DESIGUALDADES GEOMETRICAS

Desigualdades geométricas
1
DESIGUALDADES GEOMETRICAS
Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está hablando de sus medidas.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
 TRICOTOMIA
x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos:
1) x < y
2) x = y
3) x > y
 PROPIEDAD TRANSITIVA
Si x < y  y < z entonces x < z
 PROPIEDAD ADITIVA
a) Si x < y entonces x + c < y + c
b) Si x < y  a < b entonces x + a < y + b
 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si a < b y c > 0 entonces ac < bc
 Si a = b + c; a, b, c  R+ a > b y a > c
EJERCICIO
HIPOTESIS: PS y RQ se bisecan
TESIS: m( RQT )  m( R )
1.
RMP  SMQ
2. M es punto medio de RQ y PS
3.
RM  MQ
PM  MS
4. RMP  SMQ
5. m( R )  m( RQS )
1. Por ser opuestos por el vértice
2. De hipótesis
3. De 2. Definición de punto medio
4. De 1 y 3. L – A – L
5. De 4. Ángulos correspondientes de
triángulos
6.
m( RQT )  m( RQS )  m( SQT ) 6. Postulado de adición de ángulos
7. m  RQT   m( RQS )
7. De 6. Propiedades de las desigualdades.
8. m  RQT   m  R 
8. Sustitución de 5 en7
ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO
Es un ángulo adyacente a un ángulo interior de un triangulo que forma un par lineal con
este y por lo tanto son suplementarios.
Desigualdades geométricas
2
TEOREMA
Un ángulo exterior de un triangulo es mayor que un ángulo interior no adyacente a él.
HIPOTESIS: CBD es un ángulo exterior
A–B–D
TESIS:
1. Por el punto medio M de CB , se traza
AF , tal que AM  MF
2. CM  MB
3. CMA  FMB
4.  CMA   FMB
5. m( C )  m( MBF )
6. m( CBD)  m( MBF )  m( FBD)
7. m( CBD)  m( MBF )
8. m( CBD)  m( C )
1)m( CBD)  m( C )
2)m( CBD)  m( CAB)
1. Postulado de construcción de
segmentos congruentes.
2. De 1. Definición de punto medio
3. Opuestos por el vértice.
4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. De 4. Por ser ángulos correspondientes
en triángulos congruentes.
6. Adición de ángulos.
7. De 6. Propiedad de las desigualdades.
8. Sustitución de 5 en 7.
METODO INDIRECTO DE DEMOSTRACION. REDUCCION AL ABSURDO.
Hasta ahora los métodos usados para demostrar teoremas han sido directos.
En algunas ocasiones es necesario utilizar un método indirecto para llegar a la tesis.
Este método consiste en considerar todas las conclusiones posibles. Cada una de estas
conclusiones deben ser investigadas de acuerdo con la hipótesis. Si puede demostrarse
que todas las conclusiones posibles, excepto una, conducen a una contradicción,
entonces podemos concluir que la conclusión restante debe ser la correcta.
En este método se niega la tesis y se sigue un razonamiento lógico hasta llegar a una
contradicción.
TEOREMA DE CONGRUENCIA LADO ANGULO ANGULO (L – A – A)
HIPÓTESIS:
AC  DF ; A  D; B  E
TESIS: ABC  DEF
Se demuestra por reducción al absurdo o método indirecto.
Se niega la tesis, o sea que  ABC no es congruente con  DEF, entonces suponemos
AB no es congruente con DE , por lo tanto se pueden presentar dos casos:
1) AB < DE
2) AB > DE.
Desigualdades geométricas
3
Primer caso
1. AB < DE
2. En DE existe un punto P, tal que AB  DP
3. AC  DF
4. A  D
5. ABC  DFP
6. m  B   m( FPD)
7. m( FPD)  m( E )
8. m( B)  m( E )
9. m( B)  m( E )
10. m( B)  m( E ) y m( B)  m( E )
1. Suposición
2. Construcción
3. De hipótesis.
4. De hipótesis
5. De 2, 3, 4. L – A – L
6. De 5 por ser ángulos
correspondientes en triángulos
congruentes.
7. Por ser un ángulo exterior del
FPE
8. Sustitución de 6 en 7.
9. De hipótesis.
10. De 8 y 9. CONTRADICCION!
Esta contradicción se origino al supone que AB < DE. Por lo tanto la negación de la
tesis, ABC no es congruente con DEF , es falsa, entonces ABC  DEF
CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS
TEOREMA
Si dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes un cateto y un ángulo
agudo, entonces son congruentes.
TEOREMA
Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas congruentes y un ángulo agudo
congruente entonces son congruentes.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular trazado del punto a
la recta.
PQ es la distancia del
punto P a la recta.
Desigualdades geométricas
4
TEOREMA
Un punto cualquiera de la bisectriz de un
ángulo equidista de los lados del ángulo.
(La distancia de un punto a una recta es
la longitud del segmento perpendicular
trazado desde el punto a la recta.)
HIPOTESIS: LP es la bisectriz de
ELN
PA  LE y PB  LN
TESIS: PA = PB
1. PBL y PAL son triángulos rectángulos.
2. BLP  ALP
3. LP  LP
4. PBL  PAL
5. PA = PB
1. De hipótesis. Definición de triangulo
Rectángulo
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2 y 3. Por ser triángulos
rectángulos, con la hipotenusa un ángulo
agudo congruentes.
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
TEOREMA
Si dos lados de un triangulo, no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampoco
son congruentes y a mayor lado se opone mayor ángulo.
HIPOTESIS: CA > CB
TESIS: m     m   
1. En CB existe un punto P, tal
que CA  CP
2.  ACP es isósceles.
3. m( CAP )  m( P )
4. m( CAP )  m(  )  m( BAP )
5. m( CAP )  m(  )
1. Postulado de construcción de
segmentos congruentes
2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. De 2. En un triangulo isósceles a los
lados congruentes se oponen ángulos
congruentes
4. Adición de ángulos
5. De 4. Propiedad de las desigualdades.
Desigualdades geométricas
6.
7.
8.
9.
m(
m(
m(
m(
P )  m(
 )  m(
 )  m(
 )  m(
5
)
6. Sustitución de 3 en 5.
7.  es un ángulo exterior en  ABP
8. De 6 y 7.
9. De 8.
P)
P )  m(  )
)
TEOREMA. (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si dos ángulos de un triangulo no son congruentes, los lados opuestos a ellos no son
congruentes y a mayor ángulo se opone mayor lado.
HIPÓTESIS: m     m   
TESIS: CA > CB
Se demuestra por el método indirecto o reducción al absurdo. Se niega la tesis: CA
no es mayor que CB, entonces quedan dos casos AC = CB o AC < CB (ley de la
tricotomia)
1. AC = CB
1. Negación de la tesis.
2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
2.  ABC es isósceles
3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen
3. m( ) = m( )
ángulos congruentes.
4. De hipótesis
4. m( ) > m( )
5. CONTRADICCION!
5. De 3 y 4. Por la ley de la tricotomia.
6. AC < BC
6. Negación de la tesis.
7. De 6. En un triangulo a lado mayor se opone ángulo
7. m( ) > m( )
mayor.
8. De hipótesis.
8. m( ) < m( )
9. CONTRADICCION!
9. De 7 y 8. Ley de la tricotomia.
10. Luego CA > CB
10. De 5 y 9.
COROLARIOS DEL TEOREMA ANTERIOR:
1. La medida de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es mayor que la medida de
cualquiera de sus catetos.
2. El segmento mas corto que une un punto con una recta es el segmento
perpendicular a ella.
EJEMPLO
Se da el triangulo rectángulo ABC, con el ángulo recto en A, se traza la bisectriz de
ACB que corta a AB en D. Demostrar que DB > DA. (Trazar DE  BC )
HIPOTESIS: ABC rectángulo en A
CD es bisectriz del ángulo ACB
TESIS: DB > DA
1. Se traza DE  BC
1. Construcción auxiliar.
Desigualdades geométricas
2. CD es bisectriz de ACB
3. 1  2
4. AD  DE
5. DEB es rectángulo.
6. DB > DE
7. DB > DA
6
2. De hipótesis
3. De 2. Definición de bisectriz
4. De 2. Un punto de la bisectriz equidista de los lados
del ángulo.
5. De 1. Definición de triangulo rectángulo.
6. De 5. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es
mayor que un cateto.
7. Sustitución de 4 en 6.
NOTA: El caso de congruencia de triángulos L – L – A no se da en todos los casos, por
ejemplo:
El caso L – L – A; solo se da cuando el ángulo congruente es el mayor ángulo del
triangulo.
TEOREMA. UNICO CASO DE CONGRUENCIA L – L – A
Si dos triángulos tienen respectivamente dos lados congruentes y un ángulo
congruente, pero estos ángulos son opuestos a los lados de mayor longitud, entonces
son congruentes los triángulos.
HIPOTESIS:
AC  DF ; BC  EF
B E
AC  AB; AC  BC
DF  DE; DF  EF
TESIS: ABC  DEF
La demostración se hace por el método indirecto
Se niega la tesis o sea que ABC no es congruente al DEF
1. Negación de la tesis
1. AB  DE
2. AB > DE o AB < DE
2. De 1. Ley de la tricotomia
3. AB > DE
3. De 2
4. Existe un punto Q en ED , tal que
EQ  AB
5. CB  FE
6. B  E
7.  ABC   QEF
4. De 3. Postulado de construcción de
segmentos congruentes.
9. DF  AC
5. De hipótesis.
6. De hipótesis
7. De 4, 5, 6. L – A – L
8. De 7. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
9. De hipótesis.
10. DF  QF
10. De 8 y 9. Propiedad transitiva
8. AC  QF
Desigualdades geométricas
11.  QDF es isósceles.
12.
FDQ  Q
13. DF > EF
14. QF > EF
15.
FDQ  Q
16. m  E   m  FDQ 
17. m  FDQ   m  E 
18. ¡CONTRADICCION!
7
11. De 10. Definición de triangulo isósceles.
12. De 11. Los ángulos de la base de un
triangulo isósceles son congruentes.
13. De hipótesis.
14. Sustitución de 10 en 13.
15. De 14. En QEF , a lado mayor se opone
ángulo mayor
16. Sustitución de 12 en 15
17. Por ser FDQ un ángulo exterior en FDE
18. De 17. Porque la suposición de que el
triangulo ABC no es congruente con el
triangulo DEF es falsa.
Analizar el caso AB < DE para llegar a una contradicción.
NOTA: El teorema anterior se demostró para poder demostrar el siguiente teorema,
teniendo en cuenta que el lado mayor de un triangulo rectángulo es la hipotenusa,
entonces el teorema anterior si se cumple, porque el ángulo congruente que es el recto
que se opone a los lados más grandes.
TEOREMA
Si la hipotenusa y un cateto de un triangulo rectángulo son respectivamente
congruentes a la hipotenusa y un cateto de otro triangulo rectángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
RESUMEN DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS:
1. Cateto – Cateto
2. Cateto – Angulo agudo
3. Hipotenusa – Angulo agudo
4. Hipotenusa – Cateto
NOTA: El teorema L – L – A no se cumple siempre, como lo vemos en la siguiente
gráfica.
Los triángulos ABE y ABC no son congruentes y sin embargo
tienen:
AB  AB; AE  AC; B  B , o sea que tienen dos lados
respectivamente congruentes y un ángulo congruente, en
este caso no se cumple el teorema L –L – A puesto que el
ángulo no está opuesto a los lados de mayor longitud.
Desigualdades geométricas
8
TEOREMA: LA DESIGUALDAD TRIANGULAR.
La suma de las medidas de dos lados de un triangulo es mayor que la medida del tercer
lado.
HIPÓTESIS: ABC cualquiera
TESIS: AC + CB > AB
1. En AC existe un punto P tal que
CP  CB y unimos B con P.
2. AP = AC + CP
3. AP = AC + CB
4. m( P )  m( PBC )
5. m( PBA)  m( PBC )  m( CBA)
6. m( PBA)  m( PBC )
7. m( PBA)  m( P )
8. AP > AB
9. AC + CP > AB)
10. AC + CB > AB
1. Construcción.
2. Adición de segmentos.
3. Sustitución de 1 en 2
4. A lados iguales se oponen ángulos
congruentes.
5. Adición de ángulos
6. De 5. Propiedad de las
desigualdades.
7. Sustitución de 4 en 6
8. En el  PAB a mayor ángulo se
opone mayor lado.
9. De 8. Adicion de segmentos.
10. Sustitución de 1 en 9.
TEOREMA DE LA ENVOLVENTE
HIPOTESIS: ABC cualquiera. O es un punto en el
interior del triángulo
TESIS: AC  CB  AO  OB
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
La BO corta a AC en D
AD + DO > AO
DC + CB > BD
AD + DO + DC + CB > AO + BD
AC + CB + DO > AO + BD
AC + CB + DO > AO + OB + DO
AC + CB > AO + OB
1. De hipótesis. O es un punto interior
2. Desigualdad triangular en  ADO
3. Desigualdad triangular en  DCB
4. De 2 y 3. Suma de desigualdades.
5. De 4. Adición de segmentos
6. De 5. Adicion de segmentos
7. De 6. Ley cancelativa.
Desigualdades geométricas
9
TEOREMA
Si dos lados de un triangulo son respectivamente congruentes a dos lados de otro
triangulo y el ángulo incluido en el primer triangulo es mayor que el ángulo incluido en el
segundo triangulo, entonces al tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del
segundo triangulo.
HIPÓTESIS: AC  DF;CB  FE
m( ACB)  m( F )
TESIS: AB > DE
1. Trazamos CK , tal que
ACK 
F
2. En CK existe un punto G, tal que
CG  FE
3. AC  DF
4. ACG  DFE
5. Trazamos la bisectriz de GCB que corta
a AB en H y trazamos GH .
6. GCH  HCB
1. Construcción
2. Postulado de construcción de
segmentos congruentes
3. De hipótesis
4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. Construcción
7. GC  FE
6. De 5. Definición de bisectriz
7. De 1
8. FE  CB
8. De hipótesis
9. GC  CB
9. De 7 y 8. Propiedad transitiva
10. CH  CH
11. CGH  CHB
10. Propiedad reflexiva
11. De 6, 9, 10. L – A – L
12. De 11. Por ser lados correspondientes
en triángulos congruentes.
13. De 4. Lados correspondientes en
triángulos congruentes.
14. Desigualdad triangular en  AGH
15. Sustitución de 12 en 14
16. De 15. Adición de segmentos
17. Sustitución de 13 en 16.
12. GH  HB
13. AG  DE
14. AH + HG > AG
15. AH + HB > AG
16. AB > AG
17. AB > DE
Desigualdades geométricas
10
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el tercer lado del
primero es mayor que el tercer lado del segundo, entonces la medida del ángulo
opuesto al tercer lado del primero es mayor que la medida del ángulo opuesto al tercer
lado del segundo.
AC  DF
HIPÓTESIS: BC  EF
AB  DE
TESIS: m( C )  m( F )
1. m( C ) no es mayor que m( F )
2. m( C ) = m( F ) o m( C ) es menor que m( F )
3. m( C )  m( F )
1. Negación de la tesis
2. De 1. Ley de la tricotomia
3. De 2 Suposición
4. De hipótesis
4. AC  DF y BC  EF
5. De 3 y 4. L – A – L
5.  ABC   DEF
6. De 5. Lados
correspondientes en
6. AB  DE
triángulos s
7. AB > DE
7. De hipótesis.
8. CONTRADICCION!
8. De 6 y 7
9. m( C )  m( F )
9. De 2. Suposición
10. De 9 y 4. Teorema
10. AB < DE
anterior.
11. AB > DE
11. De hipótesis
12. De 10 y 11. Ley de la
12. CONTRADICCION!
tricotomia.
Luego las suposiciones son falsas y por lo tanto se cumple que m( C )  m( F )
EJERCICIOS RESUELTOS
1).Si desde un punto A que no pertenece a la recta l, se traza una perpendicular a la
recta y dos segmentos oblicuos, es mayor, el que está más alejado del pie de la
perpendicular.
HIPOTESIS: AP  l; PC  PB
TESIS: AC  AB
1. m( APB)  90º
2. m( 1)  90º
1. De hipótesis. Definición de perpendicular
2. De 1 y por ser 1 un ángulo exterior en el triangulo APB
Desigualdades geométricas
3.
4.
5.
6.
7.
2 es agudo
m( 2)  m( 3)
m( 1)  m( 2)
m( 1)  m( 3)
AC > AB
11
3. De 2. Por ser el suplemento de un ángulo obtuso.
4. Por ser 2 un ángulo exterior en triangulo CBA
5. Por ser 1 obtuso y 2 agudo
6. De 4 y 5. Propiedad transitiva
7. De 6. En el  CBA a mayor ángulo se opone mayor lado.
2)
HIPOTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC
abc
TESIS:
2
2)a  b  c  m  n  r
1)m  n  r 
5. 2(m + n + r) > a + b + c
1. Desigualdad triangular en  AOB
2. Desigualdad triangular en  BOC
3. Desigualdad triangular en  COA
4. De 1, 2, 3. Propiedad de adición de
las desigualdades
5. De 4. Factor común
6. m  n  r 
6. De 5. Transposición de términos.
1. m + n > c
2. m + r > a
3. n + r > b
4. 2m + 2n + 2r > a + b + c
abc
2
Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo 2 y se llega a
lo siguiente:
b+a>n+m
c+a>m+r
b+c>r+n
y sumando las tres desigualdades se tiene:
2a + 2b + 2c > 2m + 2n + 2r de donde 2(a + b + c) > 2(m + n + r)
a + b + c > m + n + r.
3)
1. m (
ADB) > m (
DEB)
2. m (
DEB) > m(
C)
3. m (
ADB) > m(
C)
1. Por ser ADB un ángulo exterior
en  DEB
2. Por ser DEB un ángulo exterior
en  AEC
3. De 1, 2. Propiedad transitiva.
Desigualdades geométricas
12
4) Demostrar que en cualquier triangulo la suma de dos ángulos interiores en menor
que 180º
HIPÓTESIS: ABC cualquiera
m(  )  m(  )  180º
TESIS: m(  )  m(  )  180º
m(  )  m(  )  180º
14.  es un ángulo exterior
15. m( ) > m( )
16. m( ) + m( γ) = 180º
17. m( ) = 180º - m( γ)
18. 180º - m ( γ) > m( )
19. 180º > m( ) + m( γ)
20. m( ) + m( γ) < 180º
21. m( ) > m( )
22. 180º - m( γ) > m( )
23. 180º > m( ) + m( γ)
24.  es un ángulo exterior en
25. m(
) > m(
)
13. m( ) + m( ) = 180º
14. m( ) = 180º - m( )
15.180º - m( ) > m( )
16.180º > m( ) + m( )
∆ABC
1. Definición de ángulo exterior
2. De 1. Por ser DEB un ángulo exterior
3. Por ser suplementarios.
4. De 3. Transposición de términos
5. Sustitución de 4 en 2
6. De 5. Transposición de términos
7. De 6.
8. De 1. Por ser  un ángulo exterior
9. Sustitución de 4 en 8.
10. De 9. Transposición de términos.
11. Definición de ángulo exterior
12. De 11. Un ángulo exterior es mayor
que cualquier ángulo interior no
adyacente a el.
13. Por ser suplementarios.
14. De 13. Transposición de términos
15. Sustitución de 14 en 12
16. De 15. Transposición de términos.
5) En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC  DB . Si AB > AC,
demostrar que FB > CD
1. AB > AC
3. FC  DB
1. De hipótesis
2. De 1. Si un triangulo tiene dos lados desiguales al
mayor se opone el ángulo mayor
3. De hipótesis
4. BC  BC
4. Propiedad reflexiva
2. m (
ACB) > m (
ABC)
Desigualdades geométricas
13
5. De 2, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados
congruentes y el ángulo incluido en el primero es
mayor que el incluido en el segundo, entonces el
tercer lado del primero es mayor que el tercero del
segundo.
5. FB > CD
6) Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que
su semiperimetro y menor que su perímetro.
HIPOTESIS: CH ; AH 1; AH 2 son alturas del triangulo
TESIS:
AB  BC  CA
 AH1  CH  BH 2  AB  BC  CA
2
1. CH1 A; BHC; AH 2 B son rectángulos
AC  AH1
2. BC  CH
AB  BH 2
3. AB  BC  AC  AH1  CH  BH 2
4. AH1  H1B  AB
AH1  H1C  AC
CH  HB  BC
CH  HA  AC
BH 2  CH 2  BC
BH 2  AH 2  AB
5.


2 AH1  2CH  2 BH 2  H1B  H1C   HB  HA  (CH 2  AH 2 )
 2 AB  2 BC  2 AC
2 AH1  2CH  2 BH 2  BC  AB  AC  2 AB  2 BC  2 AC
6.
7. 2  AH1  CH  BH 2   2 AB  2BC  2 AC  BC  AB  AC
1. De hipótesis.
Definición de altura y
de triangulo rectángulo
2. De 1. En un
triangulo rectángulo la
hipotenusa es mayor
que cualquier cateto.
3. De 2. Propiedad de
la adición de las
desigualdades
4. Teorema de la
desigualdad triangular.
5. De 4.Propiedad de
las desigualdades
6. De 5. Adición de
segmentos
7. De 6. transposición
de términos
Desigualdades geométricas
8. AH1  CH  BH 2 
9.
14
AB  BC  CA
2
8. De 7. Aritmética
AB  BC  CA
 AH1  CH  BH 2
2
9. De 9. Lo mismo
escrito de otra manera
EJERCICIOS DE DESIGUALDADES
1.
HIPÓTESIS:
AC  EC
E  D C  B
TESIS:1) CE > CD
2) AE > AD
2.
3. Se da un  ABC y la mediana AM . Demostrar que AM 
AB  AC
2
Sugerencia: en AM existe un punto P, tal que AM  MP
4. Demostrar que un triángulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el
perímetro del triangulo.
5.
HIPOTESIS: CD  CB
1) AC  DC
TESIS:
2)m( ADC )  m( A)
3)m( 1)  m( A)
4) AD  BD
Desigualdades geométricas
15
6.
AD  AB
HIPÓTESIS: CD  CB
CD  AD
TESIS: m( DAB)  m( DCB)
7.
DA  DB
HIPOTESIS: A  D  C
AD  AB
TESIS: m(
8.
A) > m(
C)
HIPÓTESIS: ABC cualquiera
TESIS: m( ADB)  m( C )
9.
HIPOTESIS: ADB es isosceles con DA  DB
DB > AB
A–D–C
TESIS: Triángulo ABC es un triangulo escaleno.
Desigualdades geométricas
16
10.
11.
HIPOTESIS: Triángulo ABC cualquiera
El punto O es un punto en el interior del
triangulo.
abc
TESIS:
2
2)m  n  r  a  b  c
1)m  n  r 
12. Demostrar el siguiente teorema:
Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La
distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado
desde el punto a la recta).
13. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que
su semiperimetro y menor que su perímetro.
14. En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC  DB . Si AB > AC,
demostrar que FB > CD.
Desigualdades geométricas
17
15. En el  ABC, AC > AB. Demostrar que si D es un punto cualquiera entre B y C,
entonces AC > AD.
16. Demostrar que si dos alturas de un triangulo son congruentes, el triangulo es
isósceles.
17. Demostrar que si AM es una mediana del triangulo ABC, entonces los segmentos
desde B y C, perpendiculares a AM , son congruentes.
18. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada
enunciado y cada reciproco es verdadero o falso:
A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos.
B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los
extremos del segmento.
D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios.
E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.
¿Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero?
Ejercicios tomados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
EJERCICIOS RESUELTOS DE DESIGUALDADES
 Demostrar utilizando el método indirecto de demostración o reducción al absurdo:
HIPOTESIS: BC  BA
DC ≠ DA
TESIS: BD no es bisectriz de
1. BD es bisectriz de
2.
1 
2
3. BD  BD
CBA
1. Negación de la tesis. Suposición.
2. De 1. Definición de bisectriz
3. Propiedad reflexiva
CBA
Desigualdades geométricas
18
4. BC  BA
5.  BDC   BDA
4. De hipótesis
5. De 2, 3, 4. L – A – L
6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos
6. DC  DA
congruentes.
7. DC ≠ DA
7. De hipótesis.
8. CONTRADICCION
8. De 6 y 7. Ley de la tricotomia
Por lo tanto la suposición 1 es falsa y por consiguiente es verdad que BD no es
bisectriz.

HIPOTESIS: AB  BD  DC
TESIS: AD > DC
1.  ABD es isósceles
2. 2  3
3.  BDC es isósceles
4.
4 5
5. m( 4) > m( 2)
6. m( 5) > m( 2)
7. En  ADC: AD > DC
1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles
2. De 1. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles
3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles.
4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles
5. Por ser un ángulo exterior del triangulo ABD
6. Sustitución de 4 en 5.
7. De 6. En un triangulo a mayor ángulo se opone mayor
lado

HIPOTESIS: AD  AB
CD  CB
CD > AD
TESIS: m (
1. CD > AD
2. m( 1) > m(
2)
3. AD  AB y CD  CB
4. CB > AB
5. m( 3) > m( 4)
6. m(
7. m(
1) + m( 3) > m( 2) + m(
DAB) > m( DCB)
4)
DAB) > m (
DCB)
1. De hipótesis
2. De 1. En el ADC a mayor lado se
opone mayor ángulo.
3. De hipótesis.
4. Sustitución de 3 en 1.
5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone
mayor ángulo.
6. De 2 y 5. Suma de desigualdades.
7. De 6. Suma de ángulos.
Desigualdades geométricas
19

1. m(
2. m(
3. m(
ADB) > m(
DEB) > m(
ADB) > m(
DEB)
C)
C)
1. Por ser un ángulo exterior en el  DEB
2. Por ser un ángulo exterior en el  ACE
3. De 1 y 2. Propiedad transitiva.
Desigualdades geométricas
20
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD DE DESIGUALDADES
1.
HIPÓTESIS
TESIS
AC  EC
E  DC
1)CE  CD
2) AE  AD
1. CE  CD  DE
2. CE  CD
3. m( 1)  m( 2)
1. Suma de segmentos
2. Propiedad de las desigualdades
3. Por ser un ángulo exterior del triangulo ADE
4. m( 3)  m( ACD)
4. Por ser un ángulo exterior del triángulo ACD
5. m( ACD)  90
5. De hipótesis, definición de perpendicularidad
6. m( 3)  90
7. 3 es obtuso
8. 1 es el suplemento de
9.
1 es agudo
10. m( 3)  m( 1)
11. m( 3)  m( 2)
12. AE  AD
6. Sustitución de 5 en 4
7. De 6, definición de ángulo obtuso
3 8. Definición de ángulos suplementarios
9. De 8, el suplemento de un ángulo obtuso es agudo
10. De 9 y 7, un ángulo obtuso es mayor que un ángulo
agudo
11. De 10 y 3, propiedad transitiva
12. De 11, en el triángulo ADE a mayor ángulo se
opone mayor lado
Desigualdades geométricas
21
2.
HIPÓTESIS: AB  BD  DC
TESIS: AD > DC
1.  ABD es isósceles
2.
2
3
3.  BDC es isósceles
4.
4
5. m(
6. m(
5
4) > m(
5) > m(
2)
2)
7. En  ADC: AD > DC
1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles
2. De 1. Por ser ángulos de la base de un triángulo
isósceles
3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles.
4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triángulo
isósceles
5. Por ser un ángulo exterior del triángulo ABD
6. Sustitución de 4 en 5.
7. De 6. En un triángulo a mayor ángulo se opone mayor
lado
Desigualdades geométricas
22
3. Se da un  ABC y la mediana AM . Demostrar que AM 
AB  AC
2
Sugerencia: en AM existe un punto P, tal que AM  MP
HIPÓTESIS AM es mediana
TESIS AM 
1. Se prolonga la mediana AM hasta un punto P,
tal que AM  MP
AB  AC
2
1. Construcción auxiliar
7. En APB : AB  BP  AP
8. AB  AC  AP
9. AP  AM  MP
10. AP  AM  AM  2 AM
11. AB  AC  2 AM
2. Por ser ángulos opuestos por el
vértice
3. De hipótesis, definición de
mediana
4. De 3, definición de punto medio
5. De 1, 3 y 5, por L – A – L
6. De 5, por ser lados
correspondientes en triángulos
congruentes
7. Desigualdad triangular
8. Sustitución de 6 en 7
9. Suma de segmentos
10. Sustitución de 1 en 9
11. Sustitución de 10 en 8
12.
12. De 11, algebra
2.
1
2
3. M es punto medio de BC
4. MC  MB
5. CMA  MBP
6. AC  BP
AB  AC
 AM
2
Desigualdades geométricas
23
4. Demostrar que un triángulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el
perímetro del triángulo.
HIPÓTESIS AE, BD, CF son alturas
TESIS
AE  BD  CF  AC  CB  BA
1. ACE es rectángulo
2. AC  AE
3. CBF es rectángulo
4. CB  CF
5. ABD es rectángulo
6. BA  BD
7. AC  CB  BA  AE  CF  BD
1. De hipótesis, definición de altura
2. De 1, en un triángulo rectángulo la hipotenusa
es mayor que cualquier cateto
3. De hipótesis, definición de altura
4. De 3, en un triángulo rectángulo la hipotenusa
es mayor que cualquier cateto
5. De hipótesis, definición de altura
6. De 5, en un triángulo rectángulo la hipotenusa
es mayor que cualquier cateto
7. De 2,4 y 6, suma de desigualdades
Desigualdades geométricas
24
5.
HIPÓTESIS: CD  CB
1) AC  CD
TESIS:
2)m( ADC )  m( A)
3)m( 1)  m( A)
8. m( 2)  m( A)
4) AD  BD
1. Suma de segmentos
2. De 1, propiedad de las desigualdades
3. De hipótesis
4. Sustitución de 3 en 2
5. De 4, en el triángulo ADC, a mayor lado se opone mayor
ángulo
6. De 3, definición de triangulo isósceles
7. De 6, por ser los ángulos de la base de un triángulo
isósceles
8. Por ser un ángulo exterior del triángulo ABD
9. m( 1)  m( A)
9. Sustitución de 7 en 8
10. m( 3)  m( 1)
10. Por ser un ángulo exterior del triángulo DBC
1. AC  AB  CB
2. AC  CB
3. CD  CB
4. AC  CD
5. m( ADC )  m( A)
6. DCB es isósceles
7.
1
2
11. m( 3)  m( A)
12. AD  BD
11. De 9 y 10, propiedad transitiva
12. De 12. En el triángulo ABD a mayor ángulo se opone
mayor lado
Desigualdades geométricas
25
6.
HIPÓTESIS: AD  AB
CD  CB
CD > AD
TESIS: m (
1. CD > AD
2. m(
1) > m(
2)
3. AD  AB y CD  CB
4. CB > AB
5. m(
3) > m(
4)
6. m(
7. m(
1) + m( 3) > m( 2) + m(
DAB) > m( DCB)
4)
DAB) > m (
DCB)
1. De hipótesis
2. De 1. En el ADC a mayor lado se
opone mayor ángulo.
3. De hipótesis.
4. Sustitución de 3 en 1.
5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone
mayor ángulo.
6. De 2 y 5. Suma de desigualdades.
7. De 6. Suma de ángulos.
Desigualdades geométricas
26
7.
HIPÓTESIS DA  DB
A D C
AD  AB
TESIS m( A)  m( C )
1. DA  DB
2. ADB es isósceles
1. De hipótesis
3. A  1
4. AD  AB
6. m( 2)  m( C )
3. De 2, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles
4. De hipótesis
5. De 4, en el triángulo ADB a mayor lado se opone mayor
ángulo
6. Por ser un ángulo exterior del triángulo BDC
7. m( 1)  m( C )
7. De 5 y 6, propiedad transitiva
8. m( A)  m( C )
8. Sustitución de 3 en 7
5. m( 1)  m( 2)
2. De 1, definición de triangulo isósceles
8.
1. m(
2. m(
3. m(
ADB) > m(
DEB) > m(
ADB) > m(
DEB)
C)
C)
1. Por ser un ángulo exterior en el  DEB
2. Por ser un ángulo exterior en el  ACE
3. De 1 y 2. Propiedad transitiva.
Desigualdades geométricas
27
9.
ABD es isósceles con DA  DB
HIPÓTESIS DB  AB
A DC
TESIS ABC es escaleno
2. m( ABC )  m( 1)  m( DBC )
1. De hipótesis. Por ser los ángulos de la base de
un triangulo isósceles
2. Suma de ángulos
3. m( ABC )  m( 1)
3. De 2, propiedad de las desigualdades
1.
A 1
4. m( ABC )  m( A)
7. m( 2)  m( C )
4. Sustitución de 1 en 3
5. De hipótesis
6. De 5, en el triángulo ADB a mayor lado se
opone mayor ángulo
7. Por ser un ángulo exterior del triángulo BDC
8. m( A)  m( C )
8. De 6 y 7, propiedad transitiva
5. DB  AB
6. m( A)  m( 2)
9. m( ABC )  m( C )
10. ABC es escaleno
9. De 4 y 8, propiedad transitiva
10. De 10, 8 y 4, por no tener ningún par de
ángulos congruentes, si tuviera un par
congruente seria isósceles
Desigualdades geométricas
28
10.
1. AE  ED  AD
2. DC  CB  DB
3. AE  ED  DC  CB  AD  DB
4. AE  ED  DC  CB  AB  AD  DB  AB
1. Por desigualdad triángulos
en el triángulo AED
2. Por desigualdad triángulos
en el triángulo DCB
3. De 1 y 2, suma de
desigualdades
4. A una desigualdad se le
puede sumar la misma
cantidad a ambos miembros
11.
HIPÓTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC
abc
TESIS:
2
2)a  b  c  m  n  r
1)m  n  r 
5. 2(m + n + r) > a + b + c
1. Desigualdad triangular en  AOB
2. Desigualdad triangular en  BOC
3. Desigualdad triangular en  COA
4. De 1, 2, 3. Propiedad de adición de
las desigualdades
5. De 4. Factor común
6. m  n  r 
6. De 5. Transposición de términos.
1. m + n > c
2 m+r>a
3. n + r > b
4. 2m + 2n + 2r > a + b + c
abc
2
Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo 2 y se llega a
lo siguiente:
b+a>n+m
c+a>m+r
b+c>r+n
y sumando las tres desigualdades se tiene:
2a + 2b + 2c > 2m + 2n + 2r de donde 2(a + b + c) > 2(m + n + r)
a + b + c > m + n + r.
Desigualdades geométricas
29
12. Demostrar el siguiente teorema: Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la
longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta).
HIPÓTESIS AP es bisectriz de
BAC
PB y PC Distancias a los lados del
ángulo
TESIS PB  PC
1. PB  AB
2. PBA es rectángulo
3. PC  AC
4. PCA es
rectángulo
5. BAP  CAP
6. AP  AP
7. ABP  ACP
8. PB  PC
1. De hipótesis definición de distancia de un punto a una recta
2. De 1, definición de triangulo rectángulo
3. De hipótesis definición de distancia de un punto a una recta
4. De 3, definición de triangulo rectángulo
5. De hipótesis, definición de bisectriz de un ángulo
6. Propiedad reflexiva
7. De 5, 4 y 2, cateto – ángulo agudo
8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
Desigualdades geométricas
30
13. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es mayor que
su semiperimetro y menor que su perímetro.
En el ejercicio 4 se demostró que es menor que el perímetro, vamos a demostrar
que es mayor que su semiperimetro
HIPÓTESIS AE, BD, CF son alturas
TESIS AE  BD  CF 
AC  CB  BA
2
1. AE  EC  AC
2. AE  EB  BA
3. BD  DC  CB
4. BD  DA  BA
5. CF  FB  CB
6. CF  FA  AC
7. 2 AE  2BD  2CF  EC  EB  DC  DA  FB  FA  2 AC  2BA  2CB
8. 2 AE  2BD  2CF  CB  AC  BA  2 AC  2BA  2CB
1.
Desigualdad
triangular en
el triángulo
AEC
2.
Desigualdad
triangular en
el triángulo
AEB
3.
Desigualdad
triangular en
el triángulo
BDC
4.
Desigualdad
triangular en
el triángulo
BDA
5.
Desigualdad
triangular en
el triángulo
CFB
6.
Desigualdad
triangular en
el triángulo
CFA
7. Suma de
las seis
desigualdades
anteriores
8. De 7, suma
de segmentos
Desigualdades geométricas
31
9. 2 AE  2BD  2CF  2 AC  2BA  2CB  CB  AC  BA
10. 2 AE  2BD  2CF  AC  BA  CB
2( AE  BD  CF )  AC  BA  CB
11.
 AE  BD  CF 
AC  BA  CB
2
9. De 8,
transposición
de términos
10. De 9,
términos
semejantes
11. Algebra
14. En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC  DB . Si AB > AC,
demostrar que FB > CD
1. AB > AC
2. m (
ACB) > m (
3. FC  DB
4. BC  BC
5. FB > CD
ABC)
1. De hipótesis
2. De 1. Si un triángulo tiene dos lados desiguales al
mayor se opone el ángulo mayor
3. De hipótesis
4. Propiedad reflexiva
5. De 2, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados
congruentes y el ángulo incluido en el primero es
mayor que el incluido en el segundo, entonces el
tercer lado del primero es mayor que el tercero del
segundo.
Desigualdades geométricas
32
15. Utilizar la demostración por reducción al absurdo o método indirecto de
demostración para demostrar que si una mediana de un triángulo no es
perpendicular al lado que corta, entonces al menos dos lados del triángulo no son
congruentes.
HIPÓTESIS AM es mediana
AM no es perpendicular a CB
TESIS: AC no es congruente con AB
1. AC  AB
2. ABC es isósceles
3. AM es mediana
4. AM es altura
AM  CB
6. AM no es perpendicular a CB
5.
1. Negación de la tesis
2. De 1, definición de triangulo isósceles
3. De hipótesis
4. De 2 y 3, en un triángulo isósceles la
mediana sobre la base es también altura
5. De 4, definición de altura
6. De hipótesis
7.¡CONTRADICCION!
7. De 5 y 6
Como se llegó a una contradicción por considerar que había dos lados congruentes,
entonces AC no es congruente con AB
Desigualdades geométricas
33
16. Demostrar que si dos alturas de un triángulo son congruentes, el triángulo es
isósceles.
HIPÓTESIS: AD y BE son alturas del triangulo
AD  BE
TESIS: ABC es isósceles
1. AD  BC
2. ADB es rectángulo
3. BE  AC
4. BEA es rectángulo
5. AD  BE
6. AB  AB
7. ADB  BEA
8.
EAB  DBA
9. ABC es isósceles
1. De hipótesis, definición de altura en un triangulo
2. De 1, definición de triangulo rectángulo
3. De hipótesis, definición de altura en un triangulo
4. De 3, definición de triangulo rectángulo
5. De hipótesis
6. Propiedad reflexiva
7. De 2, 4, 5 y 6, por tener congruentes la hipotenusa y
un cateto
8. De 7, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
9. De 8, por tener dos ángulos congruentes
Desigualdades geométricas
34
17. Demostrar que si AM es una mediana del triángulo ABC, entonces los segmentos
desde B y C, perpendiculares a AM , son congruentes.
HIPÓTESIS: AM es una mediana
BD  AM
CE  AM
TESIS BD  CE
1. BD  AM
2. BDM es rectángulo
3. CE  AM
4. CEM es rectángulo
5. M es punto medio de BC
6. MB  MC
7. 1  2
8. BDM  CEM
9. BD  CE
1. De hipótesis
2. De 1, definición de triangulo rectángulo
3. De hipótesis
4. De 3, definición de triangulo rectángulo
5. De hipótesis, definición de mediana
6. De 5, definición de punto medio
7. Por ser ángulos opuestos por el vértice
8. De 2, 4, 6 y 7, por tener congruentes la hipotenusa y
un ángulo agudo
9. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
18. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada
enunciado y cada reciproco es verdadero o falso:
A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos.
B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los
extremos del segmento.
D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios.
E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.
¿Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero?
 Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos FALSO
RECIPROCO: Si dos ángulos son rectos, entonces son congruentes
VERDADERO
 Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios VERDADERO
RECIPROCO: Si dos ángulos son suplementarios entonces forman un par lineal
FALSO
Desigualdades geométricas
35
 Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los
extremos del segmento. VERDADERO
RECIPROCO: Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces
pertenece a la mediatriz de dicho segmento. VERDADERO
 Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios FALSO
RECIPROCO: Si dos ángulos son complementarios, entonces son agudos
VERDADERO
 Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.
VERDADERO
RECIPROCO: Si dos ángulos son congruentes, entonces son opuestos por el
vértice. FALSO
Conclusión: No todos los recíprocos se cumplen