Sistema bien condicionado

Práctica 5
Aplicaciones de los sistemas
lineales (II)
Aplicaciones de los sistemas
lineales (II)
„
„
„
„
La ecuación del calor en una placa
Condicionamiento de una matriz
Interpolación polinómica. Matriz de van
der Monde
Integración numérica. Matriz de Hilbert
Ecuación del Calor en un
rectángulo
N
W
C
E
S
–1
–1
TC = (TW + TN + TS + TE)/4
4
–1
Molécula
–1
Sistema de ecuaciones
lineales tomando 9 nodos
50
0
0
50
50
T1
T4
T7
T2
T5
T8
T3
T6
100
100
T9
0
100
50
−1
 4 −1

 −1 4 −1

−1 4

4
 −1

−1
−1

−1


−1




−1
−1
4
−1
−1
50
50
  T1   50 
 T  

0
2
  

  T3   50 
−1
  

T
50
−1
 4  

  T5  =  0 
−1
−1
  

4
−1  T6   50 
  T  150 
4 −1
 7  

−1 4 −1  T8  100 
−1
−1 4   T9  150 
Algoritmo para generar la
matriz (calor2D)
Entrada: n,m dimensiones de la matriz.
Salida: A matriz del sistema.
Proceso:
% cálculo de las diagonales 1 y –1.
p = n*m;
v = ones(1,p-1);
for k = n:n:p-n, v(k) = 0; end
% cálculo de las diagonales n y –n.
w = ones(1,p-n);
% Matriz del sistema
A = 4*eye(p)- diag(v,1) - diag(v,-1)- diag(w,n) - diag(w,-n);
Limitaciones de los Métodos
Directos
„
Acumulación del error de redondeo
Coste de la eliminación: O(n3)
„
Sensibilidad al error de redondeo
Sistemas mal o bien condicionados
Número de condición
„
Estrategia de Pivotación Parcial
„
Llenado de la matriz
Sensibilidad al error de
redondeo
„
Sistema mal condicionado :
Un pequeño cambio en la matriz causa un
gran cambio en la solución.
„
Sistema bien condicionado :
Pequeños cambios en la matriz causan
pequeños cambios en la solución.
„
Condicionamiento de una matriz
Número de condición de una
matriz
„
cond mide el mal condicionamiento
cond(eye(n))=1
cond(matsingular) = inf
„
rcond mide el buen condicionamiento
rcond(eye(n))=1
rcond(matsingular) = 0
„
rcond y det
Pivotación parcial
„
Un algoritmo deficiente puede arruinar un
sistema bien condicionado.
„
Estrategia: Elegir como pivote el elemento
de mayor valor absoluto del resto de la
columna.
„
El operador \ para resolver Ax = b
Interpolación polinómica
Matriz de van der Monde
„
Determinar un polinomio
Pn(x) = an+1 + anx + an-1x2 + ... + a1xn
de grado no superior a n, que pase por n+1 puntos
dados (x1, y1),
(x2, y2),..., (xn+1, yn+1),
Al imponer las condiciones queda un sistema lineal con matriz asociada
al matriz de van der Monde.
1 x1 x12

2
1
x
x
2
2

1 x3 x32

M
M M
2
1 x
x
n+1
n+1

L x1n   an+1   y1 

 
n  
L x2   an   y2 
L x3n  ⋅  an−1  =  y3 
  

M  M   M 
L xnn+1   a1   yn+1 
Integración numérica
Matriz de Hilbert
„
Determinar los coeficientes del polinomio p(x) de modo que
cumplan
∫
1
0
xk p( x ) dx =
∫
1
0
xk f ( x ) dx, k = 0, 1, 2, 3
siendo f(x) una función dada.
Imponiendo las condiciones obtenemos otro sistema lineal
cuya matriz asociada es la denominada matriz de Hilbert .
 1

1 / 2
1 / 3

1 / 4

1/ 2 1/ 3 1/ 4

1/ 3 1/ 4 1/ 5
1/ 4 1/ 5 1/ 6

1 / 5 1 / 6 1 / 7 