estudio de la compresión unidimensional en laboratorio. el

ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN
UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO.
EL EDOMETRO
Tomada en el laboratorio de Geotecnia de la ETSICCP, UPM
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Aunque las condiciones de carga de una cimentación
cualquiera no inducen en general un estado de
deformación lateral nula (unidimensional), resulta bastante
habitual emplear este modelo, con algunas
modificaciones, para estimar los asientos producidos por
terraplenes, zapatas, losas, etc., especialmente sobre
suelos finos (limos y arcillas) saturados.
Para estudiar las características de compresibilidad unidimensiona
unidimensional del suelo en
laboratorio se acude al ensayo edométrico, que se lleva a cabo en un aparato llamado
edómetro.
edómetro
El primer edómetro fue construido por Frontard en 1910. Posteriormente Terzaghi
g ((1921)) diseñó
otro para el estudio del entumecimiento de arcillas, razón por la cual lo llamó “edómetro” (del
griego “oidos”, que significa entumecimiento o hinchazón). Este último aparato fue perfeccionado
por Casagrande.
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Carga
Piedras porosas
Un edómetro consiste en un anillo rígido de acero
en cuyo interior se coloca una pastilla de suelo. En
la parte inferior y superior de la pastilla se colocan
unas piedras porosas que permiten el drenaje del
agua contenida en el suelo. El conjunto se
introduce en una célula,, que
q se llena de agua
g p
para
mantener en todo instante las condiciones de
saturación completa.
Sobre la piedra porosa superior se coloca una
placa rígida y en su centro se aplica una carga
vertical.
Pastilla de suelo
Tomadas en el laboratorio de Geotecnia de la ETSICCP, UPM
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
La carga se va aumentando en escalones, que no
deben ser muy grandes para no perturbar la
estructura del suelo
suelo. Normalmente
Normalmente, cada escalón
duplica la presión vertical del anterior.
Se mide lo q
que se comprime
p
o asienta la p
probeta de
suelo con el tiempo en cada escalón. Se emplea para
ello un comparador que aprecia 0,01 mm.
Tomadas en el laboratorio de Geotecnia de la ETSICCP, UPM
Luis Ortuño
Ejemplo de medida de un escalón de carga
en ensayo edométrico
Escala natural
Cuaderno de prácticas. Edómetro B. Escalón
de 0,8 a 1,5 kg/cm2
Tiempo (s)
Tiempo
i
Tiempo (s)
i
()
Lectura comparador (0,01 mm)
15
357,5
30''
30
359,5
1'
60
362
2'
120
367
3'
180
371,5
5'
300
379
7'
420
383,5
10'
600
389
15'
900
395 5
395,5
20'
1200
400
30'
1800
406
24h
86400
434
500
1000
1500
2000
350
360
370
380
390
400
410
Escala semilogarítmica
Tiempo (s)
10
Lectura c
comparador (0,01
mm)
15''
lec
ctura comparrador
(0,01 mm)
)
0
100
1000
10000
100000
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
Luis Ortuño
Ejemplo de escalón de carga en ensayo
edométrico
0
500
Tiempo (s)
1000
1500
2000
lectura comparrador (0,01 m
mm)
350
360
370
380
390
400
Al comienzo de un escalón la velocidad
de asiento es máxima, y va
disminuyendo con el tiempo hasta que el
suelo consolida por completo y la aguja
del comparador se para (salvo por
efectos de la “consolidación
consolidación
secundaria”).
En realidad no se espera a que se
detenga la aguja del comparador. Salvo
que se desee analizar con detalle la
consolidación secundaria, se mantiene
cada escalón 24 horas
horas.
410
Durante el ensayo incluyen ciclos de descarga –recarga.
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Recordatorio de “carga sin drenaje”. Cada vez que se aplica un nuevo escalón de carga en un
edómetro, por encontrarse la probeta saturada y tratarse de condiciones de carga
unidimensionales o de deformación lateral nula,
nula el incremento de presión vertical total ∆σv aplicado
se transmite íntegra e instantáneamente al agua intersticial ∆u, de manera que de acuerdo con el
postulado de Terzaghi, las tensiones efectivas iniciales no varían.
Carga aplicada
Tensiones
Compresión
unidimensional o
edométrica
∆u=∆σ1→ ∆σ’ =0
Debido al incremento de p
presión intersticial, el agua
g q
querrá “escapar”
p de la p
probeta, p
pero sólo
podrá hacerlo a través de las piedras porosas superior e inferior. Son las únicas “fronteras
drenantes o permeables”. En consecuencia, tras la carga se creará un flujo de agua, ascendente
en la mitad superior de la pastilla y descendente en la mitad inferior.
Se llama “camino drenante” al recorrido más largo que tiene que hacer una gota de agua en el
interior del suelo para alcanzar una frontera permeable. En el caso del edómetro, el camino
Luis Ortuño
drenante será la mitad de la altura de la pastilla (≅1 cm).
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Antes de la aplicación del escalón de carga la ley de presión intersticial (u0) en la probeta de suelo
es hidrostática y viene gobernada por el nivel de agua en la célula (el “nivel freático”). La aplicación
de un escalón de carga ∆σv da lugar de forma inmediata a un incremento de presión intersticial de
igual magnitud ∆ui = ∆σv. En las fronteras permeables (las piedras porosas), el exceso de presión
de poros se disipa instantáneamente (figura b). En contraste, en el centro de la probeta al agua le
resulta más difícil “escapar” (tiene mayor camino a recorrer), y tardará más en consolidar.
En un instante (t) cualquiera tras la carga, el exceso de presión intersticial remanente variará de un
punto a otro en función de su distancia a las fronteras drenantes. En la figura (c ) se muestra de
forma esquemática una sucesión de leyes de presión de poros para distintos tiempos tras la
aplicación
li
ió d
de lla carga (isocronas).
)
∆σv
Piedra porosa
Piedra porosa
Tomada de González Vallejo, L. et al (2000)
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Dado que se suele hablar de “excesos de presión intersticial” sobre la de equilibrio, o de
incrementos de tensión efectiva, es habitual representar gráficamente tan sólo dichos incrementos
Tomada de González Vallejo, L. et al (2000)
∆σ = ∆σ´+∆u
Luis Ortuño
EJEMPLO DE ENSAYO EDOMÉTRICO
REPRESENTACIÓN GENERAL DE RESULTADOS. “CURVA DE LABORATORIO”
Con la serie completa de escalones de carga y descarga se puede dibujar el gráfico
“tensión-deformación”
tensión deformación del ensayo
ensayo, llevando en ordenadas las deformaciones verticales
unitarias (εv %) o los índices de poros sucesivos (e ), y en abscisas las presiones
efectivas verticales de cada escalón. Como en el caso de los suelos naturales
sedimentarios, estos gráficos se pueden dibujar en escala natural o en escala
semilogarítmica (que afortunadamente aproxima las curvas originales a rectas).
1,6
14
1,4
14
1,4
1,2
1,2
indice de poros
índice de
e poros
1,6
1
0,8
0,6
1
08
0,8
0,6
0,4
0,4
02
0,2
0,2
0
0
10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
100
1000
10000
tensión efectiva vertical (kPa)
tensiones efectivas verticales (kPa)
Tomada de González Vallejo, L. et al (2000)
A partir de la representación en escala semilogarítmica, con algunas correcciones, se
pueden obtener los parámetros de compresibilidad ya descritos, cc y cs.
Luis Ortuño
Ejercicio práctico (a resolver por los alumnos)
Se ensaya en edómetro una probeta de arcilla de altura inicial H0 = 20 mm. Los escalones de
carga y los descensos medidos son los mostrados en la tabla.
Al finalizar el ensayo se determina su humedad, que resulta ser wf=35.8%. Sabiendo que el peso
específico relativo de la arcilla es G=2,65, dibujar la curva edométrica y estimar directamente de
los tramos más rectos de la curva de compresión noval (CCN ó VCL) y de la rama de descarga
(RD), sin correcciones, el índice de compresión y el índice de entumecimiento del suelo.
σ'v (kPa)
5
15
30
45
60
80
150
300
500
100
10
∆Η
0,1
0,31
0,61
0,9
,
1,17
1,5
24
2,4
3,68
4,64
4 56
4,56
4,4
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
DE LA CURVA DE LABORATORIO A LA C
CURVA
URVA DE CAMPO.
SUELO NORMALMENTE CONSOLIDADO.
CONSOLIDADO.
En realidad, debido a la alteración de las muestras durante su extracción y
manipulación, se producen diferencias entre la curva real del suelo y la obtenida en
laboratorio. Para tenerlas en cuenta se corrige la curva de laboratorio:
Construcción de Schmertmann (1955) para suelos NC
1.- La VCL debe pasar por el punto (A), representativo del
estado del suelo a la profundidad de extracción de la
muestra (σ’v0, e0).
2.- Las ramas rectas de los ensayos realizados (por
Schmertmann) sobre muestras con distinto grado de
perturbación , tendían a confluir aproximadamente en e=
0,42e0.
Tomada de González Vallejo, L. et al (2000)
3.-- En consecuencia
3
consecuencia, uniendo el punto A
A, representativo
del estado inicial in situ, con el punto de la curva de
laboratorio para el 42% del índice de poros inicial, se
obtendrá la rama de compresión noval de campo o real
del terreno.
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
DE LA CURVA DE LABORATORIO A LA C
CURVA
URVA DE CAMPO.
SUELO SOBRECONSOLIDADO.
SOBRECONSOLIDADO.
Construcción de Casagrande.
g
Suelos OC
1.- A partir del punto de máxima curvatura, A, se
traza la tangente a la curva edométrica AB y la
horizontal AC.
AC
2.- Se halla la bisectriz, AD, del ángulo formado
por estas rectas.
p
3.- La intersección de esta bisectriz con la
prolongación hacia atrás de la rama de
consolidación noval da un punto,
punto E,
E cuya abscisa
es la presión de preconsolidación σ’p .
Tomada de Jiménez Salas (G&C I)
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
DE LA CURVA DE LABORATORIO A LA C
CURVA
URVA DE CAMPO.
SUELO SOBRECONSOLIDADO.
SOBRECONSOLIDADO. Otros resultados de Schmertmann (1955)
•Desde el punto A se traza una paralela a la
rama de descarga-recarga (d-r).
•Se supone un valor de la presión de
preconsolidación (σ
(σ’p) (por ejemplo con la
construcción de Casagrande), y se obtiene el
punto B.
punto C de la curva de
•Se une B con el p
laboratorio en el que se alcanza 0,42e0,
obteniendo así la rama de compresión noval.
•Se representan las diferencias de índice de
poros (∆e) entre la curva de laboratorio y la
de campo obtenida. Si la presión de
preconsolidación
es
correcta,
la
representación de las diferencias ∆e
resultará simétrica con respecto a σ’p. En
caso contrario se vuelve a estimar otra
Tomada de González Vallejo, L. et al (2000)
presión de preconsolidación y se repite el
proceso
proceso.
La estimación de σ’p no es muy precisa, de manera que e
es
s muy valioso contar con
evidencias geológicas que permitan establecer al menos cualitativamente el grado de
sobreconsolidación del suelo.
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Una observación interesante (pág
(pág
173. G&C, I):
“Si una arcilla está normalmente consolidada, el
punto A de la figura se halla invariablemente
situado a la derecha de la prolongación hacia
atrás de la rama de compresión noval de
laboratorio. Si se han ensayado varias muestras
inalteradas de un estrato de arcilla y siempre se
cumple la condición anterior, el valor de la presión
de preconsolidación es improbable que sea muy
superior a la presión que la arcilla soporta en el
terreno.
Si por el contrario, la presión de preconsolidación
es mucho mayor que la actual, por lo menos
algunos de los puntos A estarán situados a la
izquierda de la recta en cuestión”
cuestión .
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
RECOMENDACIONES PARA DETERMINAR LA PRESIÓN DE PRECONSOLIDACIÓN (Burland, J.B., 1987)
1.- Obtener
1
Obt
evidencias
id
i geológicas
ló i
d la
de
l sobreconsolidación
b
lid ió (¿y
( un orden
d de
d magnitud?)
it d?)
2.- Emplear muestras de calidad
3.- Contar con una población razonable de edómetros
3.- Llevar a cabo las construcciones de Schmertmann y Casagrande
g
4.- Ejecutar escalones pequeños de carga, a un lado y a otro de la posible presión de
preconsolidación, con el fin de obtener el “quiebro” de la curva más definido
5.- Representar también los resultados en escala doblemente logarítmica (log σ’v, log (1+e0))
6 Contar con otros ensayos in situ o de laboratorio
6.RECOMENDACIONES PARA EFECTUAR EDOMETROS (Burland, J.B., 1987)
Especialmente en suelos muy sobreconsolidados, los edómetros suelen sobreestimar la
compresibilidad (alteración de las muestras, errores de refrentado de las probetas, deformabilidad
del propio aparato, etc). Para reducir en alguna medida dicha sobreestimación es recomendable:
1.-Calibrar muy bien el aparato para medir su deformabilidad (y corregir después en consecuencia)
2.-Emplear piedras porosas secas y no inundar la muestra hasta que σ’v≅ σ’v0 . Con esto se
pretende impedir
p
p
el hinchamiento de la p
probeta,, q
que p
puede afectar a la estructura del suelo.
3.-Realizar al menos un ciclo de descarga-recarga entre σ’v0 y
2σ’v0
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Módulo edométrico ((Em
Em)) y módulo de compresibilidad volumétrica ((m
mv)
A veces resulta conveniente manejar parámetros de rigidez o deformabilidad más “ingenieriles”
ingenieriles .
Módulo (Em
Em))
Se define como la relación entre incrementos de presiones efectivas verticales y deformaciones
verticales:
Em =
Em =
∆σ ' v
∆ε v
∆σ ' v ∆ σ ' v
(1 + e0 )
=
∆ε v
∆e
Módulo de (m
(mv)
mv =
1
⇒ ∆ε v = mv ∆σ 'v
Em
Tomada de González Vallejo
Vallejo, L
L. et al (2000)
NOTA: Em No es un módulo de deformación E “elástico” convencional. Em implica un proceso de deformación
lateral nula.
Luis Ortuño
ESTUDIO DE LA COMPRESIÓN UNIDIMENSIONAL EN
LABORATORIO. EL EDOMETRO
Algunas expresiones útiles. El módulo Em instantáneo
Módulo edométrico instantáneo (la tangente a la curva):
log10 a = b; ln e a = c
dσ 'v
Em =
dε v
10b = a; ec = a
10b = e c
b ln e 10 = c ln e e
La deformación vertical (o volumétrica) en forma diferencial resulta:
dε v = −
de
1+ e
dσ ' v
Em = −
(1 + e)
de
luego:
Como
σ'
e0 − e = cc log10 v
σ 'v 0
e0 − e = cc 0,434 ln e
σ 'v
σ 'v 0
Diferenciando:
− de = cc 0,434
dσ 'v
σ 'v
b ln e 10 = c
b = 0,434c ⇒ log10 a = 0,434 ln e a
Y finalmente:
Em =
(1 + e)σ 'v
0,434cc
Luis Ortuño
Ejercicio práctico (a resolver por los alumnos)
Se ensaya en edómetro una probeta de arcilla de Panigaglia (tomada de Lancelotta, R), de altura
inicial H0 = 20 mm e índice de poros inicial e0 =1,50. Los escalones de carga y los descensos
medidos son los mostrados en la tabla. Interpretar el ensayo y dibujar los gráficos que se estimen
oportunos.
σ'v (kPa)
25
50
100
200
400
800
1600
400
100
25
100
400
1600
3200
6400
∆Η
0,184
0
184
0,382
0,878
2 596
2,596
4,078
5,398
6,576
,
6,300
5,900
5,500
5,800
6,100
6,800
7,790
8,666
Luis Ortuño
Aplicaciones e ideas prácticas
1.- Las condiciones de carga de una cimentación cualquiera no inducen en general un estado de
deformación lateral nula (unidimensional), ya que la carga aplicada no es “infinitamente extensa”.
2.- No obstante, el modelo unidimensional se emplea muy frecuentemente para estimar asientos,
especialmente en el caso de suelos finos (limos y arcillas) saturados.
3.- El modelo se aproxima bastante bien a
la realidad cuando la extensión de la carga
es grande en comparación con el espesor
d l estrato
del
t t compresible
ibl (t
(terraplenes
l
y
grandes rellenos o sobrecargas sobre
capas compresibles de espesor discreto)
4.- Incluso cuando la carga no es
comparativamente
ti
t muy extensa,
t
se puede
d
emplear este modelo para el cálculo de
asientos, con algunas correcciones
((Burland,, J.B.,, Broms,, B. & De Mello,, V.))
Luis Ortuño
Aplicaciones e ideas prácticas
5.- Cuando la carga es infinitamente extensa, el incremento de presión en superficie se transmite
íntegramente en profundidad. Lo mismo se puede suponer (para una gran zona central de la capa
compresible al menos) cuando el área cargada es muy extensa en comparación con el espesor de
dicha capa compresible.
6.- Cuando la carga no es muy extensa en comparación con el espesor de la capa compresible, el
incremento de tensión que sufre el suelo necesariamente irá disminuyendo con la distancia
distancia.
(concepto introducido ya de forma cualitativa al hablar de la consolidación)
7.- Evidentemente, el volumen de suelo que “percibe” la carga y asienta en consecuencia
dependerá, entre otras cosas, de la extensión del área cargada. A igualdad del resto de
circunstancias, el asiento será mayor cuanto mayor sea el área cargada.
Luis Ortuño
Aplicaciones e ideas prácticas
A igualdad del resto de circunstancias, el asiento es mayor cuanto mayor
sea el área cargada (“se entera” más suelo)
Luis Ortuño
Aplicaciones e ideas prácticas
El “bulbo de tensiones”
Luis Ortuño
Aplicaciones e ideas prácticas
8.- En definitiva, si se emplea un modelo de compresión unidimensional, el asiento bajo un área
cargada se puede estimar de la forma indicada en la figura (Nótese que el estrato compresible se
puede subdividir en subcapas para tener en cuenta la reducción del incremento de tensiones con
la profundidad, los eventuales cambios en las propiedades del terreno, etc.
Con Em ó mv
S∞i = mv ⋅ ∆σ v ⋅ H i
i
Con cc
c
σ' + ∆σ
S =H ⋅
⋅ log
1+ e
σ'
i
i
c
∞
v0
i
i
0
S = ∑S
n
Y finalmente se suma el asiento de todas las capas
v0
1 xD
i =1
i
∞
Luis Ortuño
i
v
Un ejemplo sobre la relevancia de la zona influencia
Cuando se “olvida” el concepto de área de influencia, bulbo de tensiones
o como quiera llamársele, el resultado puede ser nefasto (tanto como
para no poder jugar un partido de baloncesto).
baloncesto)
El estadio “no pesaba”. “Lo que pesaba” era
la zona de relleno a ejecutar alrededor, con
70 m de ancho y sólo 3 m de altura
Luis Ortuño
Un ejemplo sobre la relevancia de la zona influencia
En estos casos no vale comparar, porque las comparaciones “son
odiosas”.
Q es la
presión
uniforme en
superficie
Luis Ortuño
Un ejemplo sobre la relevancia de la zona influencia
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
∆σ v
Hipótesis:
• Suelo isótropo y homogéneo
• Saturación completa
• Agua y partículas incompresibles
• Suelo isótropo y homogéneo
• Se cumple la ley de Darcy
• K y Em instantáneo, constantes
• Def. unitarias pequeñas
• e es función de σ’
v+
∂v
dx
∂x
v
Elemento de suelo de dimensiones : 1·1·dx
1.- Sea un elemento como el mostrado en la figura (de dimensiones 1·1·dx). Siendo v la velocidad
de flujo, el volumen de agua que entra o sale del elemento por unidad de tiempo (caudal) será:
ENTRA:
SALE
SALE:
v·área = v
(v +
∂v
∂v
dx)·área
dx)
área = (v + dx)
∂x
∂x
Y la diferencia entre el agua que sale y la que entra (el cambio de volumen de agua por unidad de
tiempo):
SALE − ENTRA =
∂v
dx
∂x
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
2.- El cambio de volumen por unidad de tiempo en el elemento elegido (compresión +):
∆e
V
∆V
∂V
1 ∂e
1 + e0
= lim
= lim
= (1·dx)
∂t ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
1 + e ∂t
∆V
NOTA: V
=
∆e
1 + e0
3.- Como el suelo está saturado, el cambio de volumen sólo puede ser debido a la diferencia de
volumen entre el agua que entra y el agua que sale (ni las partículas ni el agua en sí son
compresibles, y tampoco hay fuentes o sumideros en el elemento), luego:
∂v
1 ∂e
=
∂x 1 + e ∂t
Obsérvese que cuando ya no haya cambio de volumen (volumen constante):
∂e
∂v
=0⇒
=0
∂t
∂x
Ecuación fundamental del flujo estacionario
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
3.- Parte izquierda de la ecuación:
1 ∂e
∂v
=
∂x 1 + e ∂t
Secuencia dibujada:
A.- Antes de la sobrecarga, se suponen condiciones hidrostáticas (γwH)
B.- Justo en el instante de la carga, ∆σv=∆ p (p es ahora la presión intersticial)
C.- Instante t tras la aplicación de la sobrecarga
D.- Al final (t=∞), se restablecen las condiciones de equilibrio, el agua volverá a
encontrarse en condiciones hidrostáticas y ∆σv=∆ σ’v
p = u + γ w (H − x) ⎫
u
⎪
p
⇒h=
+H−x+x
⎬
h=
+x
γw
⎪
γw
⎭
Luego:
(u es la presión intersticial “en exceso”
sobre la hidrostática)
∂h 1 ∂u
=
∂x γ w ∂x
k ∂ 2u
∂v ∂
∂h
=
(−k ) = −
∂x ∂x
∂x
γ w ∂x 2
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
3.- Parte derecha de la ecuación:
∂σ' v
Multip. y divid. por
En un instante t :
⇒
∂v
1 ∂e
=
∂x 1 + e ∂t
1 ∂e
1 ∂e ∂σ
σ' v
∂σ
σ' v
=
= mv
1 + e ∂t 1 + e ∂σ' v ∂t
∂t
σ' v = σ' v0 + (∆σ v − u) ⇒
∂u
∂σ' v
=−
∂t
∂t
k ∂ 2u
∂u
−
= −mv
2
γ w ∂x
∂t
Reorganizando:
k ∂ 2 u ∂u
=
γ w m v ∂x 2 ∂t
∂ 2 u ∂u
cv 2 =
∂x
∂t
Ecuación de la
consolidación
unidimensional
Cv: coeficiente de consolidación (cm2/s; m2/s; m2/año…
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
NOTA: También se podría escribir la ecuación en función de la presión intersticial (p), pero
emplear la presión intersticial en exceso (u) permite condiciones de contorno más sencillas.
⎧ ∂ 2p ∂ 2u ⎫
∂ 2 p ∂p
⎪ ∂x 2 = ∂x 2 ⎪
=
p = γ w (H − x) + u ⇒ ⎨
⎬ ⇒ cv
2
∂
p
∂
u
∂x
∂t
⎪
⎪
=
⎩ ∂t ∂t ⎭
Usando u
∂u
=0
∂x
x = H ⇒ u(H,
( t)) = 0
x =0⇒
u(x,0) = ∆σ v
Usando p
∂p
= −γw
∂x
x = H ⇒ p(H, t) = 0
p(x,0) = γ w (H − x) + ∆σ v
x =0⇒
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
(no exactamente la del libro, sino algo más general)
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN:
Condiciones de contorno
(Ojo. Hemos cambiado para esta parte el origen de x)
x = 0 ⇒ u(0, t) = 0
∂u
x=H⇒
=0
∂x
u(x,0) = u i (lineal )
⎡2 H
Mx ⎤
Mx − M 2Tv
e
u(x, t) = ∑ ⎢ ∫ u i (x)·sen
dx ⎥sen
H
H
m =0 ⎣ H 0
⎦
∞
donde:
2m + 1
⎧
π
M=
⎪
2
⎨
c t
⎪Tv = v2 (factor de tiempo)
⎩
H
Nótese que H es el “camino drenante”: el mayor recorrido que ha de realizar
Luis Ortuño
una gota de agua para alcanzar una frontera permeable
Teoría de la consolidación unidimensional
(no exactamente igual que en el libro)
EJEMPLO 1: ui(x)=cte=q
(Esta es la que aparece en el libro)
H
2 H
Mx
2q ⎡ H
Mx ⎤
2q
2q
[
]
q·sen
dx
=
−
cos
=
−
cosM
−
cos0
=
H ⎢⎣ M
H ⎥⎦ 0
M
H ∫0
H
M
∞
2q
Mx − M 2Tv
sen
e
M
H
m =0
u(x, t) = ∑
u i (x) = u t +
EJEMPLO 2: Trapezoidal:
ub − ut
x
H
2
2( b − u t )
2(u
M − M 2Tv
Mx
⎡ 2u
⎤
u(x, t) = ∑ ⎢ t +
senM
sen
e
2
⎥
M
H
M
⎦
m =0 ⎣
∞
u i (x) =
EJEMPLO 3: Triangular
ub
x
H
∞
Mx − M 2Tv
⎡ 2u
⎤
u(x, t) = ∑ ⎢ 2b senM ⎥sen
e T
H
⎦
m =0 ⎣ M
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
CALCULO DE ASIENTOS
(El ejemplo del dibujo, para sobrecarga constante, ui=q)
Incremento de presión efectiva en
un instante t:
∆σ'v (x, t) = u(x,0) − u(x, t)
∆ 'v (x,
∆σ'
( t) = u i ( x ) − u(x,
( t)
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
CALCULO DE ASIENTOS
El asiento (reducción de espesor) de una capita de espesor dx situada a
profundidad
f did d x en un tiempo
ti
t desde
d d la
l aplicación
li
ió de
d la
l carga será:
á
εv
( x ,t )
=
dS( x ,t )
dx
= mv·∆σ 'v ( x ,t )
dS( x ,t ) = mv·∆σ 'v ( x ,t ) ·dx
dS( x ,t ) = mv [ui ( x ) − u( x, t )]·dx
Para todo el estrato considerado:
H
St = ∫ mv ·[ui ( x ) − u( x, t )]·dx
Nótese de la figura que, si mv es cte::
St = mv Area = mv A
0
NOTA: Si mv cambia con la profundidad, se puede subdividir el estrato en subcapas con valores de
mv representativos para cada subnivel.
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
ASIENTO FINAL, S∞
El proceso de asiento terminará cuando t→∞ (asiento de consolidación primaria).
En esas condiciones,
condiciones al restablecerse el equilibrio:
∆σ' v (x, ∞) = u (x,0) = u i ( x ) ; u(x, ∞) = 0
d ( x ,∞ ) = mv·ui ( x )·
dS
) dx
d
H
S∞ = ∫ mv ·ui ( x)·dx
Yp
por lo tanto:
0
En el caso de la figura, con ui=cte, si mv también es constante:
S∞ = mv ·H·ui
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN EN UN PUNTO
El g
grado de consolidación en un p
punto se define como la relación existente entre la
deformación en un instante t y la deformación final en dicho punto (o la relación entre el
asiento en un instante t y el asiento final). Se expresa frecuentemente en %.
U xt =
dS( x ,t ) = mv [ui ( x ) − u( x, t )]·dx
dS( x ,∞ ) = mv·ui ( x )·dx
ε xt dS x t
=
ε f dS x∞
U xt =
ui ( x ) − u( x, t )
u
= 1 − xt
ui ( x )
ui
Ejemplo de cálculo: Uxt para ui=q=cte
∞
2q
Mx − M 2Tv
u(x, t) = ∑ sen
e
H
m =0 M
∞
2
Mx − M 2Tv
e
sen
H
m =0
0M
U xt = 1 - ∑
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN EN UN PUNTO (ui=cte)
La ecuación anterior se representa de la siguiente forma:
Uxt
0 00
0,00
0 10
0,10
0 20
0,20
0 30
0,30
0 40
0,40
0 50
0,50
0 60
0,60
0 70
0,70
0 80
0,80
0 90
0,90
1 00
1,00
Tv =
0
0,1
Tv=0,05
0,2
Tv=0,10
0,3
Tv=0,20
x/H
0,4
0,5
Tv=0,30
,
Tv=0,40
Tv=0,50
0,6
Tv=0 60
Tv=0,60
0,7
Tv=0,70
0,8
Tv=0,80
0,9
1
cv t
H2
Tv=0,90
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN EN UN PUNTO (ui=cte)
Tomada del G&CI, pág 191:
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN MEDIO: Es la relación entre el asiento de
toda la capa en un tiempo t y el asiento final.
St
S∞
Ut =
Ejemplo de cálculo: Grado de consolidación medio para ui=q=cte
H
St = ∫ mv ·[ui ( x ) − u ( x, t )]·dx
0
H
∞
2q
Mx − M 2Tv
sen
e
H
m =0 M
S∞ = ∫ mv ·ui ( x)·dx
u(x, t) = ∑
0
H
H
0
0
S∞ = ∫ mv ·ui ( x)·dx = ∫ mv ·q·dx = mv ·q·H
H
∞
∞
⎡
2q
Mx −M2Tv ⎤
2q ⎛ H
Mx ⎞ −M2Tv ⎤
⎡
St = ∫ mv ·⎢q − ∑ sen
e
⎥
⎥·dx = mv ·⎢q − ∑ M ⎜ − M cos H ⎟ e
H
⎠0
⎣ m=0 M
⎦
⎢⎣ m=0 ⎝
⎥⎦
0
H
S
Ut = t
S∞
⎡
m v ⎢ qqH −
⎣
=
2qH − M 2 Tv ⎤
e
2
⎥
m =0 M
⎦
m v qH
∞
∑
Ut =1−
∞
∑
m =0
2
2
e − M Tv
2
M
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN MEDIO
Para ui constante:
u i (x) = u t
U
B ,t
∞
∑
=1−
m =0
Para ui trapezoidal: u i (x) = u t +
ub − ut
x
H
∞
⎡ 2ut
∑ ⎢⎣ M
U A,t = 1 − m =0
Para ui lineal:
u i (x) =
ub − ut
x
H
∞
2
+
2(ub − ut )
⎤ 2
senM ⎥e − M Tv
3
M
⎦
ub − ut
ut +
2
2 ub − ut
⎤ 2
senM ⎥e − M Tv
2
M
⎦
ub − ut
Luis Ortuño
2
∑ ⎡⎢⎣ M
U C ,t = 1 − m =0
2
− M 2 Tv
T
e
2
M
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN MEDIO
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN MEDIO (CASO PARTICULAR DE ui =cte).
G&C I,
I págs
á 191 y 192:
192
De la ecuación
∞
∑
U =1−
m =0
2
− M 2 Tv
e
M2
se obtiene la siguiente relación entre U y Tv
Tv
0
0,0017
,
0,0077
0,0177
0,0314
0,0491
0,0707
0,0962
0,126
0,159
0,196
U%
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Tv
0,238
0,286
0,342
,
0,403
0,477
0,567
0,684
0,848
∞
Factor de tiempo Tv
0,001
0
0,01
0,1
1
10
Grado de con
nsolidación (U%)
U%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
GRADO DE CONSOLIDACIÓN MEDIO (CASO DE ui =cte).
G&C I, págs 191 y 192:
∞
∑
U =1−
m =0
2
− M 2 Tv
e
M2
puede ser representada con gran precisión mediante las expresiones:
Si U < 60% Tv =
π
4
U2
(para U<60%, una parábola)
Si U > 60% Tv = −0,9332 log
l 10 (1 − U ) − 0,0851
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
Algunas observaciones de interés
1.- Las
1
L áreas
á
definidas
d fi id por las
l isocronas
i
proporcionan
i
ell asiento
i t
producido de forma sencilla e intuitiva:
Producido
Total
St =
S∞ =
A
Em
Hui
Em
Grado de consolidación
U=
A
Hui
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
Algunas observaciones de interés
2.- El dibujo de las isocronas permite comprender con facilidad los efectos de
las variaciones de carga durante los procesos de consolidación.
2.1: Carga adicional durante la consolidación:
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
Algunas observaciones de interés
Asiento hasta t0
2.2.- Descarga
g durante la consolidación:
S t0 =
A
Emc
Asiento total:
S∞ =
A ⎡B
C ⎤
+
−
Emc ⎢⎣ Emc Emd ⎥⎦
NOTA 1: Obsérvese que C supone descarga (reducción de σ’), y por lo tanto hinchamiento.
NOTA 2: Recuérdese que el suelo es más rígido en descarga-recarga que en carga noval (ej. cc
y cs), de manera que Emd>Emc (al contrario con mv, obviamente)
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
Algunas observaciones de interés
1.- Para
1
P
grados
d de
d consolidación
lid ió no excesivamente
i
t pequeños
ñ (di
(digamos
U>25% ó Tv >0,05), las isócronas se pueden asimilar a parábolas.
St =
A
Hui
A
; S∞ =
; U=
Em
Em
Hui
A = Hui −
2
Huc
3
3
uc = (1 − U )ui
2
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
COEFICIENTE DE CONSOLIDACIÓN, TIEMPO DE ESPERA Y CAMINO DRENANTE
De las diapositivas anteriores se deduce que para cada distribución de ui, existe una
relación biunívoca entre U y Tv. Es decir, a cada U le corresponde un sólo Tv, y
viceversa.
Recordando la expresión de Tv:
cv t
Tv = 2
H
donde:
‰ cv es el coeficiente de consolidación, que en principio se supone constante
‰ t es el tiempo transcurrido
y recorrido q
que ha de hacer una g
gota de
‰ H es el “camino drenante”, esto es, el mayor
agua en la capa de suelo que se comprime para alcanzar una frontera drenante,
Resulta que
que, a igualdad del resto de circunstancias,
circunstancias el tiempo necesario para
alcanzar un determinado grado de consolidación (un determinado asiento) es
proporcional al cuadrado del camino drenante.
U ⇔ Tv =
cv t
H2
⇒ t=
Tv 2
H
cv
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
EJEMPLO SOBRE EL TIEMPO DE ESPERA Y EL CAMINO DRENANTE
En los tres casos, con en el mismo perfil de suelo (mismos D y cv), bajo la misma carga
(mismo asiento final), y para el mismo grado de consolidación U (mismo asiento y
mismo Tv), se necesita:
T
ta = v D 2
cv
T
tb = v
cv
2
2
⎛ D ⎞ Tv D
=
;
⎜
cv 4
⎝2⎠
T
tc = v
cv
2
2
⎛ D ⎞ Tv D
⎜ ⎟ =
cv 16
⎝4⎠
ta = 4tb = 16tc
Luis Ortuño
Ejemplo práctico
A la vista de lo anterior, cuando el problema del asiento y su plazo de producción es
relevante (terraplén sobre terreno de marisma
marisma, por ejemplo)
ejemplo), resulta muy importante
investigar adecuadamente el suelo. Con simples sondeos a veces es difícil apreciar
horizontes de mayor permeabilidad.
Lecturas de (u). Piezoconos en el acceso sur al Puerto de Santa María
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
COEFICIENTE DE CONSOLIDACIÓN
cv =
Se puede determinar:
1.2.3.4.-
k ·Em
γw
Directamente, a partir de las curvas deformación-tiempo de los escalones del
ensayo edométrico.
edométrico
A través de medidas in situ de la permeabilidad (¿kh)? y del módulo edométrico
(deducido del ensayo edométrico)
A través de ensayos
y de disipación
p
en p
piezocono (¿
(¿ch?))
A partir de ensayos a escala real (terraplenes de prueba)
‰ NOTA: Con el primer procedimiento (que es el que se va a explicar a continuación), es
frecuente obtener valores de cv sustancialmente pequeños (conservadores ). De hecho, algunos
autores señalan que los cv obtenidos de las curvas de laboratorio pueden ser 10 ó 100 (ó 1000)
veces inferiores a los reales (pastilla de sólo 2 cm).
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
COEFICIENTE DE CONSOLIDACIÓN
Método logarítmico
g
o de Casagrande
g
cv =
k · Em
γw
1.- Asumiendo que al comienzo de la consolidación
la relación asiento-tiempo es parabólica, se
determina la lectura corregida al comienzo de la
consolidación L0. (puede
consolidación,
(p ede coincidir o no con la lect
lectura
ra
inicial real, Li).Para ello se eligen dos puntos con
tiempos en relación 1 a 4 (1 min y 4 min en la figura).
2 Se determina la lectura correspondiente al 100%
2.de consolidación primaria (L100), como la intersección
entre la prolongación hacia atrás de la parte final
(consolidación secundaria) y la tangente en el punto
de inflexión de la curva
curva.
3.- A partir de L50 (lectura corregida para U=50%
calculada como la media aritmética de L0 y L100 ) se
determina t50 en la curva..
curva
4.- Se calcula cv a partir de la expresión:
T50 H 2 0,196 H 2
cv =
=
t50
t50
NOTA: H debe ser la mitad de la altura de la probeta correspondiente
en t50
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
COEFICIENTE DE CONSOLIDACIÓN
cv =
Método de Taylor
y
o de la raíz cuadrada del tiempo
k · Em
γw
1.- Asumiendo que al comienzo de la consolidación
la relación asiento-tiempo es parabólica, la
representación con raíz de t da lugar a una recta. Se
determina L0 prolongando hacia atrás en tramo recto
(puede coincidir con Li real o no).
2.- En teoría, para U=90%, la abscisa real debe ser
1,15
1
15 veces la de la prolongación hacia delante de la
recta anterior. Por lo tanto, se dibujan la recta de
abscisa 1,15 veces la de laboratorio y se determina
L90 y t90
3.- 4.- Se calcula cv a partir de la expresión:
cv =
T 90 H
t 90
2
=
0 , 848 H
t 90
2
NOTA: H debe ser la mitad de la altura de la probeta correspondiente en t90
Luis Ortuño
Teoría de la consolidación unidimensional
COEFICIENTE DE CONSOLIDACIÓN
cv =
k · Em
γw
Correlaciones aproximadas
Como en tantos otros casos de la Mecánica del
Suelo, existen algunas correlaciones que
permiten estimar de forma grosera un orden
de magnitud
g
del coeficiente de consolidación.
En la figura siguiente se muestra una
correlación procedente de la FHWA.
Luis Ortuño
BIBLIOGRAFÍA
‰ Burland, J.B.; Broms, B. & De Mello, V.F.B. (1977): Behaviour of foundations and
structures. State-of-the-art-report, Session 2. Proc. 9th Int. Conf. SMFE. Tokyo.
‰ Federal
F d l Highway
Hi h
Ad i i t ti (2002):
Administration
(2002) “E
“Evaluation
l ti off Soil
S il and
dR
Rock
k Properties”
P
ti ”
Geotechnical Circular Nº. 5. FHWA-IF-02-034.
‰ González de Vallejo, L., Ferrer, M., Ortuño, L. & Oteo, C. (2002): “Ingeniería
G ló i ” Prentice
Geológica”.
P ti Hall.
H ll M
Madrid.
d id
‰ Jiménez Salas, J.A. y Justo Alpañés, J.L. (1975): Geotecnia y Cimientos I. Cap. 5.
Ed Rueda. Madrid.
‰ Jiménez Salas, J.A. et al. (1976): Geotecnia y Cimientos II. Editorial Rueda. Madrid.
‰ Lancellotta, R. (1991): Geotecnica. Cap. 5. Processi di consolidazione. Nicola
p Bologna.
g
Zanichelli editore S.p.a.
‰ Sowers, J.P. et al (2007): Construction Dewatering and Groundwater Control. 3rd
edition. John Wiley & Sons, Inc.
‰ Terzaghi,
Terzaghi K
K. (1936)
(1936). The shearing resistance of saturated soils Proc
Proc. I ICSMFE
ICSMFE, V
V. 1
1,
pp. 54-56.
‰ Tomlinson, M.J. (1987): Foundation Design and Construction. Longmann Scientific
and Technical.
Technical Singapore
Singapore.
‰ Uriel, A. (1982): Fallos Inducidos de Cimentaciones. Escuela de la Edificación.
Madrid.
Luis Ortuño