v(t ) = v(∞ ) + v 0 + − v(∞ ) e
Para un circuito RL:
Integrando ambos miembros:
Se hace la observación que si no existiera
[( )
[( )
x (t )
du
1 t
= − ∫ dv
x t0 ) u − x
τ t0
f
x(t 0 ) − x f
=e
x(t ) = x(t 0 )e
(t −t0 )
−
τ
,τ=
L
R
τ
]
−
vC (t ) = vC (t 0 )e
(t −t0 )
τ
[( )
i L (t ) = i L (t 0 )e
]
o bien: x(t ) = x(∞ ) + x 0 + − x(∞ ) e
−
x(t)=Respuesta completa o total
(t −t0 )
τ
(t −t0 )
τ
τ
respuestas Completa=Forzada+Natural y
las variables:
−
−
(t −t 0 )
Esta última ecuación representa a las
x(0+)=Valor inicial
(t −t 0 )
, τ = RC
Por lo que:
x(t ) = x f + x(t 0 ) − x f e
x(∞)=Valor final
τ
(t −t0 )
τ
[
(t −t 0 )
entonces:
1
1
= − t + t0
τ
τ
x(t 0 ) − x f
−
−
−
en este caso la respuesta forzada,
x(t ) − x f
x(t ) − x f
]
i (t ) = i (∞ ) + i 0 − i (∞ ) e
+
∫(
ln
]
NOTA:
En muchos casos el tiempo de
conmutación t0 no siempre es igual a
cero.