Manejo Señales sinusoidales - Universidad de La Frontera

Calculando tiempos en señales sinusoidales
J.I. Huircán
Universidad de la Frontera
August 12, 2009
Abstract
El siguiente documento muestra distintas formas de cálculos de tiempos y angulos sobre señales sinuosidales en distintos cuadrantes, las cuales
se encontran desfasadas respecto del origen.
1
Función sinosoidal básica
Las funciones básicas seno y coseno pueden ser expresadas como
f (t) = Am cos(!t + ') o f (t) = Am sin(!t + ')
(1)
Para lo cual se cumple que Am cos(!t + ') = Am sin(!t + ' + 2 ): Am representa
la amplitud de la señal, ! la frecuencia angular en rad/seg y ' un desfase
respecto el origen en radianes. La frecuencia angular está dada por
2
=2 f
T
Donde T es el periodo de la señal como se indica en la Fig. 1.
!=
(2)
f(t)
ϕ
Am sen(ω t+ϕ
)
ωt
ϕ )
Am cos(ω t+
Figure 1: Funciones seno y coseno.
Las ecuaciones de (1) muestran que las señales se encuentran adelantadas en
' radianes. Si ' = 0, entonces, las señales parten del origen.
1
2
Cálculo de tiempos y ángulos
La determinación de los ángulos y tiempos requiere de valores conocidos de la
función, para la aplicación de la función inversa. Si el argumento usado es !t o
t, el valor obtenido será ángulo o tiempo.
2.1
Determinación de ángulos
Sea la señal de la Fig. 2, donde '; '1 ; '2 ; son ángulos conocidos, Am , Am ;
A1 valores dados de la función y la incognita en radianes. Sea función
f (t) = Am cos(!t + ')
(3)
f(t)
Am
ϕ2
α
ϕ1
ω t [ra d]
−ϕ
-A1
-A m
Figure 2: Función coseno adelantado en ' radianes.
Luego, si f ( ) =
A1 ; entonces
A1 = Am cos( + ')
(4)
Así, aplicando la función inversa
arccos
A1
Am
=
+'
(5)
Finalmente, el ángulo queda determinado como
= arccos
2.2
A1
Am
'
[rad]
(6)
Determinación de tiempos
Sea la curva de la Fig. 3, la cual se expresa considerando el adelanto en un
ángulo '; dado en radianes (note que el adelanto es temporal, pero éste se
expresará en términos de un ángulo el cual será calculado más adelante).
Sea la función
f (t) = Am cos(!t + ')
(7)
2
f(t)
Am
A1
t2
-a
t1
tx
t [seg]
-A m
Figure 3: Función coseno expresada en términos del tiempo.
Donde Am ; Am , A1 , valores conocidos de la función, t1 , t2 ; a tiempos
conocidos y tx es el tiempo a determinar. De acuerdo a (2) se tiene
!=
2
t2
t1
rad
seg
(8)
Transformando a en unidades de ángulo usando simple proporcionalidad
'=a = 2 =T .
'=a
2
2
=a
[rad]
T
t 2 t1
(9)
De esta forma, si f (tx ) = A1 , entonces
A1 = Am cos(
tx =
3
t2
t1
2
2
t2
arccos
t1
tx + ')
A1
Am
' [seg]
(10)
(11)
Cálculo de tiempos y ángulos en señales con
componente continua
Sea la señal de la Fig. 4, que está desplazada respecto del origen en una
distancia Ao , note que la amplitud de la sinusoide es la distancia Amax Ao o
Ao Amin , luego la función se expresa como
f (t) = (Amax
Ao ) cos (!t + ') + Ao = (Ao
Amin ) cos (!t + ') + Ao (12)
Donde Amax , Amin , A1 y Ao , son valores conocidos, ! = 2 = (t1 t2 ) [rad=seg],
' = a! [rad] obtenido de (9). De la curva se obtiene que f (tx ) = A1 , así
A1 = (Amax
Ao ) cos (!tx + ') + Ao
3
(13)
f(t)
A max
Ao
A1
t1
-a
tx
Amin
t
2
t [seg]
Figure 4: Señal con componente continua.
Despejando el tiempo
tx =
4
(t1
t2 )
arccos
2
A1
(Amax Ao )
Ao
'
[seg]
(14)
Cálculo de tiempos fuera del primer y segundo
cuadrante
Todos los valores de tiempo y ángulos cálculados corresponden al primer cuadrante de la función, sin embargo, cuando éstos se encuentran en otro cuadrante
el cálculo se torna confuso debido a que la determinación de la función inversa
para la función seno se realiza entre 2 y 2 radianes y para la función coseno
el cálculo es realizado entre 0 y radianes.
Sea la curva de la Fig. 5, la cual puede ser expresada en función del seno o
coseno como f (t) = Am cos(!t + ') = Am sin(!t + ' + 2 ). Se requiere conocer
el ángulo , el cual se encuentra pasado .
f(t)
Am
β
ϕ1
−ϕ
ϕ2
ω t [rad]
-A
1
-Am
Figure 5: Cálculo del ángulo en el III cuadrante.
4
4.1
Cálculo directo del ángulo
Al aplicar la función inversa para el cálculo del ángulo, éste será determinado
en el primer cuadrante, y corresponderá a 0 ; como lo indica la Fig. 6, ahora,
si f ( 0 ) = A1 ; evaluando
A1 = Am cos (
0
+ ')
(15)
f(t)
Am
β0
ϕ1
π−ϕ
−ϕ
β
ω t [rad]
ϕ2
-A
1
-Am
π−ϕ−β 0
Figure 6: Cálculo directo del ángulo.
Entonces
0
= arc cos
A1
Am
' [rad]
(16)
Luego, al valor obtenido en (16) se le suma la distancia que le falta para
llegar a ; la cual es 2 (
'
0 ), …nalmente
=
0
+ 2(
'
0)
=2
0
2'
[Rad]
(17)
La mayor complejidad será la determinación de la distancia a sumar al valor
encontrado.
4.2
Otras formas de cálculo
Una forma más simple calcular el ángulo , es realizar un desplazamiento del
eje de la ordenada, de tal forma que el ángulo quede en el primer cuadrante.
Una vez determinado el ángulo, se le debe sumar el deplazamiento del eje.
4.2.1
Usando la función coseno
Al desplazar el eje como es indica en la Fig. 7, se puede usar la función
Am cos (!t) ; así se determinará un ángulo 1 (note que la nueva función parte
del nuevo origen), así, si f ( 1 ) = A1 ; entonces,
A1 =
Am cos (
5
1)
(18)
f(t)
π−ϕ
Am
β1
β
ϕ1
−ϕ
ϕ2
ω t [ra d]
-A
1
-Am
Figure 7: Corrimiento del eje para cálculo del ángulo en el primer cuadrante.
1
A1
Am
= arccos
(19)
Luego, si el desplazamiento del eje de acuerdo a la Fig. 7 es
=
1
+
'; entonces
'
(20)
La distancia 1 calculada en (19) corresponde a la distancia
'
la Fig. 6, luego, reemplazando este último valor en (20), se obtiene
=
'
0
+
'=2
0
0
de
2'
Lo que corresponde al resultado obtenido en (17).
4.2.2
Usando la función seno
Cuando el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante, se puede usar la función
seno, desplazando el eje al punto correspondiente. La función usada esta vez
será Am sin !t, sin embargo, el nuevo ángulo 2 queda al lado negativo del
nuevo eje (IV cuadrante), entonces se tiene
f(t)
π−ϕ
Am
π
2
β2
ϕ1
β
−ϕ
ϕ2
ω t [ra d]
-A
1
-Am
Figure 8: Desplazando el eje para usar la función seno.
6
A1 = Am sin (
2)
(21)
Así
2
=
A1
Am
arcsin
(22)
Finalmente el ángulo restándole el desplazamiento del eje será
=
5
'+
(23)
2
2
Ejemplo de cálculo de tiempos
Considere la siguiente señal
f(t)
2
0.9
ϕ
1
-1
4
2
5
t [seg]
7
6
tx
-2
De la curva se obtiene T = 8 [seg], entonces
!=
2
2
=
=
[rad=seg]
T
8
4
(24)
Cálculo directo usando la función coseno atrasada en un ángulo ', sea
f (t) =
2 cos (!t
')
(25)
2 [rad]
Por simple proporcionalidad '[rad]
1[seg] = 8[seg] , se obtiene que ' = 4 [rad].
Ahora, tomando el valor de la función en t = tx ; se tiene f (tx ) = 0:9, entonces
0:9 =
tx =
arccos
2 cos
0:9
2
4
tx
4
4
+
4
0
= 3:594 [seg]
(26)
(27)
El cálculo de tx corresponderá a un tx que se encuentra en el II cuadrante,
luego hay que sumarle la diferencia 24t.
7
f(t)
2
0.9
∆t
ϕ
1
-1
2
t 'x
5
4
t [seg]
7
6
tx
-2
Así de acuerdo a la …gura se determina
0
tx = 5 [seg]
4t = 5 [seg]
3:594 [seg] = 1:405 [seg]
(28)
Finalmente
0
tx = tx + 24t = 3:594 + 2 1:405 = 6:405 [seg]
(29)
Cálculo desplazando el eje. Se considera un nuevo origen en t = 5 [seg],
0
se calculará el tiempo tx usando la función coseno f (t) = 2 cos 4 t luego
f(t)
f(t)
2
0.9
ϕ
-1
1
2
4
5
t [seg]
7
6
tx
t'x
-2
0
Evaluando f tx
0
0:9 = 2 cos
0
tx = arccos
0:9
2
4
4
tx
= 1:405 [seg]
(30)
(31)
Sumándole el desplazamiento del eje
0
tx = tx + 5 [seg] = 1:405 [seg] + 5 [seg] = 6:405 [seg]
(32)
Desplazando el eje usando la función seno. El nuevo origen queda en
0
t = 7 [seg], así se ha de calcular el tiempo tx : La función será sin(x)
8
f(t)
f(t)
2
0 .9
ϕ
1
-1
4
2
5
6
t [seg]
7
tx
-t' x
-2
0:9 =
0
tx =
2 sin
arcsin
0:9
2
4
( tx )
4
= 0:594 [seg]
(33)
(34)
Finalmente
tx = 7 [seg]
6
0
tx = 6:405 [seg]
(35)
Conclusiones
Todos los cálculos se basan en la evaluación de la función inversa, conociendo
un valor dado de la función original. Cuando el valor buscado sea tiempo o
ángulo cae fuera de los rangos de la función (coseno o seno) la forma más simple
es desplazar el eje hasta que el valor del ángulo buscado quede en el primer
cuadrante, para el caso de la función seno o en el segundo cuadrante para la
función coseno, luego se le suma la distancia desplazada del eje.
9