unidad i: funciones y limites - Inicio

Escuela de Economía – UTPL
Cálculo I
Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca
UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES
Iniciamos el estudio del cálculo haciendo un repaso de funciones y gráficas, para luego
introducirnos en el estudio de los limites. Esta unidad consta en el texto base, en el
capítulo I, al final del mismo existen un resumen, trabajo de ensayo llamado
“Reflexione a cerca de” y problemas de repaso. Para profundizar el desarrollo de esta
materia le sugiero realizar los ejercicios del trabajo de ensayo, que nos ayudará con los
contenidos.
Funciones
Los objetivos fundamentales que manejaremos en el cálculo infinitesimal son
FUNCIONES, así que el estudio del cálculo se inicia repasando las ideas básicas acerca
de éstas, sus gráficas y las formas de combinarlas. Debo recordarle que en el tema de
funciones Ud. Lo estudió ampliamente en la asignatura de Matemática que se imparte
en la carrera de Economía en el primer semestre; por lo que haremos un breve repaso
para afianzar lo fundamental y lo necesario para la asignatura que está empezando a
estudiar. Además, los conceptos del cálculo se comprenden más fácilmente con la
ayuda de gráficas, por lo que es necesario conocer, dibujar e interpretar las gráficas de
las funciones más usadas con la finalidad de que economice tiempo.
Definición
Una función se puede entender como una relación en la cual a cada elemento del
conjunto de partida se le hace corresponder un elemento del conjunto de llegada. Con
este antecedente definimos a la función como un conjunto de parejas ordenadas (x,y),
en la cual el valor de x no se puede repetir en ningún otra pareja ordenada.
Por lo tanto, una función x a y es una relación con la propiedad que si dos pares
ordenados tienen el mismo valor de x, entonces también tienen el mismo valor de y.
La variable x se denomina variable independiente y la variable y se denomina variable
dependiente.
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igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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El conjunto x se llama Dominio de f. El número y se denomina la imagen de x por f y se
denota por f(x). El Recorrido o Rango de f se define como el subconjunto de y formado
por todas las imágenes de los números de x.
Para recordar:
Sr. Estudiante es necesario que tenga presente la siguiente la notación de funciones
La variable dependiente => f(x) = y
La variable independiente => x
El símbolo f(x) se lee “f de x”.
La notación de funciones permite ahorrar palabras, en lugar de preguntar ¿Cuál es el
valor de y que corresponde a x=2 ?, se puede preguntar ¿Cuánto vale f(2)?.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
En el texto base en el capitulo uno tenemos ejemplos, en donde se ilustra cómo se
utiliza la notación funcional en detalle.
Funciones usadas en economía
Los economistas usan frecuentemente las funciones C, A, R y P definidas como a
continuación se detalla.
Función de demanda: D(x) = Precio de un articulo, por x unidades demandadas.
Función de costo: C(x) = Costo de producción de x unidades.
Función costo medio: A(x) = C(x) / x = Costo medio de producción de una unidad.
Función de Ingreso: R(x) = Percepción por la venta de x unidades.
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Función de utilidad: P(x) = R(x) – C(x) = Utilidad (o ganancia) por la venta de x
unidades.
Para utilizar el cálculo, se supone que x es un número real, aunque en general esta
variable toma sólo valores enteros. Se supone siempre que x > 0, ya que la producción
de un número negativo de unidades no tiene sentido en la práctica.
Vamos analizar un
ejemplo.
Ejemplo 1.
Un fabricante de grabadoras portátiles tiene un costo fijo mensual de $10.000, un
costo de producción $12 por unidad y un precio de venta de $20 por unidad.
a) Calcular C(x), A(x), R(x) y P(x)
b) Determinar los valores de las funciones en el literal a) para x=1.000.
c) Cuántas unidades deben fabricar para no salir perdiendo.
Solución
Para dar solución al ejemplo planteado verifiquemos los datos proporcinados:
Costo de producción = 12
Costo fijo mensual = 10.000
Costo mensual total cuando se fabrican x unidades = C(x) = 12x + 10.000
Precio de venta = 20
Entonces podemos dar solución a cada literal:
a)
A(x) = C(x) /x reemplazando tenemos
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A(x) = (12x + 10.000) / x
A(x) = 12 + (10.000) / x
R(x) = 20 x
P(x) = R(x) - C(x)
P(x) = 20 x – ( 12 x+ 10.000 )
P(x) = 8x - 10.000
b)
Sustituyendo x = 1.000 en el literal a) tenemos
C(1.000) = 22.000 (costo de fabricación de 1.000 unidades)
A(1.000) = 22 (costo de fabricación por unidad)
R(1.000) = 20.000 (ingreso total por la venta de 1.000 unidades)
P(1.000) = -2.000 (Utilidad en la fabricación y venta de 1.000 unidades)
Nótese que el fabricante tendría una perdida de $ 2.000 por mes si se
fabricarán y vendieran solamente 1.000 unidades
c)
Para que no haya pérdida, la ganancia mínima debe ser cero, es decir , 8x-10.000
= 0 esto da 8x = 1.000 o bien x=1500.
Por lo tanto, para el punto de equilibrio (no salir perdiendo) es necesario producir y
vender 1500 unidades al mes.
Una vez que hemos analizado estos ejemplos, será fácil la resolución de otros ejemplos
que se presentan en el texto básico, haciendo uso de las indicaciones sugeridas en esta
guía.
¡Continuemos con los contenidos!
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Composición de Funciones
Sean f y g dos funciones, la función dada por (fog)(x) = f(g(x)) se llama función
compuesta de f con g. El dominio de fog es el conjunto de todos los x del dominio de g
tales que g(x) pertenece al dominio de f.
Tenga presente
.
La función composición de f con g no suele ser igual a la de g con
f, porque por lo general no se cumple la propiedad conmutativa.
Debe tomar en cuenta el orden en el que se dan las funciones
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Ejemplo 2.
g(x)=2x+1
x
f(x)=-x
1
-1
-1
2
-2
-3
3
-3
-5
Ejemplo 3. 1
Halle la función compuesta f(g(x)) de f (u ) = u 2 + 4 g ( x ) = x − 1 .
Solución
Lo que tenemos que hacer es reemplazar en la función f la función g.
f(g(x)) = ( x − 1) 2 + 4 = x 2 − 2 x + 1 + 4 = x 2 − 2 x + 5
Por tanto la función compuesta es x 2 − 2 x + 5
Gráfica De Una Función : La grafica de una función está formada por todos puntos
(x(f(x))), donde x pertenece al dominio de f. Observe que x significa distancia dirigida
1
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, Pág.10
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desde el eje y (eje vertical), y f(x) significa distancia dirigida desde el eje x (eje
horizontal).
Para Recordar:
Estimado estudiante, tenga presente los siguientes pasos para obtener una buena gráfica.
•
Hallar la intersección con los ejes x, es decir dar un valor de 0 a y, y reemplazar en la
función.
•
Hallar la intersección con los ejes y, es decir dar un valor de 0 a x, y reemplazar en la
función.
•
Dar valores diferentes de 0 a x, y reemplazarlo en función dada, obtener unos cuantos
puntos, para luego trazarlos en el sistema de coordenadas.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Remítase al capítulo uno del texto base en donde encontrará ejemplos, se explica
claramente cómo se debe trazar la gráfica de una función y las intersecciones de la
misma,
le sugiero los revise, resuelva y grafique, esta actividad le permitirá
profundizar aún más los contenidos.
Ahora señor estudiante le propongo analizar CIERTOS TIPOS DE FUNCIONES que serán
muy útiles posteriormente.
Función Constante: Es una función de la forma f(x)=b, su grafica es una recta
horizontal.
Función Potencia: Es una función de la forma f(x) = xn
Función Polinomio: Es una función de la forma f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + .....a1 x + a 0
Función Radical: Es la función raíz cuadrada f ( x ) = x
Función Racional: La función es la función raíz cuadrada f ( x ) = x
Función Cuadrática: Es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de
cero, donde a,b y c son números reales. Su grafica es una parábola.
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Función Par: Una función f es una función par, si cumple la siguiente condición. Para
toda x en el dominio de f, f(-x) = f(x). Se entiende que –x está en el dominio de f
siempre que x esté.
Función Impar: Una función f es una función impar, si cumple la siguiente condición.
Para todo x en dominio de f, f(-x) = -f(x) Se entiende que –x está en el dominio de f
siempre que x esté.
Funciones Lineales
La función lineal es una función polinomial de grado 1, por ejemplo f(x) = 2x + 1. La
grafica de la ecuación lineal y = mx + b, es una recta que tiene pendiente m y una
intersección en y en el punto (0,b).
Toda la fundamentación teórica que necesita en este tema la encontrará en el texto
base capitulo uno sección tres. Lea por favor en primer lugar las definiciones y luego
revise los ejercicios resueltos correspondientes; trate de resuélvalos sin ver sus
respuestas en el libro. Estos temas usted ya aprendió en Matemáticas Básica
solamente estamos haciendo un repaso, que permita recordar lo antes aprendido.
Para Memorizar:
Ecuaciones De Rectas
Forma general:
Ax + By + C = 0
Recta Vertical:
x=a
Recta horizontal:
y=b
Forma punto- pendiente:
y – y1 = m ( x - x1)
Forma intercepto- pendiente:
y = mx +b
L1 y L2 son paralelas si y solo si m1 = m2
L1 y L2 son perpendiculares si solo si m2 = -1/ m1
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
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Con los contenidos de teoria de funciones
que acabamos de estudiar, vamos a
desarrollar algunos ejercicios de manera que
se afiancen sus conocimientos.
Ejemplo 4. 2
Halle la pendiente (si es posible) de la recta que pasa por el par de puntos dados (-1,2)
y (2,5)
Solución
La pendiente es =
∆y
5−2
3
=
= =1
∆x 2 − (−1) 3
Ejemplo 5. 3
Escriba una ecuación para la recta que pasa por (-1,2 )y su pendiente es
2
3
Solución
Use la formula y − yo = m( x − xo ) con ( xo , yo ) =(-1,2)y m =
y−2=
2
para obtener
3
2
( x + 1)
3
lo cual se puede reescribir como
y=
2
8
x+
3
3
2
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.36
3
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.37
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A fin de que su estudio se productivo y obtenga aprendizajes significativos le planteo el
desarrollo del siguiente tema:
Modelos Funcionales
Modelamiento en Economía.
Un modelo económico es simplemente un esquema teórico y no existe ninguna razón
inherente por la que deba ser matemático. Sin embargo, el modelo es matemático,
normalmente consistirá en un conjunto de ecuaciones diseñadas para describir la
estructura del modelo. Relacionando unas con otras, un determinado número de
variables, estas ecuaciones (que no son más que funciones) dan forma matemática al
conjunto de hipotesis analiticas adoptadas. Entonces, aplicando a esas ecuaciones las
operaciones matematicas pertinentes, podemos intentar deducir un conjunto de
cnclusiones como consecuencia lógica de aquellas hipótesis.
En las aplicaciones del cálculo se tratará con funciones y se necesitarà expresar una
situaciòn práctica en tèrminos de una relación funcional. La funciòn obtenida produce
un MODELO MATEMÁTICO de la situación. En economía, en lugar de f(x) o g(x), la
notación funcional C(x) se utliliza para representar la noción costo, R(x) para
representar la función ingreso, S (p) para representar la oferta, D(P) para representar
la demanda, ect., como vimos anteriormente.
Vamos a ver un ejemplo que
muestra el procedimiento que
se sigue para obtener algunos
modelos matemáticos.
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Ejemplo 6.
Un fabricante de relojes puede producir un cierto reloj a un costo unitario de $15. Se
estima que se el precio de venta unitario de reloj es x, entonces el número de relojes
vendidos por semana es 125 – x
a)
Expresar el monto de las utilidades semanales del fabricante como función
de x.
b)
Utilizar el resultado de la parte (a) para determinar las utilidadeds
semanales si el precio de venta unitario es $45.
Solución
a) La utilidades pueden obtenerse restando el costo total de ingreso total. Sea R,
el ingreso semanal, como el ingreso es el producto del costo de cada reloj (x) y
el número de relojes vendidos, (125-x), entonces R=x(125-x).
Sea C el costo total de los relojes vendidos cada semana. Ya que el costo total
es el producto del costo de cada reloj (15) y el numero de relojes vendidos,
entonces C=15(125-x)
Si P(x) son las utilidades semanales, entonces P(x)= R-C, sustituyendo en esta
ecuación las dos anteriores se obtiene:
P(x)=x(125-x)-15(125-x)
P(x)=(125-x)(x-15)
b) Si el precio de venta es $45 el monto de las utlidades de la semana es P(45),
reemplazando en la última ecuación tenemos:
P(45)=(125-45)(45-15)
P(45)= 80*30 =2400
Por lo tanto las utilidades de la semana son $ 2400 cuando los relojes se venden en
$45 cada uno.capitulo uno, tema modelos funcionales donde se ilustra los modelos
economicos.
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Para conocer sobre modelos economicos, le sugiero revise los ejemplos resueltos en el
texto base en el capitulo uno seccion cuatro.
Siguiendo con el entusiasmo de aprender, es importante revisar el tema “ Equilibrio
De Mercado” que consta en el texto básico, en el capítulo uno.
Recuerde que el equilibrio de mercado no es más que el punto de equlibrio que
resulta del cruce de la curva de la oferta y la demanda,la coordenada p de este punto
(el precio de equilibrio) es el precio de mercado en el cual la oferta es igual a la
demanda, es decir, el precio de mercado al cual no habrá excedente ni escacez del
articulo.
El equilibrio de mercado ocurre cuando se compra todo lo que ofrece al precio en
cuestión. Cuando sucede el equilibrio de mercado la cantidad del producto fabricado
se llama cantidad de equilibrio. La cantidad y el precio de equlibrio se determinan
resolviendo simultaneamente las ecuaciones de oferta y demanda del mercado.
Vamos a ilustrar con un
ejemplo.
Ejemplo 7.
Las ecuaciones de la oferta y demanda de mercado son:
x 2 − p 2 − 25 = 0
y
2x − p + 2 = 0
Solución
Para determinar el punto de equilibrio se resuelven las ecuaciones simultáneamente
despejando p en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera. 2 x + 2 = p .
Se tiene entonces.
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x 2 + (2 x + 2) 2 − 25 = 0
x2 + 4x2 +8x + 4 − 25= 0
5 x 2 + 8 x − 21 = 0
(5 x − 7)( x + 3) = 0
entonces x=1.4
( x + 3) = 0 entonces x=-3
Como x 2 ≥ 0 , se desprecia el valor negativo y se obtiene x=1.4. De la sustitución en la
segunda ecuación se obtiene p=4.8, de aquí el precio de equilibrio es $4.80 y la
cantidad de equilibrio 140 unidades (recuerde que la cantidad es 100x unidades).
Ejemplo 8.
Un fabricante vende lámparas a $30 la unidad, y a este precio los consumidores
compran 3.000 lámparas al mes. El fabricante desea aumentar el precio y estima que
por cada $1 de aumento en el precio, se venderán 1.000 lámparas menos cada mes. El
fabricante puede producir las lámparas a $18 por unidad. Exprese la utilidad mensual
del fabricante como una función del precio al que se vende las lámparas.
Solución
Número de lámparas vendidas
x 2 − p 2 − 25 = 0
Al expresar la primera ecuación en la forma x 2 − p 2 = 25 se observa que se gráfica es
una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5. Ya que x ≥ 0 y p ≥ 0 , la
curva de la demanda es la porción de la circunferencia en el primer cuadrante.
Resolviendo la ecuación de la oferta para determinar p se obtiene p = 2 x + 2 . Así, la
curva de l oferta es la porción en el primer cuadrante de la recta que tiene una
pendiente de 2y corta al eje p en 2.
¡Continuemos con los contenidos!
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Análisis de equilibrio.
El análisis de equilibrio en los negocios se lo determina mediante las intersecciones de
gráficas, como puede observar en la figura del texto base, en donde se señala un punto P,
que es el PUNTO DE EQUILIBRIO.
Limites
Otro de los temas a estudiar dentro de este capítulo es el concepto de límite, se considera
fundamental para la teoría del cálculo. En el texto guía, capítulo uno sección cinco se hace
un enfoque informal de la definición de límite, la cual usted debe analizar detenidamente,
tratando de entender lo que intuitivamente se define como límite.
Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de los
dos lados, entonces el límite de f(x), cuando x tiende a c, es L.
Para Recordar:
La notación de límites se describe. lim f (c ) = L
x→c
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Decir el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 5 se escribe así: lim f ( x ) = 5
x →1
Geométricamente, el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, significa que la altura de
la gráfica y = f(x) tiende a L a medida que x tiende a c.
Estimado estudiante es importante tomar en cuenta que para resolver algunos límites es
necesario tener en cuenta las siguientes propiedades, a continuación iniciaremos con las
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más sencillas e irán aumentando de dificultad, algunas de ellas toman en cuenta las
anteriores
Para memorizar:
Es fundamental Sr. Estudiante que se memorice estas propiedades para poder
resolver analíticamente un límite. (Si ya las domina puede pasar al siguiente punto).
Siempre que aplique el teorema de un cociente (función racional), se debe verificar que el
límite del denominador sea diferente de O
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Propiedades de los límites
Si lim f ( x ) y lim g ( x ) existen, entonces
x →c
x →c
Limite de una Suma
lim[ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x )
Limite de una Resta
lim[ f ( x ) − g ( x )] = lim f ( x ) − lim g ( x )
Limite de una Constante
lim[kf ( x )] = k lim f ( x ) para cualquier constante,
x→ c
x →c
x→ c
x→ c
x →c
[
x →c
lim
x →c
x →c
[
lim[ f ( x)] = lim f ( x)
p
x →c
lim
x →c
x →c
]
f ( x)
f ( x) lim
si lim g ( x ) ≠ 0
= x →c
g ( x) lim g ( x) x →c
x →c
Limite de un Radical
][
lim[ f ( x ) g ( x) ] = lim f ( x ) lim g ( x )
Limite de un cociente
Limite de una Potencia
x→ c
x →c
k
Limite de una Multiplicación
x →c
x →c
n
f ( x) =
n
] si [lim f ( x)]
p
p
x →c
existe
lim f ( x)
x →c
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales” Pág.(61-63).
Elaborado: Abad A, (2009), “Guía Didactica”
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Con los siguientes ejemplos
trataremos de reforzar y ampliar un
poco más los contenidos que constan
en el texto básico
Ejemplo 9
(
Encuentre el lim 3x 2 − 2 x
x →4
)
Solución
(
)
( )
lim 3x 2 − 2 x = lim 3x 2 − lim 2 x = 3 lim x 2 − 2 lim x = 3 lim x − 2 lim x
x →4
2
x →4
x →4
x →4
x→4
x→4
x→4
= 3(4 )2 − 2( 4) = 40
Ejemplo 10
Encuentre el lim
x→4
x2 + 9
x
Solución
x2 + 9
x 2 + 9 lim
x→4
lim
=
=
x→4
x
lim x
x→4
=
lim( x 2 + 9 )
x→4
4
lim x 2 + lim 9
=
x→4
x→4
4
42 + 9
25 5
=
=
4
4
4
A continuación le presentamos algunas estrategias para el cálculo de límites que no se pueden
evaluar por sustitución directa.
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1. Aprenda a reconocer qué límites pueden evaluarse directamente por sustitución
(Estos límites son los que se enumeran en las propiedades y con estos lineamientos
están resueltos los ejemplos que acabamos de realizar).
2. Si el límite de f(x) cuando x tiende a c, NO PUEDE evaluarse por sustitución directa,
intente encontrar una función g que coincida con f para todo x distinto de x= c. Elija g
tal que el límite de g(x) pueda evaluarse por sustitución directa.
3. Aplique el teorema siguiente:
FUNCIONES QUE COINCIDEN SALVO EN UN PUNTO: Sea c un número real y sea
f(x)=g(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a c. Si existe el límite de g(x)
cuando x tiende a c, entonces también existe el de f(x), y, se puede concluir
analíticamente que: lim f ( x ) = lim g ( x ) = g (c ) .
x →c
x →c
4. Use una tabla o un gráfico para reforzar su conclusión.
Las técnicas que nos permiten trabajar con estos límites son las Técnicas de cancelación y
de Racionalización.
Técnica de Cancelación:
Esta técnica supone la cancelación de
factores comunes, como ilustramos a
continuación con ejemplos.
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Ejemplo 11
Encuentre el lim
x →1
x2 + x − 2
x −1
Solución
Analizando la función dada, nos damos cuenta que no está definida en x=1, por lo que no
podemos aplicar el teorema de un cociente (función racional) para calcular el límite
porque al hacer la sustitución directa el límite del denominador es cero.
Observemos que factorizando el numerador tenemos:
f ( x) =
( x + 2)( x − 1)
x −1
Se sobrentiende que x≠1
porque si no habría una indeterminación O/O, luego si
simplificamos (x-1) tenemos una nueva función g(x) = x+2. Tome en cuenta que f(x) ≠ g(x)
porque sus dominios son diferentes. Pero en cambio, para todo valor diferente de -1 se
cumple que f(x) = g(x). Una vez realizada la cancelación del factor que se repite, podemos
calcular el valor del límite buscado, de la siguiente manera: lim
x →1
( x + 2)( x − 1)
=
x −1
lim( x + 2) = 3
x →1
Al analizar el límite no se toman valores de x=1, sino próximos a 1, por esta razón
podemos simplificar el factor (x-1) por cuanto éste siempre será diferente de cero.
Muchas veces al tratar de hallar el límite de una fracción puede suceder que ésta tienda a
la forma O/O, que se denomina FORMA INDETERMINADA (como la analizada en el
ejemplo anterior). En estos casos es necesario realizar un análisis más detallado del
comportamiento de las funciones para determinar si el límite planteado existe o no.
Para desarrollar estos ejercicios se utiliza el teorema que acabamos de ver "Funciones que
coinciden salvo en un punto".
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Debe tomar en cuenta que cuando no es evidente cuál es dicho factor, se procede a
descomponer en factores numerador y denominador para de ser posible cancelar alguno
de ellos. Una vez determinada la función g(x) encontramos el valor del límite buscado
haciendo uso de teoremas, es decir, lim = g ( x ) = L
x →c
(Este procedimiento se aplicó en el ejercicio anterior).
Ejemplo 12
x 3 − 64 x
Encontrar lim
x →0
x2 + 2x
5
Solución
Si evaluamos al límite por sustitución directa obtenemos una indeterminación O/O, por lo
tanto ANTES DE APLICAR LOS TEOREMAS SE DEBE LEVANTAR LA INDETERMINACIÓN.
Luego procedemos a descomponer en factores tanto el numerador como el denominador
para poder aplicar la técnica de cancelación y eliminar la indeterminación.
g ( x) = 5
x 3 − 64 x
x( x 2 − 64)
( x 2 − 64)
5
5
=
=
x 2 + 2x
x( x + 2)
( x + 2)
Como ya hemos levantado la indeterminación y aplicando los teoremas de límites,
tenemos:
lim( x 2 − 64)
( x 2 − 64)
− 64
lim 5
= 5 x →0
=5
= −2
x →0
( x + 2)
lim( x + 2)
2
x →0
Para el análisis del siguiente tema, debería dirigirse al capítulo uno, sección cinco del
texto básico.
Técnica de Racionalización:
Sr. Estudiante esta técnica supone la racionalización del numerador, denominador o de
ambos, de una fracción. Cuando no es posible descomponer en factores se procede a
racionalizar, es decir encontrar un valor para multiplicar y dividir a la función para que no
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altere, generalmente es la conjugada del denominador, del numerador o de ambos a la
vez, para de esta manera eliminar la indeterminación. Una vez determinada la función g(x)
se procede como en el caso anterior.
Para recordar:
La CONJUGADA de una expresión algebraíca es la misma expresión con signo
(
contrario, por ejemplo de 3 x + 2
)
(
la conjugada es . 3 x − 2
)
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Veamos ahora unos ejemplos de
aplicación
Ejemplo 13
Encontrar lim
x →0
25 + x − 5
1+ x −1
Solución
Por sustitución directa se obtiene una indeterminación 0/0 y como no podemos
descomponer en factores porque la expresión no es factorizable, entonces procedemos a
aplicar la técnica de racionalización que consiste en este caso en multiplicar la expresión
por la conjugada del denominador y luego como no se elimina la indeterminación por la
conjugada del numerador.
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g ( x) =
( 25 + x − 5)( 1 + x + 1) ( 25 + x − 5)( 1 + x + 1)
=
1 + x1
( 1 + x − 1)( 1 + x + 1)
g ( x) =
( 25 + x − 5)( 1 + x + 1)( 25 + x + 5) (25 + x − 25)( 1 + x + 1)
=
x( 25 + x + 5)
x( 25 + x + 5)
g ( x) =
x( 1 + x + 1)
( 1 + x + 1)
=
x( 25 + x + 5) ( 25 + x + 5)
Como usted puede darse cuenta, si sustituimos directamente el valor de cero en la función
g(x) obtenemos un valor diferente de 0/0, por lo que se ha eliminado la indeterminación,
así que procedemos a calcular el limite haciendo uso de los teoremas o propiedades, de la
siguiente manera:
( lim(1 + x) + lim1)
lim( 1 + x + 1)
( 1 + x + 1)
2 1
x →0
x →0
= x →0
=
=
=
x →0 ( 25 + x + 5)
lim( 25 + x + 5) ( lim(25 + x) + lim 5) 10 5
lim
x→0
x →0
x →0
Ejemplo 14 (caso especial)
( 3 x + 7 − 2)
x →1
x3 − 1
Calcular el lim
Solución
Al sustituir directamente el valor de 1 en el límite, nos damos cuenta que tenemos una
indeterminación, por lo que antes de evaluarlo debemos proceder a eliminarla. Si
multiplicamos por la conjugada como el ejemplo anterior no llegamos a eliminar la
indeterminación por tener una raíz cúbica, así que en este tipo de ejercicios se aconseja
buscar "nuestra propia conjugada", para lo cual hacemos uso de nuestros conocimientos
de productos notables y factoreo, de la siguiente manera:
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Recordará usted que
(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) , ahora hagamos que: a = 3 x + 7 y b = 2
reemplazando tenemos: (3 x + 7 + 2)((3 x + 7 ) 2 + 2(3 x + 7 ) + 2 2 ) =
(
3
)
3
x + 7 − ( 2) 3
por lo tanto a nuestra expresión tenemos que multiplicarla por el segundo factor de la
siguiente manera:
(3 x + 7 − 2)((3 x + 7 ) 2 + 2(3 x + 7 9) + 2 2 )
x →1
( x 3 − 1)((3 x + 7 ) 2 + 2(3 x + 7 ) + 2 2 )
lim
(
)
3
x + 7 − (2) 3
x +7 −8
lim
= lim
x →1 ( x − 1)( x 2 + x + 1)(( 3 x + 7 ) 2 + 2( 3 x + 7 ) + 2 2 )
x→1 ( x − 1)( x 2 + x + 1)((3 x + 7 ) 2 + 2( 3 x + 7 ) + 2 2 )
3
lim
x →1
x −1
( x − 1)( x + x + 1)(( x + 7 ) + 2( x + 7 ) + 2 )
2
3
2
3
2
= lim
x →1
x −1
( x − 1)( x + x + 1)(( x + 7 ) 2 + 2(3 x + 7 ) + 2 2 )
2
3
1
x →1 ( x + x + 1)(( x + 7 ) 2 + 2(3 x + 7 ) + 2 2 )
lim
2
3
Verificamos en esta expresión que se haya eliminado la indeterminación, para luego
proceder a evaluar el límite.
=
1
1
1
=
=
((1) 2 + (1) + 1)((3 (1) + 7 ) 2 + 2(3 1 + 7 ) + 2 2 ) (1 + 1 + 1)(4 + 4 + 4) 36
Me permito recomendar a usted la resolución de otros ejercicios para calcular el limite de
funciones, la realización de estos ejercicios reforzará los conocimientos y
brindará
seguridad al momento de su aplicación en el examen.
Ejemplo 15
Calcular el lim( x 2 + 3 x + 1)
x→2
Solución
lim( x 2 + 3x + 1) = lim x 2 + lim 3x + lim1 = 2 2 + 3(2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11
x→2
x →2
x→2
x→2
Ejemplo 16
Calcular el lim ( x 2 + 1)( x − 1)
x→−2
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Solución
lim ( x 2 + 1)( x − 1) = lim ( x 2 + 1) * lim ( x − 1) = ( lim ( x) 2 + lim 1) * ( lim x − lim 1)
x→−2
x →−2
x →−2
x→−2
x →−2
x→−2
x →−2
((−2) 2 + 1)((−2) − 1) = 5 * −3 = −15
Ejemplo 17
Calcular el lim(3x 3 − 2 x 2 + 4)
x→1
Solución
lim(3x 3 − 2 x 2 + 4) = (3 lim( x 3 ) − 2(lim) x 2 + lim 4) = 3(1) 3 − 2(1) 2 + 4 = 5
x →1
x →1
x →1
x →1
Ejemplo 18
2x2 − x − 3
x→−1
x +1
Calcular el lim
Solución
Para calcular el límite de esta función, en primer lugar lo vamos a factorizar, para
poder eliminar la discontinuidad.
lim
x → −1
( 2 x − 3)( x + 1)
= lim ( 2 x − 3) = lim 2 x − lim 3 = −2 − 3 = −5
x → −1
x → −1
x → −1
x +1
Por favor señor estudiante confróntese con el texto básico en el capitulo uno sección
cinco, para iniciar el estudio del siguiente tema:
Limites al Infinito
Definición:
Sea L un número real
1. lim f ( x ) = L Significa que el valor de f(x) tiende hacia L cuando x crece por la
x →∞
derecha sin cota, es decir el límite existe y es igual a L.
2. lim f ( x ) = L Significa que el valor de f(x) tiende hacia L cuando x decrece por
x→ −∞
la izquierda sin cota, es decir el límite existe y es igual a L.
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Para Memorizar:
Asíntotas horizontales: la recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se
cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes: lim f ( x ) = L ó lim f ( x ) = L
x→ −∞
x→ +∞
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Para recordar:
Teorema de límites en el infinito.
Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces: lim
x →∞
Además, si xr está definida para x < O, entonces lim
x→ −∞
c
=0
xr
c
=0
xr
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Vamos a ilustrar este teorema con
algunos ejemplos
Ejemplo 19


Calcular el lim 5 −
x →∞
2

x2 
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Solución
2 
2

lim 5 − 2  = lim 5 − lim 2 = 5 − 0 = 5
x →∞
x
→
∞
x
→
∞
x 
x

Debe tomar en cuenta que cuando se resuelven ejercicios de cálculo de límites en el
infinito de funciones racionales se debe dividir al numerador y al denominador para el
máximo exponente del denominador.
La principal aplicación de límites infinitos y en el infinito son las graficas de las
funciones.
Ejemplo 20
Obtenga las asíntotas horizontal y trace la gráfica de la función f ( x ) =
2x
6 x + 11x − 10
2
Solución
Para desarrollar este ejemplo, vamos a utilizar la definición de asíntota horizontal que
acabamos de introducir.
Asíntota Horizontal:
2x
2
2
2x
x
x
y = lim 2
= lim
= lim
x →+∞ 6 x + 11x − 10
x →+∞ 6 x 2
x
→
+∞
6
11
10
11x 10
+
−
+
−
1 x x2
x2
x2 x2
(Observe que x2 es la mayor potencia que se da en el denominador. Dividimos para x2
porque es una función racional en el infinito).
=
2 lim
x →+∞
1
x
1
1
− 10 lim 2
x→+∞ x
x →+∞ x
6 + 11 lim
=
2( 0)
0
= =0
6 + 11(0) − 10(0) 6
Por lo consiguiente y de acuerdo con la definición, la recta y=0 es una Asíntota
horizontal.
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Para Reforzar
Como tarea adicional realice la gráfica de la función, necesitará unos dos puntos
adicionales. Debe recordar que primeramente debe trazar las asíntotas tanto horizontal
como vertical, para que luego le de forma a la gráfica.
Señor estudiante es importante tomar en cuenta que aun con mucha práctica y
experiencia, no siempre se resuelven acertadamente los ejercicios en un primer
intento, por ello le recomiendo dedique un poco mas de tiempo y desarrolle todas las
actividades propuestas. Revise el texto básico en los capítulos sugeridos.
A continuación seguiremos nuestro estudio con: Limites Infinitos
Para Memorizar:
Todo límite en el que f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c se llama
Límite infinito.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Definición: Sea f una función que está definida para todo número en algún intervalo
abierto que contiene a c, excepto posiblemente al número c mismo. Cuando x tiende a
c, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como:
lim f ( x ) = +∞
x →c
Esta ecuación puede leerse como " el límite de f(x) cuando x tiende a c es infinito positivo". En
tal caso el límite no existe, pero el símbolo " +∞" indica el comportamiento de los valores de la
función f(x) cuando x se aproxima cada vez más al número c. Es preciso recalcar en esta
definición, que +∞ no es un número real.
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Análogamente, se pueden indicar el comportamiento de una función cuyos valores decrecen
sin límite.
Sea f una función que está definida en todo número en algún intervalo abierto que contiene a
c, excepto posiblemente al número c mismo. Cuando x tiende a c, f(x) decrece sin límite, lo
cual se escribe como:
lim f ( x ) = −∞
x →c
Esta ecuación puede leerse como "el límite de f(x) cuando x tiende a c es infinito negativo".
Observando de nuevo que el límite no existe, pero el símbolo"-∞" indica sólo el
comportamiento de los valores de la función f(x) cuando x se aproxima cada vez más al
número c.
Asíntota Vertical:
Definición: Se dice que la recta x= c es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por
lo menos uno de los enunciados siguientes es verdadero:
a) lim+ f ( x ) = +∞
x→c
b) lim+ f ( x) = −∞
x→c
c) lim− f ( x ) = +∞
x→c
d) lim− f ( x ) = −∞
x→c
Para recordar:
Para encontrar las asíntotas verticales, primeramente igualamos el denominador
a cero para encontrar los valores de x.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Ejemplo 21
Obtenga las asíntotas verticales de: f ( x ) =
2x
6 x + 11x − 10
2
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Solución
Para encontrar las asíntotas verticales, primeramente igualamos el denominador a
cero para encontrar los valores de x, como sigue:
6 x 2 + 11x − 10 = 0
36 x 2 + 11(6 x) − 60
=0
6
(6 x + 15)(6 x − 4)
=0
6
2x + 5 = 0 x = −
3x − 2 = 0 x =
( 2 x + 5)(3 x − 2) = 0
5
2
2
3
Ahora utilizamos la definición con cada uno de los valores de x encontrados
 5
2 − 
x→ −
2x
10
 2
2
=
=
lim 2
= − = ±∞
2
2
5 6 x + 11x − 10
lim5 6 x + lim5 11x − lim5 10
0
x→ −
 5
 5
2
6 −  + 11 −  − 10
x→ −
x→ −
x →−
2
2
2
 2
 2
lim5 2 x
Por lo tanto, de acuerdo a la definición x= -5/2 es una asíntota vertical.
2
2 
x→
2x
4
3
3
lim 2
=
=
= − = ±∞
2
2
2
lim2 6 x + lim2 11x − lim2 10
0
x → 6 x + 11x − 10
2
2
3
6  + 11  − 10
x→
x→
x→
3
3
3
3
3
lim2 2 x
Por lo tanto, de acuerdo a la definición x= 2/3 es una asíntota vertical.
Para una mayor comprensión vamos a hacer
unos ejercicios de aplicación, por separado,
primero la utilización de límites en el infinito, y,
luego límites infinitos.
Ejemplo 22
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f ( x) =
2x2
x2 + 4
Solución
2x2
lim 2
2
2
2
2
2x
x→+∞
lim 2
= lim 2x
= lim 2
= lim
=
=
=2
x→+∞ x + 4
x→+∞ x + 4
x →+∞ x
x
→
+∞
4
4
4
1+ 0
1
+
lim
1
+
lim
+
x 2 x→+∞ x→+∞ x 2
x2
x2 x2
2
Ejemplo 23
f ( x) =
2x − 1
x +1
Solución
2x 1
1
1
−
2−
lim 2 − lim
2x −1
2−0
x→+∞ x
x = x→+∞
lim
= lim x x = lim
=
=2
x→+∞ x + 1
x→+∞ x
x→+∞
1
1
1 1+ 0
+
1+
lim 1 + lim
x →+∞
x →+∞ x
x x
x
Ejemplo 24
f ( x) =
2x
1 − x2
Solución
2x
2
2
lim
2
2x
0
x
→
+∞
x
x
lim
= lim
= lim x =
=
=0
2
2
x →+∞ 1 − x
x→+∞ 1
x →+∞ 1
1
x
0
−
1
− 1 lim 2 − lim 1
−
x→+∞ x
x→+∞
x2
x2 x2
Ejemplo 25
f (x) =
x
x24
Solución
x
lim
x
x→+∞
x −4
2
= lim
x →+∞
x 2 = lim
x 2 − 4 x→+∞
x2
x
x2
2
x
4
− 2
2
x
x
lim 1
=
x →+∞
1
x →+∞ x 2
lim 1 − 4 lim
x →+∞
=
0
1
= =1
1− 0 1
Ejemplo 26
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x3 − 2 x + 1
3x 3 + 4 x 2 − 1
f ( x) =
Solución
x3 − 2x + 1
x3 2x 1
− 3 + 3
3
3
x − 2x + 1
x
x
x
x = 1− 0 + 0 = 1
lim
= lim 3
= lim
3
2
x→+∞ 3 x 3 + 4 x 2 − 1
x→+∞ 3 x + 4 x 2 − 1
x →+∞
x
4x
1 3+ 0+0 3
3 3+ 3 − 3
3
x
x
x
x
3
¿Cómo le fue con los ejercicios ?............
Seguramente bien, ahora continuemos con los contenidos
Limites Laterales y Continuidad
Limites laterales
Los límites unilaterales o laterales como también se los conoce son útiles al tomar
límites de función de funciones que contienen raíces y funciones que estén definidas
por partes.
•
El límite por la derecha significa que x tiende a c por valores superiores a c. Este
límite se denota por: lim+ f ( x ) = L y se lee “el limite de f(x) cuando tiende a c
x→c
por la derecha es igual a L”.
•
El límite por la izquierda significa que x tiende a c por valores inferiores a c. Este
limite se denota por: lim− f ( x) = L y se lee “el limite de f(x) cuando tiende a c
x→c
por la izquierda es igual a L”
Para recordar:
El límite de una función existe si y solo si el limite por la izquierda sea igual al
límite por la derecha
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Continuidad
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Estimado estudiante dirigiéndonos al texto base capitulo uno sección seis, podemos
observar la definición de continuidad, la misma que podemos resumir en lo siguiente:
para que una función sea continua debe cumplir tres condiciones. Si una de las tres
condiciones no se cumple, concluimos que la función f(x) no es continua en el punto c o
que es discontinua en el punto c.
Para recordar:
Una función f es continua en c si se satisface las tres condiciones siguientes:
1.
f(c) está definida
2.
lim f ( x ) existe
x→ c
3.
lim f ( x ) = f (c )
x →c
Si f(x)no es continua en c, se dice que tiene ahí una discontinuidad
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Las tres condiciones que deben satisfacer para que una función sea continua pueden
ser infringidas en varias formas, obteniéndose diferentes tipos de discontinuidades.
Vamos a estudiar dos tipos de discontinuidades:
•
La discontinuidad ESENCIAL quiere decir que la función f(x) no tiene límite, por
lo tanto, no se la puede eliminar y redefinir la función, (Redefinir una función
quiere decir definirla nuevamente poniéndole condiciones adicionales para
hacerla que sea continua en ese punto).
•
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•
La discontinuidad ELIMINABLE o EVITABLE, como sus nombres mismo lo
indican la podemos eliminar o evitar redefiniendo la función en el punto donde
hay la discontinuidad, el único requerimiento es que la función tenga límite, es
decir, que la función tenga limite, lim f ( x )existe
x →c
A continuación vamos a desarrollar
algunos ejemplos de aplicación de
estas definiciones.
Ejemplo 27
x−3
Sea f ( x) = 
 2
si x ≠ 3
determinar si f es continua en c =3
si x = 3
Solución
Como tenemos la función valor absoluto, primeramente definimos la función antes de
proceder a analizarla.
si
 x −3

f ( x) = − ( x − 3) si
 2
si

x −3 > 0⇒ x > 3
x−3< 0⇒ x >3
x=3
Para que la función sea continua debe cumplirse que:
1. f (c ) = exista
f (3) = 2
2. lim f ( x ) = existe
x →c
lim ( x ) − lim+ (3) = 3 − 3 = 0
x →3+
x →3
lim ( x ) − lim− (3) = −3 + 3 = 0
x →3−
x →3
Como:
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lim f ( x ) = lim+ f ( x) entonces lim f ( x ) = 0 por lo tanto EXISTE
x →3−
x →3
x →3
3. lim f ( x ) = f (c )
x→c
0≠2
Por lo tanto, la función es discontinua en c = 3. Pero, observamos que la función f(x)
tiene límite, por lo que podemos redefinirla haciendo que f(3) sea igual cero y de esta
manera hemos logrado que la función sea continua en c=3.
La función redefinida, una vez que hemos eliminado la discontinuidad quedaría así:
x−3
f ( x) = 
 0
si x ≠ 3
si x = 3
Observese que para que la función sea continua estamos cambiando la segunda
condición de la función original, lo que permite que sea discontinua.
Usted se preguntará por qué se operó el límite de esa forma, es debido a la función
con la que estamos trabajando (función valor absoluto, que se necesita definirla
previamente).
Para recordar:
El límite de una función es único, por lo tanto tenemos que comprobar que el límite
por la izquierda sea igual al límite por la derecha, para que el límite exista, caso contrario no
hay límite.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
El símbolo x → 3+ significa que nos acercamos al punto c=3 por la derecha, es decir,
tomamos valores de x mayores que 3, pero muy cercanos a él.
De la misma manera, el símbolo x → 3− significa que nos acercamos al punto c=3 por
la izquierda, es decir, tomamos valores de x menores que 3, pero muy cercanos a él.
Continuidad de polinomios y funciones racionales.
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igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
Escuela de Economía – UTPL
Cálculo I
Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca
Tenga en cuenta que una función racional es continua en todos los puntos donde está
definida la función, siempre que el denominador no sea igual a cero, en el caso que así
lo fuera existe una discontinuidad en ese punto. Usted se puede fijar en los ejercicios
planteados y para una mejor compresión analice la figura 1.56 en donde podemos ver
funciones continuas excepto en ciertos valores de x.
Continuidad en un intervalo.
Es importante recalcar este punto ya que se lo usa en muchas aplicaciones del cálculo.
A continuación desarrollaremos
algunos ejercicios para que se
aclaren sus dudas.
Ejemplo 28
− 2 x + 3 x < 1
f ( x) = 
x =1
2
x ≥1
 x
Solución
1. f (c ) = exista
∴ f (1) = ∃ = 1
2. lim f ( x ) = existe
x →c
lim f ( x) = exista
x→1
lim− (−2 x + 3) = lim+ ( x 2 )
x→1
x→1
( )
− 2 lim− x + lim− 3 = lim+ x
x →1
x →1
2
x →1
− 2(1) + 3 = 12
− 2 + 3 =1
1=1
lim f ( x ) = exista = 1
x →1
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3. lim f ( x ) = f (c )
x→c
1=1
∴ la función f(x) es continua en x=1
Ejemplo 29
x≤2
 − 2x
f ( x) =  2
x=2
x − 4x + 1 x < 1
Solución
1. f (c ) = exista
f ( 2) = −2 x
f ( 2 ) = −2 ( 2 ) = − 4
∴ f ( 2) = ∃ = −4
2. lim f ( x ) = existe
x →c
lim f ( x) = exista
x→2
( )
lim (−2 x) = lim+ ( x 2 − 4 x + 1) = lim+ x − 4 lim+ x + lim+ 1
2
x→ 2 −
x →2
x →2
x →2
x→ 2
− 2( 2) = 2 2 − 4( 2) + 1
− 4 = 4 − 8 +1
− 4 ≠ −3
lim f ( x ) ≠ ∃
x→ 2
∴ la función f(x) es discontinua en x=2
En los siguientes ejemplos tenemos que definir en que puntos vamos a estudiar la
continuidad. Con los contenidos previamente adquiridos es momento de revisar
algunos ejemplos.
Ejemplo 30
f ( x) =
4x
x +x−2
2
Solución
x2 + x − 2 = 0
( x + 2)( x − 1) = 0
x = −2; x = 1
1. f (c ) = exista
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f ( − 2) =
4( − 2)
= no existe
( − 2) + ( − 2) − 2
2
4(1)
= no existe
(1) + (1) − 2
f (1) =
2
∴ La función no está definida para x=-2 y x=1
2. lim f ( x ) = existe
x →c
lim f ( x) = exista y lim− f ( x ) = exista
x → −2 +
x→1
4x
4x
= lim− 2
x + x − 2 x→1 x + x − 2
lim+
2
x → −2
4 lim+ x
x → −2
lim+ x 2 + lim+ x − lim+ 2
x → −2
x → −2
x → −2
=
4 lim− x
x →1
lim− x 2 + lim− x − lim− 2
x→1
x→1
x→1
4( − 2)
4(1)
= 2
(−2) + (−2) − 2 (1) + (1) − 2
2
No existe límite
∴ La función f(x) no es continua en los puntos x=-2 y x=1
Ejemplo 31
f ( x) =
x+2
x − 3x − 10
2
Solución
x 2 − 3 x − 10 = 0
( x − 5)( x + 2) = 0
x = 5; x = −2
1. f (c ) = exista
f (−2) =
f (5) =
−2+2
= no existe
(−2) 2 + 6 − 10
5+2
= no existe
(5) − 15 − 10
2
∴ La función no está definida para x=-2 y x=5
2. lim f ( x ) = existe
x →c
lim f ( x) = exista y lim− f ( x ) = exista
x → −2 +
x→5
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lim+
x+2
x+2
= lim− 2
x − 3 x − 10 x→1 x − 3 x − 10
lim
x+2
x+2
= lim−
x
→
1
( x − 5)( x + 2)
( x − 5)( x + 2)
lim
1
1
= lim−
x
→
1
( x − 5)
( x − 5)
x→ −2
x→−2+
x →−2 +
2
1
(1)
1
=
==>
≠ no existe
− 2 − 5(−2) (5) − 5
−7
∴ La función f(x) no es continua en los puntos x=-2 hay un salto.
La función no es continua en los puntos x=5 existe una asuntota vertical.
Felicitaciones, al momento ha desarrollado y asimilado los contenidos,
ejercitándose con las herramientas proporcionadas.
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