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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
APLICACIÓN DEL MÉTODO PROMETHEE EN LA JERARQUIZACIÓN DE
TÍTULOS DE UNA CARTERA DE VALORES
Nuria Padilla Garrido1
María Teresa Arévalo Quijada2
Flor María Guerrero Casas3
1
Dpto. de Economía e Historia de las Instituciones Económicas
Universidad de Huelva
2
Dpto. de Economía Aplicada III
Universidad de Sevilla
3
Dpto. de Economía y Empresa
Universidad Pablo de Olavide
Resumen: La selección de una cartera de valores es un proceso complejo en el que han de
evaluarse numerosos títulos en función de criterios en conflicto. La imposibilidad de
alcanzar simultáneamente todos los objetivos perseguidos, unido a la falta de un modelo
financiero globalmente aceptado, crean la necesidad de innovar el enfoque de dicha
selección y convierten a la Decisión Multicriterio en una herramienta complementaria para
resolver este tipo de problemas.
Con dicho propósito proponemos construir una cartera de valores siguiendo dos
etapas, la primera consiste solamente en jerarquizar los distintos activos mediante el método
PROMETHEE, y la segunda trata de asignar los porcentajes de inversión respectivos en
función de la ordenación cardinal obtenida y del intervalo de variabilidad elegido por el
decisor. El primer procedimiento requiere, además, otorgar unos pesos a los diferentes
criterios, para lo que puede utilizarse una herramienta, como el método AHP, que realice
dicha asignación de una manera fiable con información cualitativa y no cuantitativa. Nuestro
trabajo será complementado con una aplicación práctica real que facilite la comprensión de
estas metodologías.
Palabras clave: Cartera, multicriterio, PROMETHEE, AHP.
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Padilla N., Arévalo M.T., Guerrero F.M.
1. INTRODUCCIÓN
La llegada de un espectacular flujo de liquidez al mercado bursátil en los últimos
tiempos, es un fenómeno ocasionado, entre otras razones, porque la Bolsa sigue siendo una
de las mejores fórmulas para rentabilizar el ahorro. Sin embargo, la incertidumbre existente
al invertir en este mercado, crea la necesidad de disponer de alguna herramienta básica que
oriente a aquellos ahorradores individuales que opten por tomar posiciones directamente en
el mismo.
En este sentido, si tenemos en cuenta la necesidad del inversor de evaluar numerosos
títulos en función de criterios en conflicto, la elección de un método multicriterio como el
PROMETHEE
(Brans, Mareschal y Vincke, 1984, 1986), puede ser una opción
complementaria a la propuesta por los modelos de selección de cartera tradicionales. La
necesidad de otorgar unos pesos a los diferentes criterios al aplicar este método, exige,
además, contar con alguna herramienta, como el método multicriterio AHP (Saaty, 1977,
1980), que avalado por su éxito empírico, realice dicha asignación de una manera fiable.
Pero con la aplicación de estas técnicas sólo conseguimos jerarquizar los títulos atendiendo
a los criterios elegidos, siendo necesario completar el problema de selección de cartera
mediante la determinación de los porcentajes de inversión en cada uno de ellos, para tal fin
empleamos la propuesta de Hens, Pastijn y Struys (1992).
La descripción de ambas metodologías y la asignación de los porcentajes de
inversión, propios del problema de cartera de valores, se complementará en nuestro trabajo
con el desarrollo de una aplicación práctica real, que facilitará la comprensión de lo expuesto
y pondrá de manifiesto la ayuda que pueden aportar las técnicas multicriterio al campo de
la selección de inversiones.
2. LOS MÉTODOS PROMETHEE Y AHP
2.1. PROMETHEE
El método PROMETHEE (Preference Ranking Organization METHod for
Enrichment Evaluations), como técnica de decisión multicriterio, trata de establecer,
mediante la evaluación en función de k criterios, f1 , f2 , ..., fk , una ordenación jerarquizada
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en el conjunto A de alternativas. La principal idea que subyace en su filosofía, consiste en
enriquecer la relación de dominio existente entre las distintas alternativas, para lo cual
desarrolla las siguientes etapas:
1) Definición del criterio generalizado
Esta fase requiere que a cada criterio fj se le asocie un criterio generalizado, pj (x),
el cual valorará la preferencia de una alternativa a respecto a una b como una función de la
diferencia entre evaluaciones, fj (a) - fj (b). Con el propósito de facilitar la elección de un
criterio generalizado asociado a cada criterio, Brans et al (1984) proponen seis tipos
diferentes1 (véase Figura 1), para cada uno de los cuales, el decisor deberá fijar, como
máximo, el nivel de dos parámetros de claro sentido económico. Dichos parámetros son los
siguientes: q (umbral que define el área de indiferencia), p (umbral que define el área de
preferencia estricta) y s (parámetro que relaciona los valores de p y q).
Figura 1. Tipos de criterios generalizados
2) Construcción del índice de preferencia multicriterio
El paso siguiente consiste en definir un índice de preferencia multicriterio, π(a,b),
que mida el grado en que a es preferido a b en todos los criterios:
π(a, b) = ∑ w j P j (a , b )
k
j=1
k
donde wj > 0 (j=1, ..., k) es el peso de importancia asociado2 al criterio j, siendo ∑ w j = 1 .
j =1
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Padilla N., Arévalo M.T., Guerrero F.M.
3) Adopción de la decisión final
Se consideran dos flujos de ordenación, el saliente y el entrante, que reflejan el grado
en que una alternativa i domina o es dominada por las restantes, y que se definen
1
∑ π (i, x)
n- 1 x∈A
1
+
φi =
∑ π (i, x)
n- 1 x∈A
respectivamente del siguiente modo:
−
φi =
El flujo de orden saliente representa el carácter dominante de una alternativa, su
poder dominador, por ello será mejor aquella alternativa que tenga mayor flujo de orden
saliente.
El flujo de orden entrante representa la debilidad de una alternativa, en tanto es
dominada por las demás, así será mejor aquella alternativa que tenga un flujo de orden
entrante más pequeño.
A través de estos dos flujos se puede definir un orden parcial entre las alternativas
(Método PROMETHEE I), pudiéndose producir incomparabilidades entre ellas.
Para obtener una ordenación total de las alternativas (Método PROMETHEE II) se
define el denominado flujo neto de orden:
φa = φa+ - φade modo que, una alternativa a superará a otra b si φa > φb y serán indiferentes si φa = φb.
Este flujo de orden neto elimina el problema de las incomparabilidades entre alternativas,
aunque se pierda parte de la información proporcionada por los anteriores flujos.
2.2. AHP
A finales de la década de los 70, Thomas L. Saaty, propuso uno de los métodos
multicriterio más conocidos hoy en día, el Analytic Hierarchy Process o AHP. En este
artículo, lo emplearemos, exclusivamente, para determinar los pesos asociados a los criterios
para implementar el método PROMETHEE.
La ventaja de la utilización de este procedimiento está en la utilización de
información cualitativa en términos de “importancia extrema”, “importancia moderada”,
“importancia débil”, etc.
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Para resolver este subproblema, una vez estructurado el problema a modo de
jerarquía, se realiza un análisis en el que mediante pares de comparaciones, denominadas
«comparaciones pareadas», se mide la importancia relativa de los elementos de un nivel de
la jerarquía con respecto a los del nivel superior. Fruto de las mismas surgen unas matrices,
A, las cuales reciben el nombre de «matrices de comparaciones pareadas».
En una fase posterior, la determinación del principal autovalor de cada matriz A,
λmax, permitirá resolver una serie de problemas del tipo A w = λmax w, donde cada vector w
se denominará «vector de prioridades relativas». La agregación multiplicativa de estos
últimos entre niveles jerárquicos, permitirá obtener, finalmente, los pesos buscados.
3. ORDENACIÓN DE TITULOS SEGÚN DIVERSOS CRITERIOS
Cuando un inversor decide repartir su presupuesto de inversión entre distintos
títulos, trata de combinarlos de modo que la cartera resultante le proporcione la máxima
rentabilidad y liquidez y el mínimo riesgo. La resolución de este tipo de problemas de
carácter multicriterio exige, en primer lugar, disponer de una metodología adecuada. En este
sentido, el método PROMETHEE puede aportar algunas ventajas para ordenar previamente
los títulos, entre las que destacan disponer de un software especítico, PROMCALC
(PROMethee CALCulations) y de un modelo visual asociado, GAIA (Geometrical Analysis
for Interactive Aid), que facilitarán su aplicación, incluso al usuario que no conoce los
fundamentos matemáticos que lo sustentan.
La aplicación del método PROMETHEE comienza por la construcción de una
matriz de decisión (véase Figura 2), en cuya parte superior, el decisor deberá recoger los
siguientes aspectos:
1. Los criterios de decisión. Optamos por seleccionar cinco indicadores: la rentabilidad
histórica y el PER (indicadores de rentabilidad), la beta y la volatilidad (indicadores de
riesgo) así como el volumen de contratación (indicador de liquidez), que actuasen como
criterios de decisión y permitiesen valorar a los títulos en función de los objetivos
perseguidos.
2. El tipo de criterio generalizado asociado a cada uno de los criterios. Una vez decidida la
maximización o minimización de los criterios anteriores, seleccionamos, de acuerdo con los
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seis tipos diferentes de criterios, el tipo III para la rentabilidad histórica y el PER mientras
que el tipo II para los criterios restantes. Se han elegido estos tipos a modo de ejemplo, pero
pueden elegirse cualquiera de las seis propuestas de acuerdo con las preferencias de un
supuesto decisor.
3. El valor de los parámetros asociados a los criterios generalizados (en nuestro caso se
seleccionaron p=5, p=3, q=0.2, q=3 y q=100, respectivamente). Así, por ejemplo, el valor
p=5 asociado al primer criterio indicaría, que al comparar dos títulos, el inversor prefiere
uno estrictamente al otro siempre que la diferencia entre sus rentabilidades históricas supere
el 5%, mientras que en caso contrario, sólo existiría una preferencia lineal entre ambos. Sin
embargo, para un criterio generalizado del tipo II, como el asociado a la volatililidad, el
parámetro q debería interpretarse como un umbral de indiferencia, por debajo del cual,
siempre que la diferencia entre las volatilidades de dos títulos sea menor o igual a un 3%,
ambas alternativas serían indiferentes.
4. Los pesos asignados a los criterios, que previamente vamos a calcular mediante el
procedimiento AHP.
En la parte inferior de dicha matriz de decisión, se reflejarán el conjunto de
alternativas de inversión así como la evaluación de las mismas en función de los criterios
seleccionados (para ello se obtuvieron datos pertenecientes al año 1998 tanto en la Revista
de la Bolsa de Madrid como en el Departamento de Información y Promoción de la misma).
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Una vez completada la matriz, sería interesante conocer la ordenación total de las
alternativas por medio del método PROMETHEE II, tal y como refleja la Figura 3.
Figura 2. Matriz de decisión del problema de selección de carteras
Figura 3. Ordenación total de las alternativas y flujos netos de orden
La adjudicación de unos pesos concretos a cada uno de los criterios juega un papel
crucial en la obtención de este resultado final, por eso cuando el decisor no puede establecer
con exactitud dichas ponderaciones, un análisis de sensibilidad mediante la obtención de los
«intervalos de estabilidad», será de vital importancia, ya que nos permite conocer los valores
entre los cuales puede variar un peso, permaneciendo constantes los demás, de modo que
la ordenación final de títulos no se altere (véase Figura 4).
Este tipo de análisis puede enriquecerse, además, mediante la matriz de
correlaciones entre criterios (véase Figura 5). En nuestro ejemplo, merece la pena destacar
la elevada correlación existente entre los dos criterios relacionados con la rentabilidad (0,67
entre rentabilidad histórica y PER), así como entre los criterios representativos del riesgo
(0,72 entre beta y volatilidad).
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Figura 4. Intervalos de estabilidad de los pesos asociados a los criterios
Figura 5. Matriz de correlaciones
4. CONSTITUCIÓN DE LA CARTERA DE VALORES
El principal inconveniente del método PROMETHEE en la resolución de un
problema de inversión como el nuestro, es que el resultado provoca una ordenación total
de las alternativas, pero no una guía que nos oriente sobre cómo distribuir nuestro
presupuesto entre los distintos activos, que es lo que verdaderamente constituye el problema
de selección de cartera. En este sentido, siguiendo la propuesta realizada por Hens, Pastijn
y Struys3, la información proporcionada por los flujos netos asociados a cada alternativa
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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
puede ser muy útil, ya que si consideramos que éstos varían en la escala [-0,60272,
0,62455], ésta, a su vez, puede transformarse en otra escala de tipo porcentual, que
conserve los tamaños relativos del intervalo y en donde cada título lleve asociado un nuevo
valor de acuerdo con el flujo neto asociado por PROMETHEE II.
Así, denominando pi al porcentaje de inversión en el título i, dicho valor se obtendría
mediante la siguiente fórmula de transformación lineal:
pi = pmin +
pmax - pmin
( φ i - φ min )
φ max - φ min
i = 1, ... , 12
(1)
y considerando además que el presupuesto de inversión ha de repartirse entre los distintos
títulos, o sea:
12
∑ p =1
(2)
i
i =1
obtendríamos un sistema de 13 ecuaciones ((1), i = 1, ..., 12 y (2)) con 14 incógnitas: pmax,
pmin, pi (i=1, ..., 12), el cual resolveríamos simplemente dando un valor a cualquiera de ellas
en función de las preferencias personales del decisor.
Así, por ejemplo, si el decisor establece que el porcentaje máximo que desea invertir
en un determinado título es del 15% con el objetivo de diversificar entre las distintas
alternativas disponibles, o sea, pmax=15%, y exigiendo, lógicamente, que la inversión en cada
título sea, al menos, igual a cero, nuestro sistema tendría una solución única, que nos
indicaría el porcentaje a invertir en cada uno de los 12 títulos:
Títulos
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Porcentaje
1,9
8
9,9
4,4
2,2
10,1
2,5
12,1
11
15
14,6
8,3
4. CONCLUSIONES
Si tenemos en cuenta que no existen aún claves automáticas para ganar invirtiendo
en Bolsa, las múltiples polémicas suscitadas en torno a los modelos de cartera deben
motivarnos en la búsqueda de nuevos planteamientos y nuevas técnicas que complementen
las utilizadas tradicionalmente, como son los procedimientos de decisión multicriterio.
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Mediante la aplicación del método PROMETHEE se ha querido recoger la decisión
del inversor con criterios en conflicto cuando pretende evaluar títulos. Esta acción es llevada
a cabo antes de determinar la cartera de inversión final. La aplicación de dicho método
refleja, por una parte, la amplitud de las desviaciones en las evaluaciones de cualquier par
de alternativas, también, es independiente de las escalas elegidas para los distintos criterios
y, además, incluye parámetros técnicos de claro significado económico.
Por último, la utilización del criterio dado por Hens, Pastijn y Struys para determinar
los porcentajes de inversión entre los títulos elegidos y ordenados, dependiente de la escala
de variabilidad impuesta por el decisor, nos lleva a una cartera de inversiones distinta de los
modelos tradicionales y cuya construcción es relativamente sencilla.
BIBLIOGRAFÍA
BOLSA DE MADRID (1999): “Información Estadística”, Bolsa de Madrid, nº 73, pp. IXXIV.
BRANS, J. P., MARESCHAL, B. y VINCKE, P. H. (1984): “PROMETHEE: a new family
of outranking methods in multicriteria analysis”, en: J. P. Brans (ed.), Operational
Research´84, North-Holland, pp. 477-490.
BRANS, J. P. y VINCKE, P. H. (1985): “A preference ranking organization method, the
PROMETHEE method”, Management Science, vol. 31, pp. 647-656.
BRANS, J. P., VINCKE, P. H. y MARESCHAL, B. (1986): “How to select and how to
rank projects: The PROMETHEE method”, European Journal of Operational
Research, vol. 24, pp. 228-238.
HENS, L., PASTIJN, H. y STRUYS, W. (1992): “Multicriteria analysis of the burden
sharing in the European Community”, European Journal of Operational Research,
vol. 59, nº 2, pp. 248-261.
SAATY, T. L. (1977): “A scaling method for priorities in hierarchical structures”, Journal
of Mathematical Psychology, vol. 5, pp. 234-281.
SAATY, T. L. (1980): The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill, Nueva York.
SAATY, T. L., ROGERS, P. y PELL, R. (1980): “Portfolio selection through hierarchies”,
Journal of Portfolio Management, vol. 6, nº 3, pp. 16-21.
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FUENTES DOCUMENTALES
Departamento de Información y Promoción de la Bolsa de Madrid
1
No obstante, hay que destacar que este conjunto de seis criterios generalizados no es exhaustivo y que el
decisor podrá considerar otros tipos diferentes de acuerdo con sus propias exigencias personales.
2
Debemos poner de relieve que dichos pesos son números reales positivos que no dependen de las escalas
asociadas al criterio.
3
Véase Hens, Pastijn y Struys (1992), pp. 256-257.
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