solución de problemas de números reales

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DE NÚMEROS REALES
Al finalizar el capítulo el alumno
manejará operaciones con
números reales para la solución
de problemas
Reforma académica 2003
9
SECRETARÍA DE
EDUCACIÓN
PÚBLICA
Colegio Nacional de Educación Profesional
Técnica
MAPA CURRICULAR
Matemáticas I
Aritmética y
Álgebra
Módulo
72 h
1. Solución de
problemas de
números reales.
2. Manejo de
expresiones
algebraicas.
Unidad
de
aprendizaje
17 h
27 h
3. Solución de
ecuaciones de
primer y segundo
grado y sistemas
de ecuaciones de
primer grado.
28 h
1.1 Identificar los subconjuntos de los números reales de acuerdo
con su clasificación.
1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con
números reales.
Resultados
del
aprendizaje
10
2.1 Realizar operaciones con expresiones algebraicas de acuerdo
con los procedimientos establecidos.
2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos
notables y factorización.
3.1 Resolver problemas que involucren la solución de una ecuación
de primer grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
3.2 Resolver problemas que involucren la solución de sistemas de
ecuaciones de primer grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
3.3 Resolver problemas que involucren la solución de ecuaciones de
segundo grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
Reforma académica 2003
2h
15 h
17 h
10 h
8h
10 h
10 h
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
SUMARIO
Números reales
Propiedades de los números reales
Orden de las operaciones
Leyes de las operaciones
Aritmética de los números racionales
e irracionales
¾ Aplicaciones de operaciones con
números reales.
¾
¾
¾
¾
¾
A las ideas u objetos que forman un
conjunto se les denomina elementos. La
cantidad y características de éstos nos
permiten saber el tamaño del conjunto.
Un conjunto se representa gráficamente
encerrando sus elementos dentro de un
círculo:
A
Pedro
RESULTADO DEL APRENDIZAJE
1.1
1.2
1.1
1.1.1
Sara
Juan
Identificar los subconjuntos de
los números reales de acuerdo
con su clasificación.
Resolver problemas mediante el
desarrollo de operaciones con
números reales.
•
IDENTIFICAR LOS
SUBCONJUNTOS DE LOS
NÚMEROS REALES DE
ACUERDO CON SU
CLASIFICACIÓN
Todo conjunto puede ser un universo o
un subconjunto, es decir, todos los
conjuntos de dos o más elementos
poseen la cualidad de ser divisibles en
su interior. Cuando un conjunto forma
parte de uno mayor se dice que es
subconjunto de éste.
NÚMEROS REALES
Entrar al estudio de los números reales
requiere identificar sus subconjuntos;
para ello es necesario aclarar qué es un
conjunto. Por definición, un conjunto es
una colección de objetos o agregado de
ideas de cualquier especie, siempre y
cuando estén tan claros y definidos
para decidir si pertenecen o no al
conjunto.
Sofía
Subconjuntos
En el caso del conjunto
F = {sábado, domingo}
que se encuentra incluido en el
conjunto universo
B = {lunes, martes, miércoles, jueves,
viernes, sábado, domingo}
Tenemos que el conjunto F es un
subconjunto de B y se escribe: F ⊂ B.
Donde “⊂” significa subconjunto de; si
Reforma académica 2003
11
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se encuentra tachado (⊄) dirá que no es
subconjunto, no hay pertenencia.
Trabajo en
equipo
El PSP: Dividirá al grupo
equipos.
Los Alumnos:
Definirán cuatro conjuntos
correspondientes a cada carrera.
Identificarán sus elementos.
Ejemplos:
a) El conjunto de docentes integrado
por los maestros del plantel.
b) El conjunto del material didáctico
utilizado en los salones de clase, que
incluye gises, pizarrón, mapas,
plumones, borradores, etc.
•
El conjunto de los números
reales
Al conjunto de números enteros
positivos se le denomina números
naturales y se representan con la letra
N, quedando:
N = {X | X es un número entero
positivo}
Los números que hacen verdadera está
oración abierta serían
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…}
Los tres puntos indican que la sucesión
continúa, pero no incluirán el cero ni
los números negativos. Al conjunto de
números enteros positivos que incluye
el cero se le conoce como cardinales.
12
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.... }
Por lo tanto N es un subconjunto de C;
N ⊂ C.
Al conjunto de los números cardinales y
los enteros negativos se le conoce como
de números enteros, E, por tanto N ⊂ C
⊂ E.
C = {…, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5 ,-4, 3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10... }
Un conjunto universo de éste podría ser
aquel que incluya los números
fraccionarios, denominados racionales,
sean estos, cualquier número que
pueda expresarse como el cociente de
dos enteros, en los cuales el divisor es
diferente de cero. Se representa con la
letra D.
Un número es racional si su parte
decimal termina, es finita, como en el
caso de ½ que en forma decimal es 0.5,
o cuando termina en un dígito o grupo
de éstos que se repiten, como 2/3 que
en decimal es 0.66666.
Existe el complemento de este conjunto
denominado como D’; son los números
irracionales,
en
los
cuales
su
representación decimal no es finita, ni
de repetición, como sería π = 3.1416...
ó √2 = 1.4142135... A la unión de los
números racionales con los irracionales
se le conoce como números reales.
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D ∪ D´ = R y siendo tanto D como D´
subconjuntos de R
Cada punto de la recta corresponderá a
un número consecutivo y habrá la
misma distancia entre ellos.
-4 -3 -2 -1
0
1
negativos
2
3
4
5
pos itivos
cero u origen
Observación
El Alumno:
Observará los diferentes
tipos de números que utilice en las
actividades de un día.
Realizará una tabla con los números y la
actividad.
Ejemplos:
Realización del ejercicio
El Alumno:
Elaborará una síntesis
acerca del conjunto de los
números reales y sus subconjuntos, así
como su representación en la recta
numérica.
a) El número que identifica a cada
salón del plantel es un entero
positivo.
b) La hora de llegada al plantel: 8:15,
corresponde a los números reales.
1.1.2.
PROPIEDADES DE
LOS NÚMEROS REALES
•
En una recta numérica se podrán
comparar dos números reales, el
número que se encuentre a la izquierda
será el menor y el de la derecha el
mayor; para denotarlo se utilizarán los
siguientes símbolos
Recta numérica o de números
reales
La Recta numérica o de números reales
es una línea horizontal, como una
regla, con un punto de origen en donde
se coloca el cero; los números a la
izquierda serán negativos y los de la
derecha positivos.
•
Propiedad de Orden
Símbolo
=
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Significado
Igual que
Ejemplo
3=3
13
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<
>
≤
≥
≠
Menor que
Mayor que
Menor o igual
que
Mayor o igual
que
Desigual
-4 -3 -2 -1
0
1
-1 < 3
3 > -1
A≤ 5
|-3 | = 3; se lee: el valor absoluto de -3
es 3.
B≥2
|3| = 3, el valor absoluto de 3 es 3.
3≠8
En contraposición, el valor relativo de
un número, es el que le es asignado
dependiendo del lugar en el que se
2
3
4
5
el valor aumenta
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
el valor disminuye
4
5
Es decir, el orden o lugar en el cual se
encuentren dos números en la recta nos
permite compararlos y saber cuál de
ellos es menor o mayor que el otro.
•
Valor absoluto y Valor relativo
Se conoce como valor absoluto de un
número a la distancia que existe entre
éste y el cero o punto de origen en la
recta. Cabe señalar que se ignora el
signo que le anteceda, el valor absoluto
siempre será positivo o cero. Su
connotación se realiza poniendo al
número entre barras verticales:
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
Es la misma distancia del lado
positivo que del negativo
14
4
5
encuentre, es decir, si se sitúa en el
lugar de las unidades, decenas,
centenas, unidades de millar, etc.
Tomando como ejemplo el número
5,358, valor relativo del ocho, por estar
ubicado en el lugar de las unidades, es
igual a su valor absoluto, es decir 8; en
el caso del tres, por su ubicación en las
centenas tiene un valor de 300 (3 ×
100), cuando su valor absoluto es 3.
Para el 5, su valor absoluto en los dos
casos es el mismo; pero el valor relativo
para el del lugar de las decenas será 50
y para el del lugar de las unidades de
millar es 5,000.
•
Operaciones con números
reales
Existen cuatro operaciones básicas de
los números reales, a saber: suma,
resta, multiplicación y división. Al
realizar ejercicios de cada una de ellas
es muy importante considerar el signo
de cada operando.
•
Leyes de los signos
Para
realizar
multiplicaciones
y
divisiones de números reales, es
fundamental conocer las leyes de los
signos, pues indican que al multiplicar
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o dividir dos números reales del mismo
signo, el resultado tendrá un signo
positivo, en caso de que los números
tengan diferentes signos, el resultado
será negativo.
Se aplica de la misma forma para el
caso de la división.
a
(+)
( 5) + ( 6) = 11
( 8) + (-3) = 5
•
Resta
Siendo dos números reales a y b, la
resta o diferencia de estos es lo mismo
que sumar el opuesto del segundo al
primero.
a - b = a + (-b)
(3) - (-4) = 3 + (4) = 7
(2) – (4) = 2 + (-4) = (-2)
×
b
(+)
=
Resultado
(+)
(-)
×
(-)
=
(+)
(+)
×
(-)
=
(-)
•
(-)
×
(+)
=
(-)
Tratándose de la multiplicación de
números reales, se operan los valores
absolutos de los factores y al resultado
se le anota el signo dependiendo de las
leyes mencionadas; es decir, una vez
realizado el producto de los dos
números, si tienen el mismo signo el
resultado será positivo, en caso
contrario llevará negativo.
Investigación documental
El Alumno:
Realizará un trabajo escrito
con la descripción de las leyes de los
signos para la adición, sustracción,
multiplicación y división.
Realizará una tabla.
•
Multiplicación
(a) × (b) = (c),
(-a) × (-b) = (c),
(-a) × (b) = (-c),
(a) × (-b) = (-c)
Suma
Para sumar dos números reales con el
mismo signo, se suman sus valores
absolutos respetando el signo de
ambos sumandos.
En cambio, si tenemos sumandos con
signos diferentes, se resta el menor al
mayor y se asigna el signo del que
tenga mayor valor absoluto.
El signo “×” de la multiplicación
seguido de un paréntesis se acostumbra
suprimirlo; o se sustituye por un punto
o por un asterisco. Por ejemplo, para
multiplicar (a) × (b) puede denotarse
como a • b.
(-3) + (-5) = -8
(-2) + ( 7) = 5
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(-5) (-8) = 40
(-2) ( 6) = -12
( 4) ( 9) = 36
( 1) (-9) = -9
15
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•
Colegiatura
Total
División
Para la división entre números reales
diferentes a cero, se lleva a cabo la
operación entre los valores absolutos
de los números; al cociente o resultado
le asignamos un signo dependiendo de
las leyes de los mismos; es decir, si
ambos tienen el mismo signo, el
resultado será positivo, si son de
diferente signo será negativo.
(a) ÷ (b) = (c)
(-a) ÷ (-b) = (c)
(-a) ÷ (b) = (-c)
(a) ÷ (-b) = (-c)
(30) / (-2) = -15
( 20) / ( 5) = 4
(-10) / (-2) = 5
(-50) / (10) = -5
RESOLVER PROBLEMAS
CON NÚMEROS REALES
En esta sección conoceremos el orden
de las operaciones, sus leyes, la
aritmética de los números racionales e
irracionales
y
aplicaciones
de
operaciones para resolver problemas
con números reales.
•
de
otros
El Alumno:
Calculará el costo de sus estudios,
considerando los gastos que realiza en
transporte,
vestido,
alimentación,
colegiatura, vivienda;
Comparará sus resultados con sus
compañeros.
Ejemplo:
16
200
$4,850
1.2.1 ORDEN DE LAS
OPERACIONES
Comparación
resultados con
compañeros
Concepto
Transporte
Vivienda
Alimentación
Vestido
1.2
200
$5,460
Alumno 1 Alumno 2
360
500
3000
2500
1500
1300
400
350
Propiedad de orden de las
operaciones aritméticas
Existen reglas de orden para realizar las
operaciones
de
suma,
resta,
multiplicación,
división,
raíces,
exponentes y paréntesis.
¾ Primero deben realizarse las
raíces y exponentes
¾ Continuar con las
multiplicaciones y divisiones en
orden de izquierda a derecha
¾ Por último las sumas y restas.
•
Signos de agrupación
Para dar prioridad de manera diferente
a la anterior se utilizan los paréntesis y
corchetes. Cuando éstos se presentan,
primero se realizan las operaciones que
se encuentren encerradas por ellos
siguiendo el orden anterior, se debe
considerar que si se encuentran varios
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paréntesis anidados, es decir, unos
dentro de otros, se comienza de dentro
hacia fuera. Para evitar confusiones
sobre el inicio y final de un paréntesis
se utilizan también corchetes los cuales
funcionarán con el mismo orden, de
dentro hacia fuera.
siguiendo y no siguiendo la prioridad
del orden de las operaciones.
Comparará sus resultados con sus
compañeros.
Presentará sus conclusiones.
(-3 [2+5] + 8) + (2 + 11)=
2 ( 4 + 3 ) + 3 ( -4 + 2 ) =
En esta operación se resuelven primero
los corchetes cuya función es la misma
de los paréntesis, se utilizan para que
sea más fácil su distinción:
(-3 [7] + 8) + (2 + 11) =
La manera adecuada de resolver el
primer paréntesis requiere seguir con
estricto apego el orden de las
operaciones: la multiplicación antes de
la suma, al mismo tiempo se puede
resolver el segundo paréntesis, que sólo
tiene una operación:
(-21 + 8) + (13) =
Se obtiene el resultado del primer
paréntesis para, al final, completar las
sumas y restas que falten por realizarse:
Ejemplo:
Tomando en cuenta el orden de las
operaciones, se resuelven primero los
ejercicios de adentro de los paréntesis,
luego las multiplicaciones y al final se
suman los resultados; dando un total
de 8. Sin considerar los paréntesis y
sólo realizando las operaciones de
izquierda a derecha, el resultado
obtenido sería -54.
1.2.2 LEYES DE LAS
OPERACIONES
Considerando que los valores de a, b y c
pertenecen al conjunto de los números
reales, la descripción de las propiedades
de la suma es la siguiente:
•
Propiedad de cerradura de la
suma
La suma de a + b da como resultado
un número real.
(-13) + (13) = 0
Comparación
resultados
con
compañeros
de
otros
El Alumno:
Realizará operaciones utilizando una
hoja de cálculo y una calculadora
-15 + 7 = -8
•
Propiedad de cerradura de la
multiplicación
El producto de dos números reales será
otro número real, a × b = c
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17
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15 × (-2) = -30
•
Propiedad conmutativa de la
suma
El orden en que se sumen a y b no
afecta el resultado, sumar a + b es
igual que sumar b+a:
10 + 3 + 7 = 20
En el caso de más de dos sumandos,
estos se pueden asociar y darán el
mismo resultado si a la suma de a + b,
se le agrega c, que si a la suma de c +
b se le agregara a.
3+5+1+8+9+5=
En este caso podemos realizar la suma,
es decir a 3 agregarle 5 y a su resultado
1, a éste 8 más 9 y al final sumarle 5 o
se pueden ir agrupando para que sean
menos sumandos
(3 + 5 + 1) + (8 + 9 +5) =
Es lo mismo sumar primero 10 + 3 y a
su resultado sumarle 7
(10 + 3) + 7 = 20
9 + 22 = 31
•
13 + 7 = 20
que sumar 3 +7 y agregarle 10
(3 + 7) + 10 = 20
10 + 10 = 20
•
Propiedad conmutativa de la
multiplicación
El orden de los factores no altera el
producto. Dos números reales pueden
multiplicarse en cualquier orden y dar el
mismo producto:
a× b=b×a
7 × 5 = 35
5 × 7 = 35
•
18
Propiedad asociativa de la
suma
Propiedad asociativa de la
multiplicación
Al multiplicarse varios factores no
importará en que orden se multipliquen
siempre darán el mismo resultado
(a × b) × c = (a × c) × b = (c × b) ×
a
(2 × 1) 5 = 10
(2 × 5) × 1 = 10
(5 × 1) × 2 = 10
•
Propiedad distributiva
Para las operaciones del tipo a × (b +
c), donde el número a multiplica a la
suma de b + c, la propiedad
distributiva nos dice que es igual
realizar primero la suma del paréntesis
(b + c) y después multiplicarla por a,
que multiplicar cada uno de los
sumandos y al final sumarlos:
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a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
3 × (4 + 2) = 18
(3 × 4) + (3 × 2) =18
•
Propiedad de identidad aditiva
Si al número real se le adiciona el cero,
el resultado seguirá siendo el mismo
número, por eso al cero se le conoce
como elemento de identidad para el
caso de las sumas; a + 0 = a.
•
•
Realizará las operaciones aritméticas
Interpretará los resultados
obtenidos.
Si el ingreso de una persona es
$5,000.00, y sus egresos mensuales son
Concepto
Transporte
Vivienda
Alimentación
Vestido
Colegiatura
Total
13 + 0 = 13
•
Propiedad de identidad
multiplicativa
Si multiplicamos u número real por 1,
se obtendrá como resultado el mismo
número; a × 1 = a
•
Propiedad del inverso
multiplicativo
Alumno 2
500
2500
1300
350
200
$4,850
¿Cuánto le queda para gastar en
diversiones y otras actividades?
Planteamiento
del
lenguaje matemático:
problema
en
5000–(500+2500+1300+350+200)=
Cualquier número real multiplicado por
su recíproco, dará como resultado el
número 1.
a × 1/a = 1
5 × (1/5 )= 1
9 × (1/9 )= 1
Realizando las operaciones aritméticas
se obtiene el resultado.
5000 – 4850 = 150
Interpretación del resultado. La persona
tiene mensualmente $150.00 para
diversiones y otras actividades.
Realización del ejercicio
El Alumno:
Resolverá un problema
relacionado con un área específica de
su especialidad, usando operaciones en
las que deberá identificar los siguientes
pasos:
• Plantear el problema en el lenguaje
aritmético
1.2.3. ARITMÉTICA DE LOS
NÚMEROS RACIONALES E
IRRACIONALES
•
Operaciones con números
racionales
¿Recuerdas la definición de los números
racionales?
Son
aquellos
que
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19
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representan el cociente de dos enteros,
siempre y cuando el divisor sea
diferente de cero.
En una división, el número que a dividir
se denomina dividendo, y se coloca en
la parte superior de la raya; el número
entre el cual se divide se conoce como
divisor y va en la parte de abajo.
a
b
dividendo
divisor
Si la representación es con una
diagonal,
el
primer
número
corresponderá al dividendo y el
segundo al divisor:
dividendo
a / b divisor
a
b
siempre que b≠0
10 =
5
•
divisor
•
b
c
a
r
cociente
dividendo
residuo
Teorema de la división
Aunque suene muy complicado, dividir
dos números reales es equivalente a
multiplicar el numerador por el
recíproco del denominador, es decir
20
(10) × 1 = 2
5
Conversión de fracción a
decimal
Para convertir una fracción en un
número decimal se requiere dividir el
numerador entre el denominador;
nuestro resultado, es decir, el cociente,
será el decimal correspondiente a esa
fracción.
Cuando se trata de fracciones, se
modifica el nombre al dividendo por
numerador
y
al
divisor
por
denominador.
Al resultado de la división se le conoce
como cociente; una vez realizada la
división, la parte no divisible se
denomina residuo.
= (a) × 1 = c,
b
15 = 1.5
10
5 = 0.5
10
En caso de que las fracciones tengan
enteros en su expresión, se debe
convertir a fracción impropia, es decir,
colocar al entero como parte de la
fracción. Esto se realiza multiplicando el
denominador
por
el
entero
y
sumándolo al numerador de éste; ahora
ya se puede llevar a cabo la división y
obtener el número en forma decimal;
otra manera más sencilla es saber que
el entero pasa a decimal como entero y
realizar la división para obtener la parte
decimal.
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3
más2
por 4
•
= (3) (4) +2
4
= 14 = 3.5
4
Operaciones con exponentes
Hay algunos atajos o maneras de
simplificar las multiplicaciones. Si se
requiere realizar una operación de este
tipo de un número que se repite varias
veces, se utilizan los exponentes, es
decir, un número pequeño ubicado
arriba a la derecha de otro denominado
base; este último es el número que se
va a multiplicar varias veces y el
exponente el número de veces a
repetirse.
el primer par de números (-3)(-3) da un
9 positivo, al multiplicarlo por (-3)
queda un (-27), al volver a multiplicar
por otro negativo (-3) nos queda 81, el
cual al multiplicarse por el último (-3)
vuelve a convertir la cantidad en
negativo.
Es posible ver que por cada par de
negativos el producto es positivo, pero
al incrementar otro vuelve a convertirse,
por eso, cuando el exponente es impar
el resultado será negativo.
Asimismo, cualquier cantidad elevada a
la cero potencia es igual a 1:
100 = 1
30 = 1
1300 = 1
El ejercicio de la acción con exponentes
se conoce como elevar un número a la
n potencia, siendo n el exponente.
Ejemplo: si desea multiplicar el 5, 4
veces, nuestro número base será el 5 y
el exponente el 4 quedando:
54, lo cual equivale a
5 × 5 × 5 × 5 × = 625
•
Raíz cuadrada
El ejercicio denominado Raíz cuadrada
nos permite encontrar qué número
multiplicado por sí mismo es igual al
original.
Para resolverlo, primero el número
original se separa, de dos en dos, de
derecha a izquierda:
23 = 2 × 2 × 2 = 8
Si la base es un número racional
negativo dependerá del exponente el
signo del resultado. Si el segundo es un
número non, el resultado será negativo;
en el caso de par corresponderá un
resultado positivo; ejemplificando es
comprensible el porque:
1,44
luego se toma el primer grupo de la
izquierda (el 1, en este caso) y
buscamos un número que multiplicado
por sí mismo sea igual o se aproxime
(-3)5 = (-3)(-3)(-3) (-3)(-3) = -243,
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21
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más al grupo; lo anotamos en una línea
del lado derecho del radical:
los dos pasos anteriores hasta terminar
todos los grupos.
√ 1,44 1
Estudio individual
se multiplica el número por sí mismo,
anotamos el resultado debajo del
primer grupo y lo restamos para bajar
el segundo grupo:
El Alumno:
Obtendrá, utilizando la
calculadora y con el algoritmo, la raíz
cuadrada de los siguientes números:
√ 1,44 1
1
0 44
el siguiente paso es colocar una línea
horizontal debajo de aquella sobre la
que se postra el uno y, sobre ella,
colocamos un número que sea el doble
de nuestro primer resultado, es decir, el
doble de uno.
169
484
225
576
•
Operaciones con exponentes
fraccionarios
El campo de posibilidades de las
matemáticas permite elevar un número
a una potencia racional, aunque implica
una labor más detallada su resolución:
√ 1,44 1
2
1
0 44
1443/2 = √ 1443 = 1,728
después se busca un número, el cual se
coloca tanto en la línea de resultados
de arriba como en la de abajo, que al
multiplicarlo por los números de abajo
sea igual o se aproxime al resultado de
la operación anterior:
√ 1,44 1 2
22
1
0 44
44
se resta el producto de la operación al
resultado de la resta anterior para tener
un nuevo punto de inicio. Repetimos
22
Para resolver esta ecuación, se obtiene
la raíz cuadrada de 144 elevado a la
tercera potencia. Por el orden de las
operaciones, tienen la misma prioridad
las raíces y potencias, por tanto, es
igual que se lleve a cabo primero la raíz
y después se eleve a la tercera potencia,
o lo contrario.
•
Conversión de decimal a
racional
Convertir un número decimal en
racional necesita de la siguiente
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metodología: la parte entera del
racional pasará como entero y la parte
decimal deberá multiplicarse por el
número que se desee sea el
denominador del racional, el resultado
de esta multiplicación quedará como
numerador,
Para convertir 3.25 a fracción con
denominador 4, es decir en cuartos, es
necesario multiplicar la parte decimal,
0.25, por 4; el resultado corresponde al
numerador y el denominador es el
cuatro ya conocido. Los enteros pasan
como tales y se obtiene como resultado
3¼.
a : b :: c : d o a/b = c/d y se lee a es a
b como c es a d
•
Propiedad de la proporción
Considerando que a, b, c, d son
números reales, donde b y d son
diferentes de cero
ad = bc
Teniendo esta propiedad en mente, es
factible encontrar el valor cuando falta
de conocerse una de las variables
1.2.4 APLICACONES DE
OPERACIONES CON
NÚMEROS REALES
En las proporciones el producto de los
extremos es igual al producto de los
medios.
Razón y Proporción
Una razón es el cociente entre
números y se puede escribir como
división o fracción o escribiendo
puntos en forma vertical entre
números:
Una proporción puede expresarse de las
siguientes formas
a : b :: c : d entonces
Realizar la práctica número 1.
“Manejo de operaciones con
números reales”.
•
Una proporción se forma con dos
razones que son iguales y cuyo
denominador no debe ser cero.
dos
una
dos
los
Ejemplo:
6 : x :: 3 : 7
a : b que se lee a es b
el producto de los extremos es 6 × 7 =
42, el de los medios será 3x conociendo
que los productos deben ser iguales, se
Las razones comparan cantidades que
se encuentren en la misma unidad, es
decir pesos con pesos, gramos con
gramos, litros con litros, de lo contrario
no pueden ser comparables.
tiene que 3x = 42, despejando x = 42/3
dando como resultado x = 14
•
La proporción queda:
Proporciones
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6 : 14 :: 3 : 7
25 / 100 = 25%
Si son iguales los medios, se considera
que es una proporción continua.
•
Cuarta, tercera y media
proporcional
•
En una proporción, si a, b, c, d
Son distintos, se dice que la
proporción es discontinua y que
a, b, c, y d son una cuarta
proporcional geométrica.
•
En una proporción, si los
términos medios son iguales y
los extremos distintos, se dice
que la proporción es continua y
que los términos extremos son
tercera proporcional geométrica.
•
En una proporción continua, los
términos que se repiten se
llaman media proporcional
geométrica.
150 / 100 = 150%
Si se multiplica la cantidad 120 por el
0.25, se obtiene el 25 por ciento de 120
120 ×.25 = 30
• Regla de tres
La regla de tres es un método de
cálculo por medio del cual se obtiene
una cantidad o incógnita, conociendo
tres
cantidades
proporcionales,
pasando del primer múltiplo a la
unidad y deduciendo entonces el
siguiente múltiplo
Por ejemplo:
Si tres pantalones cuestan $600.00
¿Cuánto cuestan 5 pantalones?
La proporción será :
3 : 600 :: 5 : x
3 : x :: 15 : 5
cuarta proporcional
la connotación queda
T ercera proporcional
Pantalones
3
5
4 : 8 :: 8 : 16
cuarta proporcional
• Tanto por ciento
Un tanto por ciento representa una
fracción cuyo denominador es 100.
Un porcentaje es la multiplicación de un
número por un tanto por ciento.
24
Precio
600
x
Se multiplica 5 × 600 y el resultado se
divide entre 3, es decir, 3000 ÷ 3 =
1000. por cinco pantalones se pagan
$1,000.00.
Si utilizamos la ley conmutativa, sería
igual a dividir 600 ÷ 3 y multiplicarlo
por cinco, al realizar la división
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obtenemos el precio unitario de los
pantalones, $200.00, posterior-mente
se calcula el precio de cinco pantalones
multiplicando el precio unitario por la
cantidad de pantalones.
Investigación de
campo
Pantalón
Zapatos
Tenis
Calcetines
Suéter
Mochila
Lentes
Reloj
Agenda
Disco
Precio
$
400
500
800
80
600
300
1300
450
200
150
4. -1.75
5. - 10
6. 13 5
Escribe el valor absoluto
siguientes números:
El Alumno:
Realizará una investigación grupal en
una tienda departamental calculando
los descuentos porcentuales de, al
menos, 10 productos.
Producto
Escribe el opuesto de cada número:
Descuento
%
30
20
15
10
25
20
50
0
15
10
Neto
$
280
400
680
72
450
240
650
450
170
135
RESUELVE LOS SIGUIENTES
EJERCICIOS
Escribe en lenguaje aritmético:
1. Debe a su hermana $14.25
2. La Ciudad de México está a 2303
metros sobre el nivel del mar
3. La temperatura en invierno llegó a
15ºC bajo cero
de
los
7. |-3 |
8. | 3 2 |
9. |-3.25|
Simplificar cada una de las siguientes
expresiones:
Ejemplo
Solución
10.
11.
12.
13.
11 + 2(6 + 4) – 3(1 + 3)
11 + 2(10) – 3(4)
11 + 20 – 12
31 – 12
19
(7 + 3 + 2) ÷ 3 + 1
(7 + 3 + 2) ÷ (3 + 1)
5(7 + 9) ÷ 4 + 3
21 + 5(7 + 3) – 20
Escriba la cantidad como un problema
de multiplicación repetitivo.
14. (-3)4
15. (5)3
16. (2)7
Escriba el problema de multiplicación
repetitivo usando notación exponencial.
17. (-5) (-5) (-5) (-5)
18. –(5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5)
Evalúe la expresión exponencial.
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19. (-4)3
20. -52
21. (-3)4
Obtenga la raíz cuadrada de los
siguientes números utilizando el
algoritmo:
22.
23.
24.
576
900
289
RESULTADOS
1. -$14.25
2. + 2303
3. -15ºC
4. 1.75
5. 10
6. − 13 5
7. 3
8. 3 2
9. 3.25
10. 5
11. 3
12. 23
13. 51
14. (-3) (-3) (-3) (-3)
15. (5) (5) (5)
16. (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)
17. (-5)4
18. –(5)6
19. -64
20. 25
21. 81
22. 24
23. 30
24. 17
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Reforma académica 2003
27
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PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje:
1
Práctica número:
1
Nombre de la
práctica:
Manejo de operaciones con números
reales.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica, el alumno aplicará conceptos y
operaciones de números reales.
Escenario:
Aula
Duración:
2h
Materiales
• Cartulina
Maquinaria y equipo
•
Calculadora.
• Plumones
• Hojas blancas
tamaño carta
• Lápiz y goma.
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Herramienta
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Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.
1. Elaborar reunidos por equipos las definiciones de acuerdo a las instrucciones del
PSA, de los conceptos enlistados a continuación, repartiéndose el trabajo de
manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.
- Enunciar el concepto de aritmética
- Identificar la simbología y terminología utilizadas en este curso
- Enunciar la definición de números naturales, con ejemplos
- Enunciar la definición de números enteros, con ejemplos
- Enunciar la definición de número racional, con ejemplos
- Obtener fracciones equivalentes de un número racional, con ejemplos
- Representar con ejemplos un número racional en forma de razón y en forma
decimal
- Transformar un número racional a decimal
- Transformar un número decimal a racional
- Enunciar la definición de los números irracionales
- Enunciar la definición de los números reales.
2. Elaborar en cartulinas las definiciones o las representaciones solicitadas. Cada
equipo nombrará un relator que expondrá al grupo los resultados de sus trabajos,
resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros.
3. Elaborar de la misma manera por equipo de una breve explicación de los temas
enlistados, disponiendo de un tiempo determinado por el PSA para que al final se
lleve a cabo una exposición breve de uno de los temas enlistados a continuación.
- Propiedades de los números reales
- Enunciado de la ley de tricotomía en los números reales
- Grafica de la correspondencia de los números reales con la recta numérica
- Ejemplos de operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación
- Aplicación de las propiedades de los signos para la adición, multiplicación y
potenciación con números racionales.
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Procedimiento
4. Transcribir el resultado o la respuesta ya elaborada correspondiente a la definición
o representado de lo que se solicita, en una cartulina de manera mural. Cada
equipo nombrará un relator que expondrá al grupo los resultados de sus trabajos,
resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros.
5. Presentar conclusiones de los temas abordados por equipo.
6. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir
las conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente
destinado para su posterior envió a reciclaje.
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LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 1:
Manejo de operaciones con números reales
Fecha: ______________
Nombre del alumno: __________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño
del alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido
cumplidas por el alumno durante su desempeño.
Desarrollo
Si
No
No
Aplica
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo
de la práctica.
• Limpió el área de trabajo
Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los
documentos de trabajo.
1. Elaboró por equipos las definiciones de acuerdo a las
instrucciones del PSA
- Enunció el concepto de aritmética
- Identificó la simbología y terminología utilizadas en este
curso
- Enunció la definición de números naturales
- Enunció la definición de números enteros
- Enunciar la definición de número racional
- Obtuvo fracciones equivalentes de un número racional
- Representó un número racional en forma de razón y en
forma decimal
- Transformó un número racional a decimal
- Transformó un número decimal a racional
- Enunció la definición de los números irracionales
- Enunció la definición de los números reales.
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Desarrollo
Si
2. Elaboró en cartulinas las definiciones o representaciones
solicitadas.
3. Cada equipo nombró un relator.
- El relator expuso al grupo los resultados de sus trabajos
- Resolvieron dudas y preguntas.
4. Elaboró la explicación de los temas enlistados.
- De las propiedades de los números reales
- Enunciado de la ley de tricotomía en los números reales
- Grafica de la correspondencia de los números reales con
la recta numérica
- Ejemplos de operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y potenciación
- Aplicación de las propiedades de los signos para la
adición, multiplicación y potenciación con números
racionales.
5. Transcribió el resultado o la respuesta ya elaborada
correspondiente a la definición o representado de lo que se
solicita, en una cartulina de manera mural.
6. Cada equipo nombró un relator.
- Expuso al grupo los resultados de sus trabajos,
resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros
7. Presentó conclusiones de los temas por equipo.
8. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la
práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.
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No
-
No
Aplica
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Desarrollo
Si
No
No
Aplica
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para
las mismas.
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
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