RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

IES “DIEGO GAITÁN”
Departamento de Matemáticas
José Antonio Ortega Ortega
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con
a≠0
1. Identificación de coeficientes:
Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta complicado
identificar los coeficientes a, b y c. Sin embargo, es muy fácil. Presta atención
a los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
1) En las siguientes ecuaciones de segundo grado identifica los coeficientes a, b
y c:
a) 2x 2 + 3x + 1= 0
b) x 2 – 2x + 5 = 0
c) – 5x 2 + 4x – 2 = 0
d) – 2 x 2 + x – 4 = 0
e) x 2 – 9 = 0
f) x2 + 5x = 0
→
→
→
→
→
→
solución:
a=2 ;
b=3 ;
c = 1.
solución:
a=1 ;
b = – 2; c = 5 .
solución:
a =– 5 ;
b = 4 ; c = –2 .
solución:
a =– 2 ;
b=1
solución:
a=1 ;
b=0 ;
c= – 9 .
solución:
a=1 ;
b=5 ;
c= 0.
; c = –4.
Las ecuaciones como las a), b), c) y d), se dice que son completas porque
ninguno de sus coeficientes es cero.
Las ecuaciones como la e) y la f), se dice que son incompletas porque alguno
de sus coeficientes es cero.
(Nota: el coeficiente 'a' nunca puede ser cero pues si lo fuera, la ecuación no
sería de segundo grado)
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2.Tipos de ecuaciones de segundo grado:
Una ecuación de segundo grado puede ser completa o incompleta. En el
siguiente cuadro puede verse claramente la clasificación de ecuaciones de
segundo grado.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ax 2bxc=0, con a≠0
{
{
2
Incompletas 1  b=0  ax 2 c=0
2  c=0  ax bx=0
Completas : b≠0 y c≠0
Vamos a empezar por resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas.
Los métodos de resolución son distintos según que sea b=0 ó c=0.
3.Resolución de la ecuación incompleta
3.1 La ecuación
Para resolver:
ax2 + c = 0.
1º) despejamos x2
2º) tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros.
ax 2c=0  ax 2=−c  x 2=

−c
−c
 x=±
a
a
3.2 La ecuación ax2 + bx = 0.
Para resolver:
1º) extraemos factor común
2º) igualamos a cero cada factor.
ax 2bx=0  x axb=0 
{
x1= 0
 PRIMERA SOLUCIÓN
−b
axb=0  x 2=
a
 SEGUNDA SOLUCIÓN
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Veamos ahora casos concretos de resolución de ecuaciones de los dos tipos.
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x – 4 = 0
2
→
x =4
2
→
x=± 4
→
{
{
x 1= 2
x 2=−2
x 1= 3
b) x 2 – 9 = 0
→
x2 = 9
→
x=± 9
→
c) x2 + 25 = 0
→
x 2 =– 25
→
x=±−25
→ NO HAY SOLUCIÓN.
d) 2x 2 – 32 = 0
→
2x 2 = 32
→
x 2 = 16
y por tanto
e) x – 3x = 0
2
f) x 2 + 5x = 0
g) 3x + 9x = 0
2
h) 2x + 7x = 0
2
→
→
→
→
x(x – 3) = 0
x(x+5) = 0
x(3x+9) = 0
x(2x+7) = 0
→
{
→
{
→
{
→
{
→
x 2=−3
x=± 16
→
{
x 1= 4
x 2=−4
x 1= 0
x−3=0  x 2=3
x 1= 0
x5=0  x 2=−5
x 1= 0
−9
3 x9=0  3 x=−9  x= =−3
3
x 1= 0
−7
2 x7=0  2 x=−7  x= =−3.5
2
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4.Resolución de la ecuación completa
Para hallar el valor de x que satisface la igualdad, usamos una fórmula cuya
justificación no vamos a ver. Nuestro interés es sólo comprobar que la fórmula
funciona:
−b±  b2−4 · a · c
x=
2a
Esta fórmula parece complicada pero el uso nos hará ver que no lo es tanto.
Sobre la fórmula es preciso hacer algunas apreciaciones:
1º) En la fórmula aparece el término '– b'. Esto significa que se cambia el signo
del coeficiente b. No cambiar este signo es uno de los errores más frecuentes al aplicar
esta fórmula.
2º) En la fórmula aparece el símbolo '±'. Quizá sea la primera vez que ves este
símbolo. Esto significa que se toman los dos valores de la raíz, el positivo y el negativo.
En vez de escribir dos veces la misma expresión una con signo más y otra con signo
menos, se escribe así para economizar. Para que lo veas más claro, escribiremos las dos
soluciones:
−b  b2−4 · a · c
x 1=
2a
−b−  b2−4 · a · c
x 2=
2a
3º) Número de soluciones: Según que la expresión que está dentro de la raíz sea
mayor que cero, igual a cero o menor que cero, se distinguen tres casos. La expresión de
dentro de la raíz 'b2 – 4ac' se llama discriminante de la ecuación. Se suele representar
por el símbolo 'Λ'. De esta forma, tenemos:
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Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones:
x 1=
−b  b2−4 · a · c
2a
x 2=
−b− b2−4 · a · c
2a
−b
2a
Si b2 – 4ac = 0, sólo hay una solución: x1 = x2=
Si Si b2 – 4ac < 0, no es posible calcular la raíz
cuadrada  b2−4 ac pues el radicando es negativo.
Veamos ahora ejemplos de resolución de ecuaciones completas:
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x 2 – 4x + 3 = 0
SOL:
−−4±  −42−4 ·1· 3 4±  16−12 4±  4 4±2
x=
=
=
=
= 
2·1
2
2
2
{
42 6
= =3
2
2
4−2 2
x 2=
= =1
2
2
x 1=
b) x 2 – 6x + 9 = 0
SOL:
−−6±  −62−4 · 1 · 9 6±  36−36 6±  0 6±0
x=
=
=
=
= 
2 ·1
2
2
2
(SOLUCIÓN DOBLE)
{
60 6
= =3
2
2
6−0 6
x 2=
= =3
2
2
x 1=
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c) x 2 + x +1 = 0
SOL:
−1±  12−4 · 1 ·1 1±  1−4 1± −3
x=
=
=
= NO TIENE SOLUCIÓN
2 ·1
2
2
d) 4x 2 + 4x + 1 = 0
SOL:
−4±  4 2−4 · 4 ·1 −4±  16−16 −4±  0 −4±0
x=
=
=
=
= 
2· 4
8
8
8
(SOLUCIÓN DOBLE)
{
−40 −4 −1
=
= =−0.5
8
8
2
−4−0 −4 −1
x 2=
=
= =−0.5
8
8
2
x 1=
e) 6x 2 –x –1 = 0
SOL:
−−1±  −12−4 · 6 ·−1 1±  124 1±  25 1±5
x=
=
=
=
= 
2· 6
12
12
12
{
15 6 1
= = =0.5
12 12 2
1−5 −4 −1
x 2=
=
=
12
12
3
x 1=
f) 2x 2 –3x + 3 = 0
SOL:
x=
−−3±  −32−4 · 2 · 3 3±  9−24 3± −15
=
=
= NO TIENE SOLUCIÓN
2· 2
4
2
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EJERCICIOS SOBRE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1) x 2 – 144 = 0
2) 5x 2 + 20 x = 0
3)2x 2 – 6x = 0
4)5x 2 = 2x
5) 3x 2 – 27 = 0
6) 5x 2 – 125 = 0
7) 2x 2 + 8x = 0
8) x2 – 9 = 40
9) 9x 2 – 1 = 0
10) 3x 2 – 6 = 0
11) 2x2 = 8
12) 3x2 + 12 = 312
13) x 2 – 9x + 14 = 0
14) 9x2 + 6x + 1 = 0
15) x2 –5x + 12 = 0
16) x(x+ 5) = 0
17) 2x(3x + 2) = 0
18)5x(x – 18) = 0
19) 15x 2 + 2x – 8 = 0
20) (2x – 3)(2x + 3) –x(x – 1) =5
21) (2x + 1)2 =1 + (x +1)(x – 1)
22)2(x2 – 1) + 3x = 4x2 – x
23) 3x(x – 2) + 4 = 2x2 – 1
24)
x 2−1 x 2−2 x1
=
3
2
26)
x x−3 x x−2 3 x – 22

=
−1
2
4
8
25) x 2 5 x
1
 =x –
2
3
6