Problemas

Normas de vectores y matrices
Problema 1 Sea µ es una norma definida en Fn y A ∈ Fm×n . ¿Qué propiedad debe cumplir
A para que ν(x) = µ(Ax) es una norma en Fm ?
Problema 2 .- Demuestra que para todo x ∈ F n (F = R ó C) se tiene
√
k x k2 ≤k x k1 ≤ n k x k2
√1 k x k2 ≤k x k∞ ≤k x k2
n
k x k∞ ≤k x k1 ≤ n k x k∞
Problema 3 Demuestra las siguientes desigualdades entre los errores relativos en norma y los
errores relativos componente a componente. En todos los casos x, x̂ ∈ Fn .
kx − x̂k∞
|xi − x̂i |
≤ máx
1≤i≤n
kxk∞
|xi |
|xi − x̂i |
kx − x̂k2 √
≤ n máx
1≤i≤n
kxk2
|xi |
kx − x̂k1
|xi − x̂i |
.
≤ n máx
1≤i≤n
kxk1
|xi |
Problema 4 .- Demuestra que cualquiera que sean los vectores x, y ∈ C n , | y ∗ x |≤k x k1 k y k∞
y que por lo tanto k x k22 ≤k x k1 k x k∞ .
Problema 5 .- Demuestra que lı́m kxkp = kxk∞ para todo x ∈ Fn .
p→∞
Problema 6 .- Demuestra que en un espacio vectorial de dimensión finita todas las normas
definidas en él inducen la misma topologı́a.
Problema 7 .- Sea
{xk }∞
k=1
n
= xk1 xk2 · · ·
T
xkn
o∞
k=1
n
una sucesión de vectores en F (F = R o C).
(a) Demuestra que la convergencia de la sucesión {xk } es independiente de la norma de vector
que se elija. Es decir, que converge respecto de una norma si y sólo si converge respecto de
cualquier otra norma.
(b) Utiliza el apartado anterior y la norma `∞ para demostrar que la sucesión {xk } converge al
vector
T
x0 = x01 x02 · · · x0n
si y sólo si lı́m xki = x0i para todo i = 1, . . . , n.
k→∞
Problema 8 .- a) Demuestra que para cualquier norma de matriz k I k≥ 1, k An k≤k A kn y
1
.
si A es no singular k A−1 k≥ kAk
b) Sea ν una norma consistente en C n×n y X ∈ C n×n una matriz no singular. Demuestra que
la función µ(A) := ν(X −1 AX) es una norma de matriz
1
Problema 9 Sea A = Diag(a1 , . . . , an ) una matriz real o compleja diagonal. Experimenta con
MATLAB con varias de tales matrices para calcular kAkp (la norma inducida por la norma
de vector `p ) para p = 1, 2, ∞. ¿Qué resultado observas? Demuéstralo.
Problema 10 Para una matriz cuadrada A ∈ Fn×n (F cualquier cuerpo) se define su radio
espectral como
ρ(A) = máx{|λ| : λ es un valor propio de A}
El objetivo de este ejercicio es demostrar que para cualquier matriz A ∈ Fn×n (F = R o C) y
cualquier norma de matriz k · k, ρ(A) = lı́m kAk k1/k . En lo que sigue suponemos dada una
matriz A ∈ Fn×n (F = R o C).
k→∞
1. Demuestra que para cualquier norma de matriz k · k, ρ(A) ≤ kAk.
2. Demuestra que lı́m Ak = 0 si y sólo si ρ(A) < 1. (Indicación: Puedes usar la forma de
k→∞
Jordan de A aunque no es imprescindible).
3. Demuestra que ρ(A) = lı́m kAk k1/k cualquiera que sea la norma de matriz k · k.
k→∞
Problemas para trabajar en grupo
• Problema 11 .- Entre las normas de matriz, la de Frobenius es una de las más usadas.
Demuestra las siguientes propiedades para la norma de Frobenius de una matriz A ∈ Fm×n
(m ≥ n):
(a) Para todo x ∈ Fn k Ax k2 ≤k A kF k x k2 pero la norma de Frobenius no es una norma
inducida por alguna norma de vector (la misma para los espacios de salida y llegada. En la
segunda parte
√ considera solo el caso√m = n.
(b) k A k1 ≤ m k A kF y k A kF ≤ n k A k1 .
√
(c) Deduce de (a) que k A k2 ≤k A kF . Prueba además que k A kF ≤ n k A k2 .
• Problema 12 .- El objetivo de este ejercicio es afianzar el concepto de norma de operador,
y en particular de la norma espectral. Supongamos que k · k es una norma en Fn . Se define la
norma dual de k · k como k x k0 = supkyk=1 |y ∗ x|.
(a) Demuestra que se puede sustituir sup por máx en la definición de norma dual.
(b) Demuestra que, en realidad, la norma dual de un vector (supkyk=1 |y ∗ x|) es la norma de
un operador; es decir, es la norma inducida en una matriz por algunas normas de vector. ¿De
qué normas de vector y de qué matriz se trata?
(c) ¿Cuál es la norma dual de la norma euclı́dea? ¿Y de las norma duales `1 y `∞ ?
(d) Prueba que si x, y ∈ Fn entonces kxy ∗ k2 = kxy ∗ kF = kxk2 kyk2
(e) Sean x, y ∈ Fn vectores dados tales que kxk2 = kyk2 = 1. Prueba que existe un vector
z ∈ Cn para el que la matriz B = yz ∗ (de rango 1) cumple que Bx = y y kBk2 = 1, siendo
kBk2 la norma espectral de B.
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