series de Fourier - ELAI-UPM

2. Análisis de Fourier
72
Un objeto matemático relacionado con las series es la transformada, introducida por Fourier al estudiar la conducción del calor en una barra de longitud infinita. Se ha aplicado en
área tales como conducción de calor, óptica, procesamiento de señales y probabilidad, y
recibió importantes contribuciones de N. Wiener, quien desarrolló lo que hoy en día se
conoce como análisis armónico generalizado. También se ha vuelto más abstracta en una rama de la matemática conocida como análisis armónico, algunas de las principales figuras
fueron E. Cartan, H. Weyl, y Harish-Chandra.
Las series de Fourier fueron ideadas para estudiar un problema físico; no sorprende entonces que hayan encontrado tantas aplicaciones. Como muestra esta breve reseña, los
intentos para comprender el comportamiento de estas series sentaron las bases del análisis riguroso.
Una de las ramas más teóricas de la matemática es la teoría de números, y a primera
vista parecería que no tiene puntos de contacto con las series de Fourier. Sin embargo,
H. Weyl utilizó los resultados de convergencia de Féjer para probar uno de sus teoremas
más relevantes.
Otra de las áreas de aplicación de las series de Fourier es la cristalografía. En 1985 H.
A. Hauptman y J. Karle ganaron el premio Nobel de Química por desarrollar un nuevo
método de cálculo de las constantes cristalográficas a partir de sus coeficientes de Fourier,
que pueden inferirse por mediciones. Dos ingredientes fundamentales de su desarrollo
son el teorema de Weyl comentado más arriba, y los teoremas de Toeplitz sobre las series
de Fourier de funciones no negativas.
Recientemente, el desarrollo de métodos computacionales rápidos para el cálculo de una
versión discreta de la transformada de Fourier, iniciado por J. Cooley y J. Tukey en 1965,
aumentaron enormemente su rango de aplicación. La transformada rápida de Fourier
(FFT) tuvo una difusión tan masiva que en 1993 se estimó que casi la mitad de todo el
tiempo de cálculo de las supercomputadoras se gastaba calculando FFT, aún para tareas
tales como la multiplicación de grandes números.
Otro desarrollo reciente que ha recibido gran atención es la teoría de onditas (wavelets).
En este caso las funciones no se expanden en series de Fourier, sino utilizando otras bases
ortogonales que son apropiadas para cálculos eficientes, lo que dio lugar a nuevos algoritmos utilizados en procesamiento de señales y para la solución numérica de ecuaciones.
2.2.
Series de Fourier
Una señal x̃ (t) es periódica de período T0 si x̃ (t) = x̃ (t + kT0 ) para todo k entero. La
expansión en series de Fourier consiste en expresarla como una suma infinita de términos
seno y coseno, que habitualmente se escribe como
∞
x̃ (t) = a0 +
∑
k =1
ak cos
∞
2π
kt + ∑ bk sin
T0
k =1
2π
kt .
T0
(2.10)
Los coeficientes ak y bk representan las amplitudes de los términos coseno y seno, respectivamente. La cantidad 2π/T0 =
˙ Ω0 es la frecuencia angular fundamental de la señal,
y en consecuencia, la cantidad k(2π/T0 ) =
˙ kΩ0 representa el k-ésimo armónico de la
frecuencia fundamental. Cada una de las funciones seno y coseno de la expresión (2.10)
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2.2. Series de Fourier
73
Fig. 2.3. Veri…cación grá…ca de las ecuaciones (2.11) y (2.13), para m 6= n, y de la ecuación
(2.12).
se denomina función base, y forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo T0 , lo que
significa que satisfacen las siguientes relaciones:
(
Z T0
T0 /2,
m = n,
cos mΩ0 t cos nΩ0 t dt =
(2.11)
0
0,
m 6= n,
Z T0
0
Z T0
0
cos mΩ0 t sen nΩ0 t dt =
sen mΩ0 t sen nΩ0 t dt =
(
0,
para todo m, n,
T0 /2,
m = n,
0,
m 6= n.
(2.12)
(2.13)
Estas relaciones pueden verificarse analíticamente (calculando la integral) o bien estudiando gráficamente el producto de dos señales de diferentes frecuencias, tal como se
ve en la Fig. 2.3: el producto de dos armónicos de distinta frecuencia, en el lapso de un
período fundamental de la señal genera una función con idéntica área por encima y por
debajo del eje de las abscisas, y por lo tanto el área neta (la integral) es nula.
Para determinar el coeficiente a0 , se integran ambos miembros de la ecuación (2.10) sobre
un período completo:
"
#
Z T0 /2
Z T0 /2
Z T0 /2
∞
2π
2π
x̃ (t) dt =
a0 dt +
∑ ak cos k T0 t + bk sin k T0 t dt = a0 T0 ,
T0 /2
T0 /2
T0 /2 k =1
ya que las integrales sobre un período de tiempo de los términos cos kΩ0 t y sen kΩ0 t son
nulas. Se encuentra entonces que a0 es el valor medio de la señal periódica x̃ (t) sobre un
período, es decir
Z
1 T0 /2
x̃ (t) dt.
(2.14)
a0 =
T0 T0 /2
Para determinar los coeficientes ak se multiplican ambos miembros de la ecuación (2.10)
por la función cos kΩ0 t, y se integra sobre un período completo. Es indistinto integrar
sobre el intervalo T0 /2
t < T0 /2 o sobre el intervalo 0
t
T0 , como se verá en la
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2. Análisis de Fourier
74
Sección 2.4 (Ejemplo 2.14). Utilizando las identidades (2.11) y (2.12), se encuentra que
Z T0 /2
2
T0
ak =
T0/2
k = 1, 2, . . .
x̃ (t) cos kΩ0 t dt,
(2.15)
De manera análoga, aplicando la ecuación (2.13) puede determinarse que
bk =
2.2.1.
2
T0
Z T0 /2
T0 /2
k = 1, 2, . . .
x̃ (t) sen kΩ0 t dt,
(2.16)
Serie de Fourier con exponenciales complejas
La serie de Fourier de la ecuación (2.10) se puede escribir de una manera más compacta
utilizando exponenciales complejas; basta sustituir en (2.10) los términos seno y coseno
por su forma exponencial
cos kΩ0 t =
sen kΩ0 t =
1 jkΩ0 t
e
+e
2
1
e jkΩ0 t e
2j
jkΩ0 t
,
jkΩ0 t
=j
1
2
e jkΩ0 t + e
jkΩ0 t
.
Se obtiene entonces
∞
x̃ (t) = a0 +
∑
k =1
ak
jbk
2
e jkΩ0 t +
ak + jbk
2
Definiendo el número complejo ck en base a ak y bk como
8
1
k > 0,
>
> 2 ( ak jbk ) ,
>
<
a0 ,
k = 0,
ck =
>
>
>
: 1 a( k) + jb( k) ,
k < 0,
2
e
jkΩ0 t
.
(2.17)
(2.18)
se puede escribir la ecuación (2.17) de manera más simple:
∞
x̃ (t) =
∑
ck e jkΩ0 t ,
(2.19)
k= ∞
donde
Z
1 T0 /2
x̃ (t) e jkΩ0 t dt, k = 0, 1, 2, . . .
(2.20)
T0 T0 /2
La expansión en series (2.19) se conoce como serie de Fourier compleja. Los coeficientes ck
dados por (2.20) son los coeficientes complejos de Fourier3 .
ck =
La ecuación (2.20) explica cómo calcular todos los coeficientes complejos de Fourier a
partir de una señal periódica x̃ (t) dada. Por ello se la suele denominar ecuación de análisis.
Por otra parte, la ecuación (2.19) indica cómo reconstruir la señal x̃ (t) a partir de un
conjunto de coeficientes ck dados, y por tal motivo se la suele denominar ecuación de
síntesis.
3 La
derivación de la ecuación (2.20) también puede obtenerse siguiendo un procedimiento similar al
utlizado para la serie de senos y cosenos, sabiendo que
(
Z T0
Z T0
T0 ,
n = m,
jnΩ0 t jmΩ0 t
j ( n m ) Ω0 t
e
e
dt =
e
dt =
0,
en caso contrario.
0
0
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2.2. Series de Fourier
75
Algunas propiedades
El análisis de (2.18) y (2.20) revela que:
1. Si la función x̃ (t) es par los coeficientes ck son reales. En efecto, si x̃ (t) es par, esto es
x̃ (t) = x̃ ( t), la serie (2.10) es una serie de cosenos (los coeficientes bk son nulos).
De (2.18) se observa que ck = c( k) 2 R (k 0).
2. Si x̃ (t) es impar, i.e. x̃ (t) = x̃ ( t) , los coeficientes ck son imaginarios. En este
caso la serie (2.10) es una serie de senos (los coeficientes ak son nulos), y de (2.18) se
desprende que ck = c( k) 2 I (k 0).
3. Si x̃ (t) es real
ck = c
k,
(2.21)
donde el símbolo “ ” indica conjugación.
2.2.2.
¿Qué significan las frecuencias negativas?
De acuerdo la representación de la serie compleja (2.19), una señal periódica contiene
todas la frecuencias (positivas y negativas) que están armónicamente relacionadas –en
relación entera– con la frecuencia fundamental Ω0 . Según Haykin (1989), la presencia de
las frecuencias negativas se debe a que el modelo matemático de la señal descrito por la
ecuación (2.19) requiere el uso de frecuencias negativas. De hecho, esta representación
utiliza una función base (e jkΩ0 t ) que toma valores complejos, lo que tampoco tiene significado físico. La razón de utilizar funciones que toman valores complejos y componentes
de frecuencia negativas permite una descripción matemática compacta de una señal periódica, que es útil tanto para la teoría como para las aplicaciones.
Sin embargo, para Porat (1997) la existencia física de las frecuencias negativas se manifiesta, por ejemplo, al pensar en el giro de una rueda. Ciertamente la rotación en sentido
horario es diferente del giro en sentido antihorario; de modo que si la velocidad angular
de una rueda que gira en sentido antihorario se define como positiva, la rotación en sentido horario será negativo. La frecuencia angular de una señal juega el mismo papel que la
velocidad angular de la rueda y puede tomar cualquiera de los dos signos. Para señales
que toman valores reales, la propiedad de simetría conjugada ck = c( k) (2.21) de los coeficientes de la serie de Fourier –o de la transformada de Fourier X ( f ) = X ( f ) que se
estudia en la Sección 2.5.10– oculta la existencia de frecuencias negativas. Sin embargo,
para señales complejas las frecuencias positivas y negativas son diferentes. Por ejemplo,
la señal compleja e j2π f0 t con f 0 > 0 es distinta de la señal con f 0 < 0.
Las señales complejas también son motivo de controversia, debido a que tales señales
no suelen encontrarse como entidades físicas. En realidad, sirven como representaciones
matemáticas apropiadas para señales reales de cierto tipo. Un ejemplo familiar en de
ingeniería eléctrica es la representación fasorial de tensiones y corrientes alternas utilizada en el análisis de estado estacionario de circuitos eléctricos. Una tensión real v(t) =
vm cos (2π f 0 t + φ0 ) se representa con el fasor V = vm e jφ0 ; la relación entre v(t) y V es
v(t) = RefVe j2π f0 t g. El fasor representa la señal alterna real con una señal constante compleja V.
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2. Análisis de Fourier
76
2.2.3.
Espectro discreto
La representación de una señal periódica por medio de una serie de Fourier es equivalente a resolver la señal en sus diferentes componentes armónicos. La expresión de la serie
de Fourier compleja (2.19) indica que una señal periódica x̃ (t) de período T0 tiene componentes de frecuencia 0, f 0 , 2 f 0 , 3 f 0 , . . ., donde f 0 = 1/T0 es la frecuencia fundamental. Mientras que x̃ (t) pertenece al dominio tiempo, donde t es una variable definida
continuamente sobre un intervalo finito o infinito, su descripción en el dominio de la frecuencia consta de componentes ck concentrados en las frecuencias k f 0 , k = 0, 1, 2, . . . . El
gráfico de ck en función de la frecuencia f = k f 0 = k/T0 se denomina espectro4 de la señal.
Dada una señal x̃ (t) se puede determinar su espectro utilizando la ecuación de análisis
(2.20); recíprocamente, si se especifica el espectro, es posible determinar la señal temporal
asociada utilizando la ecuación de síntesis (2.19). Esto implica que la señal periódica x̃ (t)
puede especificarse de dos formas equivalentes:
1. en el dominio tiempo, donde se representa x̃ (t) como una función de la variable real
tiempo;
2. en el dominio frecuencia, donde la señal es descrita por su espectro en función de las
frecuencias armónicas de f 0 .
Ambas representaciones son aspectos diferentes de un mismo fenómeno, y no son independientes una de otra, sino que están fuertemente relacionadas entre sí por las ecuaciones de síntesis y análisis (2.19) y (2.20), respectivamente.
En general, el coeficiente de Fourier ck es un número complejo, de modo que se puede
expresar en la forma polar
ck = jck j e j arg(ck ) .
El término jck j define la amplitud de la k-ésima componente armónica de la señal x̃ (t) ,
y la gráfica de jck j versus la frecuencia permite obtener el espectro de amplitud discreto de
la señal. El gráfico del arg (ck ) en función de la frecuencia se denomina espectro de fase
discreto de la señal. Se dice que el espectro es discreto porque tanto la amplitud como
la fase de ck están concentrados en frecuencias que son múltiplos enteros (positivos y
negativos) de la frecuencia fundamental f 0 , y no están definidos para otros valores de
frecuencia.
Las propiedades de la Sección 2.2.1 muestran que los coeficientes complejos de Fourier
(2.20) de una señal x̃ (t) que toma valores reales verifican c( k) = ck , donde ck es el
complejo conjugado de ck . Es un hecho conocido que
c(
k)
= jck j = jck j ,
y
arg (c
k)
= arg (ck ) =
arg (ck ) .
Esto significa que el espectro de amplitud de una señal periódica x̃ (t) que tome valores
reales es simétrico (una función par de la frecuencia), y que el espectro de fase es antisimétrico (una función impar de la frecuencia) respecto de un eje vertical que pase por el
origen.
4 El término “espectro” proviene del latín spectrum, o imagen. Fue utilizado originariamente por Newton
en sus investigaciones sobre la naturaleza de la luz.
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2.2. Series de Fourier
77
Fig. 2.4. Espectro discreto de x̃ (t) = A cos Ω0 t: módulo-fase ( a) y parte real-parte
imaginaria (b) .
E JEMPLO 2.1. Serie de Fourier de una constante
Si bien una señal constante x̃ (t) = A, ∞ t ∞ no es una señal periódica típica, es fácil ver que
cumple con la condición que x̃ (t) = x̃ (t + T0 ) para todo t y cualquier T0 ; es una señal periódica de
período arbitrario. Los coe…cientes de la serie de Fourier se calculan a partir de la ecuación (2.20),
resultando para k = 0,
c0 =
y para k 6= 0, k =
ck
=
=
=
1,
2,
Z
1 T0 /2
T0
T0 /2
1
T0
Z T0 /2
T0 /2
x̃ (t) dt =
1
T0
Z T0 /2
T0 /2
A dt = A,
3, . . .
x̃ (t) e
jkΩ0 t
dt =
A
e jkΩ0 T0 /2
jkΩ0 T0
A
sen kπ = 0.
πk
1
T0
1
Ae
jkΩ0
e jkΩ0 T0 /2 =
jkΩ0 t
T0 /2
T0 /2
A
[ 2j sen (kΩ0 T0 /2)]
jkΩ0 T0
(2.22)
(En el desarrollo del último término de (2.22) se tuvo en cuenta que Ω0 T0 = 2π ). En consecuencia,
el espectro discreto de una señal constante x̃ (t) = A consta de un único valor A para la frecuencia
f = 0, asociada a k = 0. En este caso no tiene sentido hablar de los “armónicos superiores”.
E JEMPLO 2.2. Serie de Fourier de un coseno
La función periódica x̃ (t) = A cos Ω0 t se puede expresar, aplicando la fórmula de Euler, como
x̃ (t)
=
=
A cos Ω0 t
A jΩ0 t A
e
+ e
2
2
jΩ0 t
.
Una comparación con la ecuación (2.19) revela que esta expresión coincide con la serie de Fourier;
por lo tanto, los únicos coe…cientes complejos no nulos son c( 1) y c1 , y su valor es
c(
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1)
= c1 =
A
.
2
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2. Análisis de Fourier
78
Fig. 2.5. Espectro discreto de x̃ (t) = A sen Ω0 t: módulo-fase ( a) y parte real-parte imaginaria (b) .
De modo que el espectro discreto de una señal tipo coseno es real, y sólo tiene dos valores no nulos,
correspondientes a la primera armónica k = 1, o bien a las frecuencias Ω0 , tal como se muestra
en la Fig. 2.4, en donde el espectro discreto ha sido gra…cado en las dos formas típicas: módulo y
fase o parte real-parte imaginaria.
E JEMPLO 2.3. Serie de Fourier de una sinusoide
De manera similar, puede determinarse el espectro de una señal x̃ (t) = A sen Ω0 t. Teniendo en
cuenta que
sen Ω0 t
=
=
1
e
2j
j
e
2
jΩ0 t
jΩ0 t
+
1 jΩ0 t
e
2j
j jΩ0 t
e
2
se deduce que el espectro discreto consta solamente de dos valores no nulos, correspondientes a la
primera armónica (frecuencia Ω0 ), para k = 1 y cuyos valores son
c(
1)
=j
A
,
2
c1 =
j
A
.
2
Este espectro es imaginario puro, como muestra la Fig. 2.5 tanto en módulo y fase como en la forma
parte real-parte imaginaria.
E JEMPLO 2.4. Serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares
La Fig. 2.6 muestra un tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud A, duración τ y período
T0 . Por conveniencia se elige que el origen del tiempo (t = 0) coincida con el centro del pulso. Sobre
un período T0 /2 < t T0 /2, la señal puede describirse analíticamente como
8
A,
τ/2 < t < τ/2,
>
>
<
A/2, t = τ/2,
x̃ (t) =
>
>
:
0,
en caso contrario.
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2.2. Series de Fourier
79
Fig. 2.6. Tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud A, duración τ, y período T0 .
El espectro discreto de x̃ (t) formado por los coe…cientes complejos ck se calcula a partir de la
ecuación (2.20). Se encuentra que5
ck
=
=
Z
Z τ/2
1 T0 /2
1
x̃ (t) e jkΩ0 t dt =
T0
T
T0 /2
0
A
k
sen πτ
, k = 0, 1,
πk
T0
Ae
jkΩ0 t
dt
τ/2
2, . . .
que, por motivos que serán evidentes más adelante, también puede escribirse como
k
τ sen πτ T0
ck = A
,
T0
πτ Tk
k = 0,
1,
2, . . .
(2.23)
0
El espectro de amplitud jck j y de fase arg (ck ) en función de los valores discretos de frecuencia
f k = k/T0, para un ciclo de trabajo τ/T0 = 1/5, se ha gra…cado en la Fig. 2.7. Se observa que:
1. El espaciado entre las líneas del espectro de la Fig. 2.7 está determinado por la frecuencia
fundamental f 0 de la señal, que es la inversa del período T0 , f 0 = 1/T0 .
2. La envolvente de la magnitud del espectro está determinada por la amplitud A y la duración
τ del pulso, y sigue una forma tipo (sen x ) /x. El valor del espectro a la frecuencia f = 0 es
precisamente el valor medio o de continua de la señal x̃ (t) , que vale Aτ/T0 (como se deduce
de la Fig. 2.6).
3. La envolvente del espectro de amplitud cruza por cero en frecuencias que son múltiplos de
1/τ (el ancho del pulso), y que pueden o no coincidir con las líneas espectrales separadas
k/T0 . En este caso particular, como τ/T0 = 1/5 los ceros de la envolvente del espectro se
anulan para los múltiplos de 5 veces la frecuencia fundamental, como revela la Fig. 2.7( a).
4. El espectro de fase toma los valores 0 y π, según sea el signo de [sen (πτk/T0 )] / (πτk/T0 ).
La elección del signo de π (positivo o negativo) es irrelevante; en la …gura se han elegido de
forma de preservar la antisimetría. Debe resaltarse que el valor de la fase es inde…nido para
aquellos armónicos en donde se anula ck (en este caso, los múltiplos de 5 f 0 ); esta inde…nición
en la fase se ha indicado con cruces en la Fig. 2.7(b).
Observación: En la Fig. 2.4 y en la Fig. 2.5 el espectro se ha graficado en función de las
armónicas de la frecuencia angular Ω0 = 2π/T0 (en radianes por segundo), mientras que
en la Fig. 2.7 la variable independiente son los armónicos de la frecuencia fundamental
f 0 = 1/T0 (en ciclos por segundo). Aunque las dos representaciones son equivalentes,
se verá más adelante que en ciertos casos una puede ser más conveniente que la otra
pues algunas constantes de proporcionalidad toman valores unitarios.
5 En
muchas aplicaciones, el valor de la función en t = τ/2 es irrelevante, y las funciones
8
τ/2 < t < τ/2,
< A,
A, τ/2 t τ/2,
A, τ/2 < t < τ/2,
x̃1 (t) =
x̃2 (t) = A/2, t = τ/2,
x̃3 (t) =
0, en caso contrario,
0, en caso contrario,
:
0,
en caso contrario,
aunque matemáticamente diferentes, suelen ser representaciones equivalentes de un mismo fenómeno físico.
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2. Análisis de Fourier
80
Fig. 2.7. Espectro discreto del tren periódico de pulsos rectangulares para un ciclo de trabajo
τ/T0 = 1/5; amplitud ( a) y fase (b) .
2.2.4.
La función sinc( )
Esta función juega un papel muy importante en el análisis de Fourier, en el estudio de
sistemas lineales e invariantes en el tiempo y en la teoría de comunicaciones en general.
Se define la función sinc( ) como
sen πx
sinc( x ) =
,
(2.24)
πx
cuya grafica se representa en la Fig. 2.8. La función sinc( x ) alcanza su máximo en x = 0,
donde vale 1 (puede probarse aplicando la regla de l’Hôpital), y tiende a cero cuando
x tiende a ∞, oscilando entre valores positivos y negativos, con una envolvente que
decae según 1/x. La función pasa por cero para los valores enteros de la variable x, es
decir, cuando x = 1, 2, . . . etc. El tramo de la función entre dos ceros consecutivos se
denomina lóbulo. El tramo comprendido entre x = 1 es el lóbulo principal, y los demás
son los lóbulos laterales.
Los extremos relativos ocurren en x = xk donde d[sinc( x )]/dx = 0, es decir cuando
πxk cos(πxk )
sen(πxk ) = 0,
o bien
tan(πxk )
πxk = 0.
Esta es una ecuación trascendente, y no puede resolverse de forma analítica. Los primeros
extremos relativos y los valores de la función en estos puntos se listan en la Tabla 2.2. Esta
tabla muestra que la abscisa del extremo y su módulo son aproximadamente k + 1/2, y
[π (n + 1/2)] 1 para el k-ésimo lóbulo, cuando k ! ∞.
Aunque no es trivial, puede demostrarse que el área encerrada por la función sinc( ) es
finita:
Z ∞
sinc( x ) dx = 1,
∞
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2.2. Series de Fourier
81
Fig. 2.8. La función sinc( x ).
Tabla 2.2: Ubicación y valor de los extremos relativos.
abscisa xk
0,000
1,430
2,459
3,471
4,477
5,482
6,484
7,486
8,488
sinc( xk )
1,000
0,217
0,128
0,091
0,071
0,058
0,049
0,042
0,037
y en forma general,
Z ∞
∞
sinc( ax )dx =
1
,
j aj
es decir, que la integral de la función converge. Esta igualdad se puede demostrar de
manera sencilla aplicando los resultados de la Sección 2.5.12. Es interesante comparar el
área de los distintos lóbulos. El área del lóbulo principal es
A0 =
Z 1
1
sinc( x ) dx =
2
Si(π ) = 1,17898,
π
Rx
donde Si( x ) = 0 sen(σ) dσ es la función seno integral, cuyos valores están tabulados. Si
Ak indica el área del k-ésimo lóbulo, se encuentra que
Ak =
1
Si[(k + 1)π ]
π
1
Si(kπ ).
π
Algunos valores de las áreas de los lóbulos laterales expresados en porcentajes del área
total se listan en la Tabla 2.3, y se representan en la Fig. 2.9( a). En la Fig. 2.9(b) se muestra
que el área es muy aproximadamente inversamente proporcional al número de lóbulo.
Tabla 2.3: Área relativa de los lóbulos laterales.
lóbulo
área ( %)
0
118
1
13,8
2
8,2
3
5,8
4
4,5
5
3,7
6
3,1
7
2,7
8
2,4
9
2,1
Si bien la función sinc( ) tiene área acotada, esto no ocurre para j sinc( )j, lo que se
demuestra fácilmente separando el intervalo de integración en segmentos de longitud
1/a (la distancia entre ceros sucesivos del sinc), y notando que jsen(πax )/(πax )j
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2. Análisis de Fourier
82
Fig. 2.9. Área de los lóbulos de la función sinc( ).
jsen(πax )/(πn)j para (n
Z ∞
sen(πax )
0
πax
Z 1/a
dx
0
=
1
π
∞
1)/a
sen(πax )
π
1
∑n
n =1
Z n/a
x
n/a. Entonces
dx +
Z 2/a
1/a
(n 1)/a
sen(πax )
2π
dx +
jsen(πax )j dx =
2
π
+
Z n/a
(n 1)/a
∞
sen(πax )
nπ
2
1
∑ n jcos(nπ )j = π
n =1
dx +
∞
1
.
n
n =1
∑
La serie del último término, conocida como serie armónica, no converge. Por lo tanto,
lı́m
T !∞
Z T
T
jsinc( ax )j dx ! ∞.
Utilizando la función sinc( ) la expresión (2.23) de los coeficientes ck de la serie de Fourier
del tren de pulsos rectangulares del Ejemplo 2.4 se puede escribir de manera más compacta como
k
τ
, k = 0, 1, 2, . . . .
ck = A sinc τ
T0
T0
2.3.
La transformada de Fourier
La transformada de Fourier juega un papel importante en muchas ramas de la ciencia. Si bien puede ser pensada de manera estrictamente funcional, como es común en
el tratamiento de otras transformadas, también asume en muchos casos un significado
físico tan preciso como el de las funciones de las cuales se deriva. Una forma de onda –
óptica, eléctrica o acústica– y su espectro son apreciados igualmente como representación
matemática o entidades medibles: un osciloscopio nos muestra la forma de onda, y un
espectrómetro (un prisma!) o un analizador de espectro revela el espectro óptico o eléctrico. La apreciación acústica es más directa, ya que el oído “oye” el espectro. Las formas
de onda y los espectros son transformadas unas de los otros; la transformada de Fourier
es entonces una relación eminentemente física.
En muchas ramas de la ciencia se conocía la teoría de Fourier no en forma matemática,
sino como un conjunto de proposiciones acerca de un fenómeno físico. Frecuentemente,
la interpretación física de un teorema es un hecho experimentalmente comprobable, y
esto permite al científico mantenerse alejado de lo que matemáticamente puede ser muy
abstracto. El énfasis en la interpretación física permite tratar de manera natural con tópicos que normalmente se considerarían mas “avanzados”.
Procesamiento Digital de Señales
U.N.S. 2011